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数学基礎論は、数学の基礎づけを目的として誕生したが
現在では、数理論理学として、証明論、再帰的関数論、
構成的数学、モデル理論、公理的集合論など、 多くの分野
に分かれ、極めて高度な純粋数学として発展を続けています。
（「数学基礎論」という言葉の使い方には、専門家でも
若干の個人差があるようです。）
応用、ないし交流のある分野は、計算機科学の諸分野や、
代数幾何学、 英米系哲学の一部などを含み、多岐にわたります。
（数学セミナー98年6月号、「数学基礎論の学び方」
http://www.math.tohoku.ac.jp/~tanaka/intro.html 或いは 岩波文庫「不完全性定理」 6.4 数学基礎論の数学化
などを参照）
前スレ
数学基礎論・数理論理学 その11
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1325247440/ 前スレ 999
直観主義では(￢(A∧B))→((￢A)∨(￢B))は示せないですが、その対偶の
>>2 それは一般的な定理で
古典論理が直感論理に埋め込めるって奴
>>4 量化子は無限に関わって来るので
その扱いが古典と直感とで異なるんだろうと思ってるんだけど
詳しい人の見解を聞きたいところだ
>>4 直観論理の位相空間による解釈を知ってるとおかしく感じない。
>>4 丁度直観主義の意味論をかじったところなので回答します
直観主義における論理式の解釈を、以下のクリプキモデルによって定義します
世界Wiの集まり{Wi|i∈I}をクリプキモデルと呼びます
各世界Wiは通常の古典論理における構造に対応します
また、世界Wiには到達可能関係→が定義され、以下が成り立ちます
反射律 Wi→Wi
推移律 Wi→WjかつWj→Wkならば、Wi→Wk
また、Wi→Wjのとき、以下に従います
Dom(Wi)⊂Dom(Wj)
P^Wiが真ならばP^Wjも真
P^Wi(a1,..,an)が真ならばP^Wj(a1,...,an)も真(a1,...,an∈Dom(Wi))
すなわち、クリプキモデルとは、通常の古典的な意味での構造=世界をいくつも持つものであり、それぞれの世界は我々の持つ知識量に対応している、と解釈できます
すなわち、Wi→Wjのとき、Wjの世界においては、Wiの世界よりも我々の知識量が多いため、より多くの事柄に関する真偽を決定できる、というわけです
ある原子命題Pが真であるというのは、「世界Wiにおいて」Pが正しいと判断できる、ということを意味して、Wi|=Pと表します
¬¬Aの意味を考えましょう
クリプキモデルもいいんだけど必然的に時間の概念というかモデルの順序関係に依存するので
>>11 >>8 ＞各世界Wiは通常の古典論理における構造に対応します
古典命題論理＋様相記号 の体系において演繹定理ってどういう形で成り立つんですか？
前スレ
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1325247440/897 でもいいましたが直観主義命題論理学は前原昭二の｢復刊 数理論理学序説｣で初歩を扱っています
>>2 ,4の話も出てきてたと思います
高橋洋一（嘉悦大）
@YoichiTakahashi
統数研。70年代にちょっといて赤池さんと話したことを思い出した。いい概念（AIC）は応用も広いし、道筋の見通しもよくなる。AICについて、AkaikeではなくAn Information Criteria と控えめに言っていたのが印象的
統計数理研究所
@tousuuken
本日は統計数理研究所第8代所長 赤池弘次先生の生誕90周年です。
https://www.google.com/doodles/hirotugu-akaikes-90th-birthday Aを公理とするとき、A|-BもA|-¬Bも証明可能ではないですから、Bは決定不能命題ですか？
有限の立場からの質問です
質問
ZFにおける議論において、
細かいことだけど以下のように訂正
>>42 ジャストミートな回答ありがとうございます
モヤモヤ感が何となく解けました
以前、直観主義論理で証明可能では無い論理式についてのレスがありましたが、それに関係する記述を見つけたので書いておきますと、
UAB := ¬∃(Ax∧Bx)
>>46 もう少し具体的に教えてもらえますか？どこでそんなこと聞いたのかも含めて
>>46 面白い記述を見つけました
竹内外史の「数学基礎論」101ページ
Γ_0＾~の下では、∃xA(x)とA(Min(x)A(x))とは同等である
(この意味でMinを用いれば、∀とか∃とかを取り除くことが出来る)
という記述がありますね。
>>47 コンビネータ論理を考案したシェーンフィンケリが示したけど、あまり知られていないらしい。
コンビネータ論理についてネット検索してた時に見かけた記事で読んだんだけど、今探したらちょっと見つけられなかった。
束縛変項に関する公理がなんか姑息というか、美しくないように感じるので、これを消せないかと思ってコンビネータ論理について色々調べてたんだが、コンビネータ論理って inconsistent らしいのね。
>>48 違うアプローチみたいだけど面白そう。その本は持ってないけど買ってみるわ。でも自分みたいなドシロウトには難しそう…
>>49 >>48 ですが、これは昔に出版された時の書籍名です
現在はこの増補版(改題された)として｢証明論入門｣竹内外史(ともう一人の女性)著 が市場に出回っています。
>>48 の記述ですがこれは、自然数論の無矛盾性証明の議論において脇道に逸れた話題として出てきた話です
この本は本格的な数学基礎論の書籍です。入門書を終えないとまず理解出来ないでしょう。
直観主義 と 有限の立場 ってどこが違うんですか？
>>52 あなたが無職だと言うことですよ、東大生さん
[Ｐ⊃Ｑ] ⊃ [～Ｑ⊃～Ｐ] は恒真式（tautology）であるが故に
z
>>5 F(P,Q) ⊃ g ( p, p) が tautology だからって、「F(P,Q) ならば g ( p, p) 」が
必ずしも成立するわけではないってことさ。
z
>>5 F(P,Q) ⊃ g (P,Q) が tautology だからって、「F(P,Q) ならば g (P,Q」が
必ずしも成立するわけではないってことさ。
>>58 何言ってるか分からないんですが、
P,Qが存在して、
|=F(P,Q)⊃g(P,Q) かつ |=F(P,Q) かつ |=￢g(P,Q)
が成り立つ
と言いたいのですか？
Jech の「Set theory」の sillver's theorem の証明がわかりません。
>>59 ｆ(P,Q)⊃g(P,Q) だからと言って、ｆ(P,Q)|=g(P,Q) とは限らないってことさ。
|=ｆ(P,Q)⊃g(P,Q) だからと言って、ｆ(P,Q)|=g(P,Q) とは限らないってことさ。
>>54 ＞にも拘わらず、《 [Ｐならば(ＱかＲ)] ならば、[ (ＰならばＱである)か、又は(ＰならばRである) ] 》 は
ああ、これですか
「ならば」を高校数学的に考えてる限りわかりませんよ
まずは命題論理と述語論理の区別から始めましょうね
>>52 > 直観主義 と 有限の立場 ってどこが違うんですか？
直観主義にしても有限の立場にしても明確な記号論理の体系で公理化されているわけでない
研究者によって同じ「直観主義」という言葉で表しているものが違う、「有限の立場」についても同様
だから誰のなのかを明記した「××さんの直観主義（または有限の立場）」とか
場合によっては「××さんが○○という時期に（あるいは△△論文等で）主張している直観主義（または有限の立場）」と指定しなければ
異同の議論はできない
例えば直観主義論理を客観的な公理系として最初に提示したのはBrouwerの弟子のHeytingだが
師匠のBrouwerは「あんなものは俺の直観主義じゃない！」とその公理化の意義を認めなかったそうだ
その辺りの混乱に関しては先日亡くなられたばかりの竹内外史先生が彼のエッセイの幾つかで書いていて著書にも収録されているから
探せば今でも容易に読めると思うが、その竹内先生御自身も有限の立場について哲学的というか教条的というか非教育的だったので
竹内先生の証明論のアプローチを直接に継ぐ弟子は育たなかった（継ごうとした人達はみな討ち死にして挫折した）というような話を
確か八杉先生だったと思うがどこかに書いていた記憶がある
なので上の問は漠然としていて解答不能
>>69 ありがとうございます。
ざっくりと分かりました。
