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高校数学の質問スレ Part434 YouTube動画>1本 ->画像>52枚
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【質問者必読！！】
まず>>1-4をよく読んでね
数学@5ch掲示板用 掲示板での数学記号の書き方例と一般的な記号の使用例
http://mathmathmath.dotera.net/
・まずは教科書、参考書、web検索などで調べるようにしましょう。（特に基本的な公式など）
・問題の写し間違いには気をつけましょう。
・長い分母分子を含む分数はきちんと括弧でくくりましょう。
（× x+1/x+2 ； ○((x+1)/(x+2)) ）
・丸文字、顔文字、その他は環境やブラウザによりうまく表示できない場合があります。
どうしても画像を貼る場合はPCから直接見られるところに見やすい画像を貼ってください。
ピクトはPCから見られないことがあるので避けてください。
・質問者は名前を騙られたくない場合、トリップを付けましょう。
（トリップの付け方は 名前(N)に 俺！#oretrip ←適当なトリ)
・質問者は回答者がわかるように問題を書くようにしましょう。
でないと放置されることがあります。
（変に省略するより全文書いた方がいい、また説明なく習慣的でない記号を使わないように）
・質問者は何が分からないのか、どこまで考えたのかを明記しましょう。
それがない場合、放置されることがあります。
（特に、自分でやってみたのに合わないので教えてほしい、みたいなときは必ず書くように）
・回答者も節度ある回答を心がけてください。
・970くらいになったら次スレを立ててください。
※前スレ
高校数学の質問スレ Part431
http://2chb.net/r/math/1691291450/
高校数学の質問スレ Part430
http://2chb.net/r/math/1689726231/
高校数学の質問スレ Part432
http://2chb.net/r/math/1695900004/
高校数学の質問スレ Part433
http://2chb.net/r/math/1709503076/ は0,1,-1のいずれでもない複素数の定数とする。
複素数平面上の2点A(α)、B(1/α)を通る直線に原点から下ろした垂線の足をH(ω)とする。
ωをαの式で表せ。
この問題に証明を与えてください
【問題】
複素数を係数とするxの2次式f(x)全体からなる集合をSとする。
Sの要素で、以下を満たすものは存在するか。
「任意の複素数αに対して『f(α)が実数ならばf(α)≧0』が成り立つ。」
この問題はまだ誰一人解けていません。
αは0でも1でもない複素数の定数とする。
複素数平面上の2点A(α)、B(1/α)を通る直線に原点から下ろした垂線の足をH(ω)とする。
ωをαの式で表せ。
春休みの宿題ですがよろしくおねがいします。
x^2-100x-1=0 の正の解を aとする。
u_0=1 とし、a*(u_(k-1)) の整数部分 を u_k (k=1,2,3,…) とする。
u_100 の下2桁を求めよ。
>>4 [前スレ.955] ぢゃダメ？
A2H = \(a,b) (-2*a*b*1i)/((a^2+b^2)*((a-b*1i)-1/(a-b*1i)))
α=50+√2501, β=50-√2501, tn= α^n+β^nとおく
t0=2,t1=100, tn=100t(n-1)+t(n-2)
tn ≡ 2 ( mod 100 ) ( n:even )
≡ 0 ( mod 100 ) ( n:odd )
∴ k : odd
→ [ α^k ] = [tk-β^k] = tk ≡ 0 ( mod 100 )
k : even
→ [ α^k ] = [tk-β^k] = tk-1 ≡ 1 ( mod 100 )
>>3 任意の2次式をf(x)とする
f(x)+1は代数学の基本定理よりある複素数aでf(a)+1=0、つまりf(a)=-1となる
つまり任意の2次式f(x)に対してf(a)=-1となる複素数aが存在する
「任意の複素数αに対して『f(α)が実数ならばf(α)≧0』が成り立つ。」
Sの要素は存在しない
>>9 高校数学で代数学の基本定理は使えません
高校数学範囲内で示しなさい
>>10 高校範囲なのね
それなら、f(x)+1も2次式だから、f(x)+1=0となる解があることは二次方程式の解の公式で言えるから、代数学の基本定理のところをこれで置き換えればいい感じかね
>>6 方針：
step 1 怒涛の計算をする
step 2 法則を見出す
step 3 理屈を考える
step 1
100
10000
1000099
100019899
100011989099
10002198929798
1000319904968898
100041992695819597
10005199589486928597
1000620000941388679296
100072005293728354858196
10008201149373776874498895
1000920186942671415804747695
100102026895416515357349268394
10011203609728594207150731587094
1001220462999754837230430507977793
100132057503585212317250201529366393
10014206970821520986562250583444617092
1001520829139655683868542308545991075592
>>6 入力ミス修正
方針：
step 1 怒涛の計算をする
step 2 法則を見出す
step 3 理屈を考える
step 1
100
10000
1000099
100019899
10002989998
1000399019698
100049904959797
10005990894999397
1000699139404899496
100079919931384948996
10008992692277899799095
1000999349147721364858495
100109943907464414385648594
10011995390095589159929717894
1001299648953466380407357437993
100139976890736733629895673517193
10014998988722626829369974709157292
1001600038849153419670627366589246392
100170018883904064593892106633633796491
10018003488429255612808881290729968895491
1001900518861809465345482021179630523345590
100200069889669375790161010999253782303454490
step 2
f=function(n) (100-(n-1)%/%2)%%100
f(100)
実行してみる
> f(100)
[1] 51
step 3
a^2 = 100a + 1 を使って 数学的帰納法が使えそう。
>>2 暫定解
α = x + y*i
ω = ω1 + ω2*i
として
ω1 = (2*x*y^2*(x^2+y^2+1))/((x^2+y^2)*(x^4+2*x^2*(y^2-1)+(y^2+1)^2))
ω2 = -(2*x^2*y*(x^2+y^2-1))/((x^2+y^2)*(x^4+2*x^2*(y^2-1)+(y^2+1)^2))
練習問題
x^2-100x-1=0 の正の解を aとする。
u_0=1 とし、a*(u_(k-1)) の整数部分 を u_k (k=1,2,3,…) とする。
u_2024 の下2桁を求めよ。
>>11 ２次方程式の解の公式は実数系数でしか使えない
虚数の平方根は高校では定義していない
不定長整数の扱える言語でのu_100の値の算出希望
高校数学範囲で問題の意味がわかればそれでいいんじゃないか？
受験板じゃないので小学校の問題を方程式や三角関数を使ってといてもいいと思う。
u_100 はおろか u_3 すら無理と分からんのかな
>>10 z^2＝α （αは複素数）が解を持つのは容易に示せるというか高校の教科書の例題とかでやってる
後は２次方程式を平方完成したら終わり
東大を目指す高校生は罵倒しかレスしないクズ人間になっちゃだめだぞ。
>>27 それは言える。
助言よりも罵倒を喜びとする人間が跋扈しているのは確か。
地球のAIって、知ったかする。で、
a^n の定義 ただしa＜0、n∈有理数
を尋ねてみるため、
「マイナスの累乗」で聞いてみたら
a^n 、a≧0、n∈有理数と解釈したようで
a^(-n)=a^(1/n) だなんて解説しやがった
地球のAIって🐴🦌だと思います。で
a^n の定義 ただしa＜0、n∈有理数
を教えて下さい。 by 👤
未解決の難問です。
αは0でも1でもない複素数の定数とする。
複素数平面上の2点A(α)、B(1/α)を通る直線に原点から下ろした垂線の足をH(ω)とする。
ωをαの式で表せ。
>>21 >>7 は
ω = －(2xy･1i)/((xx+yy)*((x-y･1i)－1/(x-y･1i)))
= －(α+α*)(α－α*)/{2(αα*)(α*－1/α*)}
かな？
平面上に2つの正方形があり内部の共有点をもたないとする。
このとき、平面上のある直線によって、2つの正方形の内部を分離することができる。
明らかなことのように思えるのですが
実際に示すにはどのようにすればいいですか。
二つの正方形の中心を通る直線をピャーって引けばいいのかな
2つの正方形を A, B とする。
A, Bの共通点が
・A、Bの辺の中間点（≠頂点）であるとき
→ 辺の一部を共有 → その辺を延長した直線
・Aの頂点、 Bの辺の中間点であるとき（あるいは逆のとき）
→ Bの辺を延長した直線
・A, Bの頂点であるとき
→ Aの辺とBの辺がなす角の2等分線
・A, Bが共通点をもたないとき
→ それらの中心を固定しつつ相似拡大すれば、いずれぶつかる。
→ これらは共通点をもつから、上記を適用する。
>>29 e^iθ=cosθ+isinθなど既存の公式が成立するように定義できるよ。
i^iとかもlog(i)とかsin(i)も定義できる。
i^iが実数になるのは有名。
検索すればいくらでもでてくる。
そもそも高校数学で習う用語の意味すら理解できてない
以下の命題が恒真命題であるか否かを答えよ。
正直者ならば（嘘つきならば正直である）
裏金議員ならば（清廉潔白ならば裏金議員である）
凸領域AとBが内点を共有しPをA,Bの外部から任意にとる
AとPの凸包A'とBとPの凸包B'は内点を共有しない
実際Aの内点とPの凸包からPを除いた集合A''は開集合でA'の稠密部分集合だからA'の内部である
同様にB''を構成すればA''とB''は共有点を持たない
以上により凸集合A"とB"をそれぞれA,Bを含み、内点を共有せず、3点P,Q,Rを共有するように採れる
平面PQR
>>40 類題
以下の命題が恒真命題であるか否かを答えよ。
罵倒厨ならば（Phimoseならば罵倒厨である）
恒真という単語は高校数学ではありえない
基礎論では使われるが別の意味
では、
以下の命題の真偽を判定せよ。
罵倒厨ならば（Phimoseならば罵倒厨である）
>>44 汚い言葉遣いからして、出題者自身が罵倒厨とやらなんだね
自己紹介乙
次の命題の真偽を判定せよ
(罵倒厨でないならば 罵倒厨である）ならば Phimoseである。
内接円の半径が4で外接円の半径が9である三角形はぎょうさんありますが
そのような三角形の面積の最大値は求められますか
log(r/(4R))
= log(sin(A/2))+log(sin(B/2))+log(sin(C/2))
が定数のときのsin(A)+sin(B)+sin(C)の極値を求めればよく
determinant {{1,1,1},{cot(A/2),cot(B/2),cot(C/2)},{cos(A),cos(B),cos(C)}}
=
-2 csc(A/2) csc(B/2) csc(C/2) sin(A/2 - B/2) sin(A/2 - C/2) sin(B/2 - C/2) sin(A/2 + B/2 + C/2)
が0の場合に限定できるから二等辺三角形として考えれば良い
辺の長さを a,b,c とすれば 面積は
S = abc/(4R) = (1/2)r(a+b+c), R=9, r=4,
但し、三角不等式 0<a<b+c 等を伴なう。
この附帯条件をとり除くために「Ravi変換」を行なおう。
p = (-a+b+c)/2, q = (a-b+c)/2, r = (a+b-c)/2,
（p,q,r は、頂点 A,B,C から内接円の接点までの距離）
a = q+r, b = r+p, c = p+q,
S = (q+r)(r+p)(p+q)/(4R) = r(p+q+r),
>>45 >40でなく>44にレスするところがPhimoseくんの証だね。
Q.E.D.
早起きして作図の練習
>>48 ＞内接円の半径が4で外接円の半径が9である三角形はぎょうさんあります
課題：内接円の半径が4で外接円の半径が9である三角形を9個描け。
例：
>>53 乱数発生させて面積最大の三角形を推定（ほぼ二等辺三角形）
> abs(A-B)
[1] 16.97112
> abs(B-C)
[1] 16.96999
> abs(C-A)
[1] 11.31376
> ABC2S(A,B,C)
[1] 90.50995
東大合格者による数値解の投稿を希望します。
二等辺三角形であることを前提に立式すると変数が減らせる。
面積と辺の長さは
> ABC2S(A,B,C)
[1] 90.50967
> abs(A-B)
[1] 16.97056
> abs(B-C)
[1] 11.31371
> abs(C-A)
[1] 16.97056
乱数発生させての数値と近似している。
東大合格による厳格値の投稿を期待します。
>>56 これだと少し小さい
> ABC2S(A,B,C)
[1] 89.44272
>>52 特定の誰かを攻撃する意思なんてないしなwww
お前みたいな汚い言葉遣いするやつはみんな罵倒厨www
>>51 外心O と 内心I の距離は
OI = √{R(R-2r)} = 3,
（Chapple-Euler の式）
>6の答は51でいいの？
>48の数値解って>56でいいのか？
東大合格者向けの問題に解答できず
罵倒解のみ投稿するPhimoseが東大合格者だと思う人は
その旨とその根拠を投稿してください。
>>61 検証
>56で内心の座標は(3,0)
>58での内心の座標は(-3,0)
OI=3は成立している。
ABCが二等辺三角形のとき
AB = 12√2 = 16.970562748 (=c)
BC = 12√2 = 16.970562748 (=a)
CA = 8√2 = 11.31370850 (=b)
h = 16,
p = 4√2,
q = 8√2,
S = 64√2 = 90.5096680
面積最小のとき（
>>58）は
AB = 6√5 = 13.416407865 (=c)
BC = 8√5 = 17.88543820 (=a)
CA = 6√5 = 13.416407865 (=b)
h = 10,
p = 2√5,
q = 4√5,
S = 40√5 = 89.4427191
面積最大のとき（
>>56）は
>>64 >>66 厳密解ありがとうございました。
R言語の数値解とほぼ合致してすっきりしました。
演習問題 内接円の半径４で外接円の半径９である三角形の3辺の和の最大値を求めよ。
r = 4,
S ≦ 64√2,
から
a+b+c = 2S/r ≦ 32√2,
>>61 OI = √{R(R-2r)} = 3を体感
原点が外心、＋が内心
演習問題
内接円の半径４で外接円の半径９である三角形の最大長の辺の長さの最大値を求めよ。
内接円の半径４で外接円の半径９である三角形の内角の最大値を求めよ。
n=n-1を満たすnを「n-1数」と呼ぶ。
「n-1数」であるa,bに対してa+b=0となれることを証明しなさい（証明技能）
標準偏差の式は
平均との偏差の二乗の平均の平方根ですが
なぜその公式を採択したんでしょうか
平均との偏差の絶対値の平均のほうが直感的に意味合いが分かりやすいし
二乗して平方根をとる計算コストごないのでこちらのほうが採択されても良かった気がします
ばらつきの度合いを表すのに絶対値ではうまくなかった理由があるんでしょうか
n=n-1を満たすnを「n-1数」と呼ぶ。
「n-1数」であるa,bに対して、a-bの値は一通りに定まるか。
実験して楽しむ問題
偏差値は平均５０、標準偏差１０の正規分布を前提としている。
平均５０、標準偏差sdの標準偏差の正規分布に従う変数を100万個作り、
(計測値-平均)の絶対値の平均を非標準偏差nsdとする。
sdを1から50まで変化させてsdとnsdの関係をグラフ化せよ。
Rが使えるなら下記のコードで体感できる。
他の分布でどうなるかやってみると面白そう。
sd2nsd=\(sd,m=50,k=1e6){
x=m+sd*scale(rnorm(k))
m=mean(x)
nsd=mean(abs(x-m))
nsd
}
sd=seq(1,50)
nsd=sapply(sd,sd2nsd)
cbind(sd,nsd)
plot(sd,nsd)
# 線形回帰
lm=lm(nsd~sd)
summary(lm)
abline(lm)
二乗した方が都合が良いから一番良く使われてるだけ。
ベクトルの絶対値で成分二乗する理由とかと同じ。
>>48 三角形の底辺をt,高さをhとすると面積Sは、
S=th/2
ピタゴラスの定理より(h-9)^2+(t/2)^2=9^2
h^2-18h+t^2/4=0
t^2=72h-4h^2
直角三角形の相似より、
h-4：4=√｛h^2+(t/2)^2｝：t/2
t(h-4)/2=4√｛h^2+t^2/4｝
th-4t=8√｛h^2+t^2/4｝
th-4t=4√(4h^2+t^2)
t^2h^2-8ht^2+16t^2=16(4h^2+t^2)
t^2h^2-8ht^2-64h^2=0
t^2h-8t^2-64h=0
t^2=72h-4h^2を代入すると、
(72h-4h^2)h-8(72h-4h^2)^2-64h=0
72h-4h^2-576+32h-64=0
4h^2-104h+640=0
h^2-26h+160=0
(h-10)(h-16)=0
h=16
t=8√2
∴S=th/2=64√2=90.5096679919……
絶対値＝二乗の正の平方根だからなんとなく納得。
平方和の最小値での最小二乗法の代わりに絶対値の総和最小値で
数値計算しても似たような値がでてくる。
『心に愛が無ければ
スーパーヒーローじゃない』
の対偶は？
外接円の半径が9で内接円の半径が4である三角形ABCがある。
角A=2α, 角B－角C=2θとするとき
cosθ を sinα の式で表せ。
これはどう考えればいいですか。
r/R + 1
= cos(A) + cos(B) + cos(C)
= cos(A) + 2cos((B+C)/2)cos((B-C)/2)
= 1-2sin²(α) + 2sin(α)cos(θ)
大先生「
R,r,S > 0 について次は同値
(1) (外接円の半径,内接円の半径,面積) = (R,r,S)
となる三角形が存在
(2) -r^3 (r + 4 R)^3 + 2 S^2 (-r^2 + 10 r R + 2 R^2) - S^4/r^2 ≧ 0
」
r = 2S/(a+b+c),
R = abc/(4S),
より
r/R + 1 = 8SS/{(a+b+c)abc} + 1
= (b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)/(2abc) + 1 …… ヘロンの公式
= ……
= (bb+cc-aa)/(2bc) + (cc+aa-bb)/(2ca) + (aa+bb-cc)/(2ab)
= cos(A) + cos(B) + cos(C), …… 第二余弦定理
(参考書）
佐藤淳郎(訳)「美しい不等式の世界」朝倉書店 (2013)
§2.5 補題2.5.1 p.91
演習問題2.56 p.94
前
>>84 >>85 底角2α(∠A=∠B)の直角二等辺三角形(高さh)を描いてみた。
内接円の中心と頂点Aの距離は4/sinα
直角三角形の相似より4cosα/sinα：4=BC：h-4
ピタゴラスの定理より(4cosα/sinα)^2+h^2=BC^2
sin(α-θ)=sinαcosθ-cosαsinθ
=4(1-2sin^2α)/｛8-8sin^2α-4(1-2sin^2α)｝
=4(1-2sin^2α)/4
=1-2sin^2α
ちょっとここまでしかわからない。
直角二等辺三角形の頂角をAにするとθ=0になって意味わからない。
sin(α-θ)=cosθだとしたら、
cosθ=2cos^2α-1=1-2sin^2α
かもしれない。勘で。
１０００個Rに描画してみる。
「X＝x＋ 1/x
を満たすxが実数となるような実数Xの値の範囲を求めよ」
という問題で質問です
この問題、両辺にxを掛けて分母払ってxの二次方程式に変えて、xの二次方程式の解の判別式で
X≦-2、２≦Xが答えですが
分母に未知数xがあるので、x=0のケースも考えてx=０だけ別扱いで場合分けしなくてもいいの？
と思ってしまいました
しなくて良いのは何故なのでしょうか？
関連問題
外接円の半径が9で内接円の半径が4である三角形ABCがある。
内角の最大値は何度か？有効数字３桁でよい。
>>92 x＋ 1/xを満たす という文言で x≠0が暗黙の了解になっているから。
四角形ABCDで
対角線ACが角Bと角Dをどちらも二等分し、
対角線BDが角Aと角Cをどちらも二等分しているとき、
この四角系はひし形といえますか。
>>94 ありがとうございます
暗黙の了解なのですね。今まで見た参考書にはそういうことが載っていなかったので分かりませんでしたが、しっかり頭に入れておきます
あと、「x＋ 1/xを満たす という文言」は「X＝」は含まなくてOKですか？
>>96 xが実数のとき x＋ 1/x とりうる範囲を求めよ、という文章の方が誤解を招かないと思う。
>>97 ありがとうございます
「誤解を招かない」というのは、元の問題分のことでしょうか？私が書いたレスのことでしょうか？
仰せの通りACとBDが逆でしたすみません。
四角形ABCDで
対角線BDが角Bと角Dをどちらも二等分し、
対角線ACが角Aと角Cをどちらも二等分しているとき、
この四角系はひし形といえますか。
でした。
>>101 R言語のネタにしてプログラムの練習。
AB=1、∠Aが鋭角な凸四角形として等角条件に合致するように
立式して最小二乗法で数値解を出して作図。
成立しそうなことが体感できた。
∫[0,π/2] sinx/(1+√sin2x) dx
を求めよ。
>>101 対角線BDが∠B、∠Dを二等分している。
二角挟辺相等により △BAD ≡ △BCD,
AB=BC → ∠BAC=∠BCA，
AD=DC → ∠DAC=∠DCA,
辺々たして ∠A = ∠C,
対角線ACが∠A、∠Cを二等分している。
二角挟辺相等により △ABC ≡ △ADC,
BA=AD → ∠ABD=∠ADB,
BC=CD → ∠CBD=∠CDB,
辺々たして ∠B = ∠D,
∴ 対辺が平行である。(平行4辺形)
また 4辺が等しいから、菱形。
>>103 対角線AC＝１にして作図する方が立式が楽なことに気付いたので
再度作成。
∠DACを０～９０°で乱数発生させて、角度の条件を満たすように作図。
B,Dのｘ座標=0.5をプログラムが返してくる。
>>101 △BAD ≡ △BCD → ∠A = ∠C,
△ABC ≡ △ADC → ∠B = ∠D,
は明らかだけど、辺長の式も必要なので…
x,y,zは、
0<x≦y≦z
x+y+z=π
を満たす。このとき、
(sinx/siny)+(siny/sinz)+(sinz/sinx)
の最小値が存在するならば、それを求めよ。
>>106 乱数発生させる必要性はないので０°から９０°まで変化させて作図。
>>108 最小値なし
(sinx/siny)+(siny/sinz)+(sinz/sinx) > 3
> f=Vectorize(\(x,y){
+ z=pi-x-y
+ if(x<=y & y<=(pi-x-y)){
+ w=sin(x)/sin(y)+sin(y)/sin(x+y)+sin(x+y)/sin(x)
+ return(w)
+ }else{
+ return(1e16)
+ }
+ })
>
> opt=optim(runif(2,0,pi),\(x) f(x[1],x[2]),)
> while(opt$value>f(1,1)){
+ opt=optim(runif(2,0,pi),\(x) f(x[1],x[2]))
+ }
> opt
$par
[1] 1.046743 1.047364
$value
[1] 3
東大を目指す高校生は罵倒しかレスしないクズ人間になっちゃだめだぞ
∫[0,π/2] sinx/(1+√sin(2x)) dx
= ∫[0,π/2] cosx/(1+√sin(2x)) dx
= (1/2)∫[0,π/2] (sinx+cosx)/(1+√sin(2x)) dx
= (1/2)∫[0,π/2] (√2)sin(x+π/4)/(1+√sin(2x)) dx
= ∫[0,π/4] (√2)cosx/(1+√cos(2x)) dx
= ∫[0,π/4] √(1+cos(2x))/(1+√cos(2x)) dx
置換 cos(2x)=(cost)^2, sin(2x)dx=cost sint dt
= ∫[0,π/2] √(1+(cost)^2)/(1+cost) cost sint dt/√(1-(cost)^4)
= ∫[0,π/2] cost/(1+cost) dt
= ∫[0,π/2] (1 - 1/(1+cost)) dt
= ∫[0,π/2] (1 - (1/2)/cos(t/2)^2) dt
= t - tan(t/2)|_(t=0,π/2)
= (π/2) - 1
>>104 π/2 - 1
数値積分して検証
> integrate(\(x) sin(x)/(1+sqrt(sin(2*x))),0,pi/2,rel.tol = 1e-12)
0.5707963 with absolute error < 6.8e-13
> pi/2 - 1
[1] 0.5707963
一目AM≧GMが見えない時点でポンコツ確定だけど普通にグラフ描かせても内点で最小値とるの見える
計算機がなんにも使えてない
前
>>90 >>93 最大の角を2φとする二等辺三角形の底角を2θとすると、
底辺の1/2はピタゴラスの定理より√(9^2-4^2)=√65=8.0……
sinθ=4/9だからcos^2θ=1-16/81=65/81=(1+cos2θ)/2
cos2θ=2cos^2θ-1=130/81-1=49/81
とくになし。
余弦定理よりcos2φ=[2｛(81√65)/49｝^2-(2√65)^2]/[2｛(81√65)/49｝^2]
=(2・81^2・65-4・65・49^2)/(2・81^2・65)
=(81^2-2・49^2)/81^2
=(6561-2・2401)/6561
=1759/6561
=0.26809937509……
cos74.45°=0.26807920042……
cos74.44°=0.26824734081……
74.44°＜2φ＜74.45°
∴△ABCの内角の最大値の有効数字3桁は74.4°
応用問題 (二等分の条件を緩和)
四角形ABCDで 対角線BDが角Bと角Dをどちらも二等分し、
対角線ACが角Aを二等分しているとき、 この四角形は菱形といえますか。
>>120 レスありがとうございます。
プログラムで算出した想定解は
> B2maxA(opt$maximum,TRUE)*180/pi
[1] 83.62063
で83.6°
作図すると
今気づいたんだが、132番目の素数＝743でナナシサンって読ませるのね。
上手いなぁ。
>>122 ACとBDの交点をPとして、
ΔABP ≡ ΔCBP ≡ ΔCDP ≡ ΔADP
になるのがわかる。
(なぜなら、角ABP＝角CBP、、、で、
角APB＝角CPD、角BPC＝角DPA、
三角形の内角の和＝180° ( π )
なのを使うと、角ABP＋角BAP ＝ 角CDP＋角DCP、角ADP＋角DAP ＝ 角CBP＋角BCP がわかる。
だから、これを使って合同になることも分かる。)
簡単だけど、念のためやってみると案外頭の体操になるね。
高校生の諸君へ。
フェルマーの小定理、つまり以下を示せるかやってみて欲しい。
素数 p に対し、自然数 n をpで割り切れないとする。
この時、n^(p-1) ≡ 1 (mod p) となる。
赤チャートなんかには、問題としてしれっと載っていたと思う。
自分が高一の時だったかな、初見では出来なかったけど…。
>>73 面積最小のとき
>>58 >>66 BC ≦ 8√5 = 17.88854382
∠A ≦ arccos(1/9) = 2arcsin(2/3) = 83.62062979°
>>122 R言語で検証
対角線ACの長さを１としてAを原点とする。
直線DAの傾きをpとする。
Dのx座標をxdとすると
DCを結んで∠ADCの二等分線と直線y = -pxの交点をBとする。
∠ABD-∠CBD=0となるようにxdを決定する。
するとpの値によらずxd=0.5となる。
これをプログラムで確認。
calc=\(deg,verbose=FALSE){
theta=deg*pi/180
A=0i
C=1+0i
p=tan(theta)
f=\(xd){
D=xd+1i*p*xd
IC=incircle(A,C,D)
I=IC[1]
B=intsect(D,I,A,1-p*1i)
angle(D,B,A)-angle(D,B,C)
}
f=Vectorize(f)
xd=uniroot(f,c(1e-12,1),tol=1e-16)$root
if(verbose){
D=xd+1i*p*xd
IC=incircle(A,C,D)
I=IC[1]
B=intsect(D,I,A,1-p*1i)
print(c(AB=abs(A-B),BC=abs(B-C),CD=abs(C-D),DA=abs(D-A)))
}
xd
}
calc=Vectorize(calc)
∠DACを1°から89°までで実行
calc(1:89)
> calc(1:89)
[1] 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5
[24] 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5
[47] 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5
[70] 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5
>>127
1≦k≦p-1 かつ (k,p)=1 である k が φ(p) 個あったとする。
このとき φ(p)個の k･n はいずれも pと互いに素で、また
どの2つも (pを法として) 合同ではない。
k (pと互いに素) に対して、k'･n≡k となる k' (pと互いに素) が1個ずつある。
それらをすべて掛けると
n^φ(n) Π k' ≡ Πk (mod p)
n^φ(n) ≡ 1 (mod p)
https://mathlandscape,com/fermat-little/ 訂正
n^φ(p) Π k' ≡ Πk (mod p)
n^φ(p) ≡ 1 (mod p)
φ( ) は オイラの totient函数
↑
pが素数であることは使いませんでした。
本質的なことではないので…
↑
整数問題
(1) 3^n = k^3 + 1 を満たす正の整数組(k,n)を全て求めよ。
(2) 3^n = k^2－40 を満たす正の整数組(k,n)を全て求めよ。
千葉大学医学部の過去問らしい。
https://imgur,com/a/Z1D69MG >>127 二項定理の拡張
(x1+x2+..+xn)^p = Σ[k1+k2+...+kn=p] (p!/(k1!k2!...kn!)) x1^k1 x2^k2 ...xn^kn
においてpを素数、x1=x2=...=xn=1とすると、p!/(k1!k2!...kn!)はki=pのときを除きpで割り切れるから
n^p ≡ 1^p+1^p+...+1^p ≡ n (mod p)
>>134 (1) (2 2)
(2) (2 7) (4 11)
>101の条件は過剰だったようだな。
対角線で３つの内角が二等分されていれば十分だった。
△ABCのABの中点をL、BCの中点をM、CAの中点をNとする。
△ABCの周および内部を動く点Pがあり、T=(PL+PM+PN)/(PA+PB+PC)とする。
Tの取りうる値の範囲を求めよ。
>>133,134
(1)
3^n = k^3 + 1
= (k+1)(kk－k+1)
= (k+1){(k+1)^2－3(k+1) + 3},
∴ k+1 = 3^{p+1}, (p≧0)
(右辺) = 3^{p+1} (3^{p+2}(3^p－1) + 3) … (A)
(A) が3の累乗で表わせるためには
3^p－1 = 0,
p = 0,
k = 2,
n = 2.
(2)
(-1)^n ≡ 3^n = kk－40 ≠ -1 (mod 4)
∴ n = 2m, (偶数)
∴ －40 = 3^n－kk = (3^m +k)(3^m -k),
3^m ≦ 40－k < 40 より
m = 1, 2, 3,
n = 2. 4. 6,
k = 7, 11, なし. >>135 罵倒 ＞ 助言 （Phimose草の不等式)
東大入試にでるかもしれんｗ
朝飯前の練習問題
n,k,mを100以下の正整数とする
3^n=k^2-mが複数の解を持つようなmの値を述べよ。
応用問題
n,k,mを100以下の正整数とする
3^n=k^3+mが複数の解を持つようなmの値を述べよ
>>141 東大入試予想問題ｗ
以下を和訳せよ。
It is as if Mr. Phimose loves to use the expression of 'kusa' that fondles his foreskin too much which has made his hands stink.