竹内＆八杉のコンビといえば｢証明論入門｣が思いついた。
式SからGodel Interpretation S^Gを作るまでは割と形式的に出来るけど
大学院生が太刀打ち出来るレベルの未解決な問題ってなんかありますか？(発展的専門書の章末問題レベル)
そんなもん知ってたらこんなところに書かず、自分で論文書くか指導学生にテーマとして与えるわ
[PならばQ]を[Pでないか又はQ]と同値であると考えたのが、そもそもの誤り。
ラッセル・ヒルベルト流にしろ、ゲンツェン流にしろ、[PならばQ]を[Pでないか又はQ]と同値であると考えたのが、そもそもの誤り。
>>77 直観主義論理というその同値性を認めない論理体系も存在しますよ
まあ、あなたのように命題と述語の区別をつけていない人には関係ない話ですけど
>>77 別の規則の体系もある。矛盾していない限り数学上は誤りもクソも無い。
数学セミナー
待ちに待ってた様相論理学入門が届いた。分厚い奴ね
有限の立場とは、具体的な図形の与えられた列、または具体的な図形の列についての具体的な操作の与えられた列、… についての思考実験を許す立場である。
その定義なら確かに超限帰納法を用いた背理法を含んでるな
>>81 ＞矛盾していない限り数学上は誤りもクソも無い。
現実と矛盾したのでは話にならない。
論理とは主観的なものです
>>87 現実と矛盾する、とは何を指すのか？
全ての現実に当てはまる公理が存在するとでも？
様相論理の和書は古いもの以外はほぼ無いけど
量子力学が定説となった現代において、数学理論が現実と矛盾するかどうか検証するのは極めて困難
>>85 ところが竹内外史はinductive definitionを有限の立場の根幹とするFefermanの考え（哲学）は完全に反対していた
どうも竹内外史は、predicativeであることが有限の立場では本質的に重要だと考えていたみたいだね
>>94 訂正
ごめん、日本語が少し変だった
誤＞ところが竹内外史はinductive definitionを有限の立場の根幹とするFefermanの考え（哲学）は完全に反対していた
正＞ところが竹内外史はinductive definitionを有限の立場の根幹とするFefermanの考え（哲学）については完全に否定的だった
>>90 [ (ＰならばＱである)か、又は(ＰならばRである) ] は偽であって、「現実と矛盾している」。
＞全ての現実に当てはまる公理が存在するとでも？
ある命題が真ならば、その否定は偽である、は恒久的な真である公理の一つ。
>>98 論理学における「ならば」は因果関係を意味するものではない、ということは理解できますか？
自然数論の無矛盾性証明では証明図に順序数を与えて、その下で超限帰納法で証明してるじゃないですか。
>>!00
>>90 [ (ＰならばＱである)か、又は(ＰならばＱでない) ] は偽であって、「現実と矛盾している」。
>>90 [Ｐであり (ＰならばＱである)かつ(ＰならばＱでない) ] は偽であって、「現実と矛盾している」。
>>101 立場の問題かと思います、多分
有限の立場に立つならば、むしろ自然数と対応付けができなければそれは証明とはみなされません
>>103 あなたの考える「ならば」と論理学における「ならば」は異なるものだというだけですね
>>103 論理結合子「☆」(スター)を次で定義します
T☆T=T
T☆F=F
F☆T=T
F☆F=T
このとき
《 [Ｐ☆(ＱかＲ)] ☆[ (Ｐ☆Ｑである)か、又は(Ｐ☆Rである) ] 》 は正しいです
これは現実と矛盾してるんでしょうか？
>>101 自然数に対応させることはもちろん可能だが、証明図を変形したとき、対応する自然数が小さくなるような対応でなければ意味がない
もしそのような対応が存在すれば一階の数学的帰納法でペアノ算術の無矛盾性を証明できることになるが、
これは第二不完全性定理と矛盾する
R.Shoenfield, Mathematical Logic, Addison-Wesley 1967は、基礎論の専門化を目指す人が必ず1度は手にする最高級の教科書
第一不完全性定理についてちょっと理解不足があるんで質問なんですが、
M|=Ψの場合もあるし、M|≠Ψの場合もどちらもあり得ます
PAともなるともはや一階述語論理の完全性定理が成り立たなくなる？と思ったので質問したのです。
あれ？
ありがとうございます
前から何となく思っていたんですがロッサーの不完全性定理があるのに何でわざわざゲーデルの第一不完全性定理をテキストに載せるんですか？
第二不完全性定理はGodel文と無矛盾性CONの
「恒久的な真理」なんて言うのはオカシイ。
第二不完全性定理の詳細な証明は学んだことが無いんですが、｢第一不完全性定理の証明までの議論を形式化すればいい｣みたいな文句はよく見かけますよね
>>123 ＞真理は相対的なもの
そう信じるのは誤り。
異なる３個のものから２個選ぶ選び方の数は３通り。これは絶対的な真理。
>>124 三段論法や排中律を使わずに証明できて居るかどうか確認できてる？
ルイスキャロルの無限後退法やブラウワーの直観主義というのもあるんだがね
>>124 「異なる３個のものから２個選ぶ選び方の数は３通り
」
あるモデルにおける解釈として、「異なる」を「同じ」という意味だと解釈しましょう
このとき、この論理式は偽となりますね
同じ3つのものから2つ取り出す選び方は1通りしかありませんから
>>124 「真理は全て恒久的なもの」ではない、ということ
「条件付き」の条件が空であることも許される
等号の公理を差し置いて
>>128 そういう公理が含まれないかもしれませんね
気にくわないなら、3を4と解釈する、でもいいですよ、
>>129 そういう記号の約束事みたいな話は本質的ではない
直観主義云々は証明論とか統語的な話ですよね
・我田引水
>>131 それ以前の日本語の話
そもそも等号の公理を使わないなら、「同じ」とか「異なる」という日本語も使うべきではない
おまえは上の文中の「日本語」や「使う」をモデルでどう解釈するか考えたりしないだろう
それと同じだ
>>134 でも、理論的には間違ってはないですよ？
自分がからないからって屁理屈言うのはやめたらどうですか？
勘違いした哲学バカだな
ここは数理論理のスレなんですから、全ての命題は形式言語により書き直して考えるというのは何もおかしくないですよね？
だったら試しに日本語の「同じ」にモデルを当てはめてみな
でも確かに異なるを同じと解釈は無理があったかもしれませんね
>>124 取り出す順番が異なる選び方を異なる選び方だとすると、異なる３個のものから２個選ぶ選び方の数は６通り。
これもまた真理。
「「取り出す順番が異なる選び方を異なる選び方だ」と考えるのはチミくらいのものさ。ｗ
>>146 「順列」でいいだろ。
さすがに順列の定義を説明する気にならん。
その昔、イマニュエル・カントは『純正理性批判』（第二版・序文）で
>>149 おいおい、レスバに負けたからって低能な返事するなよ。
「プリンキピア・マテマティカ」持ち出すとか、やりようがあるだろ。まあ返事しないけど。
完全性定理が選択公理を使って証明してるからなあ。数理論理って実に
>>151 使ったとしても、それはメタな選択公理だから問題ないですね
>>154 勿論。だけど正当化にはならないだろ。ただの記号遊び。
論理に関して何にも明らかにならない。PAの（相対）無矛盾性証明と同じ。
eスポーツと呼ばれるFPSとかのゲームと同類。何も生み出さない。
>>155 形式化された論理を用いた定式化、という面では意味があると思います
>>151 ω無矛盾という言葉は、メタと対象の区別を行うからこそ捉えることが出来る概念
■モンティホール問題（空箱とダイヤ）
それ、別スレで0は自然数ではないと言い続けてる奴だろ
PAが無矛盾だというのはただの信仰だからな。
んなこと言ってたら1+1=2まで信仰とかいうことになるカモだよ
書籍紹介
諸君は、（Ｐ⊃Ｑ）⊃（Ｑ⊃Ｐ）などと言った「奇怪な“定理”」をもつ
(P⊃Q)∨(Q⊃P)ではないですか？
諸君は、（Ｐ⊃Ｑ）v（Ｑ⊃Ｐ）などと言った「奇怪な“定理”」をもつ
ならばやまたはの解釈が違うんですね
まあ、でも多分あなたの場合は、命題と述語の区別をつけて、量化記号の使い方を学べば済む話だとは思いますけど
論理学を、“命題論理”と“述語論理”とに分けるのがそもそもの間違いだ。
>>169 直観論理なるものは、飽きるほど研究した。
排中律を否定する様では、ハナシニナラヌ。ｗ
>>!70
>>171 メタと対象は違う
二階論理は一階論理のある種の拡大になっているとでもいうのか？
>>175 >>171 の何処ががメタで何処が対象なんだよ？？？
>>174 ＞量化記号を使えば、∀p,q{∀x[Ｐ(ｘ) ⊃Ｑ(ｘ)]ｖ[Ｑ(ｘ) ⊃Ｐ(ｘ)]
∀p,qの部分は、命題変数に対する量化記号であり、これはメタな記述ですね
∀x[Ｐ(ｘ) ⊃Ｑ(ｘ)]ｖ[Ｑ(ｘ) ⊃Ｐ(ｘ)]
これは、∀x[Ｐ(ｘ) ⊃Ｑ(ｘ)]ｖ∀x[Ｑ(ｘ) ⊃Ｐ(ｘ)]でしょうか
だから、このあなたの解釈が間違ってるんです
∀x([Ｐ(ｘ) ⊃Ｑ(ｘ)]ｖ[Ｑ(ｘ) ⊃Ｐ(ｘ)])
これなら正しいですね
てか、命題論理を考えずに述語論理にいきなり飛ぶからわからないんだと思いますよ
命題変数を経由しない立場としては、PやQはある形式的言語にアプリオリに含まれる命題記号および述語記号となりますね
ごめん！ 入力ミスをしていた。
いわゆる“命題論理”では、全称記号こそ用いないが、「全称」の概念のほうは、
>>181 直ってませんよー
スマン！
∀p,q【∀x[Ｐ(ｘ) ⊃Ｑ(ｘ)]ｖ[Ｑ(ｘ) ⊃Ｐ(ｘ)] ｝】
>>182 命題変数の全称量記号を用いない定式化については
>>179 に書きました
そのような命題変数を考える二階の論理は、通常の一階の述語論理から見ればメタな記述となります
>>183 てかまだ直ってませんね
∀xはどこにかかってるんですか？
私にはP(x)⊃Q(x)にだけかかってるように見えます
確かに、未だ直っていなかったな。ｗ
>>186 カッコの対応が変ですけどまあ良しとしましょうか
あなたは(P⊃Q)∨(Q⊃P)を認めていないのではないですか？
恒真だとは認めるということですか？
>>184 肝腎なのは、概念であって、記号ではないのだよ。ｗ
>>189 私は、あなたは記号の意味を曖昧にしてるから混乱してるだけだと思いますけどね
命題変数と命題記号の違いわかりますか？
>188 あなたは(P⊃Q)∨(Q⊃P)を認めていないのではないですか？
>>192 Frege流の論理学理論は、根幹的な部分で、間違っていたからです。
（『Philosophy of Logic[[s]』 by Susan Haack: Cambridge Uni. Press）
>>194 ＞どこが間違ってるんですか？
あげれば、きりが無いほど間違っているんだけれども、このスレッドの関連で言えば、
恒真式、即、論理法則と考えた点。
P→Qを論理演算と考えたくないってことでしょ
「ＰならばＱである」ならば、「ｐでないか又はＱである」。しかし、逆は成立しない。
対偶は、無論、成立するがが、同値であるわけがない、逆が成立せぬのだから。
Frege流の論理学理論でも、命題とその対偶、逆、裏との関係については反故は無かった。ｗ
>>201 対偶の対偶は成立するけどそれが元の命題とは違うという直観主義の人ね？
>>201 誤解させたか
対偶は同値？とはp→qの成立とその対偶命題の成立が同値という立場なのかってことだよ
>>202 ってことは対偶命題は元のと同値って立場ってことね
「直観主義論理学」なんかに染まるんじゃないよ。 あれは「失敗した理論」やからね。
「失敗した理論」 or 「失敗する運命にある理論」
>>209 私はピーマンが好きだ
私はピーマンが嫌いなわけではない
でも、ニュアンスが明らかに異なりますよ？
必ずしも同じとは言えないですよね？
失敗どころかむしろメインストリームだと思うが
初学者の人でも気軽にスレに書き込むっていうこと自体は悪くないことだと思いますよ
>>209 >ID:DBa9oALT
こういうのは？
(P∧Q→人)→(P→￢Q)
背理法だけど
>>212 「好き」が真偽2値の述語で
「好きでない」＝「嫌い」なら
「嫌いなわけではない」＝「好き」となりますよ
ニュアンスで異なるということは
「好き」や「嫌い」が真偽2値の述語では無いということでしょう
あるいは「様相」も考えるべきかも
このスレの住人は年末年始も数理論理学(数学基礎論)やってますか？
ぼーっとすると頭に浮かんてくる。
安売りしてるいいテキストありますかね？
帰誤法（背理法）を認めないような理論は、話にならんよ。ｗｗｗ
で、(P⊃Q)∨(Q⊃P)が成り立たないと思うのはなんでなんですか？
>>224 > で、(P⊃Q)∨(Q⊃P)が成り立たないと思うのはなんでなんですか？
その問題を言い出した人間とは私は別人だから横レスなんだけど、それが正しいということは、
２つの論理式PとQとを任意に選んだら両者は常に強弱の比較が可能だということになるだろう。
つまり論理式は強弱（含意が定める順序関係）について線型順序を成すってことだよ。
比較できない、つまり互いに無関係な、論理式のペアは存在し得ない、世の中のどんな命題も
どちらかが他方を含意しているという意味で必ず互いに関連しているってことになり
全ての命題は（互いに含意し合う同値関係で商を取れば）線型順序を成しているってことになる。
これは論理を現実世界の命題に適用すると極めて不自然だと思わない？
だって、
>>224 君はラーメンを喰うという命題と私はご飯を食べるという命題とが必ずどちらかが他方を含意するってさ。
つまり古典論理での論理演算子の含意⊃は、日常的な感覚でのつまり日常言語での「ならば」とは全然別物になっちゃってるってこと。
そのことを端的に示しているのが古典論理では(P⊃Q)∨(Q⊃P)が妥当になっちゃうという事実だよ。
>>197 こういうことなんですかね、結局
気持ちは分からなくもないですけどね
ならば、を論理演算と考える限り、日常語では定義されていない、前件が偽の場合の「ならば」を考える必要があるわけですから、結果が直観と違って当然だと思いますね
>>225 >全ての命題は（互いに含意し合う同値関係で商を取れば）線型順序を成しているってことになる。
古典論理なら線形順序というより真偽の2値のみ
つまり偽である命題の全体と真である命題全体とがあって
偽<真
という順序を入れることが出来るというだけだよ
日常語の「ならば」に「近い」のは古典論理よりむしろ直観主義
現行の理論、つまり Fregean理論（古典論理）では，内含概念の把握が間違っていた。
集合･位相･代数の知識を使って数学基礎論の定理を証明するのは、別にそれはそれで研究としていいんですよ
>>231 メタと対象という区別をしてるんですね
そこら辺の難しい部分は、メタに押し付けてしまってるんですね
>>230 前件が偽のならば、をあなたはどう考えますか？
偽ならば真、もしくは、偽ならば偽、のタイプの命題です
このような命題が存在することは認めますか？
>>229 ＞日常語の「ならば」に「近い」のは古典論理よりむしろ直観主義
帰誤法（背理法）を認めないような理論は、話にならんよ。ｗｗｗ
>>234 ＞このような命題が存在することは認めますか？
認めません。
>>228 だから「PならばQ」は真偽で「偽<真」を言い換えただけってこと
つまり古典論理には自動的に線形順序（といえるもの）が入ってる
>>231 数学は基礎から発展へ土台を積み重ねていくものだから
数学「基礎」論がすべてのベースであるべきと思いがちだけど
数学基礎論って「数学の基礎を形式化して探求しよう」という学問分野であって
数学全体の基礎じゃないのよ
>>236 P→Qを￢P∨Qと同値にしないんだから「真ならば真」も一概には認めないんじゃないの？
>>235 世間では背理法はたぶん受け入れられない
「そんなこというても～」って言われるのがオチ
>>236 んで対偶は認めるんだから「偽ならば偽」も有り得るとするんじゃないの？
「直観主義論理学」なんかに染まるんじゃないよ。 あれは「失敗した理論」やからね。
"P ならば Q である"と言ったとき、P, Q の正体は「変項をおなじくする述語」であって、
それに述語は変項の値毎に真偽が定まる真偽関数なんだから
Non-Standard-Logic を研究し尽くした者からの忠告：－
>>244 ＞えーそれは命題論理じゃないよ
論理学を、命題論理と述語論理に分けるのは間違いだったのさ。ｗ
「Ｐ(ｘ)ならばＱ(ｘ)である」は「∀x[～Ｐ(x)ｖＱ(x)]」と同値。
>>247 勝手なことを
むしろそう解釈するから
>>243 みたいなトンチンカンなことをいう
>>236 では、あなたは、ならばは、またはやかつなどと言った論理演算とは区別されるべきだと考えるわけですね
論理演算ではないなら、なんなんですか？
>>243 命題は、xの値によらず一定値を取り続ける述語だと考えることができますね
その場合、PならばQは、P(x)ならばQ(x)と見ても良いわけです
この場合はどうなりますか？
「P(x)ならばＱ(x)である」は仮言命題といい、「Ｐ(α)はＱ(α)を内含する」とは
「Ｐ(α)がＱ(α)を内含する」ときに限り、「P(x)ならばＱ(x)である」が成立する。