>>141 phimoseも罵倒もアンタの自己紹介なんでしょ？
>>145 草 ＝ foreskinいじりでくさくなった Phimoseくんの常套句。
相変わらず日本語通じてないね尿瓶ジジイ
アンタみたいなチンパン笑わずにはいられないからw
◆当選確率1/10000000 の宝くじ
10枚を1日で購入するのと
1枚づつ10日に分けて購入するのとで
当選確率に差はありますか？
WolframのIntegerDigits関数をRに実装。
10進数 n をb進法表示の数列に変換する
IntegerDigits=\(n,b) n%/%b^(floor(log(n)/log(b)):0) %% b
IntegerDigits(2024,10)
IntegerDigits(2024,2)
IntegerDigits(2025,8)
>>150 関連問題
n!を2進法で表したときの桁数をm[n]とする。
例
5! = 120 = 1 1 1 1 0 0 0(2進法)なので7桁。
即ち m[5]=7
数列 m[1],m[2],...,m[2023],m[2024]
で先頭の数字として最も多く現れる数字は1～9のいずれかを述べよ。
現れる頻度順に1～9の数字を並べよ。
あらゆるリソースを用いてよい。
>>151 スレチかもしれないけど最小限の環境(小型マイコン)で計算してみた
言語はC
$ cat fact.c
#include<stdio.h>
#include<math.h>
int main() {
long N,n,i[10]={0,0,0,0,0,0,0,0,0,0};
double lfac=0,mn;
scanf("%ld",&N);
for(n=1;n<=N;n++){
lfac+=log(n);
for(mn=floor(lfac/log(2)+1+1e-12);mn>=10;mn/=10);
i[(int)mn]++;
}
for(n=1;n<=9;n++)printf("%ld %ld\n",i[n],n);
return 0;
}
$ gcc -O2 -Wall fact.c -lm -o fact
$ echo 2024 | ./fact | sort -g
115 9
117 8
119 7
120 6
124 5
128 4
131 3
140 2
1030 1
さらに1から1000000までの結果
$ echo 1000000 | ./fact | sort -g
59655 9
60133 8
60685 7
61325 6
62090 5
63037 4
64260 3
65987 2
502828 1
>>152 >>152 力作のレスありがとうございます。
Wolfram言語での結果
m=Table[Length[IntegerDigits[n!,2]],{n,2024}]
b=Table[First[IntegerDigits[a]],{a,m}]
Table[Count[b,c],{c,1,9}]
In[3]:= Table[Count[b,c],{c,1,9}]
Out[3]= {1030, 140, 131, 128, 124, 120, 119, 117, 115}
と合致しました。
Benfordの法則が成り立っています。
順位はみてのとおり
In[9]:= d=Table[Count[b,c],{c,1,9}]
Out[9]= {1030, 140, 131, 128, 124, 120, 119, 117, 115}
In[10]:= d
Out[10]= {1030, 140, 131, 128, 124, 120, 119, 117, 115}
In[11]:= Ordering[d]
Out[11]= {9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1}
飲酒や喫煙は高校生には禁じられているが、プログラムは禁じられていない。
LGBTが叫ばれる昨今では不純異性交際は微妙ｗ
朝飯前の問題
素数を小さい順に100万個集める。
先頭の数字として現れる数字を頻度の多い順に並べなさい。
あらゆるリソースを用いてよい。
Rでの算出
> tbl
1 2 3 4 5 6 7 8 9
415441 77025 75290 74114 72951 72257 71564 71038 70320
> order(tbl,decreasing = TRUE)
[1] 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Wolframscriptでの算出
In[30]:= a=Table[Count[Table[First[IntegerDigits[n]], {n, Prime[Range[10^6]]}],m],{m,9}]
Out[30]= {415441, 77025, 75290, 74114, 72951, 72257, 71564, 71038, 70320}
In[31]:= Reverse[Table[Range[9][[i]],{i,Ordering[a]}]]
Out[31]= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Benfordの法則が成立している。
東大合格者による他言語での検証を希望します。
>>151-153 明らかにスレチだし明らかに自演だよね
>>157 自演だったら俺がC言語の達人ということになるのだが、
受験板ではないので問題の意味が高校数学の範囲で理解できれば許容される。
小学校の算数や図形の問題を方程式や三角関数を使って解いても構わない。
小学生の算数に方程式や三角関数でドヤられても恥ずかしい大人なだけじゃん
散々スルーされても分からないんだね、だから自演なんかやるんだ
しかも自分のこと達人とか言って笑
>>147 草 多用する理由は図星。
Q.E.D.
152は151,153とは別人で、単に大きな階乗の計算は対数とれば簡単に計算できることを示したかっただけです。
スレを荒らしてしまったようですまない。
宝くじまとめ買いの問題
宝くじ1万枚が1枚2500円で売り出され、うち20枚が当たりである。
当たれば1枚につき賞金100万円がもらえる。
一度に10枚買って当たりが1枚でもあればそこで終了。
1枚も当たらなければ残りの9990枚から10枚を買う。
それでも当たらなければ残りの9980枚から10枚を買う。
以下同様に、少なくとも1枚の当たりがでるまで買い続ける。
(1) 獲得賞金－購入総額の期待値と中央値を求めよ。
(2) 1枚いくらであれば期待値が０になるか求めよ。
あらゆるリソースを用いてよい。
例 Rで乱数発生させてのシミュレーション
N=10000
n=20
m=10
sim=\(){
i=1
L=rep(0:1,c(N-n,n))
j=sum(sample(L,m))
while(j==0){
L=rep(0:1,c(N-n-m*i,n))
j=sum(sample(L,m))
i=i+1
}
c(i,j)
}
k=1e5
ij=t(replicate(k,sim()))
hist(ij[,1])
summary(ij[,1])
table(ij[,2])
f=\(x,price=2500,award=1e6){
-price*x[1]*m+award*x[2]
}
profit=apply(ij,1,f)
summary(profit)
(colSums(ij)[2]*10^6)/(m*colSums(ij)[1])
>>161
日本語が不自由な実例。
＞一回使っただけで多様
多様
多様
多様
多様
アホなん？w >>162 Cだと浮動小数点数をつかうから
floor(lfac/log(2)+1+1e-12)とかの工夫が必要になってきますよね。
Rも同様なので大きな数字を扱うときは丸め誤差がでてきます。
>>153 >>Benfordの法則が成り立っています。
どこが成立？
単に、順位が逆転していないことを以て成立と言っている？
法則によれば、先頭の数字が 1 になるのは 3 割程度
2024までの結果では5割を越えている
10^6までの結果でも4割を越え、これは誤差の範囲ではない。
原因は、明白だが、理解している？
指摘されなければ、見向きもしなかっただろう。ただ高級な道具を与えられ遊んでいるだけ。
このようなことをやっている人物に、新発見や進歩など望むべくもない。
>>163 期待値は負で中央値は正という、ギャンブルとしては良心的な価格設定。
CやPythonの使える東大合格者による検証を期待します。
>>165 wwwwwwwwwwwwwwwwwwww
>>166 順位が1,2,3..8,9になれば広義のBenfordの法則が成立。
1が最頻でも超広義のBenfordの法則が成立。ｐ
>>166 罵倒 ＞ 助言 の Phimose草の不等式も成立！
解説
It is as if Mr. Phimose loves to use the expression of 'kusa' that fondles his foreskin too much which has made his hands stink.
毎回必ずアホな事書いて恥かかないと死ぬ病気wwwwwwwwwwwwwwwwwww
>>164 沸点低すぎない？
どんだけ余裕ないんだよw
そんなに嬉しいなら沢山草つけてやろうか？ww
>>163 仕様書をみながらWolfram言語に移植してみた。推敲歓迎。
sim := (
n0=10000;
n=n0;
n20=20;
n10=10;
count=1;
atari=Total[Boole[Table[RandomInteger[n,n10][[i]] <= n20,{i,n10}]]];
While[atari==0,n-=20;count++;atari=Total[Boole[Table[RandomInteger[n,n10][[i]] <= n20,{i,n10}]]]];
li={count,atari}
)
k=10^5
re=Table[sim,k]
p=2500
a=1000000
balance=Table[-p*n10*re[[i,1]]+re[[i,2]]*a,{i,k}]
N[Mean[balance]]
N[Median[balance]]
>>174 自己推敲
sim := (
n0=10000;
n=n0;
n20=20;
n10=10;
count=1;
atari=Total[Boole[Table[RandomInteger[n,n10][[i]] <= n20,{i,n10}]]];
While[atari==0,n-=n10;count++;atari=Total[Boole[Table[RandomInteger[n,n10][[i]] <= n20,{i,n10}]]]];
li={count,atari}
)
k=10^5
re=Table[sim,k]
p=2500
a=1000000
balance=Table[-p*n10*re[[i,1]]+re[[i,2]]*a,{i,k}]
N[Mean[balance]]
N[Median[balance]]
>>163 追加の課題
一度の1枚ずつ当たりがでるまで購入した場合の損益の期待値と中央値を求めて
10枚の場合と比較せよ。
>148の設定だと面白くないので改題して計算してみた。
Wolfram言語の課題として役立った。
>>173 つまり、
It is as if Mr. Phimose loves to use the expression of 'kusa' that fondles his foreskin too much which has made his hands stink.
でいいってことだな。
>>173 他スレでの英単語スペルミスをコピペして世論でいるのが
Phimoseくん。
>>142
kk－3^n = m,
が複数の解をもつようなmの例
m (n,k)
13 (1,4) (5,16)
22 (1,5) (3,7) (7,47)
40 (2,7) (4,11)
46 (1,7) (5,17)
55 (2,8) (6,28)
112 (2,11) (6,29)
117 (3,12) (7,48)
118 (1,11) (5,19)
198 (5,21) (9,141)
280 (2,17) (4,19)
286 (1,17) (5,23)
360 (4,21) (6,33)
414 (3,21) (7,51)
481 (1,22) (9,142)
495 (4,24) (8,84)
567 (2,24) (6,36)
598 (3,25) (5,29)
622 (1,25) (7,53)
781 (1,28) (5,32)
838 (1,29) (7,55)
952 (2,31) (6,41) ◆1ユニット1000万枚の宝くじ
1ユニットに1等1億円が1枚入っている
売れ残りのくじは
当選者unknownとして廃棄される
販売期間は30日間
全国1000箇所のチャンスセンターで
販売される
全てのくじが売れた場合
1等1億円の当選確率は1/10000000
(一枚だけ購入した時)
一回で10枚購入するのと
1日1枚づつ10日かけて購入するのとで
1等の当選確率に差は生じるか？
草生やされる度に発狂w
そもそもnurseの複数形もろくに綴れないチンパンがなんでチンパン英語なんか使ってるの？
尿瓶ジジイID:T4z17oY+お得意のチンパン英語とくとご覧あれ
724 卵の名無しさん (ﾜｯﾁｮｲ 3358-8TD4 [14.13.16.0])[sage] 2022/10/05(水) 13:30:27.35 ID:rczEbvNg0
I told my colleage nureses that I have such allergy to beauties that I feel itchy everywhere when I work with them.
Ahahahahahah
>colleage
>nureses
920 卵の名無しさん (JP 0H52-BsRZ [217.138.212.122 [上級国民]])[sage] 2023/03/24(金) 15:55:12.52 ID:sCq5Ou+HH
先々週のseptick shockの患者、懇意なナースに聞いたらもう食事が始まっていますよと教えてくれた。
夜遅くまで麻酔をかけたのが報われた感じで気分が( ・∀・)ｲｲ!!
報酬も良かったし
>septick shock
nurseの複数形すらろくに綴れないアホキモチンパンジジイwそれ以降また間違ってアホを晒さないために毎回ナースと日本語しか使わなくなったとさ
実に残念なオツムであった
>>142 100以下なら31組
1 : 2 1 1
2 : 3 1 6
3 : 4 1 13
4 : 4 2 7
5 : 5 1 22
6 : 5 2 16
7 : 6 1 33
8 : 6 2 27
9 : 6 3 9
10 : 7 1 46
11 : 7 2 40
12 : 7 3 22
13 : 8 1 61
14 : 8 2 55
15 : 8 3 37
16 : 9 1 78
17 : 9 2 72
18 : 9 3 54
19 : 10 1 97
20 : 10 2 91
21 : 10 3 73
22 : 10 4 19
23 : 11 3 94
24 : 11 4 40
25 : 12 4 63
26 : 13 4 88
27 : 16 5 13
28 : 17 5 46
29 : 18 5 81
30 : 28 6 55
31 : 47 7 22
>>182 他スレでのスペルミスをいつまでも掲げて悦にいっている
Phimoseくんが東大合格者だと思うひとはその旨を投稿してください。
俺はシリツだと思うが。
It is as if Mr. Phimose loves to use the expression of 'kusa' that fondles his foreskin too much which has made his hands stink.
>>185 ぐうの音も出ないのね、こんな初歩的なミスしてw
しかも複数w
>>187 アホ晒されて発狂してるのに自画自賛とかどこまで頭の中お花畑なの？やっぱり統失なの？w
y=x^2 とか y=e^x みたいな、下に凸な曲線(Cとします)があるとしますね。
またCより上側に定点Aがあるとします。
Aを通る直線を、直線がCと2点で交わる範囲で動かすとき、
直線とCで囲まれる領域の面積が最小になるのは
Aが2つの交点の中点になるとき
と言えそうな気がするんですが、一般にこれは正しいですか。
>>190
点Aの座標を(a,b)とし、Aを通る傾きmの直線を
y = m(x-a) + b とする。
曲線Cを y = f(x) とし、f(x) は連続とする。
交点 P, Q のx座標 p(m), q(m) は mに関して微分可能とする。
直線とCで囲まれる領域の面積は
S(m) = ∫[p(m), q(m)] {m(x-a)+b－f(x)} dx,
これをmで微分すれば
dS/dm = －(dp/dm) {m(p-a)+b－f(p)} + (dq/dm){m(q-a)+b－f(q)}
+ ∫[p,q] (x-a) dx
= ∫[p,q] (x-a) dx (*)
= [ (1/2)(x-a)^2 ](p→q)
= (1/2){(q-a)^2 － (p-a)^2}
= (1/2)(q-p)(q+p-2a),
ここで 点P, Qが交点であること：
m(p-a)+b－f(p) = 0, m(q-a)+b－f(q) = 0,
を使った。
さて、あるmで S(m)が極値をとるならば dS/dm = 0,
交点は2つあるので p<q,
∴ q + p -2a = 0,
∴ A は PQ の中点になる。 (終)
(参考書)
高木貞治：「解析概論」改訂第三版, 岩波書店 (1961)
p.164 下 ～ p.165 上
"α" がここに云うmにあたる。 d/dθ∫[θ-π/2,θ+π/2]r^2/2dθ
=r(θ+π/2)-r(θ-π/2)
>>142 は、
一つのmに対して複数の解 (n,k) が存在するもの、
m = 13, 22, 40, 46, 55 が該当しますね。
Wolframscriptで遊ぶ朝飯前の問題
３の剰余系で
1^2≡1
2^2≡1
の1種類である。
４の剰余系で1,2,3を累乗すると２もしくは３種類である.
５の剰余系で1,2,3,4を累乗していくと２乗で２種類、３乗で４種類、４乗で１種類になる。
ｎの剰余系で1,2,,..,n-1を累乗していくとき１種類になるような２以上の整数ｎの集合をNとする。
Nを小さい順に並べれて行くとき２０２４番目の要素を求めよ。
Wolframscriptで遊ぶ朝飯前の問題
３の剰余系で
1^2≡1
2^2≡1
の1種類である。
４の剰余系で1,2,3を累乗すると２もしくは３種類である.
５の剰余系で1,2,3,4を累乗していくと２乗で２種類、３乗で４種類、４乗で１種類になる。
ｎの剰余系で1,2,,..,n-1を累乗していくとき１種類になるような２以上の整数ｎの集合をNとする。
Nを小さい順に並べて行くとき２０２４番目の要素を求めよ。
自分で考えた文章を第三者目線で見れない人間の作りそうな文章の典型例やなww
罵倒 ＞ 助言 の Phimose草の不等式が次々と実証されてますなぁ
解説
It is as if Mr. Phimose loves to use the expression of 'kusa' that fondles his foreskin too much which has made his hands stink.
内視鏡バイト終了。
今日はEGD初めての人が3人もいたが上手に検査を受けてくれた。
いつも通り検査中に所見を説明。
ナースが画面上で指差してくれるので捗って(・∀・)ｲｲ!!。
タクシーチケットも1冊支給される有料職場。
>>192 曲線Cが下に凸という条件は不要ということですか。
はい。
>>193 さんのように 点Aを極とする極座標を使い、
C： r = g(θ)
とした方が簡単なようですが…
いずれの場合も 1価性は必要でしょうね。
「三角形ABCにおいてAC＞BCであり、AB＝３，BC＝２，cos∠BAC＝7/9とする」
で、この後にACやsin∠BACやABCの外接円の半径（中心をOとする）を求めるなどの設問があって
「外接円Oの、点Bを含まない弧AC上に点DをAD＝DCになるように取る。線分ODとACの交点をEとすると」
で、以降の解答が
ODとACが垂直に交わるというのが前提で進んでいるんですが、これが垂直になる理由の説明がなく、詰まっています
垂直になる理由を説明いただけると嬉しいです
Dは弧ACのど真ん中の点だからほぼ明らかなのでは？ (図を、ACが手前にくるように置いてみたら)
Dは弧ACのど真ん中の点だから角AOD＝角COD。
だからOD(OE)は二等辺三角形OACの頂角Oの二等分線。
ありがとうございます
確かに、三角形OADと三角形OCDは、頂点がO（円の中心）と底辺（それぞれADとCD）が共通で
それぞれの三辺の長さも等しいので合同。したがって、角AOE＝COEとなり、角の二等分線になりますね
しかも半径でAO＝COなので、EはACの中点で、頂点Oから底辺ACの中点に線を下ろすことになるので垂線になる
やはり垂直になりますね
>>202 有料職場って何？
やっぱり数学どころか日本語不自由なチンパン丸出しだねw
>>196 他にも多数の購入者がいる
販売初日よりも10日後、
10日後よりも最終日のほうが
明らかにくじは少なくなる
この状況下で
一枚づつ日を変えて10枚購入するか
一回で10枚購入するのかで
一等の当選確率に変化は起こるか？
というお題
DがJordan凸領域だけでは
(1) r(θ+π/2)+r(θ-π/2)が最小
(2) r(θ+π/2) = r(θ-π/2)
は(1)⇒(2)しか言えない
Dが凸関数f(x)によってy≧f(x)で与えられるなら逆も言える
理系の板はワッチョイとか付けられないのか？
変なのが居着いてるじゃねえか
またまた、
罵倒 ＞ 助言 の Phimose草の不等式が実証されてますなぁ
解説
It is as if Mr. Phimose loves to use the expression of 'kusa' that fondles his foreskin too much which has made his hands stink.
質問です。
(x + y + 2)(x - y + 2)
の展開で与式を
= (x + A)(x - A)
= x^2 - A^2
= x^2 - (y + 2)^2
= x^2 - (y^2 + 4y + 4)
= x^2 - y^2 - 4y - 4
と計算しましたが間違ってました。
正解は
= (x + 2 + y)(x + 2 - y)
= (A + y)(A - y)
= A^2 - y^2
= (x + 2)^2 - y^2
= x^2 + 4x + 4 - y^2
でした。
疑問点は
① y + 2 を A と置いてはだめなのか？その理由はなんなのか？
② -(y + 2)^2 は{ -1 * (y + 2)^2 }={ -y^2 + 4y + 4 }と計算すべきだったか？
という点です。
よろしくお願いいたします。
① y+2 = B とおくと
(与式) = (x+B)(x+4－B)
= xx + 4x + B(4-B)
= xx + 4x + (2+y)(2-y)
= xx + 4x + 4－yy,
でもダメぢゃないけど、ちょっと面倒だ。
(和の半分)^2－ (差の半分)^2
を使うのがラク。
② －(y+2)^2 = －(yy+4y+4)
はこれでよい。
>>215 レスありがとうございます。
①
(x+B)(x+4-B)
は
(x+B)(x-B)ではないのですか？
+4はなぜ加えて良いのでしょうか？
②
わかりました。
>>210 の(1)は
(1)∫[θ-π/2,θ+π/2](1/2)r(θ)^2dθ が最小
>>198 Wolfram言語で算出を試みる
f1[n_] := Table[Mod[a^b,n],{b,n-1},{a,n-1}]
f2[n_] := Table[Union[li],{li,f1[n]}]
f3[n_] := Table[Length[f2[n][[m]]],{m,n-1}]
f4[n_] := Min[f3[n]]
n=2; m=1; While[m<2024,n++; m=m+Boole[f4[n]==1]]
n
数が大きすぎて計算が終わらないｗ
想定解は17599
1種類になることなら確認できる。
fn[n_] := Table[Mod[a^(n-1),n],{a,n-1}] // Union
fn[17599]
In[20]:= fn[17599]
Out[20]= {1}
東大合格者による検証を希望します。
Rを馬鹿にしていたPhimoseくんってWolframのスクリプトくらい書けないの？
>>209 当選しているかどうかは販売中にはわからないなら
何枚購入したかにだけによって決まると思うが。
>>219 y+2がAなんだろ
つまりyはA-2だろ
ちゃんと代入しろよ
日本語不自由なのにwolframとか豚に真珠もいいところ
文章がおかしくて意味が通じない
頭悪いやつがプログラム始めるとこうなる
文法的におかしな文章書いても計算機はとりあえず動いてくれるのであまり考えないで文章作るクセがつく
ある程度の知能があれば防げるが閾値以下の知能だと永遠に転がり落ちる
登録すればテキストベースのWolframScriptが使えるので
ダウンロードしてインストール
Rに移植して遊ぶ
正整数 n を b 進法の数列にして出力するWolframの関数 IntegerDigits
Wolfram Language 14.0.0 Engine for Microsoft Windows (64-bit)
Copyright 1988-2023 Wolfram Research, Inc.
In[1]:= IntegerDigits[2024,2]
Out[1]= {1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0}
IntegerDigitsをRにone-linerとして移植
IntegerDigits=\(n,b) (n%/% (b^(floor(log(n)/log(b)):0))) %% b
> IntegerDigits(2024,2)
[1] 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0
再度、RからWolframにone-linerとして再移植
In[2]:= integerdigits[n_,b_] := Table[Mod[e,b],{e, Table[Quotient[n,d],{d,Table[b^c,{c,Reverse[Range[0,Floor[Log[n]/Log[b]]]]}]}] }]
In[3]:= integerdigits[2024,2]
Out[3]= {1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0}
これは正しいか？
nを2以上の整数とし、mを1,2,3,...,n-2,n-1とする.
どのmについても m^(n-1) ≡ 1 (mod n)となるのは nが素数のときに限る。
Wolframで体感
Wolfram Language 14.0.0 Engine for Microsoft Windows (64-bit)
Copyright 1988-2023 Wolfram Research, Inc.
In[1]:= f[n_] := Table[Mod[m^(n-1),n],{m,1,n-1}]
In[2]:= f[17]
Out[2]= {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}
In[3]:= f[19]
Out[3]= {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}
In[4]:= f[23]
Out[4]= {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}
>>223 罵倒 ＞ 助言 の Phimose草の不等式が次々と実証されてますなぁ
解説
It is as if Mr. Phimose loves to use the expression of 'kusa' that fondles his foreskin too much which has made his hands stink.
>>224 ＞文法的におかしな文章書いても計算機はとりあえず動いてくれる
普通はエラーメッセージがでるぞ。
括弧対応を自動修正してくれたりするのもあるけど。
Log[Sin[Pi-1]を入力するとWolframalpha.comは括弧を補完して計算値を出力してくれるが、
Wolfram Language 14.0.0 Engine for Microsoft Windows (64-bit)だと何も出力されない。
人間なら誤字脱字は脳内変換や脳内補完できるはずなんだが、
Phimoseくんにはそれができないらしい。
>>224 >220のコードが読めれば>198の意味がわかるはず。
Wolframで計算が終了するように>220の改変を希望。
>>228 自分のこと医者だとかそれも脳内変換してるの？w
>>226
nが約数d (1<d<n) をもてば
d^{n-1} と n は公約数 d>1 をもつから
d^{n-1} ≠ 1 (mod n) >>230 医師が羨ましいなら再受験すればいいのに
同期は２～３割は再受験組だった。
ほとんど東大卒か京大卒。
阪大は学士入学制度があったから阪大卒はいなかったな。
歯学部には東大数学科卒もいた。
>>231 草が多用される理由。
It is as if Mr. Phimose loves to use the expression of 'kusa' that fondles his foreskin too much which has made his hands stink.
>>220 UnionもLengthもMinもいらない。
O(n^2)のメモリもいらない。
count=0;
Do[
For[flag=1;k=1,flag==1 && k<n,k++,If[Mod[k^(n-1),n]==1,Null,flag=0]];
If[flag==1,count++;Print[{count,n,Prime[count]}],Null];
,{n,2,18000}]
k=1,2,3,...,n-1に対し、Mod[k^(n-1),n]==1 となるような n を見つけたら、
countを1アップして、countとnとPrime[count]を表示する。
これでもかなり遅いが、正常には動く。
前
>>121 >>73 求める辺の長さをaと内角をαとすると、
これらが最大となるとき三角形は、
底辺の長さがaで頂角がαの二等辺三角形で、
内接円の中心と外接円の中心の距離をdとすると、
二等辺三角形の高さは9+4-d
ピタゴラスの定理より底辺の半分は、
a/2=√｛9^2-(4-d)^2｝
α/2の角を共通に持つ直角三角形の相似により、
4：a/2=√｛(9-d)^2-4^2｝：9-d+4
4：√｛81-(16-8d+d^2)｝=√｛81-18d+d^2-16｝：13-d
4(13-d)=√｛(65+8d-d^2)(65-18d+d^2)｝
16(169-26d+d^2)=65^2-650d-d^2(144-26d+d^2)
d^4-26d^3+160d^2+234d-1521=0
(d-3)(d^3-23d^2+91d+507)=0
d=3
a/2=√(81-1)=√80=4√5
∴a=8√5
二等辺三角形の高さは9+4-3=10だから、
余弦定理より、
cosα=[2｛10^2+(4√5)^2｝-(8√5)^2]/[2｛10^2+(4√5)^2｝]
=(360-320)/360
=1/9
=0.1111111111……
cos83.6206297922°=0.1111111111
∴α=83.6°
>>233 尿瓶ジジイって自分の都合の悪いことは全部スルーなんだね
なんでほとんどスルーされてるか分からないのか？
>>235 それだと1種類になるのは(n-1)乗であるという前提での計算ではないですか？
tは0<t<π/2かつcost=1/3を満たす実数とする。
（1）cos2t,cos3tを求めよ。
（2）tは無理数であることを示せ。
>>237 罵倒 ＞ 助言 の Phimose草の不等式の実証乙。
東大合格者が>236で俺の出題に解答をレスしていますなぁ。
何を持って東大合格者()なんだよ？
卒業証書でも出したのか？それともアンタと同じ自称か？
>>239 R言語での小数解
> t=uniroot(\(x) cos(x)-1/3,c(1,pi/2),tol = 1e-16)$root
> cos(2*t)
[1] -0.7777778
> cos(3*t)
[1] -0.8518519
>>241 東大合格していたらそんな疑問は投稿しないよなぁ。
医師国試の合格率とかに言及するのは裏口容疑者のシリツ医。
Phimoseくんはシリツなんだろ？
>>238 >226を前提にしたら
In[1]:= Prime[2024]
Out[1]= 17599
で終了。
>>243 結局ダンマリでただの自称かよw
アンタが日本語不自由でまともに相手にされてないアホだってことはとっくにバレてるのにいつまで発狂してんだよ？
医者板でも数学板の高校生にもまともに相手にされるどころかバカにされ続けるのがそんなに楽しいかID:RRexi8To尿瓶ジジイw
高校数学の質問スレ Part433
http://2chb.net/r/math/1709503076/654-655 答えられないID:RRexi8Toは東大非合格者
>>238 その前提で組んだけど、(n-1)乗固定ではないのなら、ちょっとだけ改変
count=0;
Do[
For[flag=1;k=1,flag==1 && k<n,k++,If[Mod[k^m,n]==1,Null,flag=0]];
If[flag==1,count++;Print[{count,n,m,Prime[count]}],Null];
,{n,2,18000},{m,1,n-1}]
与えられた、mとnに対し、k=1,2,3,...,n-1と変化しても、常に、Mod[k^m,n]==1なら、出力
正の数列がｎ無限大のときに0に収束するとき、
逆数の数列は無限大になることは明らかとしていいでしょうか。
前
>>236 >>239 (1)cos2t=2cos^2t-1
=2(1/3)^2-1
=2/9-1
=-7/9
cos3t=4cos^3t-3cost
=4(1/3)^3-3(1/3)
=4/27-1
=-23/27
尿瓶ジジイビビってリアタイでタコ殴りにされそうな夜は書き込めないみたいだね、実に哀れ
リアタイだと余計日本語不自由なのバレバレだからねw
↓早朝から発狂しまくる尿瓶ジジイww
↑ まだ朝ぢゃねぇけど……
>>249
任意の正の実数kに対し、1/k も正の実数である。
a(n) → 0 (n→∞)
だから、ある自然数N(k) があって
n>N ⇒ |a(n)| < 1/k ⇔ |1/a(n)| > k,
∴ {1/a(n)} は有界ではなく、発散する。
明らかとしていいか？ いいかな >>239 (2)
0<t<π/2
だから t は radianで計るんですね。(度ではなく)
それだと求める数は素数であるという前提になっていませんか？
以下は正しいか？
p,qを2以上の整数とする。
2^q≡3^q≡...≡(p-3)^q≡(p-2)^q≡(p-1)^q (mod p)
が成立するのはpが素数でq=p-1のときに限る。
また、その逆は正しいか?
例
2^12≡3^12≡...≡(13-3)^12≡(13-2)^12≡12^12 (mod 13)
pの剰余系で2,3,...,p-2,p-1を累乗したときに現れる剰余の種類の最低値を求める。
例: 7の剰余系で1,2,3,4,5,6の6乗はすべて1 (mod 7)
In[1]:= Table[Mod[n^6,7],{n,1,6}]
Out[1]= {1, 1, 1, 1, 1, 1}
100までで計算すると
f1[n_] := Table[Mod[a^b,n],{b,1,n-1},{a,2,n-1}]
f2[n_] := Table[Union[li],{li,f1[n]}]
f3[n_] := Table[Length[f2[n][[m]]],{m,n-1}]
f4[n_] := Min[f3[n]]
Table[f4[n],{n,2,100}]
Out[10]= {0, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 2, 3, 1, 4, 1, 3, 3, 2, 1, 4, 1, 4, 3, 3, 1, 4, 2, 3, 2, 4, 1, 7, 1, 2,
> 3, 3, 3, 4, 1, 3, 3, 4, 1, 7, 1, 4, 4, 3, 1, 4, 2, 4, 3, 4, 1, 4, 3, 4, 3, 3, 1, 8, 1, 3, 4, 2, 3,
> 7, 1, 4, 3, 7, 1, 4, 1, 3, 4, 4, 3, 7, 1, 4, 2, 3, 1, 8, 3, 3, 3, 4, 1, 8, 3, 4, 3, 3, 3, 4, 1, 4,
> 4, 4}
Wolframだと0^0は未定義 Indeterminate expression 0 encountered なので0種類が帰ってきた。
１種類になるのはすべて素数のときになっている。
こんなしょうもない話ひとつ日本語で正しく定式化する事ができない
a,bを正整数とする。
ab-a-b=2024のときの(a-b)^2はいくつになるか、可能な数値を列挙せよ。
ab-a-b=12345のときの(a-b)^2を列挙せよ。
>>260 Wolframの練習にsolverを作成
solve[n_] := (
d=Divisors[n+1];
a1=d[[1;;Ceiling[Length[d]/2]]];
b1=(n+1)/a1;
(a1-b1)^2)
solve[2024]
solve[12345]
solve[123456789]
In[52]:= solve[123456789]
Out[52]= {15241578750190521, 3810394502362449, 609662912970609, 152415543057561, 11133119776689,
> 2783094764121, 445087788201, 111086890209}
Rだとoverflowしてしまうが計算してくれて( ・∀・)ｲｲ!!
まあ、検証できないがｗ
Rで書くと
> solve=\(n){
+ d=numbers::divisors(n+1)
+ ab=cbind(d,rev(d))[1:ceiling(length(d)/2),]+1 ; ab
+ apply(ab,1,\(x) diff(x)^2)
+ }
> solve(2024)
[1] 4096576 451584 160000 46656 14400 3136 2304 0
> solve(12345)
[1] 152399025 38081241
> solve(123456789)
[1] 15241578750190520 3810394502362449 609662912970609 152415543057561
[5] 11133119776689 2783094764121 445087788201 111086890209
答はひとつの問題の方が面白いかもしれん
練習問題
a,bを正整数とする。
ab-a-b=1234567890のときの(a-b)^2はいくつになるか
昼食後の問題
a,b,cはa>=b>=cの正整数とする。
a^6+b^6+c^6=666 を満たすa,b,cの組み合わせは何個あるか？
個数を答えてもよいし、総列挙してもよい。
△ABCの垂心をHとし、AHと直線BCの交点をL、BHと直線CAの交点をM、CHと直線ABの交点をNとする。
mid(x,y,z)でx,y,zのうち2番目に大きくない値を表すとき、
f(△ABC)=mid(BL,CM,AN)/mid(AB,BC,CA)
とする。
△ABCの形状がいろいろ変わるとき、f(△ABC)の取りうる値の範囲を求めよ。
定積分
∫[1,e] {log(x)}^3 dx
を求めよ。ここで対数の底はeである。
a,b,c,d,e,fを正整数とするとき
a^6+b^6+c^6+d^6+e^6+f^6 = 666666 をみたすa,b,c,d,e,fは存在しないことを示せ。
あらゆるリソースを用いてよい。
2番目に大きくない値
wwwwwwwwwwwwwwww
>>266 R言語で作図の練習
鈍角三角形のときは垂心が三角形の外にくる。
10万回の結果
> summary(y)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
0.0005697 0.4075665 0.6779041 0.6423093 0.9227072 1.0000000
予想は 0超過1未満
東大合格者による検証を希望します。
y=sin(x)-sin(x-120°)
これって簡単にするとy=sin(x-30°)みたいになるよね？
位相がズレるだけでsin波のまま
導出はそうやるの？
おいおい、和積まで辿り着けたなら当てはめるだけだろ
あとは、二項めを加法定理でばらした後に合成をするという手もある
>>263
(a-1)(b-1) = 1234567891 = p,
{a,b} = {0,1-p}, {2,1+p},
(a-b)^2 = (p-1)^2,
>>264
なし
>>267
x=e^t とおくと
(与式) = ∫[0,1] (t^3)(e^t)dt dt
= [ (t^3 －3tt + 6t －6)e^t ](0→1)
= 6－2e,
>>268
6乗数 1, 64, 729, 4096, 15625, 46656, 117649, 262144, 531441, …
>>272-273
和積公式で
y = sin(x) + sin(x+60°)
= 2 cos(30°) sin(x+30°)
= (√3) sin(x+30°) フェルマーの小定理から、
x≠0 (mod 7) のとき x^6 ≡ 1 (mod 7)
x≡0 (mod 7) のとき x^6 ≡ 0 (mod 7)
∴ (a～f の内 7で割り切れないものの数)
≡ mod(a^6 + b^6 + …… + f^6, 7)
本題では
= mod(666666, 7)
= 0.