ヴェン図で説明すると、円Ｐが円Ｑに包まれていさえるれば、
議論世界以外の要素は普通は考えませんね
円Ｐが円Ｑに包むように描いたのが「P(x)ならばＱ(x)である」のヴェン図
そのなかにαを表わす点を添えた
>>256 ＞P(x)とP(α)の違い
P(x)は述語。P(α)は命題。言い換えれば、ｘは変項、αは定項。
>>259 Ｐ(α)はＱ(α)を内含する
とはどのようなことですか？
＞＞そのなかにαを表わす点を添えた
＞Ｐ(α)はＱ(α)を内含する
>>250 ＞あなたは、ならばは、またはやかつなどと言った論理演算とは区別されるべきだと
＞考えるわけですね 論理演算ではないなら、なんなんですか？
ヴェン図の（換言すれば、集合の）演算によって定義されるべきもの。
>>262 P(x)ならばQ(x)が成り立つ時、円Pは円Qの中に入ってますね
任意のxでP(x)ならばQ(x)が真であるので、αがPに入ってない時はP(α)ならばQ(α)は真である、と考えるのは間違ってますか？
つまり、P(x)ならばQ(x)、は円Pと円Qの関係性だけを定めていて、αがPの中に入っていようがいまいが、常に成り立つ、というわけです
アホらし
それって単に、一階の理論のモデルを一つ固定して考えてるだけじゃないの
議論世界はそもそも最初から定まっているんですから、αは必ずその中に入ります
[Q⊃P]かつU∋a <=> P(a)→Q(a)
たとえば、何がパラドックスになっていて、それはどのようにして解決されるんですか？
>>272 ”実質的内含のパラドックス”は完全に解消する。
実質的内含のパラドックスとは、「ＰならばＱである」を
「ｐでないか又はＱである」と同値と考えることによって
生ずるいろいろなパラドックスのこと。
>>274 たとえばどのようなものがパラドックスなのですか？
通常、そのようなものが原因のパラドックスなんてないんですけど
例えば、「ｘは光の三原色のひとつである」という述語に対して、
>>276 議論世界=議論領域=対象領域etcはモデル毎に我々が設定し得るものですから、赤は属するが牛は属さない、というようなことは意味がありません
牛も入れたいなら議論世界に加えればいいだけの話です
あなたの議論世界の定義を教えてください
>>274 P→Qが真とは集合としての包含P⊂Qがあるということが定義であると
ならばP∧QやP∨Qや￢Pの真偽の定義は？
>>276 述語毎に定義域を考えるのなら``Pの丸''の外の元って議論世界に含まれないのね？
じゃあP→Qの定義域はなんなの？Pの外でQの中の元は考えないの？Qの外の元は？￢(P→Q)の定義域はなんなの？
>>275 「実質的内含のパラドックス」は。日本語の論理学の本だとかくしているケースが多いからね。
英語本を読んでみなよ。Paradox of material implication として載っているから、ｗ
＞P∧QやP∨Qや￢Pの真偽の定義は？
「牛は光の三原のひとつである」という文は無意味。
>>281 いやいやいや
それが「真」「偽」であることの定義は？
>>282 「「光の三原色」は「自然なもの」ではない」
って文の論議世界は何？
>>274 大体P→Qを「議論世界」におけるP⊂Qが成立することと定義するってことはP-Qが空集合だということなんだからP∧￢Qが偽と同値なんだよな
>>280 >Paradox of material implication
The paradoxes of material implication are a group of formulae that are truths of classical logic but are intuitively problematic.
のこと？
なあーんだｗ
"Introduction to Logic and Deductive Sciences" by Alfred Tarski p.27
>>266 ＞αがPに入ってない時はP(α)ならばQ(α)は真である、と考えるのは間違ってますか？
[PならばQ]は、Ｐ，Ｑが変項を同じくする述語である場合にのみ定義されます。
＞円Pと円Qの関係性だけを定めていてαがPの中に入っていようがいまいが、常に成り立つ、というわけです
>>277 ＞議論世界=議論領域=対象領域etcはモデル毎に我々が設定し得るものですから
論議世界は人が恣意的に設定できるものではありません。
>>285 「Ｐ(ｘ)ならばＱ(ｘ)である」は「∀x[～Ｐ(x)ｖＱ(x)]」と同値。
”実質的内含のパラドックス”の一例：－
＞αは必ずその中に入ります
「紫は光の三原色のひとつである」は偽。
>>269 ＞それって単に、一階の理論のモデルを一つ固定して考えてるだけじゃないの
論理学にモデル理論が入り込めると考えたのは、古典論理の愚かな誤り。
>>294 真です
これが真と考えられないのは素人
>>298 Russell や Hilbert 達に「洗脳」されたマヌケ。ｗ
”実質的内含のパラドックス”の例をもうひとつ：－
>>298 Russell や Hilbert 達に「洗脳」されたマヌケ達に二次洗脳されたどマヌケ。ｗ
洗脳とかいってる人は、論理学と数理論理学の区別がついてないことからくる混乱を起こしている。
数理的ではない論理学においても、ならばの真理値表くらい同じですよ
>>292 議論世界の定義を教えてください
>>301 それは普通の数理論理でも成立しませんよ？
P(x)→(P(x)∧P(y))
真→(真∧偽)
真→偽
ですからね
日本語ではあまり問題にならないが、∨と「or」のズレは、ついに「and/or」という、論理記号の影響を受けた新語を生んだ。
>>305 ＞議論世界の定義を教えてください
述語Ｐ(x)の*論議世界*とは、xに代入したときに「意味を持つ（真偽が言える）」
すべての元から成る集合。
>>307 「意味を持つ（真偽が言える）」
普通の論理学では、意味を持たないということはないですね
どんな対象を代入しても真偽が言えますから
意味を持つ、とはどのようなことですか？
>>301 クジラも哺乳類でしたね
え、じゃ真→(真かつ真)が認められないということですか？
理解できないですね
>>305 ＞＞それは普通の数理論理でも成立しませんよ？
＞P(x)→(P(x)∧P(y))
？真→(真∧偽)
？真→偽
P(x)→(P(x)∧P(y))
真→(真∧真)
真→真
でしょう？
>>309 仮言命題は、Venn図でもって定義されるのであって、審理表で定義されると考えるのは幻想に過ぎない。
??308
>>303 バカモン！ 論理学に、数理もへったくりも無いワ！ｗｗｗｗ
あるのは。「遅れた理論」と「進んだ理論」との差だ。ｗ
>>311 ベン図だとどのような問題があるんですか？
>>312 ナンセンスである、の定義を教えてください
>>308 述語：[x>2] の変項 x に ”恋”を代入した [恋>2] には≪意味≫が無い。
従って、”恋”は述語：[x>2] の論議世界の元ではない。
>>317 ＞ナンセンスである、の定義を教えてください
≪無意味≫ってことだよ。それ以上、説明しようにも説明できない。ｗｗｗ
意味とは主観的なものだと思います
「キミがいま使っているパソコン」の意味は明解だろう。ｗ
「xが今使っているパソコン」のxの議論世界はなんですか？
「意味とは何か？」が気になるのであれば、semantics(意味論)の本でも買って、研究してみなはれや。ｗ
xが今パソコンを使っている、の議論世界はなんですか？
>>324 ＞「xが今使っているパソコン」のxの議論世界はなんですか？
述語でないものに論議世界もくそも無い！
>>300 >ID:0MEpwTLv
数学的に何も定義できてないのに批判だけするって
民進党か
>>322 ＞意味とは主観的なものだ
そんなことはない。「キミがいま使っているパソコン」は、君の主観と無関係に存在している。
>>329 xがパソコンを今使っている、の議論世界はなんですか？
>>331 たとえば、猿や人造人間は議論世界に入りますか？
>>322 ＞たとえば、猿や人造人間は議論世界に入りますか？
異論もありそうですが、私は入ると思います。
>>334 異論があるとはどういうことですか？
議論世界は明確に定まるんじゃないんですか？
ブレがあるのでしょうか？
>>336 それでは、私達は神ではないので、議論世界を知ることができないということですね
逆に、どのような述語なら我々に議論世界がわかるんですか？
>私達は神ではないので、議論世界を知ることができない
具体例でいいですよ
>>337 ＞どのような述語なら我々に議論世界がわかるんですか？
Only Heaven Knows.