∴ a～f はすべて7で割り切れる。
一方、a^6 + b^6 + …… + f^6 = 666666 は 7^6 で割り切れない
∴ a～f の中に 7で割り切れないものがある。(矛盾)
>>275-277 レスありがとうございます。
次々とほぼ想定した正解がレスされて感服しました。
座標を固定して描画させようとすると三角形がはみだしたり、小さすぎてみえないので
三角形に合わせて座標の表示幅を調整するように改変。
シミュレーションして遊ぶ問題
三角形ABCがありBCの長さは１である。
内角∠Bを0<B<πの範囲で無作為に選ぶ
内角∠Cは三角形ABCが成り立つ範囲で無作為に選ぶ
三角形ABCの面積の期待値があればそれを求めよ。
朝飯前の問題
整数の６乗の剰余系での値が０または１になるような剰余系を求めよ。
例：
２の剰余系なら自明
７の剰余系なら
フェルマーの小定理から、>277の通り
x≠0 (mod 7) のとき x^6 ≡ 1 (mod 7)
x≡0 (mod 7) のとき x^6 ≡ 0 (mod 7)
>266の
>△ABCの形状がいろいろ変わるとき、f(△ABC)の取りうる値の範囲を求めよ。
に触発されて作図して遊ぶ。
問題
△ABCがあり、B,Cの座標はB(0,0),C(1,0)とする。△ABCの面積が1であるようにAが動く。
例：
（１）△ABCの重心の図形を求めよ
（２）△ABCの外心の図形を求めよ
（３）△ABCの内心の図形を求めよ
（４）△ABCの垂心の図形を求めよ
あらゆるリソースを使ってよい。
BC = 1,
面積S = BC*(Aから辺BC(の延長線)に下した垂線の長さ)/2
= BC*(Aの高さ)/2,
題意より S=1 で Aの高さは2, A(a, ±2)
(1) 重心G ((1+a)/3, ±2/3)
軌跡： 2直線 y=-2/3, y=2/3,
(2) 外心O (1/2, ±(aa-a+4)/4),
軌跡： 半直線 x=1/2, |y|≧15/16 (R≧17/16)
(3) 内心I ({1+√[1 + 2(aa-a+4) －2√{4+(aa-a+4)^2}]}/2, r)
cot(2B) + cot(2C) = const.
内心I ( [1 + √(4+aa) + √(4+(1-a)^2)]/2, r)
r = 1 － [√(4+aa)－a] [√(4+(1-a)^2)－(1-a)]/4,
かなぁ
小学校級の質問ですまん、小数第一位を四捨五入ってどこをすんのやっけ
例えば、29.28を小数第一位を四捨五入しなさい、って言われたら29になるん？それとも29.3？
小学校級の質問ですまん、小数第一位を四捨五入ってどこをすんのやっけ
例えば、29.28を小数第一位を四捨五入しなさい、って言われたら29になるん？それとも29.3？
(4) 垂心H (a, a(1-a)/2)
軌跡： 放物線 y = x(1-x)/2,
>>284 cot(B) + cot(C) = 1/2.
>>287 小学生以下なのは問題文の日本語すら読めない誰かさんだよw
レスありがとうございます。
R言語で作図
G（黒）が重心、O（赤）が外心、I（緑）が内心、H（青）が垂心の位置。
>>287 小数第一位を四捨五入なら29
四捨五入して小数第一位まで表示なら29.3
Wolfram言語に慣れるための練習問題
https://www.jstor.org/stable/3611701 の素数の一般項をWolframに1行で実装せよ。
想定解
prime[n_] := 1 + Total[Table[Floor[(n/( Total[Table[Floor[Cos[(Factorial[k-1]+1)Pi/k]^2],{k,1,m}]]))^(1/n)],{m,1,2^n}]]
Wolfram言語に詳しい方の検証を希望。
>>285 乱数発生させて一つの辺長１で面積１の三角形の内心と内接円を描画。
>>288 y=±x(1-x)/2を追加描画
四捨五入のネタ
Wolframで四捨五入類似の関数Roundの仕様 （R言語も同様の出力をする）
Wolfram Language 14.0.0 Engine for Microsoft Windows (64-bit)
Copyright 1988-2023 Wolfram Research, Inc.
In[1]:= Round[2.5]
Out[1]= 2
In[2]:= Round[3.5]
Out[2]= 4
問題 小数表示された実数の小数第n位を四捨五入する関数aroundを作成せよ。
動作例
In[5]:= around[2.5]
Out[5]= 3.
In[6]:= around[3.5]
Out[6]= 4.
In[7]:= around[3.141592,5]
Out[7]= 3.1416
Table[1+Sum[Floor[n^(1/n) (Sum[Floor[(Cos[Pi(((x-1)!+1)/x)])^2],{x,1,m}])^(-1/n)],{m,1,2^n}],{n,1,10}]
Table[1+Sum[Floor[n^(1/n) (Sum[If[IntegerQ[((x-1)!+1)/x],1,0],{x,1,m}])^(-1/n)],{m,1,2^n}],{n,1,10}]
Table[1+Sum[Floor[n^(1/n) (1+Sum[If[PrimeQ[x],1,0],{x,2,m}])^(-1/n)],{m,1,2^n}],{n,1,10}]
実質これらは同じもの。下に行くほど速い。
ただし、第一の式は、素数を10個表示するだけで、10秒近くかかる
うちの学校の先生が
「ベクトルとベクトルの交わりとか交点とか、そういうものは定められない」
と言ってたんですが、参考書とかみると交点をベクトルで表せという問題が
普通にあります。
ウチの先生は信用できないんでしょうか。
>>291 補足
Wolfram Language 14.0.0 Engine for Microsoft Windows (64-bit)
Copyright 1988-2023 Wolfram Research, Inc.
In[1]:= (* 小数表示された実数の小数第 n 位を四捨五入する *)
In[2]:= around[m_,n_:1] := (
a=m*10^(n-1);
x=a-Floor[a];
y=Floor[a] + Boole[x >= 0.5];
N[y/10^(n-1)]
)
In[3]:= around[0.12345,3]
Out[3]= 0.12
In[4]:= (* 四捨五入して小数第 n 位まで表示する *)
In[5]:= around[m_,n_:1] := (
a=m*10^n;
x=a-Floor[a];
y=Floor[a] + Boole[x >= 0.5];
N[y/10^n]
)
In[6]:= around[0.12345,3]
Out[6]= 0.123
In[7]:=
>>298 レスありがとうございます。
Total[Table .... は Sumで簡略化できることがわかりました。
他の人のコードを読むのは勉強になります。
>>299 ベクトルを方向をしめす量という意味に使えば、
「ベクトルとベクトルの交わりとか交点とか、そういうものは定められない」
は正しい。
例： 法線ベクトルの交点
始点と終点をきめたベクトルなら交点は定められる。
位置ベクトルは点を表す。
点と点の交点とか考えないだろ。
「0<θ＜π。sin3θ＝sin2θが成立するとする」と問題にあり、
答ページを見たら「sinθ＝sin4θも成立する」とありました
サラリと書いていますが、なぜイコールになると分かるのか解説を読んでも理解できません
何故でしょうか？
>>305 あ、そうか
分かりました。単位円に36度と144度を書けば自明ですね
あと、この問題の続きで
4cos二乗θ＝2cosθ
と解説にありますが、このイコールはどうやって出てきたのでしょうか？
>>282, 288
オイラー線
y = m{x－(1+a)/3} + 2/3,
ここに m = {3a(1-a)/4－1}/(a－1/2),
x(H) = a, x(G) = (1+a)/3, x(O) = 1/2,
>>285 I ( [1 + √(4+aa) － √(4+(1-a)^2)]/2, r)
>>306
0 = 2 cos(5θ/2) cos(θ/2)
= cos(3θ) + cos(2θ) …… 積和公式
= (4c^3－3c) + (2cc－1) …… 3倍角、倍角公式
= (c+1)(4cc－2c－1),
θ≠(奇数)π, cosθ +1 ≠ 0,
∴ 4(cosθ)^2 = 2cosθ + 1, π - 2θ = ３θ
π - 2θ +2π = ３θ
aを実数の定数とする。
(cosx)^2+a*(cosx)+√(1-a^2)=0
を満たす実数xが少なくとも1つ存在するとき、aが満たすべき条件を求めよ。
Wolfram言語に慣れるための問題
m,nを正整数として sin(mθ)=solve(mθ),0<θ<πの解を算出する関数を作成せよ。
例
In[2]:= solve[m_,n_] := (a=(m+n+1)/2;
Table[(2b-1)Pi/(m+n),{b,1,Floor[a]-Boole[IntegerQ[a]]}])
In[3]:= solve[2,3]
Pi 3 Pi
Out[3]= {--, ----}
5 5
>>313 60年以上生きて日本語も不自由なんだから今更無理だろ
関数の漸近線の定義を教えて下さい
例えば y = (1/x) sin(1/x) においてｙ軸は漸近線ですか？
求めるものは
f(t) = tt + at + √(1-aa) = 0, -1≦t≦1
を満たす実数tが少なくとも1つ存在する条件である。
(根号内)≧0 より -1≦a≦1,
f(-1) = 1－a + √(1-aa) ≧ 0,
f(1) = 1 + a + √(1-aa) ≧ 0,
軸のx座標 =－a/2 は [-1/2,1/2] に含まれる。
よって求める条件は
f(-a/2) = -aa/4 + √(1-aa) ≦ 0,
aa ≧ 4√(1-aa),
a^4 ≧ 16(1－aa),
4φ^{-3} = 4(√5－2) ≦ aa ≦ 1,
2φ^{-3/2} ≦ |a| ≦ 1,
ここに
φ^{-1} = (√5－1)/2 = 0.618034
二次関数の頂点を求める過程で、平方完成の後、係数を元に戻すのを忘れてしまう
作図する方が楽しい問題
△ABCは、Bは原点(0,0),Cはx軸上にあり、面積１を保ちながら変化する。
外心、内心、垂心の図形を描写せよ。
答は、文章でも式でも図示でもよい。
>>313 練習問題
sin(20θ)=sin(24θ), 0<θ<πを満たすθを求めよ。
x→∞のとき
x+sin(x) は正の無限大に発散
x*sin(x) は新道
であってますか。
>>298 三つともデタラメな式
wolframフォームに入力しても何も出ない
b=cos(x)
b^2 + ab + sqrt(1-a^2) = 0
b1=(-a + sqrt(a^2-4*sqrt(1-a^2)))/2
b2=(-a - sqrt(a^2-4*sqrt(1-a^2)))/2
a^2-4*sqrt(1-a^2) >=0
-1 <= a <= -2*sqrt( sqrt(5) -2 ) | 2*sqrt( sqrt(5) -2) <= a <=1
then
-1<= b1,b2 <= 1
>>321 Wolfram Language 14.0.0 Engine for Microsoft Windows (64-bit)をインストール（要登録）していれば以下のように表示される。
Wolfram Language 14.0.0 Engine for Microsoft Windows (64-bit)
Copyright 1988-2023 Wolfram Research, Inc.
In[1]:= Table[1+Sum[Floor[n^(1/n) (Sum[Floor[(Cos[Pi(((x-1)!+1)/x)])^2],{x,1,m}])^(-1/n)],{m,1,2^n}],{n,1,10}]
Out[1]= {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29}
拙作の関数でも
In[2]:= prime[n_] := 1 + Total[Table[Floor[(n/( Total[Table[Floor[Cos[(Factorial[k-1]+1)Pi/k]^2],{k,1,m}]]))^(1/n)],{m,1,2^n}]]
In[3]:= prime[11]
Out[3]= 31
と11番目の素数が表示される。
素数なら、superPCM関数の方が
はるかに強力だよ
◆101から463の範囲に
素数は65個
101, 103, 107, 109, 113,
127, 131, 137, 139, 149,
151, 157, 163, 167, 173,
179, 181, 191, 193, 197,
199, 211, 223, 227, 229,
233, 239, 241, 251, 257,
263, 269, 271, 277, 281,
283, 293, 307, 311, 313,
317, 331, 337, 347, 349,
353, 359, 367, 373, 379,
383, 389, 397, 401, 409,
419, 421, 431, 433, 439,
443, 449, 457, 461, 463,
◆superPCM関数
Table[Product[(2n-1)^(C(0,3-a))
C(0,C(0,((n-a)^(2a-2)mod(2a-1)))),{a,3,30}],{n,50,232}]
{0, 101, 103, 0, 107, 109, 0, 113,
0, 0, 0, 0, 0, 0, 127, 0, 131, 0, 0,
137, 139, 0, 0, 0, 0, 149, 151, 0,
0, 157, 0, 0, 163, 0, 167, 0, 0, 173,
0, 0, 179, 181, 0, 0, 0, 0, 191, 193,
0, 197, 199, 0, 0, 0, 0, 0, 211, 0, 0,
0, 0, 0, 223, 0, 227, 229, 0, 233, 0,
0, 239, 241, 0, 0, 0, 0, 251, 0, 0, 257,
0, 0, 263, 0, 0, 269, 271, 0, 0, 277,
0, 281, 283, 0, 0, 0, 0, 293, 0, 0, 0,
0, 0, 0, 307, 0, 311, 313, 0, 317, 0,
0, 0, 0, 0, 0, 331, 0, 0, 337, 0, 0, 0,
0, 347, 349, 0, 353, 0, 0, 359, 0, 0,
0, 367, 0, 0, 373, 0, 0, 379, 0, 383,
0, 0, 389, 0, 0, 0, 397, 0, 401, 0, 0,
0, 409, 0, 0, 0, 0, 419, 421, 0, 0, 0,
0, 431, 433, 0, 0, 439, 0, 443, 0, 0,
449, 0, 0, 0, 457, 0, 461, 463}
◆的中率100％
>>307
オイラー線
y = m{x－(1+a)/3} + 2/3,
ここに m = {3a(1-a)/4－1}/(a－1/2),
H (a, a(1-a)/2)
K ((2a+1)/4, 1/2 + a(1-a)/8)
G ((a+1)/3, 2/3)
O (1/2, 1－a(1-a)/4)
L (1－a, 2－a(1-a))
K：9点円の中心 (HOの中点) HK =KO,
軌跡：放物線 y = x(1-x)/2 + 13/32,
L：de Longchamp点 HO = OL,
軌跡：放物線 y = 2－x(1-x),
HK：KG：GO：OL = 3：1：2：6 >>319 0 = sin(24θ)－sin(20θ) = 2sin(2θ)cos(22θ),
かつ 0<θ<π,
sin(2θ) = 0 から θ=π/2,
cos(22θ) = ０ から θ=π/44, 3π/44, 5π/44, ……, 43π/44,
Mathematicaなら、下のような命令を10秒ほどでやってくれますよ
In[24]:= Table[Prime[n],{n,10^12,10^12+100}]
Out[24]= {29996224275833, 29996224275851, 29996224275883, 29996224275907, 29996224275917, 29996224275937,
> 29996224275973, 29996224276009, 29996224276019, 29996224276021, 29996224276091, 29996224276097,
> 29996224276153, 29996224276231, 29996224276309, 29996224276349, 29996224276409, 29996224276423,
> 29996224276519, 29996224276523, 29996224276549, 29996224276561, 29996224276567, 29996224276591,
> 29996224276633, 29996224276727, 29996224276771, 29996224276861, 29996224276883, 29996224276891,
> 29996224276937, 29996224276939, 29996224276957, 29996224276987, 29996224277027, 29996224277077,
> 29996224277113, 29996224277191, 29996224277209, 29996224277291, 29996224277293, 29996224277317,
> 29996224277329, 29996224277413, 29996224277441, 29996224277557, 29996224277563, 29996224277599,
> 29996224277627, 29996224277651, 29996224277653, 29996224277693, 29996224277699, 29996224277753,
> 29996224277777, 29996224277801, 29996224277807, 29996224277839, 29996224277977, 29996224278001,
> 29996224278029, 29996224278079, 29996224278091, 29996224278107, 29996224278109, 29996224278113,
> 29996224278121, 29996224278131, 29996224278133, 29996224278169, 29996224278179, 29996224278197,
> 29996224278211, 29996224278283, 29996224278409, 29996224278443, 29996224278457, 29996224278539,
> 29996224278551, 29996224278571, 29996224278611, 29996224278653, 29996224278689, 29996224278847,
> 29996224278857, 29996224278949, 29996224278967, 29996224279013, 29996224279019, 29996224279031,
> 29996224279037, 29996224279039, 29996224279081, 29996224279097, 29996224279139, 29996224279157,
> 29996224279249, 29996224279303, 29996224279309, 29996224279367, 29996224279379}
おまけ
In[29]:= PrimePi[29996224275833]
Out[29]= 1000000000000
In[30]:= PrimePi[29996224279379]
Out[30]= 1000000000100
In[31]:= PrimePi[463]-PrimePi[100]
Out[31]= 65
計算したんじゃなくて
データ保管庫にアクセスしただけだよ
>>326 Wolfram Language 14.0.0 Engine for Microsoft Windows (64-bit)
Copyright 1988-2023 Wolfram Research, Inc.
In[1]:= solve[m_,n_] := (a=(m+n+1)/2;
Table[(2b-1)Pi/(m+n),{b,1,Floor[a]-Boole[IntegerQ[a]]}])
In[2]:= solve[20,24]
Pi 3 Pi 5 Pi 7 Pi 9 Pi Pi 13 Pi 15 Pi 17 Pi 19 Pi 21 Pi 23 Pi 25 Pi 27 Pi 29 Pi
Out[2]= {--, ----, ----, ----, ----, --, -----, -----, -----, -----, -----, -----, -----, -----, -----,
44 44 44 44 44 4 44 44 44 44 44 44 44 44 44
31 Pi 3 Pi 35 Pi 37 Pi 39 Pi 41 Pi 43 Pi
> -----, ----, -----, -----, -----, -----, -----}
44 4 44 44 44 44 44
Wolfram言語が話題になっているのに、日本語が通じないとかの罵倒しか書けないクズ人間が東大合格者だと思うひとはその旨をレスしてください。
週末の課題
Wolfram言語でPrimeやPrimeQを使用せずに n 以下の素数を列挙する関数を作れ。
解答例：
R言語での
prime = function(n){
pmax=floor(sqrt(n))
p=(1:pmax)[-outer(2:pmax,2:pmax)][-1]
p1=p[length(p)]+1
f=function(x) all(x%%p!=0)
c(p,(p1:n)[sapply(p1:n,f)])
}
実行すると
> prime(2024)
[1] 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53
[17] 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131
[33] 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223
[49] 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311
...
[289] 1879 1889 1901 1907 1913 1931 1933 1949 1951 1973 1979 1987 1993 1997 1999 2003
[305] 2011 2017
このRのコードを
Wolfram言語に移植して
prime[n_] :=(
pmax=Floor[Sqrt[n]];
compo=Union[Flatten[Outer[Times,Range[2,pmax],Range[2,pmax]]]];
p=Drop[Complement[Range[pmax],compo],1];
p1=p[[-1]]+1;
f[x_] := !AnyTrue[p,Function[y,Divisible[x,y]]];
Join[p,Select[Range[p1,n],f]])
prime[2024]
Wolframが使える方の最適化・高速化を希望します。
1/(1+tanx)の0からπ/4の定積分の求め方教えてください
>>335 この定義に準拠すると
>>335 x(t) = 1/t
y(t) = t*sin(t)
だが
t→∞のとき x(t)^2+y(t)^2→∞を満たさない。
tが2πの倍数のときは x(t)^2+y(t)^2 = (1/t)^2 + 0
前提を満たさないから漸近線は存在しない。
東大合格者による追加説明や訂正を希望します。
>>334 日本語もろくに使えないアホがwolframとか言ってるのが大変滑稽だという指摘なのにいちいち発狂w
>>338
Phimose草の不等式が発動している。
東大合格者の文字列で発作が起こるらしい。
>336
u=tan(x)とおくとdu/dx=1/cos(x)^2
sin(x)^2+ cos(x)^2=1から
tan(x)^2 + 1 = 1/cos(x)^2 = du/dx
即ち、u^2+1=du/dx
∴dx=1/(u^2+1)*du
∫[0,π/4] 1/(1+tan(x)) dx
=∫[0,1] 1/((1+u)(u^2+1)) du
=(1/2)∫[0,1](1-u)/(u^2+1))du + (1/2)∫[0,1](1/(1+u)) du ∵ 1/(1+u)(u^2+1) = ((1-u)/(u^2+1)) + 1/(1+u)))/2
=(1/2)∫[0,1] {1/(u^2+1) - u/(u^2+1) + 1/(1+u)} du
=(1/2) ( atan(1)-atan(0 ) - (1/2)∫[0,1]{(u/(u^2+1) + 1/(1+u)} du ∵ ∫1/(u^2+1)du = atan(u)
= (1/2)(π/4-0) - (1/2)∫{(u/(u^2+1) + 1/(1+u)} du
あとはs=u^2+1とおいて ds/du=2u ∴ du=((1/2u) ds
= π/8 - ∫[1,2] 1/s dx + ∫[0,1] 1/(1+u) du
= π/8 + log(2)/4 東大合格者を否定されて発狂してるのはID:tXPlmRjn尿瓶ジジイだろww
相変わらず日本語通じてないね、チンパン言語？
部分分数分解することは思いつきませんでした。
ありがとうございます。
Wolfram言語はRと同じくリストは１から始まるのでR userには馴染やすい。PythonやCは０から始まる。
Outer関数は引数の順序が変わるが仕様はほぼ同じだったが。
Rでの配列[-i]を実現するにはDropやDeleteではうまくいかず、Complementという関数を見つけて移植できた。
草で終わるという投稿が減ったのもPhimose草の不等式の起源が正しいことを示しているんだろう。
罵倒 ＞ 助言 （Phimose草の不等式）
解説 ： It is as if Mr. Phimose loves to use the expression of 'kusa' that fondles his foreskin too much which has made his hands stink.
>>341 助言されたら、ちゃんとお礼が言える立派な高校生だな。
東大合格しますように。
高校生なんて一言も名乗ってないみたいだけど相変わらず独りよがりの統失全開だねw
>>334 エラトステネスのふるいをそのまま実装すれば次
n=2500;a=Table[i,{i,1,n}];k=1;a[[k]]=0;
While[k*k<=n,k++;While[a[[k]]==0,k++];For[i=2*k,i<=n,i+=k,a[[i]]=0];];
DeleteCases[a,0]
>>344 東大合格者なら自分で解けるから、高校生だろうね。
列挙された素数の数すら数えられないようなのは東大不合格者決定。
>>335 なるほど！
原点からの距離が無限大にならないといけないのですね
>>346 いくつあるかと列挙しろの違いも分からないチンパンが高校生に講釈垂れてんのかよ？
短いだけが取り柄の素数列挙関数（メモリ消費が多大なのはコードが読めればすぐわかるｗ）
primes[n_] := Complement[Range[2,n],Flatten[Outer[Times,Range[2,n],Range[2,n]]]]
n<10000なら実用的な速度で出力された。
>>347 漸近線について深く考えたこともなかったので検索してみて勉強になりました。
昨日の内視鏡検査で小ポリープに遭遇したので
「看護婦さん（高齢者にはこの呼称の方が受けが
>>350 素数の数どころか、プログラムコードの行数も数えられないらしいから、東大合格者でないのは明らかだな。
まあ、尿瓶チンパフェチのPhimoseくんは東大合格通知の書式すら知らなかったらから既知の事項だが。
>>352 60過ぎても問題文の日本語すら読めないチンパンジジイそうムキになるなってw
>>325 の補足
九点円（フォイエルバッハ円）は以下の9個の点を通る。
・3辺の中点
・3頂点から対辺に下ろした垂線の足
・垂心Hと3頂点の中点
ド・ロンシャン点Lは、外心O に関して 垂心H と対称な点。
>>336
1/(1+tan x) = (cos x)/(cos x + sin x)
= {1 + (－sin x + cos x)/(cos x + sin x)}/2
= {1 + (cos x + sin x) ' /(cos x + sin x)/2,
より
∫ 1/(1+tan x) dx = {x + log|cos x + sin x|}/2,
x - π/4 = y とおけば 分母は (√2)cos y ゆえ、
積分すべきは (1/2)(tan y) と定数になる。 今日の積分
∫[0,π/4] √(1+tanx) dx を求めよ。
Rで数値積分
> integrate(\(x) sqrt(1+tan(x)),0,pi/4,rel.tol = 1e-12)$value
[1] 0.9384489
夕食後の問題 (漸近線で話題になった関数 ： (1/x)sin(1/x)の積分
∫[0,∞] (1/x)sin(1/x) dx を求めよ。
>>349 2からnまでのリストを作り、そこから、合成数を取り除くという発想は面白い。だけど雑すぎる。
行列は、「○行△列目で値は□」等という情報を持つが、位置情報は必要無いし、値も一度計算してしまえば、忘れて言い。
つまり、行列を保存しておく必要は全くない。これを取り入れれば次になる。
n=2500;a=Range[2,n];Do[a=DeleteCases[a,i*j],{i,2,n},{j,2,n}];a
合成数の発生範囲を調節すると、次になる。
n=2500;a=Range[2,n];Do[a=DeleteCases[a,i*j],{i,2,Sqrt[n]},{j,i,n/i}];a
この方法では、iは、4,6,8,9,10,12,...など、無駄な値も走る。
この無駄をなくしたのがエラトステネスのふるいに相当。
合成数？
そんなのsuperPCM関数を使えば
簡単に取り除ける
◆superPCM関数
Table[Product[(2n-1)^(C(0,3-a))
C(0,C(0,((n-a)^(2a-2)mod(2a-1)))),{a,3,30}],{n,50,232}]
よくある素数判定の
floorもsqrt(n)も使わずに
素数判定ができる優れもの
数十～数億の乗積計算をかいくぐって
なお、生き残ったものが素数
>>360 レスありがとうございます。
DeleteCasesの使い方など勉強になります。
そのコマンドの存在すら知らなかった(^_^;)
Rでの(1:n)[-outer(2:n,2:n)][-1]の移植でした。
R言語だと配列[-n]でインデックスがｎを除いた配列(nは配列でも行列でも可）を返すのですので便利。
Wolfram言語での同等の機能を検索しながらコーディングしています。
朝飯前の問題
のデータを使って
（１）月～土の最低気温の標準偏差を求めよ。
（２）月曜日の最低気温が14℃のときの日曜日の最低気温を区間推定せよ。
（２）の計算に必要な条件は適宜補ってよい。
この完全なる自演はなんか意味あんの？
単なる誤操作？
n 日間の最低気温の平均値はm℃であった。
n 個のデータのうちa 個の記録が消失した。
前日との温度差のデータはn-1個は保持されている.
温度差のデータ数列をdとする。
失われたa 個のデータの平均値を計算せよ。
Σ記号など必要な表記法を用いてよい。
>>357 ∫[0,π/4] √(1+tanx) dx (置換t=√(1+tanx))
= 2∫[1,√2] t^2/(1+(t^2-1)^2) dt
= 2∫[1,√2] t^2/{(t^2+√(2+2√2)t+√2)(t^2-√(2+2√2)t+√2)} dt
= 1/√(2+2√2)∫[1,√2] {-t/(t^2+√(2+2√2)t+√2) + t/(t^2-√(2+2√2)t+√2)} dt
= 1/√(2+2√2){(1+√2)arctan(1+√2+√(2+2√2)t)-(1/2)log|t^2+√(2+2√2)t+√2| - (1+√2)arctan(1+√2-√(2+2√2)t)+(1/2)log|t^2-√(2+2√2)t+√2|}_(t=1,√2)
= (1+√2)/√(2+2√2){-arctan(1+√2+√(2+2√2))+arctan(1+√2-√(2+2√2))+arctan(1+√2+2√(1+√2))-arctan(1+√2-2√(1+√2))}
= (1/2)√(2+2√2)arctan((2/7)√(2+10√2))
= √(2+2√2)arcsin(-1+√2)
■合成数はどうやって取り除く？
奇数の数列1,3,5,7,9,11,13,15,17,19…
に対して
数列1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0…は
a_n=n^2 mod3
数列1,1,1,1,0,1,1,1,1,0,1,1,1,1,0…は
a_n=n^4 mod5
これを繰り返してゆくと、
Table[(C(0,n-1))+{(2n-1)
{C(0,n-2)+((n+1)^2mod3)}
{C(0,n-3)+((n-3)^4mod5)}
{C(0,n-4)+((n-4)^6mod7)}
{C(0,n-6)+((n-6)^10mod11)}
{C(0,n-7)+((n-7)^12mod13)}
{C(0,n-9)+((n-9)^16mod17)}},{n,1,180}]
{n,1,180}の範囲で精度100％が得られる
+((n-5)^8mod9)と
+((n-8)^14mod15)が抜けているが
これらは1と0以外を出力するので、
0とのコンビネーションを二回かけて
1と0 だけにする
さらに、
modの前後の数値を変数aとnで
置き換えると
Table[Product[(2n-1)^(C(0,3-a))
C(0,C(0,((n-a)^(2a-2)mod(2a-1)))),{a,3,30}],{n,50,232}]
変数aとnを使うと乗積の計算が入るので
概ね100より大きな素数の判定となる
エラトステネスの篩の数式化に
成功したのは我が輩だけ
S[k,n] = Σ[j=k,n] 1/j^2とする。
以下の極限の収束・発散を判定せよ。
lim[n→∞] Σ[k=1,n] S[k,n]
関数の連続性は関数の定義域内でしか考えません
y=1/x は（定義域内で）連続ということになります
物理的には x=0 で不連続なのに何か気持ち悪いです
半径3000の円弧400を斜めに切った場合、斜め500の部分の半径って出るんでしょうか
数字適当ですけどこの手摺の感じです
やはり、具体的な数字があった方がイメージが湧きやすい
30 日間の最低気温の平均値は10℃であった。
30 個のデータのうち5 個の記録が消失した。
前日との温度差のデータは29個は保持されている.