具体例でいいですよ
>>339 述語：[x>4]の論議世界は、x>4である様な実数 x のすべてから成る集合。
ゴメン！ まちごうた。ｗ
>>342 ￢(x>4)の論議世界は？
(x>4)∧￢(x>4)の論議世界は？
>>343 それって定義域じゃん
定義域は制限されることも拡張されることもあるんだけど
x>4→|x|>4
の論議世界にx=√(-1)は入らないの？
"x>4である様な実数 x のすべてから成る集合"は、述語：[x>4]の論議世界ではなくして、
[P(x) ならば Q(x)]において、これが成立する為には P(x) のカテゴリー空間が Q(x) の
>>348 P(x)のカテゴリー空間とは、P(x)を満たすようなxの集まりのことですか？
数理論理の言葉では真理集合と言います
勝手に用語作らないでくださいね
「∀x P(x)→Q(x)」の議論世界、というものは定義されますか？
述語R(x)を次のように定義します
カテゴリー空間の例：－
>>349 P(x)のカテゴリー空間とは、P(x)を満たすようなxの集まりのことですか？
数理論理の言葉では真理集合と言います
そんなことは。百も承知だ。
真理集合では都合の悪いことがある故、カテゴリー空間としたのだ。
「Ｐ(ｘ)ならばＱ(ｘ)である」は「∀x[～Ｐ(x)ｖＱ(x)]」と同値。
>>352 どんなことですか？
述語R(x)を次のように定義します
R(x)=P(x)→Q(x)
R(x)の議論世界は定義可能ですか？
任意の述型Ｐ(x) に対して「x とはαのことである」を＜x：α＞と書き、Ｐ(x) の型素(keiso)と呼ぶ。
一方、Ｐ(α)が意味を持つ様なすべての型素の集合をＰ(x)の論議世界という。
>>355 P(α)が意味を持つ、とはどのようなことですか？
>>357 術型P(x)： [ x > 4] に対して、[ 5＞4 ] は真であるから、P(5) は意味を持つ。
又、[ 3＞4 ] は偽であるから、P(3) も意味を持つ。
一方、[豚＞4] はナンセンスであり、P(豚) は意味を持たない。
>>356 意味を持つとは？論議世界とやらの元ってことでしょ？
結局
U⊃P∧U∋a
ってだけ
なんも面白くも無し
>>358 >一方、[豚＞4] はナンセンスであり、P(豚) は意味を持たない。
ただ定義域が拡張されているだけであってP(豚)にも意味はあります
ところでさ
>>360 ＞P(豚)にも意味はあります
笑わせちゃあいけない。 [ 豚>4] にどんな意味があるというのかね？ ｗｗｗｗ
>>358 ナンセンスであるかは誰が決めるんですか？
Heavenですよね？
>>362 >笑わせちゃあいけない。 [ 豚>4] にどんな意味があるというのかね？ ｗｗｗｗ
成立しないということですが？
「豚が4より大きいということは成立しない」でなんの不思議もありませんが？
>>361 ＞P→Qが真であることの定義はU⊃Q⊃Pだったんだよね？
P(x) の論議世界とQ(x) の論議世界とが一致する必要はない。
まあ定義域の拡張は一意ではないので
>>366 君は集合としての包含って謂ってたんじゃない？
じゃあ定義をｗ
>P∧QやP∨Qや￢Pが真であることの定義は？
>>370 それが真であることが共通部分？？
共通部分って命題じゃないよ集合なんだけど
P∧QやP∨Qや￢Pが真であることの定義は？
訂正
>>369 >P→QとP∧QとP∨Qと￢Pの定義を早う
P→QとP∧QとP∨Qと￢Pが真であることの定義を早う
＞>笑わせちゃあいけない。 [ 豚>4] にどんな意味があるというのかね？ ｗｗｗｗ
>>373 ＞P→QとP∧QとP∨Qと￢Pが真であることの定義を早う
自分でやりな、ｗ
>>375 君の議論ではこの定義は存在しないんだな
アホラシ
下らなさすぎて死にそう
>>376 意味が無いってことだよ。おわかり？ ｗ
だいたい「豚>4」を論証から排除したければ
>>378 猿がコンピューターを使っている、がナンセンスかどうかはHevenしか知らないんですよね？
どうしてあなたは神ではないのにナンセンスかどうかがわかるんですか？
>>378 君は→∧∨￢の真偽の定義さえも出来ないんだから
自分に意味がないことを自覚した方が賢明ですよ
>>365 ＞「豚が4より大きいということは成立しない」でなんの不思議もありませんが？
正気かい？
＞エムシラはただものではない・
>>382 ＞→∧∨￢の真偽の定義さえも出来ないんだから
ソチに任しただけの話だ。ｗ
>>354 ＞R(x)を次のように定義します R(x)=P(x)→Q(x) R(x)の議論世界は定義可能ですか？
ソチはどう思う？
任意の述型Ｐ(x)のカテゴリー空間をＣx{Ｐ(x)と書き。
仮言三段論法の原理は、
[Ｐ(x)⇒/x/ Ｒ(x)]｛Ｑ｝ は [Ｐ(x)⇒/x/ Ｒ(x) ]｛Ｑ｝のタイプミス。
>>380 ＞どうしてあなたは神ではないのにナンセンスかどうかがわかるんですか？
全部わかるってわけじゃないよ。ｗ
>>380 ＞どうしてあなたは神ではないのにナンセンスかどうかがわかるんですか？
ここだけの話だが、実は、神なのだ、ｗ
>>392 豚＞4がナンセンスであることはなぜわかるんですか？
>>393 つまり、意味とはあなたの主観により定まるものと考えて良いですか？
対偶律は、RL(the Reformed Theory Logic)では。[Ｐ⊃Ｑ]⊃[～Ｑ⊃～Ｐ] ではなくて、
「豚が４よりおおきい」ことがナンセンスであることも主観によらない。
＞ どうも、M_SHIRAISHI氏(つーか、ＥＵＲＭＳ)の理論」のほうが正しいようだな。
＞
＞ 例えば、対偶律は、従来は、 (Ｐ⊃Ｑ)⊃(￢Ｑ⊃￢Ｐ) で表わされるもののこと
＞ と考えられていたのだっただが、これは、どうやら、誤りだったようだ。
＞
＞ そして、M_SHIRAISHI氏の言う［Ｐ(ｘ)⇒/x/Ｑ(ｘ)］⇒/p,q/［￢Ｑ(ｘ)⇒/x/￢Ｐ(ｘ)］
＞ こそが【対偶律】を正しく捉えてたものと考えられる。
＞
＞ M_SHIRAISHI氏（たち？）の主張する Logical Reformation は、おそらく、世界を
＞ 席巻することとなろう。
http://www.age.ne.jp/x/eurms/ http://www.age.ne.jp/x/eurms/Ronri_Kaikaku.html >>398 でも、猿がコンピューターを使っている、は主観によるんですよね？
神はどちらかは知っているみたいですけど
背理法の原理は、フレーゲアン理論では、 (～Ｐ⊃Ｑ＆￢Ｑ)⊃Ｐであると信じられて来た。
論理学には２４００年に及ぶ歴史があるのだ。 １０年そこらもののかずではないわ。＼(-ｏ-)／
述語ごとに議論世界を固定するのはまあ認めてもいいですけど、その選び方が主観的すぎるのはやはり良くないと思いますよ
サイト覗いたら7万円の本売ってるんですね
売れなきゃ載せない。
>>404 ぶ
定義域なんだから恣意的でないとダメ
まあともかく
>>406 議論世界は神が決めるんですよね？
それを明言しないのはどうしてですか？
「豚は光の三原色のひとつである」や「恋は光の三原色のひとつである」は、明らかに
>>411 猿はコンピューターを使う、の場合は明らかではないんですよね？
結局、神が決めるわけですよね？
光の三原色の場合も、明らかにナンセンスかどうかは判断できないのではないですか？
海洋生物だと五原色とか七原色とかいる模様
「型素」とか「カテゴリー空間」とか変てこな俺様用語を勝手に導入してるけど
ちょっとググってきましたけど、違くないですか？
数学基礎論の定理の証明に数学(例えば集合論)の定理を使ってしまったら、数学基礎論の立場が損なわれてしまいませんか？
メタと対象という区別があります
論理学を数学の一分野の如く考え、形式化できると考えたヒルベルトは間違っていたのだ。
ある意味ではそうかもしれないですけど、あなたはどういう点が具体的に間違いだと思うんですか？
論理法則は形式的な真理ではなくして、二階の実質的な真理なのだ。
>>418 私は
>>231 ですが、
>>233 でも同じ回答してますね
メタと対象の区別は私は出来てます
それが
>>417 に対する何の回答になっているんですか？
>>422 数学基礎論は数学の土台じゃないってことだよ
ただの1研究分野
Leonhert Bolzerno ---> Bernard Borzarno
>>417 ＞数学基礎論の定理の証明に数学(例えば集合論)の定理を使ってしまったら、
集合「論」ってほどのおおげさなものではない。ｗ
新年おめでとう！
新年おめでとうございます。
＞ どうも、M_SHIRAISHI氏(つーか、ＥＵＲＭＳ)の理論」のほうが正しいようだな。
＞
＞ 例えば、対偶律は、従来は、 (Ｐ⊃Ｑ)⊃(￢Ｑ⊃￢Ｐ) で表わされるもののこと
＞ と考えられていたのだっただが、これは、どうやら、誤りだったようだ。
＞
＞ そして、M_SHIRAISHI氏の言う［Ｐ(ｘ)⇒/x/Ｑ(ｘ)］⇒/p,q/［￢Ｑ(ｘ)⇒/x/￢Ｐ(ｘ)］
＞ こそが【対偶律】を正しく捉えてたものと考えられる。
＞
＞ M_SHIRAISHI氏（たち？）の主張する Logical Reformation は、おそらく、世界を
＞ 席巻することとなろう。
http://www.age.ne.jp/x/eurms/ http://www.age.ne.jp/x/eurms/Ronri_Kaikaku.html 皮肉なことに、「世界を席巻して」から「日本を席巻する」ほうが簡単なんだよな。ｗ
>>422 わかっているのなら、何が問題になっているのかがわかりません
数理論理で用いている数学の定理はメタであり、数理論理それ自体は形式的な論理です
形式的な論理を用いて数学を再構成することは可能ですよね
>>429 私の質問に答えないのはなぜですか？
あなたの新論理学は神の存在を仮定しない限り成立しない
それを書き加えるべきです
You shall know the truth. And the truth shall make you free.