前日との温度差のデータは
-2 1 0 4 1 -3 4 -1 2 4 0 -3 -4 -5 -5 0 5 -4 2 4 -4 3 5 2 -4 2 -1 -3 -5
である
どのデータが失われるかはランダムに決定されるとして失われた5個のデータの平均値を区間推定せよ。
>>360 Do[a=DeleteCases[a,i*j],{i,2,Floor[Sqrt[n]]},{j,i,Floor[n/i]}] ; a
でなくて
Do[a=DeleteCases[a,i*j],{i,Pi,Sqrt[n]},{j,i,n/i}] ; a
でも動作するのは驚き。
整数必須と思っていた。
何事にも先達はあらまほしきことなり
S(k,n) = Σ[j=k,n] s(j),
とおくと
Σ[k=1,n] S(k,n) = Σ[k=1,n] Σ[j=k,n] s(j)
= Σ[j=1,n] (Σ[k=1,j] 1) s(j)
= Σ[j=1,n] j･s(j),
本問では
Σ[k=1,n] S(k,n) = Σ[j=1,n] 1/j
> Σ[j=1,n] ∫[j,j+1] 1/x dx
= ∫[1,n+1] 1/x dx
= log(n+1)
→ ∞ (n→∞)
>>315 応用問題
y = (1/x) sin(1/x) においてx軸は漸近線ですか？
|y| ≦ 1/|x| (x≠0)
任意の ε>0 に対し
|x| > 1/ε ⇒ |y| < ε,
>>380 そいつ日本語通じないから突っ込むだけ無駄だよ
類似問題
S(k,n) = Σ[j=k,n] 1/j^2.0001 とする。
以下の極限の収束・発散を判定せよ。
lim[n→∞] Σ[k=1,n] S(k,n)
>>376 これをWolframで計算させようと思ったのだが、組み合わせを列挙する関数、Rのcombnに相当する方法がみつからなかった。
RLink`を使ってRのcombnを呼び出して使用。
n=30
m=10
a=5
d={-2,1,0,4,1,-3,4,-1,2,4,0,-3,-4,-5,-5,0,5,-4,2,4,-4,3,5,2,-4,2,-1,-3,-5};
da=Accumulate[d];
t1=m - Total[da]/n;
ts=Prepend[da+t1,t1]
Needs["RLink`"]
InstallR[]
combn = REvaluate["combn"];
y=combn[n,a]; (* y=REvaluate["combn(30,5)"] ; *)
nc=Length[y[[1]]]; (* number of comibination *)
re=Mean[Table[ts[[y[[i]][[j]]]],{i,a},{j,nc}]];
Mean[re]
Quantile[re,{0.025,0.5,0.975}]
計算結果
In[25]:= Mean[re]
Out[25]= 10
In[26]:= Quantile[re,{0.025,0.5,0.975}]
32/5 10 68/5
Wolfram言語の使える方の検証希望。
Wolfram言語の使える方のレスがついたら、Phimoseくんは悔しいらしくて自演認定。
そうでもしなければ精神が崩壊するのかねぇ？
医師板まで出かけていって罵倒投稿しているPhimoseくんが東大合格者だと思う人はその旨とその根拠を投稿してください。
さて、Wolframでの結果をシミュレーションで検証したいのだが
30個から重複なしで無作為に選ぶ方法がみあたらない。
Table[RangeInteger[30],5]だと乱数発生に重複を許すことになる。
Rだとsample(30,5,replace=FALSE)でいいんだが。
sample = REvaluate["sample"]だとRでやっているみたいなものだし。
Wolframの使える方の御助言を期待します。
>>380 漸近線は該当の曲線と交わってもいいというのはコンセンサスが得られているのだろうか？
近づくけど交点をもたないのが漸近線だと思っていた。
温度データは
{9,7,8,8,12,13,10,14,13,15,19,19,16,12,7,2,2,7,3,5,9,5,8,13,15,11,13,12,9,4}
かな？ ソートすると
度数分布
------
1, 0,
2, 2,
3, 1,
4, 1,
5, 2,
6, 0,
7, 3,
8, 3,
9, 3,
10, 1,
11, 1,
12, 3,
13, 4,
14, 1,
15, 2,
16, 1,
19, 2,
20, 0,
------
>>386 自己解決
発生させた乱数に重複があれば重複がなくなるまで繰り返すという仕様でsample関数を作成してWolframで100万回シミュレーション
sample[n_:30,a_:5] := (b=Table[RandomInteger[{1,n}],a];While[Length[Union[b]]<a,b=Table[RandomInteger[{1,n}],a]];b)ts={9,7,8,8,12,13,10,14,13,15,19,19,16,12,7,2,2,7,3,5,9,5,8,13,15,11,13,12,9,4}
sim[] := (i=sample[30,5] ; Mean[ts[[i]]])
re=Table[sim[],1*^6];
Mean[re]
Quantile[re,{0.025,0.5,0.975}]
結果
In[22]:= Mean[re]
50002439
Out[22]= --------
5000000
In[23]:= Quantile[re,{0.025,0.5,0.975}]
32 68
Out[23]= {--, 10, --}
5 5
総当たりでの結果とほぼ合致。
>>388 その通りです。
> sort(ts)
[1] 2 2 3 4 5 5 7 7 7 8 8 8 9 9 9 10 11 12 12 12 13 13 13 13 14 15 15 16 19 19
> table(ts)
ts
2 3 4 5 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 19
2 1 1 2 3 3 3 1 1 3 4 1 2 1 2
おまけ（Rのコード）
n=30
m=10
a=5
d=c(-2,1,0,4,1,-3,4,-1,2,4,0,-3,-4,-5,-5,0,5,-4,2,4,-4,3,5,2,-4,2,-1,-3,-5)
# nt1+ sum(cumsum(d)) == nm
t1 = m - sum(cumsum(d))/n
ts=c(t1,t1+cumsum(d)) ; ts
△ABCにおいて、ABの中点をMとする。
BC上を点Pが、CA上を点Qが動くとき、△MPQの周の長さをLとする。
Lの最小値と(AB+BC+CA)/2の大小を比較せよ。
>>391 R言語で三角形の形状を乱数発生させて作図
N=(AB+BC+CA)/2
Lmin:Lの最小値
10万回の測定では Lmin ＜ (AB+BC+CA)/2
> y=t(replicate(1e5,calc()))
> all(apply(y,1,diff)>0)
[1] TRUE
実験による推定なので
東大卒業生による検証を希望します。
>>387 漸近線は限りなく近づく直線だと思う事にする
lim[x→∞] (1/x) sin(1/x)＝0
において関数値は限りなく0に近づいているがこの関数値は∞回0という値を取ってる
これと同じ感覚で良いんでないの？
>>386補足
Table[RangeInteger[30],5]だと０から３０まで３１個から５個になるので
RangeInteger[{1,30},5]とすべき。重複を回避するオプションはないみたい。
>>393 お近づきになってもいいけど一線を越えるのはいかがなものかと。
>351の教訓ｗ
尿瓶ジジイが自演していないと思う人レスしてください
今日の積分
∫[0,1] log(x^2+1) dx
>>398 与式 = ∫[0,1] x' log(x^2+1) dx
= log(2) - ∫[0,1] 2x^2/(x^2+1) dx
= log(2) - ∫[0,1]{2-2/(x^2+1)}dx
= log(2) - 2 + π/2
>>394 自己解決
RandomSample[Range[30],5]がsample(30,5)に相当
>>385 これもstackoverflowのQ&Aをみつけて自己解決
a=5
ts={9,7,8,8,12,13,10,14,13,15,19,19,16,12,7,2,2,7,3,5,9,5,8,13,15,11,13,12,9,4}
y=Subsets[ts,{a}];
re=Table[Mean[y[[i]]],{i,1,Length@y}];
Mean[re]
Quantile[re,{.025,.5,.975}]
>>365 Wolfram言語の練習に
ブートストラップ法で区間推定
ts={14 ,19 ,17 ,13, 20 ,19}
k=1*^5
re=Table[Mean[RandomChoice[ts,Length@ts]],k]
Mean[re]
Quantile[re,{0.025,0.5,0.975}]
ゴミは肝心要の統計がわからんから違う言語を使っても違う言語で同じアホレス繰り返すwwwwwwwwwwa
RandomSampleをRandomChoiceに替えたらbootstrapができた。
indexでRandomIntegerしなくてすんだ。
Rのcombnの相当関数はSelectsだった。
combinationとかenumerationとかで検察したのでみつけられなかった。stackoverflowで検索するのが早道だな。
>386は図星のようだ。
またまた、
罵倒 ＞ 助言 の Phimose草の不等式が実証されてますなぁ
解説
It is as if Mr. Phimose loves to use the expression of 'kusa' that fondles his foreskin too much which has made his hands stink.
>>383
s(j) = 1/j^2.0001
Σ[k=1,n] S(k,n) = Σ[j=1,n] j・s(j)
= Σ[j=1, n] 1/j^1.0001
< 1 + Σ[j=2, n] ∫[j-1/2,j+1/2] 1/x^1.0001 dx
= 1 + ∫[3/2, n+1/2] 1/x^1.0001 dx
= 1 + [－10000/x^0.0001 ](x：3/2→n+1/2)
= 1 + 10000{(2/3)＾0.0001 － 1/(n+1/2)^0.0001}
< 1 + 10000・(2/3)^0.0001
= 10000.59454311188
極限値
10000 + γ = 10000.5772156649… 今日の積分
∫[0,1] {√(1+t^2)}/t dt
（東大理系2013）
>>388 温度の期待値の区間をBootstrap法で推定。
Wolfram言語の練習
In[11]:= ts={9,7,8,8,12,13,10,14,13,15,19,19,16,12,7,2,2,7,3,5,9,5,8,13,15,11,13,12,9,4};
In[12]:= k=1*^5;
In[13]:= re=Table[Mean[RandomChoice[ts,Length@ts]],k];
In[14]:= Mean[re] // N
Out[14]= 10.002
In[15]:= Quantile[re,{0.025,0.975}] // N
Out[15]= {8.4, 11.6333}
>>408 正規分布を使うとIn[1]:= ts={9,7,8,8,12,13,10,14,13,15,19,19,16,12,7,2,2,7,3,5,9,5,8,13,15,11,13,12,9,4};
In[2]:= Quantile[NormalDistribution[Mean[ts], StandardDeviation[ts]], {0.025,0.975}]
Out[2]= {0.952193, 19.0478}
区間の幅が広すぎ
「ブートストストラップなら普通の区間検定より区間狭くなって優秀なんですよ」
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
今日の積分
∫[1,a] {√(1+t^2)}/t dt
ただしa>1
（東大理系2013）
■superPCM関数とは？
奇数の数列2n-1から
合成数を取り除くアルゴリズム
PCM(Product Combination Mod)
によって素数を1
合成数を0に振り分ける(量子化)
これはアナログをデジタルに変換する
PCM(Pulse Coded Modulation)と
同じ発想
奇数の数列2n-1は乗積Πを掛けると
その都度出力されてしまうので、
C(0,3-a)を使って一度だけ出力する
Table[Product[(2n-1)^(C(0,3-a))
C(0,C(0,((n-a)^(2a-2)mod(2a-1)))),{a,3,30}],{n,50,232}]
◆aの範囲{a,3,30}
3は固定値、
終値の30は最大50まで設定できる
これはnの初期値
しかし、aの終値は40や50に設定しても
30の時と精度に差は生じない
>>403 チンパンだから日本語やっぱり通じないみたいw
>>412 √(1+tt) /t = t/√(1+tt) + 1/{t√(1+tt)},
第一項は
∫ t/√(1+tt) dt = √(1+tt),
u = √(1+tt) とおくと
du = {t/√(1+tt)}dt,
より 第二項は
∫ 1/(t√(1+tt)) dt = ∫ (1/tt) {t/√(1+tt)}dt
= ∫ 1/(uu-1) du
= (1/2)∫ {1/(u-1)－1/(u+1)}du
= (1/2)log(u-1) － (1/2)log(u+1)
= (1/2)log(√(1+tt) -1) － (1/2)log(√(1+tt) +1),
(与式) = √(1+tt) + (1/2)log(√(1+tt)-1) － (1/2)log(√(1+tt)+1),
>>412
(与式) = √(1+aa) + (1/2)log(√(1+aa)-1) － (1/2)log(√(1+aa)+1)
－ √2 + log(1+√2), >>410 違うよ。
標本数が少なくて正規分布が仮定できないときの有力な手段。
ゾフルーザの治験でも信頼区間算定に使われていた。
Wolfram言語になれるためのコーディング
(* △ABCの面積 *)
ABC2S[A1_,B1_,C1_] := (1/2)*Abs[ Im[(A1-C1)*Conjugate[(B1-C1)] ] ]
ABC2S[1,2,3+4I]
ABC2S[2,3,4+5I]
(* 三角形の内心と内接円半径 *)
incircle[A1_,B1_,C1_] := (
ABC2S[P_,Q_,R_] := (1/2)*Abs[Im[(P-R)*Conjugate[(Q-R)]]];
a=Abs[B1-C1];b=Abs[C1-A1];c=Abs[A1-B1];
s=(a+b+c)/2;S=ABC2S[A1,B1,C1];
radius=S/s; center=(a*A1+b*B1+c*C1)/(2s);
{center,radius})
incircle[1,2,3+4I] // N
incircle[2,3,4+5I] // N
(* 三角形の外心と外接円半径 *)
outcircle[P_,Q_,R_]:=(
dot[x_,y_]:=Re[x]*Re[y]+Im[x]*Im[y];
p=Abs[Q-R];q=Abs[R-P];r=Abs[P-Q];
cosP=dot[R-P,Q-P]/(q*r);cosQ=dot[P-Q,R-Q]/(r*p);cosR=dot[Q-R,P-R]/(p*q);
center=(p*cosP*P+q*cosQ*Q+r*cosR*R)/(p*cosP+q*cosQ+r*cosR);
radius=Abs[center-P];
{center,radius}
)
outcircle[1,2,3+4I] // N
outcircle[2,3,4+5I] // N
(* 三角形の垂心 *)
orthocenter[P_,Q_,R_] :=(
a1=Re[P] ; a2=Im[P];
b1=Re[Q] ; b2=Im[Q];
c1=Re[R] ; c2=Im[R];
o1=(a1*(a2*(b1-c1)-b1*b2+c1*c2)+(b2-c2)*(a2^2-a2*(b2+c2)+b1*c1+b2*c2))/(a1*(c2-b2)+a2*(b1-c1)-b1*c2+b2*c1);
o2=(a1^2*(b1-c1)+a1*(a2*b2-a2*c2-b1^2+c1^2)+a2*(c1*c2-b1*b2)+(b1-c1)*(b1*c1+b2*c2))/(a1*(b2-c2)+a2*(c1-b1)+b1*c2-b2*c1);
o1+o2*I
)
orthocenter[1,2,3+4I] // N
orthocenter[2,3,4+5I] // N
>>418 へぇ違うのw
じゃあとりあえず上限11.633だっけww
それよりでかい値で帰無仮説立てて棄却してみろやwwww
アホ～wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
>>420 帰無仮説たててｐ値で判定は既に時代遅れ。
>>413 うちの環境では走らないな。
Wolfram Language 14.0.0 Engine for Microsoft Windows (64-bit)
Copyright 1988-2023 Wolfram Research, Inc.
In[1]:= Table[Product[(2n-1)^(C(0,3-a))
C(0,C(0,((n-a)^(2a-2)mod(2a-1)))),{a,3,30}],{n,50,232}]
Syntax::sntxf: "Table[Product[(2n-1)^(C(0" cannot be followed by ",3-a))".
In[1]:=
>>422 へぇーwwwwwwww
仮説検定が時代遅れwwwwwwwwww
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
>>423 計算知能サイトのフォームに
入力するだけ
おれも
Syntax::sntxf: "Product[" cannot be followed by "(2n-1)^(C(0,3-a))C(0,C(0,((n-a)^(2a-2)mod(2a-1)))),{a,3,30}]".
>>426 計算知能サイトの入力フォームに
入力して、右の=ボタン押すだけ
>>424 じゃあ統計検定でも大学入試も時代遅れやなwwww
仮説検定はわからないけど区間検定はできるてかwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
与えられた長方形の一辺の中点を定規だけで作図するには
どうすればいいでしょうか。
瀕死の統計学を救え!: 有意性検定から「仮説が正しい確率」へ
豊田秀樹
朝倉書店, 2020 -
米国統計学会をはじめ科学界で有意性検定の放棄が謳われるいま,統計的結論はいかに語られるべきか?初学者歓迎の軽妙な議論を通じて有意性検定の考え方とp値の問題点を解説,「仮説が正しい確率」に基づく明快な結論の示し方を提示。
>>432
手順
(1) 長方形の対角線2本を曳く。
(2) 対角線の平行線を1本曳く。
(3) できた台形の対角線の交点と長方形の頂点を結ぶ。
この線によって長方形の対辺が1：2に内分される。
長方形が2つの長方形に分割される。
(4) それらの対角線の交点どうしを結べば、
長方形の辺の中点をとおる。 >>434
長方形を ABCD とする。
(1) 対角線AC,BDの交点をX。とする。
長方形の周上の点P と X。を結んだ半直線が再び長方形と交わる点
をP~とする。
(2) AX。上に点E、BX。上に点Fをとる。
EF と 辺BC の交点をG,
E~F と辺ABの交点をH とすると、
GH // AC
(3) GH と対角線BD の交点をIとおく。
CGIX。は台形で、その対角線の交点をXi とおく。
BCを横軸、BAを縦軸とする。
直線BXi の傾きは BDの傾きの 1/3 だから
辺CD の下から1/3の点Jで交わる。
CJ = CD/3.
同様にして、辺ABの下から1/3の点Kをとる。
2つの長方形 AKJD と KBCJ に分割される。
(4) それらの対角線の交点どうしを結んだ直線は AB,CDに平行で、
辺AD,BCの中点を通る。 Phimoseくんは俺の意見に賛同するレスを自演認定する予感。
朝の問題
次の各命題が恒真命題であるか否かを答えよ。
(1) 罵倒厨ならば（自演認定厨ならば罵倒厨である）。
(2) (罵倒厨でないならば 罵倒厨である）ならば 自演認定厨である。
>>408 ブートストラップ標本に中央値を使って計算してみた。
Wolfram Language 14.0.0 Engine for Microsoft Windows (64-bit)
Copyright 1988-2023 Wolfram Research, Inc.
In[1]:= ts={14 ,19 ,17 ,13, 20 ,19}
Out[1]= {14, 19, 17, 13, 20, 19}
In[2]:= k=1*^5;
In[3]:= re=Table[Median[RandomChoice[ts,Length@ts]],k];
In[4]:= Median[re]
Out[4]= 18
In[5]:= Quantile[re,{0.025,0.975}] // N
Out[5]= {13.5, 19.5}
MeanをMedianに変更するだけですんだ。
>>409 t分布でやってみる。
In[1]:= ts={9,7,8,8,12,13,10,14,13,15,19,19,16,12,7,2,2,7,3,5,9,5,8,13,15,11,13,12,9,4};
In[2]:= Quantile[StudentTDistribution[Mean[ts], StandardDeviation[ts],Length@ts-1], {0.025,0.975}]
Out[2]= {0.55858, 19.4414}
WolframにはT分布で９５％CIを計算する関数が用意されていた。
In[3]:= Needs["HypothesisTesting`"]
In[4]:= StudentTCI[Mean[ts], StandardDeviation[ts],Length@ts-1] // N
Out[4]= {0.55858, 19.4414}
自演認定でもしなければ精神が崩壊するのかねぇ？
Phimoseくんが草を多用していたのは下記の理由。
It is as if Mr. Phimose loves to use the expression of 'kusa' that fondles his foreskin too much which has made his hands stink.
www多用の理由を考える問題
Phimoseくんのｗ多用はPhimoseくんのforeskinの形状に由来する を帰無仮説として時代遅れの有意差検定をせよ。
>>433 最近は、医学論文でもリスク比が１を跨ぐかで論じてｐ値には言及していないのが増えたと思う。
>>443 へぇ～じゃあ統計検定でいまでも仮設検定が出題されてるのは時代遅れでも出し続けてるんですねぇwww いけませんねぇwwwwww
区間推定もいけませんねぇ？あれ仮設検定毎回するのを回避するための方法ですからねぇ？最新の？p値を使わない検定？に差し替えていかないといけませんねぇ？
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
>>442 相変わらず気に食わないレスは全員同じに見える病気かよ
アンタはここで発狂してないと精神崩壊するんだろ？
>>435 ＞E~F と辺ABの交点をH とすると
直線EFと辺AB（線分）の交点がないのですが？
今日の積分
∫[1,4] √{1+√(1+x)} dx
>>446 E~ は 点X。に関してEと対称な点でした。ｽﾏﾝ
作図方法は
EF, BC → G
EF, AD → L
GX。, AD → G~
LX。, BC → L~
G~L~, CX。→ E~
E~F, AB → H
>>447
1 + √(1+x) = u,
とおくと
x = (u-1)^2 － 1,
dx = 2(u-1)du,
より
∫ √{1+√(1+x)} dx
= ∫ √u・2(u-1)du
= (4/5)u^{5/2} － (4/3)u^{3/2}
= (4/15)(3u－5)u^{3/2},
積分の範囲： 1+√2 ≦ u < 1+√5,
(与式) = (4/15){(13+√5)√(1+√5)－(4+√2)√(1+√2)}
= 5.0655498446 >>448 定規だけでというルールが理解できていないのかもしれませんが、
対称な点というのは定規だけで描けるのでしょうか？
作図してみたら
＞辺CD の下から1/3の点Jで交わる。
は成立しましたが、
＞直線BXi の傾きは BDの傾きの 1/3
はダウトです。
>>450 E~（図ではE_で表示）は求められるものとして続きの手順に従って
作図しました。
長い詰将棋のような力作に感服しました。
一辺の長さが1の正方形の周上に3頂点A,B,Cを持つ三角形ABCを考える。
△ABCの面積をS、∠A,∠B,∠Cのうち最大のものをθ[rad]とする。
A,B,Cを動かすとき、T=Sθが最大となるようなA,B,Cの位置を求めよ。
>>450
GX。,CI → Xi
としました。
GI // CX。
から 三角相等で
△GIXi ≡ △X。CXi
∴ BXi は GIの中点、CX。の中点を通ります。
∴ BXi の傾きは BDの傾きの 1/3 だから
辺CD の下から1/3の点Jで交わる。 (この2つは同値ですね) >>453 の補足
CX。の中点をMとすれば
(BMの傾き) = (CD/4)/(3BC/4) = (1/3)(CD/BC) = (1/3)(BDの傾き)
>>450 長方形の周上あるいは対角線上の点ならば簡単ですね。その他は、、、
本問は、対角線の平行線が描ければ、あとは何とかなりますって (?)
>>453 の補足
△GIXi ∽ △X。CXi
なので…
もう少し補足が必要である。。。
f(p,q) = |12√17 - p√q| とする。
f(p,q)≠0の条件下で正整数p,qを動かすとき、f(p,q)を最小にするp,qをすべて求めよ。
>>454 既知の直線上で定規で対称点が確定できる（たとえば長さを計るのがゆるされるとか）なら、
中点も確定できるのではないかなぁ、と思った。
作図をアニメーションにしてみた。
>>453 すみません、誤解していました。
角度が1/3ではなくて、傾きが1/3でした。
>>452 R言語のお告げ（Nelder-Mead法）によれば、
直角二等辺三角形になるときが最大（厳密には極大値だが）。
>>450 直線は (周との交点を利用すれば) 反転できるので、
その点を通る直線を2本曳けば良さげ
>>457 中点は 定規だけでは難しい鴨
二次方程式 x^2-sx+t=0が、0以上1以下の範囲に二つの解(重解含む)をもつための条件は、
・半物式 s^2-4t≧0
・軸 0≦s/2≦1
・f(0)=t≧0, f(1)=1-s+t≧0
を合わせたもの、でいいですか。
>>456 ppq = 12*12*17 + 1 = 2449 = 31*79,
∴ (p, q) = (1, 2449)
>>458 いいね✌
P と P_ は 無くてもいいかな。
E~ の作図
>>448 はあった方がいいよね。
∫[0,∞]{1/(1+e^x) - 1/(1+e^(2x))}/x dx を求めよ。
F(a) = ∫[0,∞]{1/(1+e^x) - 1/(1+e^(ax))}/x dx
F'(a) =∫[0,∞]e^(ax)/(1+e^(ax))^2 dx = 1/(2a)
F(0) = 0
F(a) = log(a)/2
nを正の整数とする。
（１）sin(2nx)/sin(x) = 2Σ[k=1,n] cos((2k-1)x) を示せ。
（２）∫[0,π/2] (sin(2nx)/sin(x))^2 dx = nπ を示せ。
（３）πn - π/2 < ∫[0,π/2] (sin(2nx)/x)^2 dx < πn を示せ。
（４）∫[0,∞] (sin(x)/x)^2 dx を求めよ。
f(x) := indicator of [-1/2,1/2]
F(f) = ∫[-∞,∞]f(x)exp(2πixt)dx
= 1/(2πit)(exp(πit)-exp(-πit))
= sin(πt)/(πt)
∫[-∞,∞] (sin(πt)/(πt))^2dt = ∫[-∞,∞] f(x)^2dx = 1
∫[-∞,∞] (sin(u)/(u))^2du = π
>>466
〔参考書〕
高木貞治「解析概論」改訂第三版、岩波書店 (1961)
第4章、§48．定理42．ｐ.166～167
>>467
F(1) = 0, (← 揚足取 御免)
>>468
(1) 和積公式より
sin(2kx) － sin(2(k-1)x) = 2sin(x)･cos((2k-1)x),
k = 1,2,…,n でたす。
(2) 積和公式より
4∫[0,π/2] cos((2i-1)x) cos(2j-1)x) dx
= 2∫[0,π/2] {cos(2(i+j-1)x) + cos(2(i-j)x)} dx
= 2∫[0,π/2] cos(2(i-j)x) dx
= δ_(i,j)・π,
i, j = 1,2,…,n でたす。
(3)
1/sin(x)^2－1 = 1/tan(x)^2 < 1/x^2 < 1/sin(x)^2,
を(2)に入れると
∫[0,π/2] (sin(2nx)/x)^2 dx = (n－θ/2)π (0<θ<1)
(4)
∫[0,∞] (sin(y)/y)^2 dy
= lim[n→∞] ∫[0,nπ] (sin(y)/y) dy
= lim[n→∞] (1/2n)∫[0,π/2] (sin(2nx)/x)^2 dx
= lim[n→∞] (π/2n) (n－θ/2) (0<θ<1)
= lim[n→∞] (π/2) (1－θ/2n)
= π/2. 〔参考書〕
高木貞治「解析概論」改訂第三版、岩波書店 (1961)
第4章、§48．[例4] 式(10) p.169 (はなはだ技巧的)
第5章, 練習問題(5)-(4) p.264 (見通しよい)
>>448 後半を読み落としておりました。
＞作図方法は
＞EF, BC → G
EFを結ぶ直線とBCを結ぶ直線の交点をGとするという意味ですね。
>>465 PとP_を外してE_の作図過程までを入れた結果。（流石にKの作図過程は省略）
アニメーション化したらアップします。
直線を引く機能だけの定規のみで長方形の辺の中点が求められることに感銘しました。
朝の課題
複素平面上で点a,bを結ぶ直線と点c,dを結ぶ直線の交点の座標を計算する関数を作れ。
例：R言語でのコード
intsect <- function(a,b,c,d){
a1=Re(a) ; a2=Im(a)
b1=Re(b) ; b2=Im(b)
c1=Re(c) ; c2=Im(c)
d1=Re(d) ; d2=Im(d)
if((a2-b2)*(c1-d1)==(a1-b1)*(c2-d2) | (a-b)*(c-d)==0) return(NULL)
if(a1==b1 & c1!=d1) return( a1+1i*((d2-c2)/(d1-c1)*(a1-c1)+c2) )
if(a1!=b1 & c1==d1) return( c1+1i*((a2-b2)/(a1-b1)*(c1-a1)+a2) )
p=(a2-b2)/(a1-b1)
q=(c2-d2)/(c1-d1)
x= ((p*a1 - a2) - (q*c1 - c2))/ (p-q)
y= p*x - (p*a1 - a2)
return( x + 1i*y )
}
>>474 直感的にはそう思うよね。
線分だけなら無理だけど長方形の辺なら中点がだせるから
正三角形（あるいは正多角形）でも可能だろうか？
>>472 アニメ化
E,Fは対角線上の任意の点なので色を変えた。
>>476 E,Fの位置を変えても中点が求まることを体感。
>>473 それをWolframに移植（言語の練習）
intsect[a_,b_,c_,d_] :=(
a1=Re[a] ; a2=Im[a];
b1=Re[b] ; b2=Im[b];
c1=Re[c] ; c2=Im[c];
d1=Re[d] ; d2=Im[d];
If[(a2-b2)(c1-d1)==(a1-b1)(c2-d2) || (a-b)*(c-d)==0, re=Null];
If[a1==b1 && c1!=d1, re=a1+((d2-c2)/(d1-c1)(a1-c1)+c2)I];
If[a1!=b1 && c1==d1, re=c1+((a2-b2)/(a1-b1)(c1-a1)+a2)I];
p=(a2-b2)/(a1-b1);
q=(c2-d2)/(c1-d1);
x= ((p*a1 - a2) - (q*c1 - c2))/ (p-q);
y= p*x - (p*a1 - a2);
re=x+y*I
)
RのifとWolframのIfでの仕様が異なるので不具合が生じた。
if文はRはFALSEならその後は評価しないが、Wolframはその続きも評価する違い。
ifが原因ではない。returnは、「関数から抜けろ／戻れ」という命令。
今日の積分
∫[0,1] {√(1-√x)}/{√(1+x)} dx
>>480 Rの方は動作しているんだが、動かしてから言ってる？
Rのコードはx,y軸に平行な場合もreturn命令で正しい値を返して来るよ。
Wolframだと軸に平行な場合は０除算を含む式まで評価しようとするので
エラーを返してくる。
Rの場合は関数定義内に可読性をよくするために空白行をおけるけど、
Wolfram言語だとそれは許されない。
これに気づいてデバッグするのに時間がかかった。
;
だけなら関数定義内と認識してくれる。
んで、
複素平面上で点a,bを結ぶ直線と点c,dを結ぶ直線の交点の座標を計算する関数を作れ。
の例
intsect[a_,b_,c_,d_] :=(
a1=Re[a] ; a2=Im[a];
b1=Re[b] ; b2=Im[b];
c1=Re[c] ; c2=Im[c];
d1=Re[d] ; d2=Im[d];
;
mxn11=Det[{{a1,a2},{b1,b2}}];
mxn12=a1-b1;
mxn21=Det[{{c1,c2},{d1,d2}}];
mxn22=c1-d1;
mxn=Det[{{mxn11,mxn12},{mxn21,mxn22}}];
mxd=Det[{{a1-b1,a2-b2},{c1-d1,c2-d2}}];
x=mxn/mxd;
;
myn11=mxn11;
myn12=a2-b2;
myn21=nxn21;
myn22=c2-c2;
myn=Det[{{myn11,myn12},{myn12,myn22}}];
myd=mxd;
y=myn/myd;
;
x+y*I
)
intsect[0I,1+0I,0+1I,1+1I]
intsect[0I,2+0I,1+1I,1+2I]
intsect[0I,2I,-1+1I,1+1I]
intsect[0I,2+0I,-1+1I,1+2I]
intsect[0,1+2I,3+4I,5+6I]
の結果はRの出力と合致。
分数や累乗根表示してくれるからWolframだと厳密解がだせていいのだが、
無料のWolframScriptはテキストベースなので作図は慣れたRでやっている。
>>482 逆の言い方をすると、Rがあれで上手くいっているのは、
真になるif文に出会った時、return命令に従って関数を抜けているから。
その際、returnの直後に書かれているものが、関数の値となる。
mathematica方の、re=...はただの代入文。関数から抜ける命令など含まれていない。
流れに従って次の命令が実行される。
あの書き方では、三つのIf文は、必ず処理され、reに何かの値が代入されるかもしれないが、いずれ場合であろうとも、
re=x+y*Iが最終的な値になる。その計算の最中にエラーが生じる。
If文をネストして正しい流れのプログラムにする方法もあるが、次のような方法もある。
re=Which[
(a2-b2)(c1-d1)==(a1-b1)(c2-d2),Null,
(a-b)*(c-d)==0,Null,
a1==b1 && c1!=d1,a1+((d2-c2)/(d1-c1)(a1-c1)+c2),
a1!=b1 && c1==d1,re=c1+((a2-b2)/(a1-b1)(c1-a1)+a2)I,
True,p=(a2-b2)/(a1-b1);q=(c2-d2)/(c1-d1);x= ((p*a1 - a2) - (q*c1 - c2))/ (p-q);y= p*x - (p*a1 - a2);x+y*I
]
>>472 >流石にKの作図過程は省略
これどうやるの？CJ=BK？無理では？
>>488 CX。の中点をMとし、
DM, BC → N
CN = BC/3, NJ // BD,
AC, NJ → P
台形BNPX。の対角線の交点Xp
AB, CXp → K
BK = AB/3,
とか 無理？
難問らしいです
教えて下さい
【問題】
任意の t∈[0，1]，ｘ∈(-∞，∞) に対して
ｙ＝a x^2 + b t^3 x^3 + c t^5 x^4
が最大値をもつ実数 a，b，c の必要十分条件を求めよ
>>492 >任意の t∈[0，1]，ｘ∈(-∞，∞) に対して
>ｙ＝a x^2 + b t^3 x^3 + c t^5 x^4
>が最大値をもつ
tとxの2変数で最大値？？
それ高校範囲なの？
ともあれt=0だとy=ax^2だから
最大値を持たねばならないことからa<0
t>0ならc>0ならNgc<0ならOk
c=0ならb≠0ならNgb=0ならa<0
結局a<0かつ（b=c=0またはc<0）
>>464 12^2*17 - 1 = 2447 素数
p=1, q=2447の方が近似していない？
>>488 BD間にE、AC間にFをとって、同等の操作をすればいいんじゃない？
>>491
GI // CX。より CGIX。は台形です。
対角線の交点をXi とし、 >>435, 453
BXi, CX。 → M
BXi, GI → M'
とおきます。
Bを中心にして 相似三角形を考えると
CM：MX。= GM'：M'I
Xi を中心にして 相似三角形を考えると
MX｡：CM = GM'：M'I
∴ CM：MX。= MX｡：CM
∴ CM = MX。
Mは線分CX。の中点です。 前
>>250 >>452 △ABCが一辺xの正三角形のとき、
S=x^2√3/4
θ=π/3
ピタゴラスの定理より(1-x/√2)^2+1^2=x^2
x^2+2x√2-4=0
x=√6-√2
T=Sθ=πx^2√3/12
=(π√3/12)(8-4√3)
=(2√3-3)π/3
△ABCのうちたとえば頂点Aが正方形の頂点にあるとすると、
B,CはAに対しいちばん遠い頂点から双方の辺上x/√2=√3-1の位置にある。
∴示された。
>>496
f(1,2447) = 12√17－√2447
= 1/(12√17 + √2447)
= 0.01010668328538…
f(1,2449) = √2449－12√17
= 1/(12√17 + √2449)
= 0.01010461922256…
= (最小値) >>498 >GI // CX。
すまんこれというかGH//ACはどうして？
>>488 Kが確定するまでの図
その過程のアニメーション（点の名称は省略）
対角線上にとる点は乱数発生させて選んだ。
>>500 失礼しました。こちらの計算ミスでした。
K確定以後の点の命名は青色で表記した。
BK=AB/3は既出、∴ CJ=DC/3
>>499 三角形の頂点が正方形の３点にあるとき
S=1/2
最大内角θ=π/2
Tθ= π/4 = 0.785398
の方が大きくない？
G_とL_を結ぶ線分が欠落していた（G_,L_を結ぶ線分と対角線との交点がE_）ので追加。
微分で求められるdy/dx＝傾きと言うのは
Xがlim→0の究極に動かない状態での
一瞬の「気配」のようなものですよね？
デルタxが決まらないと2点間の傾きが
決まらないから実効ある数値を取ることは
ないですよね？
>>502 AB, EF' → Q
とおき、対角線の分割比を
AE：EE'：E'C = α：1：α,
BF：FF'：F'D = β：1：β,
とする。
AB = AQ + QH + HB = (α+1+β) QH,
HB = βQH = {β/(α+1+β)} AB,
BC = BG + GL' + L'C = (β+1+α) GL',
BG = βGL' = {β/(β+1+α)} BC,
∴ HB：BG = AB：BC,
∴ HG // AC,
対角線ACの平行線を曳くことがこの問題のカギになります。
平行線l,mのl上にA,B,C, m上にX,ZがA→B→C,Z→Xが同じ向きならXZの内分点Yを
AB:BC = XY:YZ
ととれる
---------------
長方形の重心をOとし一辺上にA,B,Cをこの順に取り対辺上にO対称にA'B'C'をとる
ABの内分点DをAD:DB = A'B':B'C'ととり
B'C'の内分点EをB'E':E'C' = AB:BCととる
このとき
BD = B'E'
三次方程式 x^3-sx^2+tx-u=0が、
0以上1以下の範囲に三つの解(重解含む)をもつための条件は、
どうなりますか教えてください。
discriminant≧0
f(x) = x^3 + sx^2 + tx + uの全ての係数≧0
g(x) = (x+1)^3 - s(x+1)^2 + t(x+1) - uの全ての係数≧0
・極値(停留値を含む)をもつ
f '(x) = 3xx－2sx+t = 0 が2実解をもつ
D_2 = ss－3t ≧ 0,
α = {s－√(ss-3t)}/3,
β = {s+√(ss-3t)}/3,
・3実解（重解を含む）をもつ
D_3 =－f(α)f(β)
= (1/27)^2･{4(ss-3t)^3－(2s^3-9st+27u)^2}
= (1/27){(st)^2 +18stu－4(s^3)u－4t^3－27uu}
≧ 0,
・変曲点のx座標 s/3 が範囲内にある。
0 ≦ s/3 ≦ 1,
・また 切片が
f(0) =－u ≦ 0,
f(1) = 1－s+t－u ≧ 0,
を満たす。
>>486 ご助言と、改訂コードの投稿ありがとうございました。
WolframにはRのswitchに相当するWhichという条件分岐があることを知りました。
ちなみにRのwhichはTRUEになるindexを返す関数。
他の人のコードを読むのは勉強になります。
ありがとうございました。
>>511 ありがとう
NJ // BD
はどうして？
>>484 複素点 a, b, c, dでa,b や c,dが
２直線を形成しない座標であったり、平行なときを場合分けして
a,bを結ぶ直線とc,dを結ぶ直線の交点を返す関数を修正。
intsect[a_,b_,c_,d_] :=(
If[(a-b)(c-d)==0,Return["Not two lines."]];
;
a1=Re[a] ; a2=Im[a];
b1=Re[b] ; b2=Im[b];
c1=Re[c] ; c2=Im[c];
d1=Re[d] ; d2=Im[d];
;
mxn11=Det[{{a1,a2},{b1,b2}}];
mxn12=a1-b1;
mxn21=Det[{{c1,c2},{d1,d2}}];
mxn22=c1-d1;
mxn=Det[{{mxn11,mxn12},{mxn21,mxn22}}];
mxd=Det[{{a1-b1,a2-b2},{c1-d1,c2-d2}}];
;
If[mxd==0,Return["Two lines are pararell."]];
x=mxn/mxd;
;
myn11=mxn11;
myn12=a2-b2;
myn21=nxn21;
myn22=c2-c2;
myn=Det[{{myn11,myn12},{myn12,myn22}}];
myd=mxd;
y=myn/myd;
;
x+y*I
)
intsect[0,0,1,1I]
intsect[0I,1+0I,0+1I,1+1I]
intsect[0I,2+0I,1+1I,1+2I]
intsect[0I,2I,-1+1I,1+1I]
intsect[0,1+2I,3+4I,5+6I]
p,q,r が実ならTFAE
(1) p,q,r ≧ 0
(2) p+q+r,qr+rp+pr,pqr ≧ 0
Suppose (2) ∧ not (1)
WMA p≧q≧r
Then we have
p≧0≧q≧r, p≧-(q+r)
Then
pq + pr ≦ -(q+r)^2
∴ pq + pr + qr ≦ -q^2+qr-p^2 ≦ -(q-r)^2 - qr ≦0
∴ q = r = 0 ∧ p = p+q+r - (q+r) ≧ 0
>>519 メネラウスか
たしかにこれでDJ:JC=2:1となるので
反対側も同様にしてAK:KB=2:1の点を取れるということね
お見事です
この定積分が解けません
よろしくお願いいたします
∫[0,1] {√(1-√x)}/{√(1+x)} dx
Wolfram Alphaでは超幾何関数になった
高校の範囲ではなさそう
平行な場合やA=Bとかだと交点が存在しないからIfを使って場合分けする必要があると思うんだが、Ifなしで可能なのか？
>>520 687：卵の名無しさん (JP 0Hef-If86 [202.253.111.210])：2024/04/25(木) 13:57:43.89 ID:6CMGEqZoH
>>681 お前って日本語理解出来ないよな
考えがまとまらなくて会話出来ない
どう考えても統合失調症だよ
この定積分をよろしくお願いいたします
∫[0,1] {√(1-√x)}/{√(1+√(x))} dx
そもそも
(a-b)(c-d) == 0
は直線が一つである条件になってないし
めちゃくちゃやん
(追加)
・0 < α < β < 1
から
t > Max{2s-3, 0}
>>529
x = (cosθ)^2 とおくと
√{(1-√x)/(1+√x)} = √{(1-cosθ)/(1+cosθ)}
= (1-cosθ)/sinθ,
dx = -２sinθcosθ dθ,
∫ (1-cosθ)・2cosθ dθ
= ∫ {-1+2cosθ-cos(2θ)} dθ
= －θ + sinθ(2－cosθ),
∴ (与式) = [－θ + sinθ(2－cosθ) ](θ：0→π/2)
= 2－π/2
= 0.4292036732 微分はある1点の傾きと習いました
3次関数の傾きは2次関数になるんですか？
何故3次関数を微分すると2次関数が出るんですか？
高校範囲で解ける定積分で面白いものはありませんか？
∫[0,π/4] xtan(x) dx
はどうですか？
>>495 答は
ａ＜０，ｃ＜０またはａ≦０，ｂ＝０，ｃ≦０
>>530 それはエラー処理のルーチン。
二次方程式の解の公式に想定外のa=0を入力したときの処理みたいなもの。
>>534 ∫[0,π] (x sin x)/(1 + (sin x)^2) dx
はどうですか
>>534 この問題はどう？
f(x) = {∫[0,x] e^(-t^2)dt}^2,
g(x) = ∫[0,1] e^(-x^2(1+u^2))/(1+u^2)du
とするとき
(1) f'(x)+g'(x)=0 を示せ。
(2) lim[x→∞] f(x) を求めよ。
◆Wolfram入力フォーム御用達
原始ピタゴラス数x^2+y^2=z^2 の
出力アルゴリズム
[z-y=1]
Table[2n{(n+1)^(C(1,a-2))}+C(0,3mod a),{n,1,50},{a,1,3}]
[z-y=2]
Table[4(n+1)^{(C(1,a-1))+1}+(C(1,a-1))(-1)^a,{n,1,30},{a,0,2}]
[z-y=8]
Table[4(2n+3)+{(2n+1)^(2C(1,a-1))}(C(1,a-1))-8(C(0,a-1)),{n,1,30},{a,0,2}]
>>507 ホントに頭悪いんやな？
(a-b)(c-d) == 0
なら
(a,b,c,d) = (1+i,1+i,2+i,1+2i)
でnot rwo lineやろ
(a,b,c,d) = (1,2,3,4)
はtwo lineじゃないやろ
ここまで書いてもらわんとわからんの
α、βの定義から
BH：HQ：QA = β：1：α,
BG：GL'：L'C = β：1：α,
∴ HG // QL' // AC
QL // HG' // BD
なるほどw
直線ABと直線CDでA=BまたはC=Dの場合に
not two line
と返すのかwww
アホ～
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
>>541 バグ指摘ありがとう。
1直線上にある場合や1点にある場合の場合分けが欠落しているな。
1点と1直線になる場合は Not two lines でいいんじゃないの？
ちなみに
not rwo line は not two lines
に脳内変換してレスしている。
>>541 バグ指摘ありがとう。
1直線上にある場合や1点にある場合の場合分けが欠落しているな。
1点と1直線になる場合は Not two lines でいいんじゃないの？
ちなみに
not rwo line は not two lines
に脳内変換してレスしている。
Phimoseくんなら
twoのスペルもできない、
lineの複数形も書けないと他スレにまで遠征してwwwww付きで荒らしまくる題材にするんだろうな。
a == b || c == d
を平気で
(a-b)*(c-d) == 0
と書くゴミwwwww
ツッコミどころ満載のきっちゃないコードを恥ずかしげもなく晒してご満悦wwwwwwwwwwwwwwwwww
インド建国の父ガンジー
人類の7つの罪
①原則なき政治
②道徳なき商業
③労働なき富
④人格なき学識
⑤人間性なき科学
⑥良心なき快楽
⑦献身なき信仰
>>544 not two line.はalignを意味しない。
>545はalignではないがnot two linesである。
エラーメッセージを修正する方が楽だな
複素点 a, b, c, dでa,b や c,dが
２直線を形成しない座標であったり、平行なときを場合分けして
a,bを結ぶ直線とc,dを結ぶ直線の交点を返す関数を修正。
intsect[a_,b_,c_,d_] :=(
If[(a-b)(c-d)==0,Return["Not two lines."]];
;
a1=Re[a] ; a2=Im[a];
b1=Re[b] ; b2=Im[b];
c1=Re[c] ; c2=Im[c];
d1=Re[d] ; d2=Im[d];
;
mxn11=Det[{{a1,a2},{b1,b2}}];
mxn12=a1-b1;
mxn21=Det[{{c1,c2},{d1,d2}}];
mxn22=c1-d1;
mxn=Det[{{mxn11,mxn12},{mxn21,mxn22}}];
mxd=Det[{{a1-b1,a2-b2},{c1-d1,c2-d2}}];
;
If[mxd==0,Return["align or parallel toとは
X
"]];
x=mxn/mxd;
;
myn11=mxn11;
myn12=a2-b2;
myn21=nxn21;
myn22=c2-c2;
myn=Det[{{myn11,myn12},{myn12,myn22}}];
myd=mxd;
y=myn/myd;
;
x+y*I
)
intsect[0,0,1,1I]
intsect[0I,1+0I,0+1I,1+1I]
intsect[0I,2+0I,1+1I,1+2I]
intsect[0I,2I,-1+1I,1+1I]
intsect[0,1+2I,3+4I,5+6I]
>>548 こういう方法もあるって書かれたものに対してそこまで罵倒する気になれる情熱凄いな
未完成のまま送信されたので再掲
エラーメッセージを修正する方が楽だな
複素点 a, b, c, dでa,b や c,dが
２直線を形成しない座標であったり、平行なときを場合分けして
a,bを結ぶ直線とc,dを結ぶ直線の交点を返す関数
intsect[a_,b_,c_,d_] :=(
If[(a-b)(c-d)==0,Return["Not two lines."]];
;
a1=Re[a] ; a2=Im[a];
b1=Re[b] ; b2=Im[b];
c1=Re[c] ; c2=Im[c];
d1=Re[d] ; d2=Im[d];
;
mxn11=Det[{{a1,a2},{b1,b2}}];
mxn12=a1-b1;
mxn21=Det[{{c1,c2},{d1,d2}}];
mxn22=c1-d1;
mxn=Det[{{mxn11,mxn12},{mxn21,mxn22}}];
mxd=Det[{{a1-b1,a2-b2},{c1-d1,c2-d2}}];
;
If[mxd==0,Return["align or parallel"];
x=mxn/mxd;
;
myn11=mxn11;
myn12=a2-b2;
myn21=nxn21;
myn22=c2-c2;
myn=Det[{{myn11,myn12},{myn12,myn22}}];
myd=mxd;
y=myn/myd;
;
x+y*I
)
intsect[0,0,1,1I]
intsect[0I,1+0I,0+1I,1+1I]
intsect[0I,2+0I,1+1I,1+2I]
intsect[0I,2I,-1+1I,1+1I]
intsect[0,1+2I,3+4I,5+6I]
>>546 アンタの頭バグだらけみたいだね
さっさとお薬飲めば
>>548 あんたがきれいなコードをアップすればいいだけ。
>>546 頭悪いんやなにはダンマリ決め込んでて草
事実だもんな
>>556 頭悪いの定義がなくその命題は正しいとは言えないからだろ
そう、この英文が誤解を生む
ある程度英語に慣れてくると英語のnotは基本直後の語を修飾する事、したがって" not two lines"は"lineが二本ない、被ってる"とまず読んでしまう
こんな表現をする意味がない
"illegal line data"とかならまだしも
ここでいいのか分からないけど
ある家庭に2人の子供がいて、一人は男の子の場合の
もう一人も男の子の確率なんだけど
その男の子が第一子の場合と第二子の場合の確率は半々だから
その片割れが男の子の確率は50%
どこがおかしいのでしょうか?
>>538 これノーヒントで解けるんですか？
一見なんの手がかりもありませんね
今日の積分
∫[0,1] (√x)*ln(1+x) dx
>>552 助言よりも罵倒を生き甲斐にしているのが、Phimoseくんらの集団
愛用の文字はw。
嵌頓したforeskinの形状を象徴している。
>>562 アンタのどこが助言なの？w
ただまともな人間には全く通じないチンパン言語で発狂してるだけじゃん
ヒントより
I = ∫[0,π] x sin(x)/[1 + sin(x)^2] dx
= ∫[0,π] (π-t) sin(t)/[1 + sin(t)^2] dt
相加平均して
I = (π/2)∫[0,π] sin(x)/[1 + sin(x)^2] dx
= (π/2)∫[0,π] sin(x)/[2－cos(x)^2] dx
= (π/2)∫[-1,1] du/(2-uu) (u=cos(x))
= (π/(4√2))∫[-1,1] {1/(√2 +u) + 1/(√2 -u)} du
= (π/(4√2))[ log|(√2 +u)/(√2 -u)| ](u：-1→1)
= (π/√2) log(1+√2)
= 1.9579198…
前
>>499 >>506大きかった。
∴△ABCの頂点が正方形のいずれかにあるとき。
一辺の長さが1の正方形の周上に3頂点A,B,Cを持つ三角形ABCを考える。
△ABCの面積をS、∠A,∠B,∠Cのうち最大のものをθ[rad]とする。
A,B,Cを動かすとき、T=Sθが最大となるようなA,B,Cの位置を求めよ。
>>561
(3/2)∫ (√x)*ln(1+x) dx
= x^{3/2} ln(1+x) －∫ x^{3/2} /(x+1) dx (← 部分積分)
= x^{3/2} ln(1+x) －∫ {√x－1/√x + 1/((x+1)√x)} dx
= x^{3/2} ln(1+x) －(2/3)x^{3/2} + 2√x－2∫1/(x+1)･dx/(2√x)
= x^{3/2} ln(1+x) －(2/3)x^{3/2} + 2√x－2arctan(√x),
∵ x=uu とおくと
∫1/(x+1)・dx/(2√x) = ∫1/(uu+1) du = arctan(u) = arctan(√x)
x：0→1 として
(与式) = (2/3){ln(2) + 4/3－π/2} = 0.30379458… a==b || c==d と (a-b)*(c-d)==0 でどちらが速いか100万回で計測
> f1=\(a,b,c,d) a==b || c==d
> f2=\(a,b,c,d) (a-b)*(c-d)==0
> k=1e6
> system.time(replicate(k,f1(runif(1),runif(1),runif(1),runif(1))))
user system elapsed
0.17 0.00 3.02
> system.time(replicate(k,f2(runif(1),runif(1),runif(1),runif(1))))
user system elapsed
0.16 0.00 2.92
> f1=\(a,b,c,d) a==b || c==d
> f2=\(a,b,c,d) (a-b)*(c-d)==0
> k=1e6
> system.time(replicate(k,f1(runif(1),runif(1),runif(1),runif(1))))
user system elapsed
0.25 0.00 3.02
> system.time(replicate(k,f2(runif(1),runif(1),runif(1),runif(1))))
user system elapsed
0.39 0.00 2.99
抛物線y=x^2+ax+bと放物線x=y^2+cy+dが4つの交点をもつとき
それら4点は同一円周上にあるというのですが
それは本当ですか
ん～多分ほんと
xx+ax－y+b = 0,
yy－x+cy+d = 0,
辺々たすと
xx + yy + (a-1)x + (c-1)y + b + d = 0,
中心((1-a)/2, (1-c)/2)
R^2 = {(1-a)^2 + (1-c)^2}/4 － (b+d),
二次方程式の解の公式で
a=０のとき二次方程式ではない、というのは正しい！
a=0のとき一次方程式であるというは正しくない。
ちなみに not rwo line は not two linesに脳内変換して議論している。
単数複数を曖昧にできるのが日本語の良さでもある。
閑さや岩にしみ入る蝉の声
の蝉は単独か複数か受け取る人による。
応用問題
一辺の長さが1の正５角形の周上に3頂点A,B,Cを持つ三角形ABCを考える。
△ABCの面積をS、∠A,∠B,∠Cのうち最大のものをθ[rad]とする。
A,B,Cを動かすとき、T=Sθが最大となるようなA,B,Cの位置を求めよ
R使いなら知っているかもしれんが、
a b c d が配列のとき
a==b || c==d は エラーを返してくる
(a-b)*(c-d)==0 は配列の要素ごとの結果を配列で返してくる。
演習問題
一辺の長さが1の正６角形の周上に3頂点A,B,Cを持つ三角形ABCを考える。
△ABCの面積をS、∠A,∠B,∠Cのうち最大のものをθ[rad]とする。
A,B,Cを動かすとき、T=Sθが最大となるようなA,B,Cの位置を求め、図示せよ。
RやPythonが使える東大合格者向きの課題
一辺の長さが1の正N角形の周上に3頂点A,B,Cを持つ三角形ABCを考える。
△ABCの面積をS、∠A,∠B,∠Cのうち最大のものをθ[rad]とする。
A,B,Cを動かすとき、T=Sθが最大となるような△ABCを図示するプログラムを作り
結果をいくつか示せ。
>>564 助言>567に東大合格者が>567でレスしているのになぁ。
これも自演認定するのかな。
no line
no lines
はありえてもtwoが入るとtwo linesだろうな。
まあ、意味が通じればそれでいいと思う。
文脈からnot rwo lineと誤入力されていてもnot two linesと脳内変換できる。
それができそうもないのがPhimoseくんらの集団
愛用文字は草とwその愛用の由来は解説済。
>>575 受け取る側によるというのは
確率が確信度の度合いを示す指標であるのに似ている。
降水確率は予報士の確信度を示す指標である。
問題
助言よりも罵倒を喜びとするPhimoseくんが東大合格者である確率は？
誰得な妄想を垂れ流してそれを指摘される度に発狂して論破されてダンマリ決め込んでまた何事もなかったかのように書き込むを長年繰り返してる日本語通じないただの哀れな統失ジジイじゃん
>>581 >578の一例（N=7のとき）
東大合格者の検証を希望します。
Phimoseくんの草とwの由来を解説したら使用を自粛しているのは
図星だったからみたいだな。
たまたま使わなかっただけなのにレスが気になって仕方ないんだね、キモw
phymoseもおかしいとか言われても頑なに執着してるね、そりゃリアルで誰にも相手にされないからここで発狂してるわけだw
>>579 東大合格者()
アンタと同じタダの自称だろw
少なくともアンタの場合はアホすぎて説得力皆無だからここの誰にも信じてもらえてないみたいだけどそれについてはダンマリ？w
まあどうせ日本語通じてないからいつもの文言で発狂するだけだろうがなw
週末の課題
4つの複素点が同一円周上にあるか否かを判定する関数を作り
1+0i,1i,cos(1)+i*sin(1),cos(2)+i*sin(2)でtrueを返すことを確認せよ。
言語はRでもWolfram等何でもよい。
インド建国の父ガンジー
人類の7つの罪
①原則なき政治
②道徳なき商業
③労働なき富
④人格なき学識
⑤人間性なき科学
⑥良心なき快楽
⑦献身なき信仰
なんだ、ぐうの音も出ないのかw
自称東大合格者()さんw
「先生、“モル”ってなんですか？」
https://gendai.media/articles/-/56600 を題材にした問題
塩化ナトリウムの分子量を58.44277とする。
1トン（1000kg）の生理食塩水に含まれる塩化ナトリウムのモル数を求めよ。
>>588 Rだと浮動小数点数の誤差調整が必要。
試作品
is.oncircle <- function(a,b,c,d,tol=1e-16){
tric <- function(a,b,c){
a1=Re(a) ; a2=Im(a)
b1=Re(b) ; b2=Im(b)
c1=Re(c) ; c2=Im(c)
p = (a1^2*(-b2) + a1^2*c2 - a2^2*b2 + a2^2*c2 + a2*b1^2 + a2*b2^2 - a2*c1^2 - a2*c2^2 - b1^2*c2 - b2^2*c2 + b2*c1^2 + b2*c2^2)/(2*(-a1*b2 + a1*c2 + a2*b1 - a2*c1 - b1*c2 + b2*c1))
q = -(a1^2*(-b1) + a1^2*c1 + a1*b1^2 + a1*b2^2 - a1*c1^2 - a1*c2^2 - a2^2*b1 + a2^2*c1 - b1^2*c1 + b1*c1^2 + b1*c2^2 - b2^2*c1)/(2*(-a1*b2 + a1*c2 + a2*b1 - a2*c1 - b1*c2 + b2*c1))
Ce=p+1i*q
r=abs(Ce-a)
c(Center=Ce,Radius=r)
}
abs(sum((tric(a,b,c)-tric(b,c,d))^2)) < tol # all(tric(a,b,c)==tric(b,c,d))
}
> is.oncircle(1+0i,1i,cos(1)+1i*sin(1),cos(2)+1i*sin(2))
[1] TRUE
今日の積分
lim[n→∞] ∫[0,1] xsin(nx)/(1+x) dx
I[n] = ∫[0,1] xsin(nx)/(1+x) dx
= ∫[0,1] -(1/n)cos(nx)'{x/(1+x)} dx
= -cos(nx)/(2n) + (1/n)∫[0,1] cos(nx)/(1+x)^2 dx
|I[n]|≦1/(2n) + (1/n)∫[0,1] |cos(nx)/(1+x)^2| dx
≦1/(2n) + (1/n)∫[0,1] 1/(1+x)^2 dx
＝1/(2n) + (1/n)log(2)
→0 (n→∞)
>595
誤= -cos(nx)/(2n) + (1/n)∫[0,1] cos(nx)/(1+x)^2 dx
正= -cos(n)/(2n) + (1/n)∫[0,1] cos(nx)/(1+x)^2 dx
誤＝1/(2n) + (1/n)log(2)
正＝1/(2n) + 1/(2n)
>>470-471 「はなはだ技巧的」な別解
f(t)=∫[t,∞] 2(sin((x-t)/2)/x)^2 dx
g(t)=∫[0,∞] e^(-tx)/(1+x^2) dx
とするとf(t),g(t)はともに微分方程式 y''+y=1/t を満たすので
f(t)-g(t)は y''+y=0 の解でlim[n→∞](f(t)-g(t))=0よりf(t)-g(t)=0
f(t),g(t)はt≧0で一様収束で連続より
∫[0,∞] (sin(x)/x)^2 dx=f(0)=g(0)=∫[0,∞] 1/(1+x^2) dx=π/2
f(x) > 0,
f '(x) は単調に変化する
とする。
J[m] = ∫[0,1] f(x) sin(2mπx) dx
= Σ[k=1,m] ∫[(k-1)/m, k/m] f(x) sin(2mπx) dx
= (1/2mπ)Σ[k=1,m] ∫[0, 2π] f((k-1)/m + y/mπ) sin(y) dy
= (1/2mπ)Σ[k=1,m] 2{f(α)－f(β)}∫[0,y] sin(y)dy
(k-1)/m < α < (k-1/2)/m < β < k/m,
= (1/2mπ)Σ[k=1,m] 2{f(α)－[f(β)}
= (1/mπ)Σ[k=1,m] (β－α) f '(γ)
< (1/mπ)(1/m)Σ[k=1,m] f '(γ)
< (1/mπ) |∫[0,1] f '(x) dx|
= (1/mπ) |f(1)－f(0)|,
小学生レベルらしいんだが全く解けん。難問すぎんだろこれ誰か解いてくれよ
朝飯前の問題
一辺の長さが1の正7角形の周上に3頂点A,B,Cを持つ三角形ABCを考える。
三角形ABCが正三角形を形成できるならばその面積を求めよ。
参考画像
他人を蔑むのに統失という語を使うPhimoseくんが東大合格者だと思うひとは
その旨とその理由を投稿してください。
Phimoseは東大合格通知の書式すらしらなかったので東大非合格者であると推定されている。
まあ、記憶力が極めて悪いというのは考えうるが。
>>601 9の長さをx (x>8)とすると
平行四辺形の面積＝直角三角形の面積＋台形の面積は
8*√(x^2-8^2)/2 + (10+(10-√(x^2-8^2)))*8/2＝80
直角三角形を回転させれば斜め方向の平行線の距離が８なので
8*10=80とだせる。
>>603 お前が東大合格者じゃないということはわかるな
邪魔だから消えろ
>>603 書き込み内容が完全に統失だから当たり前だろ
さっさとお薬飲めよ
>>607 東大合格通知は葉書大で公印すら押してなかったな。
あんたは見たこともないんだろうな。
東大非合格者であることが確定しました。
>>602 Wolfram言語による解
Clear[fn]
n=7
fn[a_] := (
p=Table[Cos[t*2Pi/n]+I*Sin[t*2Pi/n],{t,n+1}];
t0=2Pi/n;
t2i[t_] := (
i=Mod[Floor[t/t0],n];
j=i+1;
i=If[i!=0,i,n];
line1={{0,0},{Cos[t],Sin[t]}};
line2={{Re[p[[i]]],Im[p[[i]]]},{Re[p[[j]]],Im[p[[j]]]}};
ResourceFunction["LineIntersection"][line1,line2]
);
ABC=Map[t2i,{a,a+2Pi/3,a+2Pi/3+2Pi/3}];
AB=EuclideanDistance[ABC[[1]],ABC[[2]]];
BC=EuclideanDistance[ABC[[2]],ABC[[3]]];
CA=EuclideanDistance[ABC[[3]],ABC[[1]]];
(AB-BC)^2+(BC-CA)^2+(CA-AB)^2)
Minimize[{fn,0<a && a<2Pi/n},a]
>>609 スレチだからうせろってことなんだけど
空気読めないね
いい加減ウザい
>>610 R言語による解
intsect = \(a,b,c,d){
a1=Re(a) ; a2=Im(a)
b1=Re(b) ; b2=Im(b)
c1=Re(c) ; c2=Im(c)
d1=Re(d) ; d2=Im(d)
if((a2-b2)*(c1-d1)==(a1-b1)*(c2-d2) | (a-b)*(c-d)==0) return(NULL)
if(a1==b1 & c1!=d1) return( a1+1i*((d2-c2)/(d1-c1)*(a1-c1)+c2) )
if(a1!=b1 & c1==d1) return( c1+1i*((a2-b2)/(a1-b1)*(c1-a1)+a2) )
p=(a2-b2)/(a1-b1)
q=(c2-d2)/(c1-d1)
x= ((p*a1 - a2) - (q*c1 - c2))/ (p-q)
y= p*x - (p*a1 - a2)
return( x + 1i*y )
}
N <- 7
theta2int=\(theta,n=N){ # theta 2 intersection
p=NULL
p[1:(n+1)]=exp(1i*2*pi/n*(1:(n+1)))
i=floor(theta/((2*pi)/n)) %% n
j=i+1
i=ifelse(i,i,n) # ifelse(i!=0,i,n)
intsect(0i,exp(1i*theta),p[i],p[j])
}
fn=\(a){
b=a+2*pi/3 ; c=b+2*pi/3
A=theta2int(a) ; B=theta2int(b) ; C=theta2int(c)
AB=abs(A-B) ; BC=abs(B-C) ; CA=abs(C-A)
(AB-BC)^2+(BC-CA)^2+(CA-AB)^2
}
fn=Vectorize(fn)
curve(fn(x),0,2*pi/N)
opt=optimize(fn,c(0,2*pi/N),tol=1e-16) ; opt
optimize(fn,c(0,0.3),tol=1e-16)$obj
optimize(fn,c(0.3,0.6),tol=1e-16)$obj
optimize(fn,c(0.6,0.9),tol=1e-16)$obj
９角形だとN=9にするだけ。
◆図形を平行四辺形とする
直角三角形の短辺の長さxは、
9^2-8^2=81-64=17 なので、x=√17
直角三角形の面積s1は、 s1=4x
台形の短辺の長さyは、y=10-x
台形の長辺の長さは10
台形の面積s2は
s2=8(y+10)/2=8(20-x)/2=80-4x
したがって図形の面積s3は、
∴s3=s1+s2=4x+(80-4x)=80
>>609 アンタはみたことないん"だろう"な
推測だけで確定とか言ってるの？数学板で？w
つくづくアホだね、そんなやつが東大だのなんだのほざいてるとかw
尿瓶ジジイID:pfxD2O3Qは日本語も空気も理解できないチンパンってことだけは誰の目から見てもハッキリしてるみたいだねw
スレチという概念が理解できずに妄言を垂れ流す尿瓶ジジイマジで救いようないな
>>616 ３辺の差の二乗和の最低値が０を超えるから
該当する三角形は存在しないことが示されている。
>602に示した図は実は正三角形になっていない。
まぁ周上自由にとれるなら存在はするが尿瓶の方法では無理
>>620 では、Phimoseくんの模範解答を希望します。
正三角形の重心が正７角形の重心と一致するという前提が崩れれば
正三角形ができるかもしれん。
自分が気に食わないレスは全員同じに見える病気治るどころかますます悪化してるみたいだね
そもそも数学の問題にすらなっていない
お前に数学の問題文作れる知能はない
>>624 尿瓶ジジイは日本語すら通じないんだから当たり前だよなww
辺l,m,n上の点X,Y,ZでOからの距離が一致するなら3点のargument x,y,z は ±x ≡ ±y ≡ ±z (mod 2π/7) を満たす必要があるから解なし
そもそもこんなもんもっと簡単に見つかるしな
内接する正三角形の中心＊が正七角形の中心＋と一致するという前提を外してR言語で探索して作図。
正七角形の１辺の長さが１とすると正三角形の１辺の長さは約1.87になった。
東大合格者による検証を希望します。
助言よりも罵倒を生き甲斐にしているのが、Phimoseくんらの集団
愛用の文字はw。
嵌頓したforeskinの形状を象徴している。
そして前提外して相変わらずアホな方法で探してるんやろなwww
>>622 重心が一致するならば 正三角形はできない。
（略証)
重心が一致する正三角形では、3頂点と中心の距離は等しい。
正7角形の辺上の点でこの条件を満たす2点の方位を α, β とおく。
β = 2kπ/7±α, (kは整数)
β－α = 2kπ/7 (≠2π/3) のとき、正三角形はできない。
よって α+β = 2kπ/7 に限る。
同様にして β+γ = 2Lπ/7, (Lは整数)
∴ γ－α = 2(L-k)π/7 ≠ 2π/3 なので正三角形はできない。(終)
>>628 助言？妄言の間違いだし罵倒が生き甲斐なのはアンタだろw
軍団w
スレ住民全員に煙たがられてる事実を直視できない模様
今日の積分
lim[n→∞] ∫[0,n] xcos(nπx)/(1+x) dx
>>624 俺が出した問題にコメントしているのに、数学の問題でないという矛盾。
こういう自家撞着に気付かないのが東大合格者だと思う人はその旨を投稿してください。
>>629 アホな方法をWolframに移植。
n=7
fn[a_,b_,c_] := (
p=Table[Cos[t*2Pi/n]+I*Sin[t*2Pi/n],{t,n+1}];
t0=2Pi/n;
t2i[t_] := (
i=Mod[Floor[t/t0],n];
j=i+1;
i=If[i!=0,i,n];
line1={{0,0},{Cos[t],Sin[t]}};
line2={{Re[p[[i]]],Im[p[[i]]]},{Re[p[[j]]],Im[p[[j]]]}};
ResourceFunction["LineIntersection"][line1,line2]
);
ABC=Map[t2i,{a,b,c}];
AB=EuclideanDistance[ABC[[1]],ABC[[2]]];
BC=EuclideanDistance[ABC[[2]],ABC[[3]]];
CA=EuclideanDistance[ABC[[3]],ABC[[1]]];
(AB-BC)^2+(BC-CA)^2+(CA-AB)^2)
Minimize[{fn,a!=b && b!=c && c!=a && -Pi<a && a<Pi/n && -Pi<b && b<Pi/n && -Pi<c && c<Pi/n},{a,b,c}]
Rのoptim関数より精度が悪くなった。
Wolfram使いの改善を希望します。
>>635 お前の知能で理解できるわけないやろアホ～wwww
お前以外全員わかってるわwwwww
恥知らず乙
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
>>636 チンパン数学垂れ流して煙たがられて発狂かよ
いつになったら懲りるんだろうねw
今日の積分発展問題
I_c = lim[n→∞] ∫[0,n] xcos(nπx)/(1+x) dx
I_s = lim[n→∞] ∫[0,n] xsin(nπx)/(1+x) dx
に対して、
I_cとI_sは等しいかどうか調べよ。
単位円に内接する正7角形をとり、頂点の座標を
P_k (cos(2kπ/7), sin(2kπ/7))
とする。
P_0 (1, 0)
A (x, y)
B (x, -y)
が正3角形になるとき
(1－x)/y = tan(π/3) = √3,
また線分 P_2･P_3 上にあることから
x = －{(√3)cos(π/7)－sin(2π/7)}/{2cos(2π/7-π/6)}
= －0.4182588529921
y = {cos(π/7)+cos(2π/7)}/{2cos(2π/7-π/6)}
= 0.818832130555563
今日の積分（Twitterより）
ab>0とする。
∫[a,b] cos(x-(ab/x)) dx
を求めよ。
y = (1+cos(π/7))(2cos(π/7)-1)/{2cos(2π/7-π/6)}
より
面積S = (1-x)y = (√3)yy = 1.161315918275
前
>>567 >>592________/15.39968……
5844277)90000000
_______/5844277
_______/31557230
_______/29221358
________/23358450
________/17532831
_________/5825619
_________/52598493
__________/5657697
__________/52598493
___________/3978477
___________/35065662
____________/4719108
∴15.39968mol
すべての実数ｘについて、-2x²+ax-1<0が成り立つような定数aの値を求めよ
尿瓶チンパンジジイけちょんけちょんにされてダンマリw
>>646 (与式) = -2(x - a/4)^2 + (aa/8 - 1) ≦ aa/8 - 1,
題意より
最大値 (aa/8 - 1) < 0,
∴ |a| < 2√2.