>>431 ＞＞数理論理で用いている数学の定理はメタであり
何でそんなことしていいんですか？
メタであっても数学の定理は各種公理から導かれています
メタな立場でそういう定理を使う時はそういう公理を暗黙的に(直観的に)認めているってことじゃないんですか？
もし認めて使っているんだったら何のために形式的数学なんてやってるんだってことになりませんか？
(メタな立場で選択公理や正則性公理を仮定するのはさすがに抵抗を感じるでしょう)
何と言うんだろうか…全ての数学は数学基礎論を土台にして成り立っていなくてはならない。だからこそ数学基礎論は他の何者にもよらず確立されていなくちゃならない
という感じを私は持っているのかも知れません
>>431 >>435 >>436
あなたは数理論理を勉強したことがありますか？
それで少し話が変わるかもしれません
数理論理の基本的な部分において集合論の知識を使うことは間違えないですけど、それはあくまでメタ視点での話なので公理云々に執着するのには意味がないんですよ
>>418 ＞つまり、本当に基本的なものは全部メタとして押し付けてしまっているわけですね
とはそういうことです
数理論理は、あくまでも形式化を目的としていて厳密化することはできないのだ、と考えても良いかもしれません
形式化、の意味は、論理を形式的言語で記述して形式的な推論規則を用いる、という意味です
自然言語は明らかに形式的言語を用いていませんから、形式化されていません
されていないからこそ、形式化することに意味があります
>>437 ＞＞あくまでメタ視点での話なので公理云々に執着するのには意味がない
言ってる意味が分かりません
数学基礎論におけるメタ証明の中でツォルンの補題を使うこと云々に執着するのは意味が無いんですか？なぜですか？
しかもツォルンの補題を使うっていうことはメタな立場で直観的な(？)集合概念までをも使ってるじゃないですか
＞＞数理論理は、あくまでも形式化を目的としていて厳密化することはできないのだ
言ってる意味が分かりません
異論を差し挟む余地の無い数学基礎論(有限の立場での議論？)という土台を作ってその上に個別の数学理論を展開出来るようにすることは出来ないんですか？
＞＞自然言語は明らかに形式的言語を用いていませんから、形式化されていません
私が
>>436 でいってることは見た目上の違いっていう視点からのものです
個々の各数学理論でω無矛盾や数値別表現可能性(みたいなもの)が問題になっているんですか？
ω無矛盾や数値別表現可能性ってメタと対象の違いに着目した概念じゃないんですか？
>>438 ツォルンの補題は論理の構成においては使われないと思いますよ
直感的な集合概念はメタにおいて使いますね
我々がメタな存在である限り、メタをなくすことはできません
そういうのは形式化して初めて意味があるものです
形式化されていない普通の論理には適応できませんね
ツォルンも使いますかね、でも
>>438 直観論理の研究に背理法や2重否定を使ってはいけないかと言えばそんなこともない
Hilbert流の論理学では、modus ponens をメタな”論理規則”して認めなければにっちもさっちもいかない。
＞＞つまり、本当に基本的なものは全部メタとして押し付けてしまっているわけですね
>>ID:OgKz+4d1
まず私が言ってることが間違ってるんなら1つ1つピックアップしつつ
>>435 ,436,438の質問に答えて貰えますか？
>>435 >>436 >>438 メタに集合論の知識を使って形式的な論理を構築して、その後に集合論を形式的な論理を用いて整備する、ということですよ
>>447 >>436 でいってることは見た目上の違いっていう視点からのものです >>436 を言ったんです。 >>＞しかもツォルンの補題を使うっていうことはメタな立場で直観的な(？)集合概念までをも使ってるじゃないですか
私の素朴な感覚は、
？？？数学基礎論の議論の前提として、先にメタの集合論がある？？？
Venn図に言及しない論理学の教科書なんて、アルコールの抜けたビールみたいだ。
>>451 だから、メタな仮定を一切認めないなら論理の形式化を全て諦めればいいじゃないですか
前にも言ったはずですよ？
>>451 例えばですね、論理式を定義するのにも、記号の集合やメタな添え字としての自然数を導入する必要があるんです
こればっかりはどうしようもないんですよ
これをメタに認めなければ、我々は何もすることができないんです
>>455 というより厳密な数学をあきらめればいいのよ。所詮数学とて
メタな存在（記号図式、記号の集合）に依存せにゃならん砂上の楼閣
なんだから。
>>454 あなたのベン図は神が定めてるんですよ
神を前提とした論理学とか斬新ですね
>>451 なるほど、じゃあ君にとっては古典１階述語論理に関する完全性定理は無価値なわけだし
その完全性定理を活用して示される論理でなく数学の理論に関する様々な結果も価値がないわけね
で、君のようなことを言い出すと「数学の基礎付けに使うメタ論理やそこでの諸概念の定義にimpredicativeなのがあっても良いのか」という話になってくる
私にとっては数学基礎論という問題意識、数学を基礎付けようなどという傲慢な意識が今となってはナンセンスだと感じるだけだがね
まあ逆数学みたいなアプローチは単なる知的好奇心だけでなく実際の数学の「難しさ」を客観的に測る上でも価値があるとは思ってるが
ちょうどGentzen流の還元的証明論によって公理系の無矛盾性証明の「難しさ」（つまり無矛盾性の保証料とでも言うべき事柄）に対して特定の順序数が与えられるようになり
公理系の「複雑さ」を測る客観的な尺度が与えられたことに大きな意義や価値があるのと同じように
そう言えば逆数学の易しそうな解説本が出たね
>>460 完全性定理を用いた定理って例えばどんなのがあるんですか？
無知なので教えてください
>>328 ＞数学的に何も定義できてないのに批判だけするって民進党か
民進党
言及されて
四苦八苦
啄木 圈
正しいと証明できてないものは使ってはいけないというのは数学においては究極的には正しくなくて
>>464 > 正しいと証明できてなくても正しそうなものは皆が認めるなら使ってもいいし
「公理として」が抜けてるよ。
>>464 誰に取っても正しいとかそういう主観的な概念を持ち込みたくないから、形式的な数学的立場が発達したんじゃないですか？
絶対的な真理を認めるくらいなら、なにも認めない方が数学的でしょう
形式的体系の目的は数学を形式化して初めて扱えるようになる問題（証明不可能性、無矛盾性）
それはそうですけど、
>>464 のいうことは違いますよ明らかに
メタに認めることは誰もが正しいと認めざるを得ないことなのかというとそうでもないですし
>>469 >それはそうですけど、
>>464 のいうことは違いますよ明らかに
じゃあ「正しい」の意味があなたと私とで違うというだけでしょう
「それはそうですけど」と言ってるけど実は分かってないでしょ
私は
>>455 ですよ
私に取っては、あなたたちのほうが、メタと真理を混同しているとしか思えませんね
メタとは、あくまで立場の問題ですよ
ただ単純に、認めるか認めないかの違いであり、正しいか正しくないか、もしくは明らかであるかないかの違いではないのです
完全性定理の証明に選択公理使うからな。それ以前に自然数論は構文論にすら
>>464 ＞数学において究極の正しいと認められている事柄（公理）は
＞モノに関しては集合論（ZF,ZFC,BG)
＞演繹に関しては古典論理（LK,NK)
＞じゃないかしら
Ｐ⊃Ｑ）ｖ（Ｑ⊃Ｐ）などと言った「奇怪な“定理”」をもつ古典論理が正しいわけがない。ｗ
>>475 神を前提とした論理学は正しいんですか？
やっぱりメタな立場についてのスタンスについて考えると
>>85 がしっくりくる
でも”…”のところがよく分からないんですよね
>>477 "・・・"は明らかに帰納法の省略だよなｗ
記号列と、その操作の列の列の列・・・っていうね。