>>642 I = ∫[a,b] cos(x-(ab/x)) dx (置換t=ab/x)
= ∫[a,b] cos((ab/t)-t)(ab/t^2) dt
(第一式+第二式)/2
I = (1/2)∫[a,b] cos(x-(ab/x))(1+(ab/x^2)) dx (置換t=x-ab/x)
= (1/2)∫[a-b,b-a] cos(t) dt
= sin(b-a)
>>642
x = ab/t とおくと
(与式) = ∫[a,b] cos(ab/t－t) (ab/tt)dt,
これらを相加平均して
(与式) = (1/2)∫[a,b] cos(x－ab/x) (1+ab/xx)dx
= (1/2)∫[a,b] cos(x－ab/x) (x－ab/x)' dx
= [ (1/2)sin(x－ab/x) ](x：a→b)
= sin(b-a), 高校数学の質問スレと高校数学の出題スレは分けた方がいいだろう
質問と出題を混同してるバカが発狂しまくってるからな
でも日本語理解できないから無駄かも
Rで作図
Wolframで計算
n=7
r=Cos[2Pi/n] + I*Sin[2Pi/n]
p=Table[(1-r^i)/(1-r),{i,1,n+1}]
a={1/2,0}
a0={0,-1/2*Tan[Pi/3]}
aa0={a,a0}
p2={Re[p[[2]]],Im[p[[2]]]}
p3={Re[p[[3]]],Im[p[[3]]]}
p2p3={p2,p3}
b=ResourceFunction["LineIntersection"][aa0,p2p3]
EuclideanDistance[a,b]
% // N
In[36]:= % // N
Out[36]= 1.86614
R言語でNelder-Mead法での値とほぼ同じ。
a,bを動かせば、
(0,0),(a,1),(b,1)を頂点とする三角形はup to 相似で任意の形状をつくれると思うのですが
妥当でしょうか。
3辺が等しいことを確認。
n=7;
r=Cos[2Pi/n] + I*Sin[2Pi/n];
p=Table[(1-r^i)/(1-r),{i,1,n+1}];
a={1/2,0};
a0={0,-1/2*Tan[Pi/3]};
aa0={a,a0};
p2={Re[p[[2]]],Im[p[[2]]]};
p3={Re[p[[3]]],Im[p[[3]]]};
p2p3={p2,p3};
b=ResourceFunction["LineIntersection"][aa0,p2p3];
a1={0,-1/2*Tan[2Pi/3]};
aa1={a,a1};
p5={Re[p[[5]]],Im[p[[5]]]};
p6={Re[p[[6]]],Im[p[[6]]]};
p5p6={p5,p6};
c=ResourceFunction["LineIntersection"][aa1,p5p6];
EuclideanDistance[a,b] // N
EuclideanDistance[b,c] // N
EuclideanDistance[c,a] // N
In[17]:= EuclideanDistance[a,b] // N
Out[17]= 1.86614
In[18]:= EuclideanDistance[b,c] // N
N::meprec: Internal precision limit $MaxExtraPrecision = 50. reached while evaluating <<1>>.
Out[18]= 1.86614
In[19]:= EuclideanDistance[c,a] // N
Out[19]= 1.86614
>>655 簡略化のため
C(0,1)
A(a,0)
B(b,0)
で考える
で∠CAB、∠CBAが任意にとれるから
任意の形状が作れると思う。
>>644 ((1000*1000/1.009)*(0.9/100)) / 58.44277 = 152.6232 mol
>>656 重心間の距離
> abs(mean(p[-1]) - mean(c(A,B,C)))
[1] 0.03915394
前
>>644 >>602 △ABCが正三角形であるとして点A(0,1)
点Bを第3象限に、点Cを第4象限に、
BCがx軸と平行になるようにとると、
直線y=1+x√3と、
点Bがある第3象限にある正七角形の辺の方程式、
y+sin(π/14)=｛-cos(π/7)+sin(π/14)｝/｛-sin(π/7)+cos(π/14)｝｛x+cos(π/14)｝
の連立方程式を解いて、
x=(cos(π/14)-sin(π/7)+cos(π/7)cos(π/14)-sin(π/7)sin(π/14))/(sin(π/14)+sin(π/7)√3-cos(π/7)-cos(π/14)√3)
≒1.32287565553/(-1.61556393083)
△ABC=x^2√3≒1.16131591827
半径Rの円に内接する正7角形をとり、頂点の座標を
P_k (R･cos(2kπ/7), R･sin(2kπ/7))
とする。
A (-R･cos(π/7), 0)
B (x, y)
C (x, -y)
が正3角形になるとき
{x + R･cos(π/7)}/y = tan(π/3) = √3,
また線分 P_1･P_2 上にあることから
{R･sin(4π/7)-y}/{R･cos(4π/7)-x} = {y-R･sin(2π/7)}/{x-R･cos(2π/7)},
∴ cos(3π/7)･x + sin(3π/7)･y = R･cos(π/7),
これらより
x = R･cos(π/7){√3－sin(3π/7)}/{2sin(3π/7+π/3)}
= 0.5014492055 R,
y = R･cos(π/7){1+cos(3π/7)}/{2cos(3π/7+π/3)}
= 0.8096864522 R,
(辺長) = 2･y = 1.6193729044 R = 1.86613689152…
注) 一辺の長さが l の正7角形の場合
R = l/{2sin(π/7)} = 1.15238243548… l
周上にPをとる
P中心にπ/6回す
元の7角形との交点Q
PQの長さ求めよ？
アホか
663：１３２人目の素数さん：[sage]：2024/04/28(日) 23:17:21.47 ID:7ZCPRfd4
周上にPをとる
P中心にπ/3回す
元の7角形との交点Q
PQの長さ求めよ？
アホか
もしPQがPの選択によらない定数ならその長さの線分を7角形の内側で滑らせたRの軌跡が直線上を走る事になる
>>655
△DEF の3つの頂角で最大のものを F とする： D, E ≦ F
∴ D, E < 90° (D+E+F=180°)
a =－1/tan(D), b = 1/tan(E),
とおけば
∠A = ∠D,
∠B = ∠E,
⊿の内角の和は180° だから
∠C = ∠F,
三角相等により ⊿ABC ∽ ⊿DEF 本日の演習問題
単位円に内接する正7角形に内接する正方形の面積を求めよ。
参考画像 
本日の〇〇って書き込む奴、スレの趣旨を理解できないんだろうか
>>666 追加の参考画像
>>667 俺が出した内接正三角形を求める出題は東大合格者をはじめに取り組む人が複数いた。
罵倒厨（別称：自演認定厨、愛称：Phimoseくん）もレスをつけていた。
>>669 取り組む人がいるのとスレの趣旨の話は別の話だろ
都内の路上は歩行喫煙が禁じられているのに吸ってる人は何人もいる
>俺が出した内接正三角形を求める出題は東大合格者をはじめに取り組む人が複数いた。
×はじめに
〇はじめ
日本語を理解できないんだな
またまた、罵倒厨（別称：自演認定厨、愛称：Phimoseくん）が出現。
脳内変換できなのは欠陥があるんだろうね。
他スレでの誤入力のコピペを繰り返して悦にいっているPhimoseくんが東大合格者だと思う人は
その旨と根拠を投稿してください。
東大合格通知の書式すら知らなかったのでPhimoseくんは非合格であると推定。
>>671 「あなた」がスレの趣旨をどう捉えているかって話であって、
誤字の話はおまけでしかないよ
レスを見るに何度も誤字脱字の指摘を受けてるようだけど、
脳内変換できなのは、とまた脱字
何度言われても直せないことこそ欠陥ではないの？
俺は東大合格どころかこの春から高校通い始めた生徒だよ
質問しようとしたらそういう雰囲気じゃないからしばらく様子見てたけど、
あんまりなんでレスしたまで
>>669 ここは出題スレじゃなくて質問スレな
日本語不自由な人なのかな？それとも、精神疾患持ち？
>>671 とりあえずお前が来るとスレが荒れるから
消えてマジで
他に生き甲斐無いの？
a,b,cが0以上1以下の実数を動くとき
点(a+b+c,abc)の存在する領域を求めよ。という問題を教えてください。
(a+b,ab)なら、2次方程式の解の範囲を考えて解けたのですが。
>>671 どこに東大合格者()がいたんだよ？
まさか例のコテハン？いつ名乗ったんだよ、その根拠は？
どうせアンタがそう信じたいだけだろw
少なくともアンタみたいな日本語通じないアホが東大だなんだ言ってるのが本当に滑稽でw
∀p,q ∃t y = x^3 - px^2 -q = tx has three real roots
今日の積分発展問題
I_c = lim[n→∞] ∫[0,n] xcos(nπx)/(1+x) dx
I_s = lim[n→∞] ∫[0,n] xsin(nπx)/(1+x) dx
に対して、
I_cとI_sは等しいかどうか調べよ。
問題は >>676 のとおり。
a+b+c = s,
abc = u,
とおくと
0 ≦ u ≦ (s/3)^3, (0≦s≦2)
s－2 ≦ u ≦ (s/3)^3, (2≦s≦3) 2次方程式ｘ²-mx+12 = 0の1つの解が他の解の３倍であるとき、定数ｍを求めよ
ゲームの話ですが
武器のレベルを上げるためにアイテムを１つ使用します
その結果レベルが下がる そのまま 上がる となりそれぞれに確率が設定されています
また初期レベル0から10までのレベルアップの段階のそれぞれで違う確率が設定されています
レベル10まで到達するために必要なアイテムの数の平均値はどうすれば計算できますか？
頂点A=Po のとき >>641, 643
(辺長) = 2y = 1.6376642611111 R
= 1.88721552972
S = (R-x)y = (√3)yy = 1.16131591827 RR
= 1.54221044212
頂点A が P3－P4 の中点のとき >>662
(辺長) = 2y = 1.6193729044 R = 1.86613689152
分母は sin(…) でした。ｽﾏｿ
S = (R･cos(π/7)＋x)y = (√3)yy = 1.13551891435 RR
= 1.5079524007
注) 辺長がｌの正7角形の場合
Ｒ = l/{2sin(π/7)} = 1.15238243548 l, n 回目にレベルkになる確率p[k,n]の漸化式を立ててp[10,k]を計算
Σ[k](1-p[10,k])
が答え
>>682
他の解をaとおくと 一つの解は 3a,
(x-a)(x-3a) = xx -4ax + 3aa,
∴ 3aa = 12, a = ±2,
m = 4a = ±8, >>683 アイテムの価値を１、レベル0の価値をv[0]、レベル1の価値をv[1]、...、レベル10の価値をv[10]と仮定。
レベルkの武器に、アイテム1個を使ってレベルが上がる確率がpk、下がる確率がqk、
維持の確率が(1-pk-qk)だとすると、次の式が成立すると考えます。
v[k] + 1 = pk*v[k+1] + qk*v[k-1] + (1-pk-qk)*v[k]
価値v[k]の武器に、アイテム一個をつかうと、確率pkでレベルk+1の武器に、
確率qkでレベルk-1の武器に、確率(1-pk-qk)で変化無しという意味です。
k=0からk=9まで10個の式が作れ、変数はv[0]からv[10]まで11個あります。
この連立方程式を解いて、v[10]-v[0] の値が、レベル10の武器を作るまでに
必要なアイテムの数の平均値と考えられます。
前
>>661 >>666 正方形の面積は｛2sin(π/7)｝^2より大きく、
｛2cos(π/7)｝^2より小さい。
作図より1.3^2=1.69ぐらい。
ほとんど同じ面積になりそうな長方形は、
2sin(π/7)・2cos(π/14)=1.69202147163……
>>685 >>687 ありがとうございます
理解に努めます
正方形の4頂点を
(x+y, y) (x-y, y) (x-y, -y) (x+y, -y)
とおく。
(x+y, y) が辺 P1-P2 上にある：
(R･sin(4π/7)-y)/(R･cos(4π/7)-x-y) = (y-R･sin(2π/7))/(x+y-R･cos(2π/7)),
∴ cos(3π/7)(x+y) + sin(3π/7)･y = R･cos(π/7),
(x-y, y) が辺 P2-P3 上にある：
(R･sin(6π/7)-y)/(R･cos(6π/7)-x+y) = (y-R･sin(4π/7))/(x-y-R･cos(4π/7)),
∴ cos(5π/7)(x-y) + sin(5π/7)･y = R･cos(π/7),
x を消去して y を求める。
y = R･[cos(π/7)+cos(2π/7)]/[cos(π/7)-cos(2π/7)+sin(2π/7)]
= 0.719552293661 R,
∴ S = (2y)^2 = 1.35852945988622
↑ S = (2y)^2 = 2.07102201325 RR,
Rの円内にあるのに 2RRを超えるのは不合理。
∴ (x+y, y) は辺 Po-P1 上にある：
(R･sin(2π/7)-y)/(R･cos(2π/7)-x-y) = y/(x+y-R),
∴ cos(π/7)(x+y) + sin(π/7)･y = R･cos(π/7),
これと
cos(5π/7)(x-y) + sin(5π/7)･y = R･cos(π/7),
から xを消去して
y = 2cos(π/7)sin(2π/7)sin(3π/7)/{cos(π/7)+cos(3π/7)+sin(3π/7)}
= 0.65453593566 R,
辺長 = 2y =1.30907187132 R,
面積 S = (2y)^2 = 1.7136691642655 RR,
中心間の距離 x = 0.030256170633 R,
>>690 頂点 (x+y, y) は辺 P1-P2 上にある、と勘違いしてました。
それだと 頂点P1より右側になり、円外にハミ出してしまいますね。
>>666,
>>668 の画像を見れば、
□の頂点が Po-P1 上に来ることは分かったはずですが…
>>688 かなり良い近似ですね。
>>693 私の出題へのレスありがとうございます。
プログラムによる数値解
変数４つでもRでNelder-Meadは近似値を返してくるが、そのコードをWolframに移植すると期待外れ。
今月からWolframScriptが無料と教わって今月からWolframを始めた初心者なので正しく移植されていないのかもしれない。
変数を２つに減らしてRでコードしてみた。最初から７角形の１辺の長さ１で計算。
p[7]-A : p[1]-Aの長さの比を s : (1-s)
p[2]-B : p[3]-Bの長さの比を t : (1-t)
として
四角形の∠Bが直角となるように直線を引いてp[4],p[5]を通る直線の交点をC、
四角形の∠Cが直角となるように直線を引いてp[5],p[6]を通る直線の交点をD
とする。
作図過程
s=t=0.5で中点を選んだ場合
四角形の辺の長さの差の二乗和と対角線の長さの差の二乗和の総和を返す関数を f として
fが最低値（正確には極小値をとるs,tをNelder-Mead法で求める。
その結果
戻し値は
[1] 9.745713e-17
浮動小数点数での計算値なので０と考えてよいと思う。
その諸元
$A
[1] 0.5921734-8.616568e-17i
$B
[1] 1.53274+1.179433i
$C
[1] 0.3533069+2.119999i
$D
[1] -0.5872596+0.9405664i
$side
[1] 1.508551
>>694 （補足）
図の通り、１辺の長さ１の正７角形での計算です。
出題では
計算しやすいので単位円に内接する正７角形にしましたが
最初は１辺の長さ１の正７角形で考えておりました。
A,Bの偏角を変数にするのなら単位円内接の方が楽ですが。
まあ、プログラムに数値計算させるので対して手間は変わりませんが。
本来はWolfram言語の学習に自分に課した課題だってのですが、
WolframでNelder-Meadはどうもうまくコードできません。
jupyter経由でのWolram言語でサクサクと作図できないので
R言語でプログラムに戻った。
Wolram言語使える方の解法のレスを期待します。
>>694 （補足）
辺１の場合で面積とs,tの値。
s+t=1が必然なのならば、変数を１つ減らすことができるのだが。
東大合格者の御見解を希望します。
$area
[1] 2.275727
$ΔG
[1] 0.1761126
$s
[1] 0.5921734
$t
[1] 0.4078266
出題云々のバカもスレチだしWolframの話題もスレチ
「高校数学」の「質問」スレだぞ
はい誘導
WolframAlphaを使いこなしてる人ってカッコイイ.....
http://2chb.net/r/math/1623024247/ 高校生にバカにされるのがそんなに楽しいのか尿瓶ジジイw
>>696 それを前提にして計算
変数が一つにできればNewton-Raphsonが使えるので
横軸にs,縦軸に(AB-BC)^2+(AB-CD)^2+(AB-DA)^2+(BC-CD)^2+(BC-DA)^2+(CD-DA)^2+(AC-BD)^2 をおいて
グラフ化
最小値をとるsは１つだけのようなのでこれを
Newton-Raphson法（R言語ではuniroot関数)でもとめると
> opt=optimize(f,c(0,1),tol=1e-16) ; opt
$minimum
[1] 0.5921734
$objective
[1] 7.888609e-31
で 二変数でのNelder-Meadと同じ結果。
言語仕様や関数を検索しながらWolframに移植するのが次の課題。
>>681 様。
grapesで点をプロットすると確かに仰せのようになりますようです。
ありがとうございます。
できましたら
>>681 の結果がどのように導けるのか
教えて頂けますでしょうか。
<(_ _)>
俺の出題に取り組んでいる東大合格者と比べて
罵倒しかできないPhioseくんらの集団が東大合格者だと思う人は
その旨とその根拠を投稿してください。
医学部だと統計から入ってRを使う人が多い（シリツ医は除く）が、
Pythonを使うひとも多いだろうな。
Wolfram言語は分数とか厳密値を返してくれるのが魅力ではある、
Rだと円を描くにも自作関数が必要。直線の交点の座標とか角度算出とか自分で作らなくちゃならん。
一度つくると再利用できる。
Wolframには幾多の関数が用意されている。
>>698 WolframAlphaだと入力文字数制限があったり、タイムアウトするから
WolframScriptが使えた方がいいね。
>>683 レベル０からは下がらないという設定でいいですか？
即ち、
レベル０でアイテムを１つ使用すると確率１でレベル１に上がるということで
いいでしょうか？
具体的な問題は計算する意欲がわく。
具体的な問題なので具体的な数値の方が現実味が増すので
数値を設定して問題化。乱数発生させて確率を設定して具体化。
武器のレベルを上げるためにアイテムを１つ使用します
その結果レベルが下がる そのまま 上がる となりそれぞれに確率が設定されています
また初期レベル0から10までのレベルアップの段階のそれぞれで違う確率が設定されています。
その確率は、それぞれ 1.00 0.27 0.37 0.57 0.91 0.20 0.90 0.94 0.66 0.63とする。
レベル10まで到達するために必要なアイテムの数を item とする。
(1) itemの期待値を求めよ。
(2) itemの中央値を求めよ
(3) itemの分布は非対称である。itemの95%信頼区間（Highest Density Interval)を求めよ。
直感や御神託などあらゆるリソースを用いてよい。
確率は心の中にある、ゆえに期待値も心の中にある。
そして、ときに期待は裏切られる。
このシミュレーションをWolframScriptの次の課題にするかな。
折れ線と直線の交点求めるだけのゴミみたいなテーマをいつまでもいつまでも引きずる無能
尿瓶ジジイってなんでここに固執してるの？
高校生相手にドヤりたいから？60の爺さんが？w
今日の積分
I_c = lim[n→∞] ∫[0,n] xcos(nπx)/(1+x) dx
I_s = lim[n→∞] ∫[0,n] xsin(nπx)/(1+x) dx
に対して、
I_cとI_sは等しいかどうか調べよ。
武器のレベルを上げるためにアイテムを１つ使用します
その結果レベルが下がる そのまま 上がる となりそれぞれに確率が設定されています
また初期レベル0から10までのレベルアップの段階のそれぞれで違う確率が設定されています。
レベルが高くなるほどレベルアップできるのが困難になるとする。
レベルL-１からLに上がる確率は1/Lと設定されているものとする。
レベル10まで到達するために必要なアイテムの数を item とする。
(1) itemの期待値を求めよ。
(2) itemの中央値を求めよ。
RやWolframのようなインタープリタ型の言語だと時間がかかりすぎて計算が困難。
Cの達人の登場を待ちます。
正7角形の辺長が1のとき
R = 1/{2sin(π/7)} = 1.15238243548
(辺長) = 2y = 1.309071871314 R = 1.508551431285
>>694 では
AB 1.50855153
BC 1.50855124
CD 1.50855116
DA 1.50855141
AC/√2 1.50855112
BD/√2 1.50855155 >>701 AM-GM不等式から u ≦ (s/3)^3,
u = (1-ab)(1-c) + (1-a)(1-b) + (s-2) ≧ s-2,
なので、これらは必要条件です。
一方、 (a, b, c) = (a, (s-a)/2, (s-a)/2) とすれば aについて連続で
a=s/3 のとき u = (s/3)^3,
0≦s≦2, a→0 のとき u→0,
2≦s≦3, a=s－2 のとき u = s-2.
なので、これらは十分条件です。
a+b+c = s
a,b,c ∈ [0,1]^3
は1<s<2で６角形、それ以外で三角形
log(a) + log(b) + log(c)は極大点で最大、頂点のいずれかで最小
>>712 この設定で１０００回シミュレーションしてみた結果
> summary(items3)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
2540 669366 1529078 2227857 3122298 13173932
ゲームに嵌まると散財することが実感できる。
>>716 スレ違いだって言ってんだろ
頭沸いて理解出来ない？
とっとと失せろ無能
>>716 質問スレで延々と勝手に数学もどきの出題を繰り返す日本語理解できないチンパンジーはこちらです
>>696
s + t = 1 は、
P1－P2 の中点Mと P5 を通る直線Lに関して対称ということですね。
そのとき
s = (R･sin(4π/7)－y}/{R･sin(4π/7)－R･sin(6π/7)}
= 2cos(π/7){1－cos(π/7)sin(3π/7)/[cos(π/7)+cos(3π/7)+sin(3π/7)]}
= 0.592173416655…
t = 0.407826583345…
面積 S = (2y)^2
= 1.7136691642655 RR
= 2.2757274208314 正三角形のときどうやればいいか上がってるのに
正方形の場合に全く応用できない
そのレベルの知能でアホな問題垂れ流す能無し
プログラムで解いても
背後にある数学的なロジックは
分からない
◆怒涛のWolfram 一行入力
原始ピタゴラス数x^2+y^2=z^2 の
出力アルゴリズム
[z-y=1]
Table[2n{(n+1)^(C(1,a-2))}+C(0,3mod a),{n,1,50},{a,1,3}]
[z-y=2]
Table[4(n+1)^{(C(1,a-1))+1}+(C(1,a-1))(-1)^a,{n,1,30},{a,0,2}]
[z-y=8]
Table[4(2n+3)+{(2n+1)^(2C(1,a-1))}(C(1,a-1))-8(C(0,a-1)),{n,1,30},{a,0,2}]
◆お題
『縦4マス、
横5マスの20マスの中に
ランダムに選ばれた
1から20個の宝が眠っている
AFKPBGLQ…の順で縦に宝を探していく
方法をとるP君と、
ABCDEFGH…の順で横に宝を探していく
方法をとるQ君が、
同時に地点Aから探索を開始した
どっちの方が有利？』
ABCDE
FGHIJ
KLMNO
PQRST
※プログラムでは決してロジックが
理解できない
50円の割引券が1枚ある。
この割引券を使い、100円の商品Aか、200円の商品Bを50円引きで購入したい。
以下の①～③から正しいものを選べ。
①Aに割引券を使うほうが得である
②Bに割引券を使うほうが得である
③①、②のいずれも誤りである
>>683 >レベルが下がる そのまま 上がる となりそれぞれに確率が設定されています
の確率に関しては情報がないため
下がる そのまま 上がる の確率は 形状パラメータ（１，１，１）のディリクレ分布に従って変動するとして計算する。
乱数発生させてWolfram言語でのシミュレーション（推敲希望）
sim[] :=(
item=0;
L=0;
While[L<10,
p1p2=RandomVariate[DirichletDistribution[{1,1,1}]];
p={p1p2[[1]],p1p2[[2]],1-Total[p1p2]};
L=L + RandomChoice[p -> {-1,0,1}];
item++];
item
)
試行回数に上限がないの算出までに時間がかかる。
出力例
In[20]:= items=Table[sim[],100]
Out[20]= {134, 1452, 108, 256, 427, 137, 258, 817, 38, 191, 33, 1340, 21084, 74730, 201, 106, 2523, 2909, 623, 2024,
> 26, 74, 246, 203, 5135, 4473, 536, 6742, 1341, 171, 22, 144, 115, 61, 32, 90, 88, 697, 105, 120, 21503, 355,
> 26018, 15051, 199, 18576, 936, 194, 531, 801, 1457, 90, 114, 104787, 3017, 434, 176, 1180, 494, 144, 1411, 358,
> 25, 1960, 429, 129997, 1960, 8345, 364, 1185, 356, 190, 139, 301, 149814, 547, 132, 458, 12, 231, 1351170, 17175,
> 981, 353, 136, 104657, 7607, 18538, 1621, 265, 923, 260, 58, 768, 1141, 180, 122, 197, 112, 78}
summary(items)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
12.0 136.8 361.0 21304.2 1498.0 1351170.0
uncertainty interval(分位数で算出）
In[25]:= Quantile[items,{0.025,0.975}]
Out[25]= {25, 129997}
>>725 自己推敲
sim[] :=(
item=0;
L=0;
While[L<10,
p1p2=RandomVariate[DirichletDistribution[{1,1,1}]];
p={p1p2[[1]],p1p2[[2]],1-Total[p1p2]};
d=RandomChoice[p -> {-1,0,1}];
If[!(L==0 && d==-1), L=L+d];
item++];
item
)
>>714 ありがとうございます。
>u = (1-ab)(1-c) + (1-a)(1-b) + (s-2) ≧ s-2
この変形は普通に思い浮かぶものなのですか？
なんか天才の狂気じみたヒラメキに見えるのですが( ﾟдﾟ)ﾎﾟｶｰﾝ
>>726 可読性向上
sim[] :=(
item=0;
L=0;
While[L<10,
p1=RandomReal[]; (* runif(1) *)
p2=RandomReal[1-p1]; (* runif(1,0,1-p1) *)
p3=1-p1-p2;
d=RandomChoice[{p1,p2,p3} -> {-1,0,1}]; (* sample(c(-1,1,1),1,prob=c(p1,p2,p3)) *)
If[!(L==0 && d==-1), L=L+d];
item++];
item
)
sim[]
>>727 そうかもね。
a, b, c のうち2つが1に近づくとき等号だから
1-a, 1-b, 1-c などの2次式になるんぢゃね？
前
>>688 厳密解が見えた。立式中。ちょっと待ってて。
ゴールデンウィーク中にやる。
自分で作図したら目が覚めた。
すでにある答案や綺麗な作図に惑わされてはいけない。
Wolfram言語の練習問題
＞武器のレベルを上げるためにアイテムを１つ使用します
＞その結果レベルが下がる そのまま 上がる となりそれぞれに確率が設定されています
＞また初期レベル0から10までのレベルアップの段階のそれぞれで違う確率が設定されています
を計算問題化。
設定された確率に関しては情報がないので、「下がる そのまま 上がる」の確率は無作為に決定されるとして計算する。
sim[] :=(
item=0;
L=0;
While[L<10,
d = RandomChoice[ RandomReal[1,3] -> {-1,0,1} ]; (* sample(c(-1,0,1),1,prob=runif(3) *)
If[!(L==0 && d==-1), L=L+d];
item++;
];
item
)
問題 レベル10まで到達するために必要なアイテムの数が1000以下である確率の近似値を計算せよ。
備忘録
RandomChoiceは自動で正規化されるようなのでコードが簡略化できた。
RandomChoice[RandomReal[1,3]] // #/Total[#] & とする必要はなかった。
RandomChoiceでChoiceする個数を指定すると１個でもリストで返してくる。
In[1]:= RandomChoice[Range[10]]
Out[1]= 10
In[2]:= RandomChoice[Range[10],1]
Out[2]= {7}
#上限を設定しないとシミュレーションがなかなか終わらないので到達レベル、上下確率、アイテム数を設定できるように修正。
sim = \(level=10,p=runif(3),limit=NULL){
item=0
L=0
while(L<level && item < ifelse(is.null(limit),Inf,limit+2)){
item=item+1
d=sample(c(-1,0,1),1,prob=p)
if(!(L==0 & d==-1)) L=L+d
}
return(item)
}
#上下確率は一様分布に従うとしアイテムが1000以下でレベル10に達する確率を10万回のシミュレーションで出してみる。
replicate(1e5,sim(level=10,p=runif(3),limit=1000) < 1002 |> mean()
> (replicate(1e5,sim(level=10,p=runif(3),limit=1000)) < 1002) |> mean()
[1] 0.67713
シミュレーションはRの方が書きやすい。
分数で結果を返す必要がないし。
x>y≧0とする。
f(x,y) = x√x-2x√y+y√y
g(x,y) = x√x-2y√x+y√y
について、f(x,y)およびg(x,y)が負となることがあるならば、その(x,y)の一例を与えよ。
負となることがないならば、それを証明せよ。
t≧1 ⇒ t^6+1 ≧ 2t^3 ≧ 2t^2
0<t≦1 ⇒ t^6+1 ≧ 2t^3 ≧ 2t^4
>>683 追加補足
例えば、レベル i への成功確率を100-5i、失敗確率は全て0.1（但しレベル1以上）だとすると、
mathematicaでは次のようにして計算できます。
v=Table[x[i],{i,0,10}];
u=Table[Boole[i!=10],{i,0,10}];
M={
{ 5,95, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0},
{10, 0,90, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0},
{ 0,10, 5,85, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0},
{ 0, 0,10,10,80, 0, 0, 0, 0, 0, 0},
{ 0, 0, 0,10,15,75, 0, 0, 0, 0, 0},
{ 0, 0, 0, 0,10,20,70, 0, 0, 0, 0},
{ 0, 0, 0, 0, 0,10,25,65, 0, 0, 0},
{ 0, 0, 0, 0, 0, 0,10,30,60, 0, 0},
{ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,10,35,55, 0},
{ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,10,40,50},
{ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,100}}/100;
Reduce[v+u==M.v,Delete[v,1]]
続き
20 130 3490 19445 76033 666209
Out[6]= x[1] == -- + x[0] && x[2] == --- + x[0] && x[3] == ---- + x[0] && x[4] == ----- + x[0] && x[5] == ----- + x[0] && x[6] == ------ + x[0] &&
19 57 969 3876 11628 81396
10556593 37908457 492959263 2889951391
> x[7] == -------- + x[0] && x[8] == -------- + x[0] && x[9] == --------- + x[0] && x[10] == ---------- + x[0]
1058148 3174444 34918884 174594420
In[7]:= %//N
Out[7]= x[1.] == 1.05263 + x[0.] && x[2.] == 2.2807 + x[0.] && x[3.] == 3.60165 + x[0.] && x[4.] == 5.01677 + x[0.] && x[5.] == 6.53879 + x[0.] &&
> x[6.] == 8.18479 + x[0.] && x[7.] == 9.97648 + x[0.] && x[8.] == 11.9418 + x[0.] && x[9.] == 14.1173 + x[0.] && x[10.] == 16.5524 + x[0.]
シミュレーションを行うなら、
Table[pq[i]={95-5*i,10*Boole[i>0],5+5*i-10*Boole[i>0]}/100,{i,0,9}]
Sim:=(For[L=count=0,L<10,count++,L+=RandomChoice[pq[L]->{1,-1,0}]];count)
n=100000;sum=0;Do[sum+=Sim,n];sum/n//N
数秒待たされますが、16.556、16.552、16.5607等の値が得られます。
>>736 x≧0, y≧0 より
f(x,y) + g(x,y) = 2(x－y)(√x－√y) ≧ 0,
∴ f(x,y) <0, g(x,y) <0 となることはない。
>>715 断面三角形の「頂点」は立方体 [0,1]^3 の稜だから
a,b,c のうち2つは 0 か 1
0≦s≦1 … u = 0･0･s = 0,
1≦s≦2 … u = 0･(s-1)･1 = 0,
2≦s≦3 … u = (s-2)･1･1 = s-2,
50円の割引券が1枚ある。
この割引券を使い、100円の商品Aか、200円の商品Bを50円引きで購入したい。
以下の①～③から正しいものを選べ。
①Aに割引券を使うほうが得である
②Bに割引券を使うほうが得である
③①、②のいずれも誤りである
>>692 重心間の距離
x = R･{[cos(π/7)+sin(π/7)][2cos(π/7)-1]－1}/{2cos(2π/7)[1+2sin(π/7)]}
= 0.030256170633 R
cos(π/7)－cos(2π/7)－cos(4π/7) = 1/2,
－sin(π/7) + sin(2π/7) + sin(4π/7) = (1/2)√7,
前
>>733 >>666 正7角形と正方形の中心はわずかにずれるから、
中心付近に原点をとるのを避け、
正7角形をx軸に正対させ、正中線にy軸をとると、
正方形の1辺の長さの半分をaとして、
正方形の面積は4a^2
y軸上の正7角形の頂点の座標は(0,1+cos(π/7))
正方形の上辺のy座標は、
1-a｛sin(π/7)/cos(π/7)｝+cos(π/7)
正方形の下辺のy座標は、
1-a｛sin(π/7)/cos(π/7)｝+cos(π/7)-2a
一方、正7角形の下辺右端の座標は(sin(π/7),0)
そこから正方形の右下端
(a, 1-a｛sin(π/7)/cos(π/7)｝+cos(π/7)-2a)
までの傾きはsin(2π/7)/cos(2π/7)だから、
｛a-sin(π/7)｝｛sin(2π/7)/cos(2π/7)｝
=1-a｛sin(π/7)/cos(π/7)｝+cos(π/7)-2a
｛sin(2π/7)/cos(2π/7)+sin(π/7)/cos(π/7)+2｝a
= ｛sin(2π/7)/cos(2π/7)｝sin(π/7)+cos(π/7)+1
2倍角の公式より、
[2sin(π/7)cos(π/7)/｛2cos^2(π/7)-1｝+sin(π/7)/cos(π/7)+2]a
=[2sin^2(π/7)cos(π/7)/｛2cos^2(π/7)-1｝+cos(π/7)+1
通分して｛2sin(π/7)cos^2(π/7)+2sin(π/7)cos^2(π/7)-sin(π/7)+4cos^3(π/7)-2cos(π/7)｝a
=2sin^2(π/7)cos^2(π/7)+2cos^4(π/7)-cos^2(π/7)+2cos^3(π/7)-cos(π/7)
a=cos(π/7)｛2cos(π/7)-1｝｛cos(π/7)+1｝/｛4cos^3(π/7)+4sin(π/7)cos^2(π/7)-sinπ/7-2cos(π/7)｝
=1.37348980186/2.09841771404
=0.65453593565
∴4a^2=1.71366916427
前
>>733 >>666 正7角形と正方形の中心はわずかにずれるから、
中心付近に原点をとるのを避け、
正7角形をx軸に正対させ、正中線にy軸をとると、
正方形の1辺の長さの半分をaとして、
正方形の面積は4a^2
y軸上の正7角形の頂点の座標は(0,1+cos(π/7))
正方形の上辺のy座標は、
1-a｛sin(π/7)/cos(π/7)｝+cos(π/7)
正方形の下辺のy座標は、
1-a｛sin(π/7)/cos(π/7)｝+cos(π/7)-2a
一方、正7角形の下辺右端の座標は(sin(π/7),0)
そこから正方形の右下端
(a, 1-a｛sin(π/7)/cos(π/7)｝+cos(π/7)-2a)
までの傾きはsin(2π/7)/cos(2π/7)だから、
｛a-sin(π/7)｝｛sin(2π/7)/cos(2π/7)｝
=1-a｛sin(π/7)/cos(π/7)｝+cos(π/7)-2a
｛sin(2π/7)/cos(2π/7)+sin(π/7)/cos(π/7)+2｝a
= ｛sin(2π/7)/cos(2π/7)｝sin(π/7)+cos(π/7)+1
2倍角の公式より、
[2sin(π/7)cos(π/7)/｛2cos^2(π/7)-1｝+sin(π/7)/cos(π/7)+2]a
=[2sin^2(π/7)cos(π/7)/｛2cos^2(π/7)-1｝+cos(π/7)+1
通分して｛2sin(π/7)cos^2(π/7)+2sin(π/7)cos^2(π/7)-sin(π/7)+4cos^3(π/7)-2cos(π/7)｝a
=2sin^2(π/7)cos^2(π/7)+2cos^4(π/7)-cos^2(π/7)+2cos^3(π/7)-cos(π/7)
a=cos(π/7)｛2cos(π/7)-1｝｛cos(π/7)+1｝/｛4cos^3(π/7)+4sin(π/7)cos^2(π/7)-sinπ/7-2cos(π/7)｝
=1.37348980186/2.09841771404
=0.65453593565
∴4a^2=1.71366916427
次の極限をaで表せ。
ただしaは実数の定数で、a≠-2とする。
Σ[k=0,∞] 1/(k^2+ak+1)
一辺の長さが1の正三角形ABCの辺AB,BC,CA上にそれぞれ点D,E,Fをとる。
ただしD,E,Fは△ABCの頂点には一致しないものとする。
（1）s,t,uは0より大きく1より小さい実数とする。AD=s、BE=t、CF=uのとき、△DEFの面積をs,t,uで表せ。
（2）△ADFの重心をP、△BEDの重心をQ、△CFEの重心をRとする。
(△PQRの面積)≧(△DEFの面積)
を示せ。
（3）（2）の不等式において等号が成立する場合をすべて求めよ。
mを自然数とする。
以下の極限が収束するかどうかを判定せよ。
lim[n→∞] Σ[k=2,n] 1/[k{(logk)^m}]
(3 s t + 3 s u - 3 s + 3 t u - 3 t - 3 u + 9 )/9 ≧ stu + (1-s)(1-t)(1-u)
(3 s t + 3 s u - 3 s + 3 t u - 3 t - 3 u + 9 )/27 ≧ stu + (1-s)(1-t)(1-u)
>>747 Rでの作図に用いた数値と合致しております。お疲れ様でした。
正方形の1辺の長さ
> abs(A-B)
[1] 1.309072
> abs(A-B)^2
[1] 1.713669
対角線の交点と原点（7角形の重心）との距離
> abs(intsect(A,C,B,D))
[1] 0.0302562
>>750
・m=1 のとき
1/{k・log(k)}
≧ log(1+1/k) / log(k)
= log(k+1)/log(k) － 1
≧ log{log(k+1)/log(k)}
= log(log(k+1)) － log(log(k)),
より
Σ[k=2,n] 1/{k・log(k)}
≧ log(log(n+1))－log(log(2))
→ ∞ (n→∞)
∴ 発散
* x ≧ log(1+x) を使った。
・m>1 のとき
Σ[k=3,n] 1/{k・log(k)^m}
≦ Σ[k=3,n] ∫[k-1,k] 1/{x・log(x)^m} dx
= ∫[2,n] 1/{x・log(x)^m} dx
= (1/(m-1))[ －1/log(x)^{m-1} ](x=2,n)
= (1/(m-1))( 1/log(2)^{m-1} － 1/log(n)^{m-1} )
→ (1/(m-1)) 1/log(2)^{m-1} (n→∞)
∴ 収束 γ ' = Σ[k=2,n] 1/{k・log(k)} － log(log(n))
= 0.79467864… (おいらの定数)
訂正
γ ' = lim[n→∞] ( Σ[k=2,n] 1/{k・log(k)} － log(log(n)) )
= 0.79467864… (おいらの定数)
>>745
mを自然数とする。
cos(2^{m-1}･π/7) + cos(2^{m}･π/7) + cos(2^{m+1}･π/7)
=－1/2 + 2cos(π/7)δ(m,1)
sin(2^{m-1}･π/7) + sin(2^{m}･π/7) + sin(2^{m+1}･π/7)
= (√7)/2 + 2sin(π/7)δ(m,1) >>759 微分して定数（≠0）なら一次式になる。
微分して ０ なら定数になる。
γ = lim[n→∞] ( Σ[k=1,n] 1/k － log(n) )
= 0.577215665… (オイラーの定数)
もしかしてγ’は“定数γの微分”ではなく“γっぽいべつの定数”の意味？
収束証明はダメなんじゃないの
受験数学では
単調増大有界数列は収束する
は禁止だよ
禁止というほどではない
実数の公理なのに使っていけないとは言えないだろ
そんなのが許されるなら
a1 = 0
a[n+1] = √(a[n]+1)
が収束する事を示せ
が秒で終わってしまう
>>765 高校数学では実数の公理は教えないんだね。
完備性がないから、コーシー列でも収束するとは限らん？
となると、使える手が少ないなぁ。
>>767 もし収束するなら極限は
φ = (1+√5)/2 = 1.618034
しかない。
φ－a[n+1] = {1/(φ+a[n+1])} (φ－a[n]),
φ－a[1] = φ > 0 だから φ－a[n+1] > 0,
∴ 1 ≦ a[n+1] < φ,
また
0 < 1/(φ+a[n+1]) ≦ 1/(φ+1),
より
0 < φ－a[n+1]
< (φ－a[1])/(φ+1)^n
= φ/(φ+1)^n
と挟み撃ちにするのかな。まで 59秒…
受験数学で証明抜きに使っていいのは検定教科書に載ってるものと問題文に使っていいと言われてるものだけ
教科書に載ってる証明できますかも出題される
その場合はもちろん「教科書に載ってるので明らか」は禁止
>>764 正解です!!
これも高校数学では教えません。
まぁ一応このタイプは単調増大列b[n](n≧0)で
lim b[n] = q
lim a[n]/(b[n]-b[n-1]) = 0
となるものを選んでおいて p=b[0] として
f(x) = -6 a[n]((x-b[n])(x-b[n-1])/(b[n]-b[n-1]))^3 ( b[n-1]≦x≦b[n] )
= 0 ( x = q )
とおけば p≦x≦q で定義された連続関数で
Σ[n=1,N] a[n] = ∫[b[0],b[n]] f(x)dx
と挟み撃ち論法と教科書範囲内の積分の不等式でなんとかなる場合が多い
連続関数で１対１ならば狭義単調関数である事は高校範囲で証明できますか？
このスレでの書き込み回数多い奴⊂日本語読解力がない奴
>>782 どういった部分を詳しく知りたいとかある？
全然分からないからわかりやすいのがいいとか、
演習の解説が多いのがいいとか
積分だけをまとめた成書はあまり思いつかないけど…
入江盛一 著：「積分学」培風館(新数学シリーズ19) (1961)
公式集は色々ある。
森口・宇田川・一松 著：「数学公式 I」岩波全書221 (1956)
ピーアス・フォスター 著：「改訂 簡約積分表」ブレイン図書出版 (1972)
(理工学海外名著シリーズ6)
B.O.Peirce・R.M.Foster："A short table of integrals", 4th edition (revised version)
D.B. de Haan：「定積分表」岩波書店 (1935)
大きい図書館ならあるかも。
NDLサーチ で目次etcを見れるのもあります…
(国立国会図書館)
ピーアス・フォスターの積分公式(の一部)は証明もあるようです。
「三角関数を含む式」(266～389)
//izumi-math.jp/Y_Murata/sanpomichi10.pdf
「指数関数を含む式」（411～435) および「その他の関数を含む式」
//izumi-math.jp/Y_Murata/sanpomichi11.pdf
「対数関数を含む式」(442～460)
//izumi-math.jp/Y_Murata/sanpomichi09.pdf
>>743 何を得かと考えるか次第では？
乗数効果を勘案すれば、③
東大合格者向けの命題の問題
次の各命題が恒真命題であるか否かを答えよ。
(1) 罵倒厨ならば（自演認定厨ならば罵倒厨である）。
(2) (罵倒厨でないならば 罵倒厨である）ならば 自演認定厨である。
lim[n→∞] Σ[k=1,n] k/(k^2+1) - logn
を求めよ。
必要であれば以下の実数γをもちいてよい。
lim[n→∞] Σ[k=1,n] 1/k - logn = γ
お願い乞食になりすまして、狙ってあれこれボカしてるわけですね
一辺の長さが1の正三角形ABCの内部に点PをAP=1となるようにとる。
このとき積BP・CPの最大値を求めよ。
3^26の桁数を求めよ。
（質問者注：対数の値は用意されていません）
>>798 高校数学の質問をしておりますので、本スレッドが最も適当な質問場所でございます
>>800 はい、質問の仕方を教えていただけないでしょうか
>>801 イヤだよスレ違いだもの
余所で聞いて身につけてからまたここで質問して
3^26の桁数を求めよ。
（質問者注：対数の値は用意されていません）
>>797 3^2=9<10
3^26<10^13
10^12≦3^26
3^13=3^83^43^1=6561・81・3=6561・243=1594323>10^6
10^12<3^26<10^13
13桁
>>805 正解です
新潟大学で出題されております
>>797, 803
(1+1/n)^{n+0.5} → e (n→∞)
n= 3･3 = 9 とする。
(10/9)^{9.5} ≒ e ≒ 9/√10,
∴ 10^10 ≒ 3^21,
また 3^5 = 243 は 3桁。
∴ 3^26 は 13桁。 2次不等式2x²-3x-2≦0…①を満たすxの値が常に2次不等式x²-2ax-2≦0を満たすような実数aの範囲を求めよ
解説 ①から…(略)… -1/2≦x≦2…②
f(x)=x²-2ax-2とすると求める条件はf(-1/2)≦0かつf(2)≦0
f(-1/2)≦0から…a≦7/4…③ f(2)≦0から…a≧1/2…④
②~④から1/2≦a≦7/4(ここが謎)
なんで②を参照しないといけないのでしょうか
◆Table[3^n,{n,1,26}]
3
9
27
81
243
729
2187
6561
19683
59049
177147
531441
1594323
4782969
14348907
43046721
129140163
387420489
1162261467
3486784401
10460353203
31381059609
94143178827
282429536481
847288609443
2541865828329 [13]
∴13桁
6^3+8^3=9^3-1
6^3=8(3^3)
8^3=19(3^3)-1
9^3=27(3^3)
6^2+8^2=10^2
1は自然数最小の立方数
9^3-1=26(3^3)+26
3^2024（十進法）の先頭の数字を求めよ。
応用問題
3^2024（十六進法）の先頭の数字を求めよ。
3^2024（十六進法）の先頭の数字を十六進法で示せ。
傑作質問です
一辺の長さが1の正三角形ABCの内部に点PをAP=1となるようにとる。
このとき積BP・CPの最大値を求めよ。
>>820 繰り返し同じ書き込みをする行為は荒らしです
すぐにやめなさい
>>799 同感。
質問だけだと過疎スレになるから。
出題があると賑わっていいと思う。
>>822 荒らしではありません
スレの趣旨に則らない書き込みが荒らしです
>>823 過剰な出題のせいで質問の書き込みが減っているとは考えられませんか？
それに質問がないならないで過疎スレになるのは当然であり、
出題スレを賑わせば良いだけです
高校数学の質問スレだけを賑わす理由にはなりません
まぁそもそもこいつの書き込みが数学的に全く意味がないのでどこに書かれても迷惑なんだけどな。
こいつがこの世界で役に立てることなど一つもない
傑作質問です
一辺の長さが2の正三角形ABCの内部に点PをAP=1となるようにとる。
このとき積BP・CPの最大値を求めよ。
AB = AC = 2, AP = 1,
より
A (0, 0)
B (√3, -1)
C (√3, 1)
P (cosθ, sinθ) (-30°<θ<30°)
とおく。
第二余弦定理より
BP^2 = AB^2 + AP^2 － 2 AB AP cos(30°+θ)
= 5 － 4 cos(30°+θ),
CP^2 = AC^2 + AP^2 － 2 AC AP cos(30°-θ)
= 5 － 4 cos(30°-θ),
辺々掛けて
(BP･CP)^2 = {5－4 cos(30°+θ)} {5－4 cos(30°-θ)}
= 21 － (5√3)(4 cosθ) + (4 cosθ)^2 (和積公式 と 積和公式)
= 3 － (3√3 － 4 cosθ) (4 cosθ － 2√3)
< 3, 2√3 < 4 cosθ ≦ 4,
BP・CP < √3 = 1.7320508 (上限)
最大値はない。
最小値は 5－2√3 = 1.5358984 (θ=0)
>>816
log[10](3^2024) = 2024*log[10](3)
= 2024 * 0.47712125472…
= 965.693419552596773…
3^2024 = 10^0.693419552596773… × 10^965
= 4.9365046745249376688… × 10^965 >>817 2024_h = 8228,
2024_h * log(3)/log(16) = 3260．267863983418265250341…
3^{2024_h}
= 16^{0．267863983418265250341…} × 16^{3260}
= 2．101553135116828329… × 16^{CBC_h}
= 2．19FF62E222…_h × 16^{CBC_h}
>>829 変数が１つなので計算は楽だな。
最小になるときのPの位置をR言語で作図。
Gは重心。
∠PABを横軸、縦軸にBP*CPをとってグラフ化
>>834 想定解通りです。
先頭数字は十六進法で２、十進法で５
>>829 Rでの数値解
> f=\(th){
+ A=0i
+ B=2+0i
+ C=1+1i*sqrt(3)
+ P=cos(th)+1i*sin(th)
+ abs(B-P)*abs(C-P)
+ }
> curve(f,0,pi/3)
> optimize(f,c(0,pi/3))
$minimum
[1] 0.5235988
$objective
[1] 1.535898
> f(0)
[1] 1.732051
> f(pi/3)
[1] 1.732051
Wolfram言語での厳密解
Wolfram Language 14.0.0 Engine for Microsoft Windows (64-bit)
Copyright 1988-2023 Wolfram Research, Inc.
In[1]:= f[x_] := EuclideanDistance[{2,0},{Cos[x],Sin[x]}]*EuclideanDistance[{1,Sqrt[3]},{Cos[x],Sin[x]}]
In[2]:=
In[2]:= Minimize[{EuclideanDistance[{2,0},{Cos[x],Sin[x]}]*EuclideanDistance[{1,Sqrt[3]},{Cos[x],Sin[x]}],0<=x && x<=Pi/3},x]
Pi
Out[2]= {5 - 2 Sqrt[3], {x -> --}}
6
In[3]:= Maximize[{EuclideanDistance[{2,0},{Cos[x],Sin[x]}]*EuclideanDistance[{1,Sqrt[3]},{Cos[x],Sin[x]}],0<=x && x<=Pi/3},x]
Out[3]= {Sqrt[3], {x -> 0}
せっかく誘導しても日本語通じないチンパンには無駄みたいだねw
>>839 Rのスレは既に利用している。
罵倒厨もいなくて的確なレスがくるね。
医師板まで出張して荒らしている、ここの罵倒厨が荒らしにくるかもしれんが。
>>783 公式の導出から
易しく広く解説してある
本がいいです
書き込んだから何だってんだよ
スレの趣旨から大きく外れてる書き込みしてることには変わりないだろ
とっとと出てけ！
>>839 目指せ、両刀使い！
WolframのIntegerDigitsをRに移植
IntegerDigits=\(n,b) n%/%b^(floor(log(n)/log(b)):0) %% b
> IntegerDigits(3^26,10)
[1] 2 5 4 1 8 6 5 8 2 8 3 2 9
> IntegerDigits(3^26,16)
[1] 2 4 15 13 3 0 2 7 15 14 9
照合
Wolfram Language 14.0.0 Engine for Microsoft Windows (64-bit)
Copyright 1988-2023 Wolfram Research, Inc.
In[1]:= IntegerDigits[3^26,10]
Out[1]= {2, 5, 4, 1, 8, 6, 5, 8, 2, 8, 3, 2, 9}
In[2]:= IntegerDigits[3^26,16]
Out[2]= {2, 4, 15, 13, 3, 0, 2, 7, 15, 14, 9}
17桁を越えるとRは間違える
>>841 スレチにわざわざ誘導してくれてるのが罵倒なのか？
被害妄想も大概にしろよw
>>839 それはWolframAlphaのスレじゃん。
WolframScriptのコードをいれても計算してくれないぞ。
>321みたいな誤解をしてんじゃないの？
>>841 お前、ビビって医者板で何も書き込んでないみたいじゃん
無能のくせに偉そうやのう
自称医科歯科出身の医者()であるにも関わらず何科が有名かの質問にすらダンマリ決め込んでる模様w
>>846はこのスレがWolframScriptのスレだと思ってる…ってコト！？
前
>>747 >>829 図を描くと、
PがABの中点またはACの中点にあるときBP・CP=√3
Pが∠Aの垂直二等分線上にあるときピタゴラスの定理より、
BP=CP=5-2√3
∴5-2√3≦BP・CP≦√3
最大値は√3
前
>>851訂正。
>>829 図を描くと、
PがABの中点またはACの中点にあるときBP・CP=√3
Pが∠Aの垂直二等分線上にあるときピタゴラスの定理より、
BP=CP=√(5-2√3)
∴5-2√3≦BP・CP≦√3
最大値は√3
>>847 若い頃は連休は救急病院でバイトしていたけど、
今は家族とゆっくり過ごす。
医師が羨ましいなら再受験すればいいのに。
俺の同期は２～３割は再受験組だったな。
歯学部には東大数学科卒もいた。
>>854 脳内医者いつになったらまともな書き込みできんだよw
>>854 ここは高校数学質問スレです
意味不明な書き込みは控えて下さい
>>830 △ABCの中心 (2/√3, 0) のまわりの円周（半径ρ）上にPをとる。
P (2/√3 + ρ･cosφ, ρ･sinφ)
このとき
AP･BP･CP = √{(464/27 + ρ^6) + (16/3√3)ρ^3･cos(3φ)},
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A J Q Kを使った十四進法を考える。
十四進法の分数1/2024を十四進法の小数で小数14位まで表せ。
（14は十進法の14の意）
nを自然数の定数とする。
lim[x→0] {x^n-sin(xn)}/x^k
が0でない定数に収束するようなkをnで表せ。
AI時代に従来の
プログラミングスキルは不要
プロンプトで指示さえすれば、
生成AIがプログラムを書く
これまでプログラミング言語と
縁がなかった文系人間にも
チャンスがある
＞858をChatGPTに入力したら誤答が返ってきた。
750：卵の名無しさん (JP 0H52-4JRL [217.138.212.122 [上級国民]])：[sage]：2024/05/05(日) 20:35:30.02 ID:94ULEsEqH
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A J Q Kを使った十四進法を考える。
十四進法の分数1/2024を十四進法の小数で小数2024位まで表せ。
これ、誰かさんの"医者板"での書き込みです
板名すら理解できないアホがどうして医者や数学なんかできるんでしょうか？
>>858 2024_t = 5520,
1/2024_t = 1/5520
= 0.000181159420289855072463768115942…
= 0.0006D6091387C3007D4CA561ADD60913…_t
循環節の長さは 22 = 18_t 桁
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D を使った。
_t は tetradecimal
>>858 R言語による計算
> f=\(m=14,n=2024){
+ sn=n%/%10^(floor(log(n)/log(10)):0) %% 10
+ a=1/sum(14^((length(sn)-1):0)*sn)
+ s=c('1','2','3','4','5','6','7','8','9','A','J','Q','K','0')
+ cat('0.')
+ for(i in 1:m){
+ cat(s[ifelse(floor(a*14^i),floor(a*14^i),14)])
+ a = a - (14^-i)*floor(a*14^i)
+ }
+ cat('\n')
+ }
> f(14)
0.0006K6091387Q3
>>865 Wolfram言語による解法
a=1/(14^^2024);
m=2024;
re={};
For[i=1,i<m,i++,(re=Append[re,Floor[a*14^i]]; a=a-(14^-i)*Floor[a*14^i];)];
f[x_] := If[x==0,"0",{"1","2","3","4","5","6","7","8","9","A","J","Q","K"}[[x]]]
StringJoin["0.",f /@ re]
出力結果は底辺シリツ医スレに掲載
http://2chb.net/r/hosp/1705363640/754 Wolfram言語の使える東大合格者の方の検証and/or最適化を希望します。
R言語でプログラムを作ってWolfram言語の同等機能関数(paste0はStringJoinなど）を検索して移植すると
ForやIfを含むコードになるなぁ。Table関数とかが操れるとWolframぽいのだが。
>>868 検索していたらRealDigitsという関数あったので、これを使って
２行に短縮
f[x_] := If[x==0,"0",{"1","2","3","4","5","6","7","8","9","A","J","Q","K"}[[x]]];
StringJoin["0.",f /@ RealDigits[1/(14^^2024),14,2024][[1]]]
可読性を無視して無理やり１行に纏める。
StringJoin["0.",If[#==0,"0",{"1","2","3","4","5","6","7","8","9","A","J","Q","K"}[[#]]]& /@ RealDigits[1/(14^^2024),14,2024][[1]]]
出力結果の始めを抜粋
In[1]:= StringJoin["0.",If[#==0,"0",{"1","2","3","4","5","6","7","8","9","A","J","Q","K"}[[#]]]& /@ RealDigits[1/(14^^2024),14,2024][[1]]]
Out[1]= 0.6K6091387Q3007K4QA561AKK6091387Q3007K4QA561AKK6091387Q3007K4QA561AKK6091387Q3007K4QA561AKK6091387Q3007K4QA56\
>>868 あんた、こんなヒドいスレ立ててる人なんだね
チラって見たけど、みんなに馬鹿にされてるし内容も医者板で書く内容じゃないし何がしたいん？
真実を公言した東大卒の才媛は追い詰められたようだ。
nを正整数とする。n=97のとき1/n=1/97は96桁の循環節になることが知られている。
(1) 96桁超過の循環節をとる1/nでnの最小値を求めよ。
(2) 循環節が1万を越えるのはnの最小値を求めよ。
あらゆるフリーリソースを用いてよい。
nを正整数とする。n=97のとき1/n=1/97は96桁の循環節になることが知られている。
(1) 96桁超過の循環節をとる1/nでnの最小値を求めよ。
(2) 循環節が1万を越えるnの最小値を求めよ。
あらゆるフリーリソースを用いてよい。
>>872 リアルでは誰も相手してくれないから5chでバカにされたいよです
>>872 高校数学の質問スレで延々とスレ違いの書き込み続けるくらいだし、
あもありなんとしか
尿瓶ジジイID:xxhQy/YGはいつまで経ってもスレチという概念が理解できないチンパンジーみたいだね
もはや病気だよ、てか統失
そんなのが東大とか笑わせる
一辺の長さが1の正三角形ABCの内部に点Pをとり、∠APB=120°となるようにする。
PのABに関する対称点をQとするとき、QA+QB+QCの取りうる値の範囲を求めよ。
練習問題
十進法で1/2024で表される数値を二進法の小数で表すとき
(1) 循環節は何桁の数字になるか？
(2) 循環節を列挙せよ。
あらゆるフリーリソースを用いてよい。
(参考にならない資料)
1/2024（十進法) =
0.00000000001000000110000100100011011010100011111010111100001101001001110111011001100011001010
01011111000111010101100000001000000110000100100011011010100011111010111100001101001001110111011001
10001100101001011111000111010101100000001000000110000100100011011010100011111010111100001101001001
11011101100110001100101001011111000111010101100000001000000110000100100011011010100011111010111100
00110100100111011101100110001100101001011111000111010101100000001000000110000100100011011010100011
11101011110000110100100111011101100110001100101001011111000111010101100000001000000110000100100011
01101010001111101011110000110100100111011101100110001100101001011111000111010101100000001000000110
00010010001101101010001111101011110000110100100111011101100110001100101001011111000111010101100000
00100000011000010010001101101010001111101011110000110100100111011101100110001100101001011111000111
01010110000000100000011000010010001101101010001111101011110000110100100111011101100110001100101001
011111000111010101100000001000000110.....