>>479 間違ってないですよ
>>475 さんの理論では、議論世界を定めるために神の存在を必要とします
(P⊃Q)ｖ（Ｑ⊃Ｐ）などと言った「奇怪な“定理”」をもつ古典論理が正しいわけがない。ｗ
"Only Heaven Knows" を文字どおりにとってり間抜けがいるな。(^o^)
>>482 直感主義はそんな感じですけど、あなたの神論理学は、神でないと命題の真偽すら決定できないということになりますよ？
議論世界を決定できるのは神だけなんですから
クリプキモデルでは知識量により真偽が変わるとしますが、あなたの場合は神でなければ真偽を決定できない、です
>>483 そうそう
真偽の定義ができないんだもんな
>>484 正しくは、「真偽が決定できる場合もあるし、できない場合もある。」
数学上の未解決問題などは”真偽が決定できない命題”の典型的な例だ。
>>486 猿がコンピューターを使っている
これは真偽が決定できない命題ですか？
ナンセンスな命題ですか？
議論世界が決定できない命題ですか？
やっぱりメタな立場として、有限の立場というか有限の手続きのみによって認められるものを認める立場をとろうとすると、ZFCの公理はメタな立場の公理としては案外認められない感じしますね
>>489 雑だね
どんな集合にそれら公理を適用するかまで考えたことある？
決して無制限に公理を駆使してるわけではないんだよ
>>488 現に「猿がコンピューターを使っている」のを見ての発言であれば真・
>>492 -Inf
か
-Inf+￢Inf
かでも違うんだよな
>>491 じゃあもう少し具体的に説明して貰えますか？
例えば完全性定理の証明の際に、論理式全体(だったかな？)を整列させて帰納的に極大無矛盾集合を作るじゃないですか
その際にこの帰納的に作る過程において公理をどういう風に適応させていると言うんでしょうか？
ドイツ観念論の三馬鹿トリオ：－
７ヶ国語に訳されている、知る人ぞ知る、確率論の世界的歴史的「名著」：－
年末辺りにAmazonで数学書が破格の安売りしてたから注文したら価格設定のミスって言われてキャンセルされたわ
＞（Ｐ⊃Ｑ）⋁（Ｑ⊃Ｐ）などと言った「奇怪な“定理”」
Venn図って結局図上の点それぞれで命題論理適用して
独立の命題P_1、・・・、P_nを考えると
＞論理法則とはHirbertが考えたような形式的な真理ではなく、二階の実質的な真理なのだ。
http://www.age.ne.jp/x/eurms/GDL.html eurms氏の言い分ではBew[R(n);n]は、どのR(n)とも一致しないそうだが
単にゲーデルの定義した述語Bewは、証明可能の意味ではない、と
云ってるだけのように聞こえる
確かにゲーデルの定義した述語Bewでは、
任意の命題Pについて、Bew（P)⇒Pを
証明することはできない
Bew(P)⇒Pが証明できるのは、Pが証明できるときそのときに限られるから
>>505 ＞（Ｐ⊃Ｑ）⊃（～Ｑ⊃～Ｐ）の場合はどうなんだい？
>>509 ＞（Ｐ⊃Ｑ）⊃（～Ｑ⊃～Ｐ）の場合
￢（∀ｘ．（￢Ｐ（ｘ）⋁Ｑ（ｘ）））⋁（∀ｘ．（Ｑ（ｘ）⋁￢Ｐ（ｘ）））
Ｐ⋁Ｑ⇔Ｑ⋁Ｐ と 排中律から証明可能
>>504 の補足
（Ｐ⊃Ｑ）⋁（Ｑ⊃Ｐ）は
（Ｐ⋀￢Ｑ）⊃（Ｑ⊃Ｐ）と
同値である
しかし、後の式を
∃ｘ（Ｐ（ｘ）⋀￢Ｑ（ｘ））⊃∀ｘ（Ｑ（ｘ）⊃Ｐ（ｘ）） （＊）
と解釈することはできない。（（＊）は恒等式ではない）
要するに命題論理の⊃は「包含関係」とは異なる
だから
>>512 それは別に問題なくね？
論理法則は絶対的でないと駄目という信念があるならどうだか知らないけど
真偽の定め方に任意性があるのを「定義できない」と言ってるわけでしょ
あと「背理法」
背理法の原理は、正しくは、
フレーゲアン理論（いわゆる”古典”論理）は、肝腎なところで誤っており、根本的に書き換えられなければならない。
http://www.age.ne.jp/x/eurms/Ronri_Kaikaku.html 特定の述語に対してのみならばを考えるとか論外なんですよねー
[P(x) ならば Q(x) である] は P.Q が論議世界を同じくするかまたは Q の論議世界が
集合論で濃度や基数が厳密に定義されていますが、
G.Boolos の The Logic of Provability 読みたいなあ
数学を基礎付けようという意識が傲慢とか
>>524 libgen io で検索するといいことがあるかもしれない って隣の奥さんが言ってた
あと、「メタレベル」と「意味論のレベル」は
>>526 460です
なるほど現代とは数学やその証明を取り巻く時代背景が全く異なっており
当時は数学に対して可能な限り客観的な形での基礎づけが必要とされたということですか
それには納得です
一つ勉強させてもらいました
どうもありがとうございました
さっき、組み合わせ的独立命題の話でヒドラ-ヘラクレス線の話よんだんだが面白いね
>>524 Goedel-Loeb Logicの本ね
>>532 照井一成氏の「コンピュータは数学者になれるのか」がお勧め
個人的には自然数の最小値原理をプログラム化する
クライゼル計画がツボ
最小値原理って実はヒルベルトが「ゴルダンの問題」を
解いたときに使った論法らしい 「神学」とかいわれたけど
要するに自然数の集合には必ず最小の要素があるが、具体的に
自然数の集合から最小の要素を取り出す具体的方法がない
ってところが具体的な最小値を知りたい人には面白くない
ってことらしい
>>533 面白そうな話ですね
いつか読もうと思います
自然数の集合Aが空で無ければ最小値が存在することについてですが、
0から初めて1つ1つ自然数ｎがAに属するかを検証することによって最小値を求めることができるのでは？
この場合Aが空でないという仮定により、いつかはあるｎに対して初めてAに属することが分かることが保証されているのだから。
だからAが再帰的集合でありさえすれば何も問題は無いかと。
>>534 > だからAが再帰的集合でありさえすれば何も問題は無いかと。
再帰的集合でないから問題になるわけで
Aが再帰的であってもc.e.じゃなかったら
専門化を目指すなら、この程度の知識は宴会で酔っ払ってもそらんじられるくらいにマスターしておきたい、
>>534 ＞0から初めて1つ1つ自然数ｎがAに属するかを
＞検証することによって最小値を求めることができるのでは？
Aに属するかどうかアルゴリズムで判定可能とは限らないところがポイントです
逆にAから一つづつ要素を取り出していくとして、
必ずあるところで最小の要素が取り出されますが
それがいつかが分からないのがポイントです
最小値原理
専門書の電子書籍化ってしてます？
ドイツ観念論の三馬鹿トリオ：－
>>537 あの本の第１章の内容は全部そうだと思って良い
>>542 ですよね1章だけですよね
第2不完全性定理以降も含まれているのかと一瞬勘違いしてしまいました
先日ファジィ集合･論理に関する本をゲットしたんですが、普通の数理論理学の研究を深めていく上でファジィ方面ってあんまり関係しない？する？
>>543 第２章は基礎的と言えば基礎的
と言っても定理の成立条件の細かい条件の吟味とか
し出すとキリがないんだけど
クラス量化を含まない論理式がNBGで証明可能であれば、その論理式はZFでも証明可能である
それって強い理論は弱い理論の保存的拡大になってるってことだから
突然ですが
名著」ソラリスね。書店にあったから、つい買ってしまった（＾＾
https://www.nhk.or.jp/meicho/famousbook/71_solaris/index.html NHKテレビテキスト「100分 de 名著」ソラリス 2017年12月
(抜粋)
惑星ソラリスの探査に赴いた科学者クリス・ケルヴィンは、科学者たちが自殺や鬱病に追い込まれている事実に直面。何が起こっているのか調査に乗り出します。その過程で、死んだはずの人間が次々に出現する現象に遭遇し、自らの狂気を疑うクリス。