>>873 それが日本の常識とかモラルのある医者が書く内容じゃないだろ
>>884 アンタはいつになったら板名やスレタイ、というか日本語理解できるのアホ尿瓶ジジイ
65過ぎても理解できないなら一生無理ってこと？
>>885 不正入試で除籍になったシリツ医大生は皆無。
∴ シリツ医＝裏口容疑者という結論になる。
>>887 相変わらず日本語通じてないみたいだね
アンタがモラルのない(脳内)医者だって言ってんだよアホがw
>>883 Rによる数値解
> f(max,TRUE)
[1] 2.309401
> min=optimise(f,c(-150/180*pi,-30/180*pi),maximum=FALSE)$minimum
> f(min,TRUE)
[1] 2.000026
>>887 そんなに私立医の人を目の敵してるってことは医学部受験失敗したニートか
もしくはルシファー的存在？
だから数学板でわけわかんないこと書き込んでるの？
>>889 厳密値を出すためにRのコードをWolframに移植。
f[t_] :=(
r=1/Sqrt[3];
Q={r*Cos[t],r*Sin[t]};
A1={r*Cos[-(5/6)Pi],r*Sin[-(5/6)Pi]};
B1={r*Cos[-Pi/6],r*Sin[-Pi/6]};
C1={0,r};
EuclideanDistance[Q,A1]+EuclideanDistance[Q,B1]+EuclideanDistance[Q,C1]
)
In[7]:= f[t_] :=(
r=1/Sqrt[3];
Q={r*Cos[t],r*Sin[t]};
A1={r*Cos[-(5/6)Pi],r*Sin[-(5/6)Pi]};
B1={r*Cos[-Pi/6],r*Sin[-Pi/6]};
C1={0,r};
EuclideanDistance[Q,A1]+EuclideanDistance[Q,B1]+EuclideanDistance[Q,C1]
)
In[8]:= Minimize[{f[t],-(5/6)Pi<=t && t<= -Pi/6},{t}]
-5 Pi
Out[8]= {2, {t -> -----}}
6
In[9]:= Maximize[{f[t],-(5/6)Pi<=t && t<= -Pi/6},{t}]
4 1
Out[9]= {-------, {t -> -(-) Pi}}
Sqrt[3] 2
最小値２
最大値 4/sqrt(3)=2.309401
Rでの数値解とほぼ一致。
Wolfram Scriptの演習になった。
>>890 そういう医師を羨むレスは不要なので答合わせしたいから>884の答を出してくれ。
0と１の数列でどこが循環節なのか確信できないので。
東大合格者なら計算できるはず。
>>883 一辺の長さが1の正三角形ABCの内部に点Pをとり、∠APB=120°となるようにする。
PのABに関する対称点をQとするとき、QA+QB+QCの取りうる値の範囲を求めよ。
を
Microsoftのcopilotに入力した結果
＞このようにして、QA+QB+QCの取りうる値の範囲は、[QA + QB + QC = AP + BP + PC = 1 + 2 + \sqrt{3} = 3 + \sqrt{3}] です。
ChatGPTに入力した結果
＞ABCが正三角形であるため、BCの長さは1となります。したがって、QA+QB+QCの最小値は1/2、最大値は2となります。
俺の答とは異なるなぁ。
東大合格者による検証を希望します。
>>884 十進法で1/2024で表される数値を二進法の小数で表すとき
(1) 循環節は何桁の数字になるか？
(2) 循環節を列挙せよ。
をcopilotとChatGPTに入力してみた。
Copilot
>したがって、1/2024を二進法の小数で表すと、循環小数「0.00049407…」の循環節は「49407」です。
CHatGPT
>同様にして計算を続けると、循環節が現れるまでに時間がかかりますが、おおよそ 1024 桁程度で周期性が現れます。これは 1/1024 の場合と同様の循環節です。
循環節を列挙すると、0.000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
1/2024の二進法の小数表記について、循環節は1024桁で周期性が現れます。循環節は列挙すると、非常に長くなりますが、周期的なパターンが現れることがわかります。
どちらも使い物にならんな。
>>884 ChatGPTの答
与えられた二進数の列は非常に長く、循環節がどこにあるのかを素早く特定するのは難しいです。
循環節を見つけるためには、一般的には次のような手順を取ります。
（以下略）
|x+1| + |x-2|= x + 2 を解きなさい
尿瓶チンパンフェチのPhimoseくんがサクッと答をだせばいいと思うのに
悲しいかな東大合格者じゃないから、RもPythonの使えないみたいだなぁ。
>>898 ここは高校数学質問スレなんだけど
お前のオナニー問題を解かせるスレじゃねーから
ほら、立ててやったからそこにいくらでも書き込んでいいぞ
もうこのスレ来んなよスレ違いだから
↓
東大合格者に問題を検証してらうスレ
http://2chb.net/r/math/1714965157/ >>896 ChatGPTが1つだけ答を返してきた。
copilotは完全な誤答を返してきた。
>>899 やはり、東大合格者じゃなかったようだな。
合格通知の書式すら知らなかったからなぁ。
どこのシリツなんだ？
>>901 そりゃ高校生だからな
むしろお前こそ何でここいんの？
>>901 お前みたいなGWに5chに常駐するような
寂しい大人には絶対なりたくないな
お前が医者だと言うのも正直怪しい
もっと医者賢いだろ
高校生でもなく質問に答えるでもなく、
スレ違いの書き込みばっかりするじいさんって惨めだな
高校数学スレでしかイキれない、
純粋数学は理解できないってことだろうし
>>900 アンタと同じくらいポンコツだね
高校生にバカにされて楽しいか？w
>>903 あまりご存知ないようなので一応説明しておきます
こいつID:xxhQy/YGは医者板と数学板に長年(少なくとも9年以上)粘着している自称医科歯科卒()の脳内医者の荒らし、通称尿瓶ジジイです
>>901 東大合格者を求めるなら高校数学スレよりふさわしいスレいくらでもあるでしょ
そういうことにすら思い至らないのは頭が悪いだけだよね
皆さまに厳選質問にご回答していただくためには何が必要ですか。
>>884 循環節を計算するR言語のスクリプト
d=unlist(read.csv('10000.csv',header = FALSE))
f=\(x){
u=d[1:x]
n=length(d)%/%x
all(rep(u,n)==d[1:(x*n)])
}
y=sapply(1:1000,f)
which(y)
これを移植
循環節を計算するWolfram言語のスクリプト
d=RealDigits[1/2024,2,10000][[1]];
f[x_] := (
u=d[[1;;x]];
n=Floor[Length[d]/x];
Flatten[Table[u,n]]==d[[1;;(x*n)]]
)
Select[Range[1000],f]
答が出せた。数字が０１だけなので目視で循環節の見当をつけるのは至難の技。
東大合格者の解答が投稿されたら照合の予定。
For[a=1/2024;buff={},FreeQ[buff,a],a=FractionalPart[2*a],AppendTo[buff,a]];
Length[buff]-Position[buff,a][[1]][[1]]+1
110
循環節ネタの練習問題
pを7以上の素数とする（10の約数2,5を除くための制約）。
1/pを十進数で小数表示したときの循環節の長さはp-1の約数であるという。
10000個の素数でこれを体感してみよ。
>>914 体感してみる？はあ？w
それが数学の問題って言い張るわけ？
一体誰に向かって話してんだ？バカも休み休み言えよw
>>912 レスありがとうございます。
想定解110と合致しました。
y=sin(π/2)に対し、
∫[0,1] y dx
を求めよ。
>>884
(1)
1/2024 = (1/8)(1/253)
= (1/8)･5130728121081845482737644594091/(2^110－1),
∴ 循環節の長さ 110桁 (>>912と一致)
(2)
0.000
「0000000100 0000110000 1001000110 1101010001
1111010111 1000011010 0100111011 1011001100
0110010100 1011111000 1110101011」
「…」を繰り返す。 >>883
△ABCの外接円の中心をOとする。半径 R=1/√3,
A (R/2, 1/2)
B (R/2, －1/2)
C (－R, 0)
題意より ⊿AQB ≡ ⊿APB,
∴ ∠AQB = ∠APB = 120° = 180°－∠C,
∴ Q は ABCの外接円上にある。
Q (R･cosθ, R･sinθ) -60°<θ<60°
∠AOQ = 60°－θ,
∠BOQ = 60° + θ,
∠COQ = 180°－θ,
AQ + BQ + CQ
= 2R{sin(30°－θ/2) + sin(30°+θ/2) + cos(θ/2)}
= 2R{cos(θ/2) + cos(θ/2)} ← 和積公式
= 4R cos(θ/2),
最大値 4/√3 (θ=0)
最小値 2 (θ=±60°) 前
>>852 >>883 maxQC=(√3/2)×(4/3)=2√3/3
maxQA=maxQB=(√3/2)×(2/3)=√3/3
max(QA+QB+QC)=√3/3+√3/3+2√3/3=4√3/3
min(QA+QB+QC)=0+1+1=2
∴2≦QA+QB+QC≦4√3/3
>>912 知らない関数がでてきたので仕様と解法のアルゴリズムを理解するために、
小さな数にして途中経過を表示させてみました。
For[a=1/6;buff={},FreeQ[buff,a],a=FractionalPart[2*a],Print[FreeQ[buff,a]];Print[a];Print[buff];AppendTo[buff,a];Print[buff];Print["\n"]]
FreeQ[buff,a]
a
buff
Position[buff,a]
Length[buff]-Position[buff,a][[1]][[1]]+1
エレガントな解法に感服。
他の人のコードを読むのは勉強になります。
今後とも御助言をよろしくお願いします。
>>923 正しく理解できているかを確認のために>912の神スクリプトをRに移植。
Rは分数のままでは扱えないので文字列と数字の変換操作を組み込んでコードした。
a="1/2024"
buff=NULL
while(!(a %in% buff)){
buff=c(buff,a)
a |> str2lang() |> eval() -> b
(2*b - floor(2*b)) |> MASS::fractions() |> as.character() -> a
}
length(buff) - which(buff==a) + 1
結果
> length(buff) - which(buff==a) + 1
[1] 110
>>910 東大合格者が「高校数学」の質問スレに顕れるはずないだろ
何も書き込まず永遠に待ち続けてろ
>>925 東大合格通知を受け取ったことないの？
ハガキ大で公印も押されてなくて有り難みのない書式だったぞ。
>>926 だから何？wそれが何の証明になるんだよ
アンタがそれに及ばないアホってことくらいみんな知ってるぞ？
>>926 受け取ったことなんてあるはずないだろ
共通テストすらまだまだ先の高一なんだからさ
受け取ったことある人探してるなら他行った方が効率いいのに何でそうしないの？
スレタイ読めないの？
>>924 分数が扱えないなら、リストへのアクセス時は、整数にしておけば良い
For[a=1/2024;b=1/a;buff={},FreeQ[buff,a*b],a=FractionalPart[2*a],AppendTo[buff,a*b]];
Length[buff]-Position[buff,a*b][[1]][[1]]+1
最初から2024倍したものを扱うことにすれば
For[a=1;b=2024;buff={},FreeQ[buff,a],a=Mod[2*a,b],AppendTo[buff,a]];
Length[buff]-Position[buff,a][[1]][[1]]+1
というわけで、極めて一般的な進法変換アルゴリズムに帰着。スタート地点はこれ。
エレガントな訳が無い。
>>929 受け取ったことないね
まだ高校生だから
で、匿名掲示板でそれが東大合格の証明になるとでも？
>>900 chatgpt4.0なら、間違えないんだろうか？
I[n] = ∫[1,e] (x^n)*(logx) dx
とする。
（1）I[1]を求めよ。
（2）I[n+1]をI[n],...,I[1]のうち必要なもので表せ。
（3）I[5]を求めよ。
>>930 Rは不定長整数に非対応。分母分子が大きくなると誤差がでてくる。
22桁までは表示してくれるが、あとは1.234567890.... e10とかいう表示法になる。
>>723 怒涛のwolfram一行入力
5×6の場合
宝：1個 同等
宝：2～8個 短軸有利
宝：9～21個 長軸有利
宝：22～30個 同等
□■■■■■
□□■■■■
□□□■■■
□□□□■■
□□□□□■
短軸有利☆
Table[sum[C(2n-1+C(0,n-2 mod7)+3C(0,n-4)+C(1,n-7),k-1),{n,1,14}],{k,1,30}]
長軸有利☆
Table[sum[C(2n-1+C(0,30mod n)-C(0,n-2)-2C(0,n-5)-C(1,n-8),k-1),{n,1,14}],{k,1,30}]
同等☆
Table[sum[C(2n-1-3C(1,n-9),k-2),{n,9,14}],{k,1,30}]+Table[C(29,k-1)+C(1,k),{k,1,30}]
部分積分で
∫ (x^n) log(x) dx
= (1/(n+1)) x^{n+1} log(x) － (1/(n+1))∫ x^n dx
= x^{n+1}((n+1)log(x)－1)/(n+1)^2,
x^{n+1} = u とおくと
∫ (x^n) log(x) dx
= (1/(n+1)^2) ∫ log(u) du
= u(log(u)－1)/(n+1)^2
= x^{n+1}((n+1)log(x)－1)/(n+1)^2,
x=e^t とおくと
∫ (x^n) log(x) dx = ∫ e^{(n+1)t}・t dt
= (1/(n+1))e^{(n+1)t}・t － (1/(n+1))∫ e^{(n+1)t} dt
= e^{(n+1)t}((n+1)t－1)/(n+1)^2
= x^{n+1}((n+1)log(x)－1)/(n+1)^2,
∴ I[n] = (n･e^{n+1} +1)/(n+1)^2,
(1) I[1] = (ee+1)/4 = 2.097264…
(2)
(3) I[5] = (5e^6 +1)/36 = 56.059555…
>>743 100円の商品を50円引きで買うと
50％の得
200円の商品を50円引きで買うと
25％の得
200円の商品を100円引きで買うと
50％の得
200円の商品購入時に
100円の商品の2倍の便益を得る
とすると
どちらも損得はないので③
>>936
nを実数として
(∂/∂n) x^n = (∂/∂n) e^{n･log(x)}
= e^{n･log(x)}・log(x)
= (x^n) log(x),
I[n] = ∫[1,e] (∂/∂n) x^n dx
= (d/dn)∫[1,e] x^n dx
= (d/dn) [ x^{n+1} /(n+1) ](x：1→e)
= (d/dn) (e^{n+1}－1)/(n+1)
= (n･x^{n+1}－1)/(n+1)^2, これだけ無駄口叩いて偉そうにしてるスレ違い続ける奴、
>>782の質問に誰も答えないのな
質問だけだと過疎スレになるとか言いつつ、
やってることは質問を埋もれさせて質疑応答を成り立たせない荒らしでしかない
◆予算は200円, 50円引きクーポン一枚
100円の商品二つをクーポン一枚で
購入すると、支払いは150円
200円の商品一つをクーポン一枚で
購入すると、支払いは150円
どちらも支払い総額が同じなので③
>>938 最後の行
= (n･e^{n+1} +1)/(n+1)^2,
でした。
>>921 θ/2 方向の単位ヴェクトルをｅとすると、
↑OA・ｅ = R cos(60°－θ/2) = R sin((60°+θ)/2) = BQ/2,
↑OB・ｅ = R cos(60°+θ/2) = R sin((60°－θ)/2) = AQ/2,
↑OC・ｅ = －R cos(θ/2) = －R sin(90°－θ/2) =－CQ/2,
辺々たすと
∴ 0 = AQ + BQ －CQ,
∴ AQ + BQ + CQ = 2CQ.
初歩的なすみませんですみません
この方程式の分母を払うとありますが具体的にどんな手順で進めればいいでしょうか？
最初の3（sθ-cθ）＝sθ＋cθへの式が形自体はわかるのですが、どことどこを掛けているのかわかりません
またsin/cos＝tanθの公式はわかりますがそこからなぜ2と求められるのか理解できません
＝＝＝＝＝●ここでチャレンジ！演習問題●＝＝＝＝＝
No.1
(sinθ－cosθ)/(sinθ+cosθ) = 1/3 のとき、tanθの値として正しいものは
次のうちどれか。
正答： 2
解説：与式の分母を払う。
(sinθ－cosθ)/(sinθ+cosθ) = 1/3,
3(sinθ－cosθ) = sinθ + cosθ,
2sinθ = 4cosθ,
両辺を 2cosθ でわると、
sinθ/cosθ = 2,
よって
tanθ = 2,
-------------------------------------------------------------
・「分母を払う」とは、一辺の分母を両辺に掛け、
それによって反対の辺に移すことです。
al gabr ともいいます。
解説では、左辺の分母 sinθ+cosθ と 右辺の分母 3 を
同時に払っています。
(sinθ－cosθ)/(sinθ+cosθ) = 1/3,
3(sinθ－cosθ)/(sinθ+cosθ) = 1,
3(sinθ－cosθ) = (sinθ+cosθ),
3sinθ－3cosθ = sinθ+cosθ,
3sinθ－sinθ = 3cosθ+cosθ,
2sinθ = 4cosθ,
sinθ = 2cosθ,
sinθ/cosθ = 2,
tanθ = 2,
1より小さい分数 a を三進法で有効数字1000個で表示させたところ以下のようになった。
a の値となりうる分数をひとつ答えよ
0.00002111122020221212221022220111100202001010001200002111122020221212221022220111100202001010001200002111122020221212221022220111100202001010001200002111122020221212221022220111100202001010001200002111122020221212221022220111100202001010001200002111122020221212221022220111100202001010001200002111122020221212221022220111100202001010001200002111122020221212221022220111100202001010001200002111122020221212221022220111100202001010001200002111122020221212221022220111100202001010001200002111122020221212221022220111100202001010001200002111122020221212221022220111100202001010001200002111122020221212221022220111100202001010001200002111122020221212221022220111100202001010001200002111122020221212221022220111100202001010001200002111122020221212221022220111100202001010001200002111122020221212221022220111100202001010001200002111122020221212221022220111100202001010001200002111122020221212221022220111100202001010001200002111122020221212221022220111100202001010001200002111122020221212221022220111100202001010
あらゆるフリーリソースを用いてよい。
>>947 で、何が質問なんだ？
自分の頭の悪さを評価してほしいの？
xy平面上の曲線C:y=sinxを考える。
Cのa≦x≦a+πの部分の長さをL(a)とする。
aを0≦a<2πを動く実数とするとき、L(a)の取りうる値の範囲を求めよ。
最大値と最小値の差を求めよ
とかならよかったのにな
ありがとうございます
何となく理解できたような気がします
両辺に3を掛けて右辺の分母を払い、その後左辺のsin＋cosを両辺にかけると言う手順でよろしいのでしょうか？
√の有利化とごちゃまぜになって両辺にsin -cosを掛けていて全く式変形できなかったので止まっていました
>>951 答えが欲しいなら別のスレでやったほうがいいよ
尿瓶ジジイID:b5SPzEJZが建てたスレだからもう何言っても粘着するだろうから隔離スレ作るしかないかもね
>>951 答えが知りたいならそう書けば？
日本語使えないクレクレ乞食なの？
>>944 グラフ化してTan[θ]=2を体感。
Jupyter経由でWolfram言語の練習
>>951 ほらこのスレ行けよ
2度と出てくるなよ
東大合格者に問題を検証してもらうスレ
http://2chb.net/r/math/1714965157/ 1/97 = 1/(10121_3)
= 822334464710025874880/(3^48 -1)
= 0.[0000211112 2020221212 2210222201 1110020200
10100012_3]
循環節の長さ： 48 = 1210_3
_3 は ternal
1/97 = N/(10^97 -1)
= 0.[0103092783 5051546391 7525773195 8762886597
9381443298 9690721649 4845360824 7422680412
3711340206 185567]
循環節の長さ： 96
N = 10309278350515463917525773195876288659793814432989690721649484536082474226804123711340206185567,
↑
1/97 = N/(10^9６ -1)
でした。
>>959 √121 － √120 = 11 －2√30
= 6 + 5 － 2(√6)(√5)
= (√6 － √5)^2,
(与式) = √6 － √5,
>>947 眼力（良好な視力と記憶力）があれば、どこが循環節か見つけ出せるだろうけど。
プログラムの練習問題として使える。
不定長整数に非対応のRだと文字列として処理して算出。
Wolframだとそのあたりは効率がいい。
>952
θに惑わされるけど
cosθ=x
sinθ=y
tanθ=t
と置くと
y=tｘ
(sinθ-cosθ)/(sinθ+cosθ)=1/3
(y-x)/(y+x)=1/3
(tx-x)/(tx+x)=1/3
>>960 レスありがとうございます。
想定解通りです。
Wolfram言語の練習に自作して自答した問題です。
おまけ コードのサラダ
txt="0.00002111122020221212221022220111100202001010001200002111122020221212221022220111100202001010001200002111122020221212221022220111100202001010001200002111122020221212221022220111100202001010001200002111122020221212221022220111100202001010001200002111122020221212221022220111100202001010001200002111122020221212221022220111100202001010001200002111122020221212221022220111100202001010001200002111122020221212221022220111100202001010001200002111122020221212221022220111100202001010001200002111122020221212221022220111100202001010001200002111122020221212221022220111100202001010001200002111122020221212221022220111100202001010001200002111122020221212221022220111100202001010001200002111122020221212221022220111100202001010001200002111122020221212221022220111100202001010001200002111122020221212221022220111100202001010001200002111122020221212221022220111100202001010001200002111122020221212221022220111100202001010001200002111122020221212221022220111100202001010001200002111122020221212221022220111100202001010
";
str=StringSplit[txt,"."][[2]];
str=StringSplit[str,""];
ls=Length[str];
d=str[[5;;ls]];
digits=1000;
f[x_] := (
u=d[[1;;x]];
n=Floor[Length[d]/x];
Flatten[Table[u,n]]==d[[1;;(x*n)]]
)
l=Select[Range[digits/2],f][[1]];(* l=48 *)
StringJoin[d[[1;;l]]]
nu=3^^211112202022121222102222011110020200101000120000;
IntegerString[(3^48-1)*3^4,3]
de=3^^2222222222222222222222222222222222222222222222220000;
nu/de
>>949 dy/dx = cos(x),
L(a) = L(0)
= ∫[0, π] √{1 + (dy/dx)^2} dx
= ∫[0, π] √{1 + cos(x)^2} dx
= (2√2)E(1/2)
= 3.820197789…
第2種完全楕円積分と云うらしい。。。
>>949 Rで作図
>>944 cosθ ≠ 0 なら
(sinθ－cosθ)/(sinθ+cosθ) = 1/3
は
(tan(θ)-1)/(tan(θ)+1) = 1/3
の方がわかりやすいかもしれん。
>>935 Wolfram Scriptによるシミュレーションプログラム
Wolfram言語の自習問題
*
宝は1マスに1個しか存在しないとする
5×6の場合
宝：1個 同等
宝：2～8個 短軸有利
宝：9～21個 長軸有利
宝：22～30個 同等
□■■■■■
□□■■■■
□□□■■■
□□□□■■
□□□□□■
*)
li=Range[30]; (* マスの番号 *)
(mat=Table[li[[6i-5;;6 i]],{i,1,5}]) // MatrixForm (* Matrix(1:30,nrow=5,ncol=6, byrow=TRUE)*)
short=Flatten[Table[mat[[All,i]],{i,6}]]; (* 短軸ルート 1,7,13,19,25,2,8,....,18,24,30 *)
long=li; (* 長軸ルート *)
sim[] := (
tre=RandomSample[li,RandomInteger[{1,30}]]; (* 30マス以下のマスに30個以下の宝をランダムに配置する *)
Max[Position[short,#]& /@ tre] - Max[tre] (* すべての宝を得るまでに探索したマスの数の差：短軸探索数-長軸探索数 *)
)
re=Table[sim[],1*^6];
Mean[Boole[# < 0 & /@ re]]//N (* 短軸有利割合 *)
Mean[Boole[# == 0 & /@ re]]//N (* 同等割合*)
Mean[Boole[# > 0 & /@ re]]//n (* 長軸有利割合*)
Mean[re] (* 総合判断 *)
Wolfram言語の使える方による推敲・最適化を期待します。
登録すれば無料で使えるので意欲的な高校生の参加も期待します。
医系ならR言語、理工系ならWolfram言語(Mathemaatica)は将来も役に立ちます。
Mean[Boole[# > 0 & /@ re]]//n (* 長軸有利割合*)
↓
Mean[Boole[# > 0 & /@ re]]//N (* 長軸有利割合*)
Mean[re] (* 総合判断 *)
↓
Mean[re] //N(* 総合判断 *)
医者板では全く相手にされずにここで高校生相手にマウントを取ろうとするも逆にけちょんけちょんにされるも何事もなかったかのようにチンパン数学を垂れ流しております
>>971 5 * 6 [2] : 203 , 197 , 35
5 * 6 [3] : 1801 , 1727 , 532
5 * 6 [4] : 11418 , 11008 , 4979
5 * 6 [5] : 55469 , 54036 , 33001
5 * 6 [6] : 215265 , 211894 , 166616
5 * 6 [7] : 685784 , 680768 , 669248
5 * 6 [8] : 1827737 , 1825076 , 2200112
5 * 6 [9] : 4130886 , 4139080 , 6037184
5 * 6 [10] : 7995426 , 8023257 , 14026332
5 * 6 [11] : 13346984 , 13395944 , 27884372
5 * 6 [12] : 19312228 , 19372871 , 47808126
5 * 6 [13] : 24301031 , 24358063 , 71100756
5 * 6 [14] : 26642430 , 26684251 , 92095994
5 * 6 [15] : 25463979 , 25488051 , 104165490
■R
# 宝の数を変化させる
treasure0 <- function(m=3,n=4,k=2){
y=1:(m*n)
(z=matrix(y,ncol=n,byrow=T))
(P=as.vector(z))
(Q=as.vector(t(z)))
PQ <- function(x){
p=q=numeric(k)
for(i in 1:k){
p[i]=which(P==x[i])
q[i]=which(Q==x[i])
}
min(p)-min(q)
}
tre=combn(m*n,k)
re=apply(tre,2,PQ)
return(c(短軸有利=sum(re<0),長軸有利=sum(re>0),同等=sum(re==0)))
}
sapply(1:12,function(k) treasure0(3,4,k))
> sapply(1:12,function(k) treasure0(3,4,k))
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11] [,12]
短軸有利 5 26 73 133 167 148 91 37 9 1 0 0
長軸有利 5 27 76 140 176 153 92 37 9 1 0 0
同等 2 13 71 222 449 623 609 421 202 64 12 1
>>975 min(p)-min(q)
は
max(p)-max(q)ではないでしょうか？
■haskellに移植
import Data.List
import Data.List.Split
m = 5 -- 縦マス(短軸）
n = 6 -- 横マス(長軸)
k = 5 -- 宝の数
q = [0..m*n-1]
matQ = chunksOf n q
matP = transpose matQ --行列を転置して
p = concat matP -- 配列に変換
combinations :: Int -> [a] -> [[a]]
combinations 0 _ = [ [] ]
combinations n xs = [ y:ys | y:xs' <- tails xs, ys <- combinations (n-1) xs']
treasure = combinations k q -- 宝の組み合わせ
ip y = minimum $ map(\x -> elemIndices x p!!0) y -- 宝の、配列ｐでのindex列を求めて最小値を返す
iq y = minimum $ map(\x -> elemIndices x q!!0) y
idxp = map ip treasure -- 宝の組み合せで実行して
idxq = map iq treasure
p_q = zipWith (-) idxp idxq -- 差をとって大小判別
p1st = length $ filter (<0) p_q -- 短軸方向探索ｐが先に宝をみつける
q1st = length $ filter (>0) p_q
draw = length $ filter (==0) p_q
main = do
putStrLn $ "p1st = " ++ show p1st ++ ", q1st = " ++ show q1st ++ ", draw = " ++ show draw
>matrix.exe
p1st = 55469, q1st = 54036, draw = 33001
宝の数と配置をランダムに決めるとして
１５×２のマスでもこの程度の差（単軸有利）に終わった。
> summary(re)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
-14.000 0.000 0.000 -0.212 0.000 13.000
Rのスクリプトが投稿されている。
他の人のプログラムを読むのは勉強になっていいなぁ。
短軸 sマス
長軸 l マス
宝 t 個
のときの総当たり計算
f=\(
s=5, # skort axis
l=6, # long axis
t=7){# tresure
sl=s*l
long=1:sl
mat=matrix(long,ncol=l,nrow=s,byrow=TRUE)
short=as.vector(mat)
os=order(short)
dif=combn(sl,t,\(x) max(os[x])-max(x))
list(
探索数差=mean(dif),
短軸有利=mean(dif<0),
同等=mean(dif==0),
長軸有利=mean(dif>0))
}
f()
最初の宝をみつけるかmin、お宝全部みつけるかmaxのどちらで計算するかだな。
P君が縦にnマス，
Q君が横にn+1マス移動時、
残ったマス数とk-1のコンビネーション
繰り返すだけ
>>944
迂回(まわり道)解法
P： (x, y) = (r･cosθ, r･sinθ)
とおけば
y/x = tanθ,
軸を45°回して y=x をu軸、y=-x をv軸とすると
(sinθ－cosθ)/(sinθ+cosθ) = v/u = tan(θ－45°),
u軸上に
Q： (x, y) = (3, 3) (u, v) = (3√2, 0)
をとる。
∠POQ = θ－45° となる点Pをとろう。
tan(∠POQ) = tan(θ－45°) = v/u = 1/3, (←題意)
P： (u, v) = (3√2, √2) (x, y) = (2, 4)
∴ tanθ = y/x = 2, >>981 それを多言語で自分の手足のように使って実装できるのがすばらしい。
最初の宝をみつけるまでの探索数が少ない方が有利と判定することにして
>979をWolframに移植
長短の差を大きめにして実行してみる。
(* s:短軸枡数 l:長軸枡数 t:宝の数 *)
s=2; l=15; t=3;
long=Range[s*l];
(mat=Partition[long,l])//MatrixForm;
short=Flatten[Transpose[mat]];
tre=Subsets[long,{t}];
long;
short;
os=Ordering[short];
subsets=Subsets[long,{t}]; (* combn(long,t) *)
nshort=Min[os[[#]]]& /@ subsets;
nlong=Min[#]& /@ subsets;
{"short search"->Mean[nshort],"long search"->Mean[nlong]}
% //N
dif=nshort-nlong; (* 探索枡差*)
Histogram[dif,AxesLabel->{探索枡差(短軸-長軸),""}]
sif=Sign[dif];
mshort=Mean@Boole[#==-1& /@ sif]; (* 短軸有利割合*)
meven=Mean@Boole[#== 0& /@ sif]; (* 互角割合*)
mlong=Mean@Boole[#== 1& /@ sif]; (* 長軸有利割合*)
{"short beats"-> mshort,"even" ->meven,"long beats" ->mlong}
% // N
実行結果
> sapply(1:20,function(k) treasure0(4,5,k))
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11]
短軸有利 9 84 463 1776 5076 11249 19797 28057 32243 30095 22749
長軸有利 9 83 453 1753 5075 11353 20057 28400 32528 30250 22803
同等 2 23 224 1316 5353 16158 37666 69513 103189 124411 122408
[,12] [,13] [,14] [,15] [,16] [,17] [,18] [,19] [,20]
短軸有利 13820 6656 2486 695 137 17 1 0 0
長軸有利 13831 6657 2486 695 137 17 1 0 0
同等 98319 64207 33788 14114 4571 1106 188 20 1
4×5の場合
宝：1個 同等
宝：2～5個 短軸有利
宝：6～13個 長軸有利
宝：14～20個 同等
□■■■■
□□■■■
□□□■■
□□□□■
短軸有利☆
Table[sum[C(2n-1+C(0,(21mod n)-1),k-1),{n,1,9}],{k,1,20}]
長軸有利☆
Table[sum[C(2n-1+C(0,6mod n)-C(0,C(3,n-2)-1),k-1),{n,1,9}],{k,1,20}]
同等☆
Table[C(19,k-1)+C(17,k-2)+C(15,k-2)+C(13,k-2)+C(8,k-2)+C(1,k),{k,1,20}]
p,qを相異なる素数、nを自然数とする。
(p+qi)^nは実数でないことを示せ。
>>986 Wolfram言語の練習にその結果を検算
最終行
０：互角
－１：短軸有利
１：長軸有利
結果は合致したので
Wolframで正しくコードできたと実感できた。
>>964 コードのサラダって何だよアホか
言葉のサラダ(統合失調症に特徴的な症状)だろアンタは
凸四角形ABCDの頂点の座標から
A,Bを通り、CーDを結ぶ直線と接する円を描画するプログラムを作成せよ。
R言語やWolfram言語が使える人はちゃんとしたレスをしているなぁ。
助言より罵倒を喜びとするPhioseくんらの集団が東大合格者だと思う人はその旨をレスしてください。
>>993 どうせアンタの自演だろ
他はもうスレチに飽き飽きしてるから
>>993 大体アンタのどこが助言なん？w
誰にも求められてないしただスレチなことをブツブツほざいてるだけの日本語通じない統失チンパン
ご丁寧にスレ誘導までしてくれてるのにその助言を一切無視してここのスレに粘着して発狂してるのがアンタ
この日本語も理解できないのか？アンタの知能レベルだと
プログラムを本気で学ぶつもりならム板が正解だろ
全方向に中途半端なんだよな
高校生にしかイキれない大人
クソダサい
>>993 悪口すら綴りまともに書けないのかよ
ゴミすぎだろ
>>993 Phioseって何だよ尿瓶ジジイw
日本語も不自由なら他の言語もお察しってことねww
あー恥ずかしw
1000なら今後尿瓶ジジイ
>>993は書き込み禁止
lud20241229201620caこのスレへの固定リンク： http://5chb.net/r/math/1712376048/
ヒント：5chスレのurlに http://xxxx.5chb.net/xxxx のようにbを入れるだけでここでスレ保存、閲覧できます。
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