やがて惑星ソラリスの海が一つの知的生命体であり、死者の実体化という現象は、海が人類の深層意識をさぐり、コミュニケーションをとろうする試みではないかという可能性に行き当たります。果たして「ソラリスの海」の目的は？
この作品は、人類とは全く異なる文明の接触を描いているだけではありません。ソラリスの海が引き起こす不可解な現象は、人間の深層に潜んでいるおぞましい欲望や人間の理性が実は何も知りえないのではないかという「知の限界」をあぶりだしていきます。
ロシア・東欧文学研究者の沼野充義さんは、レムは、この作品を通して「人間存在の意味」を問うているのだといいます。
さまざまな意味を凝縮した「ソラリス」の物語を【科学や知の限界】【異文明との接触の可能性】【人間の深層に潜む欲望とは？】【人間存在の意味とは？】など多角的なテーマから読み解き、混迷する現代社会を問い直す普遍的なメッセージを引き出します。
(引用終り)
https://hh.pid.nhk.or.jp/pidh07/ProgramIntro/Show.do?pkey=001-20171204-31-16596 １００分ｄｅ名著 レム“ソラリス”［新］ 第１回「未知なるものとのコンタクト」
[Eテレ] 2017年12月4日（月） 午後10:25～午後10:50（25分）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%BD%E3%83%A9%E3%83%AA%E3%82%B9%E3%81%AE%E9%99%BD%E3%81%AE%E3%82%82%E3%81%A8%E3%81%AB ソラリスの陽のもとに
>>554 横レスだが、当然ながら数理論理学でしょ
実際、海外では現在はFoundations of MathematicsというのはMathematical Logicの意味で使うのは稀で
文字通り数学の基礎付けに実際に関係している場合に使うのが圧倒的に多い
数学的な手法・道具による論理学の研究にはMathematical Logicを使用する
日本だけだよ、Mathematical Logicの意味でFoundations of Mathematicsに相当する言葉を現在でも多用しているのは
成る程、
ただ、日本で数理論理学を勉強できる大学は少ないだろうね。
>>558 ＞ただ、日本で数理論理学を勉強できる大学は少ないだろうね。
大学に行けば、間違った理論（いわゆる”古典”論理）を刷り込まされるだけだよ。ｗ
形式的な論理の正しさは、あくまでその人の立場によって定まるものですから、間違った(形式的な)論理、というのはないわけです
普段Twitterで他の哲学分野バカにしてるy何とかってやつが
>>559 大学院でも数理論理学専攻を持っている大学はごく少数だろうね。
俺は知らない。
>>565 日本のレベルは？
欧米と比較した時の。
数理論理学専攻とかないだろ
数理論理学って純粋数学よりも歴史が浅いってのもあるかも知れないが(←だったら情報科学はどうなんだよｗ)、舐められてる感じがあるんですかね？
数理論理学は初等幾何学が不得意な人用の数学って感じ
>>563 >>568 らしいです
ytb@ytb_at_twt
「論理学はオタクばかりで気持ち悪くて何をやってもダメ」なんだそうなんですが、そもそもオチてないんですけど、
罵倒炎上商法でRT稼ぎってビジネス手法は「数学の楽しさを伝える」という謳い文句的にどうなんですか。
https://twitter.com/asunokibou/status/953427539946455040 …
ytb@ytb_at_twt
まじめな話、数学は自分のプライドに常時強い負荷がかかる分野の一つで、なんとか精神の平衡を保とうとするなら、
自分より立場が弱そうな人間を探して罵倒するって人、時々いるんですよね。論理学は格好のエジキなんですよ。
数学だけじやなくて情報工学の中にも数理論理学の教授はいるだろう
>>571 > 数学だけじやなくて情報工学の中にも数理論理学の教授はいるだろう
というよりも数理論理学の先生方は数学科でポストを得ている人数よりも
情報系（計算機科学科、情報科学科、情報工学科など）あるいは哲学科にポストを得ている人数の方が多いのでは？と個人的には推定している
例えば訳注・解説の豊かさで有名なゲーデルの不完全性定理の翻訳を岩波文庫から出した林晋さんは
数解研→竜谷の情報系→神戸大（は数学科だったっけ情報系だったっけ？）→京大の哲学科だし
まあ一例だけでは何とも言えないが、林さんのお弟子さんとか佐藤雅彦さんのお弟子さんで型理論やってた人たちも概ね情報系でポストを得ているんじゃないかな
型理論（高階直観主義論理）などはそもそも純粋数学（あるいは情報系以外の古典的な＝解析学中心の応用数学）よりも情報系でのほうが
具体的な応用とかと結びついていて親和性が遥かに良い
>>570 もう既にそのツイート削除されてますね
本人はこのスレを見ているのだろうか…
そのツイート内容って本人の偏りすぎた価値観反映されすぎですよね
正直、理系が文系を見下すのは分かる
でも数学やってる人が論理学を見下す理由が全く分からない
>>560 ＞形式的な論理の正しさは
「形式的な論理」って言うこと自体が間違っているのさ。ｗ
論理（法則）は形式的なものではない。
>>574 単純にツマンナイからでしょ
細かすぎて
それだけではあるまい
>>577 > 論理学に対して異様に攻撃的な人が多いでしょ
> 多分に感情的な理由があると思われる
随分と昔（と言っても戦後）の話だが、東大数学科のとある有名な教授が「私の目が黒いうちは基礎論なんかでは絶対に学位を与えない」
と宣われたという逸話もあるみたいですから確かにね
通常の数学をやってる数学者（MacLane風に言えばworking mathematicians、以下ＷＭと略）が感情的で攻撃的なのは
（数理）論理学というか数学基礎論に対してだと思いますね
しかし日本では
>>555 にも書きましたが、数学の基礎付けと関係ない数理論理学のことも今でも数学基礎論と呼ぶことが多いので
ＷＭから見れば哲学風味ゼロな数理論理学も哲学風味てんこ盛りな本来の数学基礎論も混同されてしまってて当然です
ＷＭが生業とする普通の数学そのものに対して数学の基礎付けなる言葉で理解困難な懐疑を並べ上げるだけの数学基礎論は
ＷＭには単なる懐疑のための懐疑に過ぎない難癖をつけて言葉遊びをしているだけの哲学厨にしか見えないでしょうから
ＷＭからの反発は尋常ならざるものがあってもある意味では当たり前でしょう
なにしろＷＭが信じている普通の数学やその論証手段（数学的帰納法など）に対して「君ってナイーブだねえ、そんな怪しげなのを
平気で信用できるなんてさ（笑」といった調子でＷＭたちを馬鹿にするしか能のない基礎論厨は実際に少なくなかったからです
（今でも基礎論を少し齧っただけの素人ほどこういう知ったかな態度を出す人間が多い）
けれども数理論理学の発展には違った道筋も有り得たのではないかと思うのですよ
そしてそのもう一つの有り得た歴史の中では数学者の論理学への反発はほとんどなかったのではと想像するのです
歴史にIFはありませんが、敢えて数学や論理学の歴史でＩＦを言わせてもらえば、最初から数学の基礎の云々する基礎論など出現せず
論理に対する厳密な理解のために論理を数学的道具や手法を用いて分析・研究という現代流の数理論理学のアプローチで発展してきたならば
ＷＭの数理論理学への反発はほとんどなかったのではないか、とね
だって、それならば単に研究対象が論理学で現れる概念であるにすぎず手法などはＷＭがやっている普通の数学と同じですからね
＞＞理解困難な懐疑を並べ上げるだけの数学基礎論はＷＭには単なる懐疑のための懐疑に過ぎない難癖をつけて言葉遊びをしているだけの哲学厨にしか見えない
数学的帰納法を例に出してますけど、｢A⇒A｣だって同じ例になると思いますよ
>>578 >随分と昔（と言っても戦後）の話だが、東大数学科のとある有名な教授が「私の目が黒いうちは基礎論なんかでは絶対に学位を与えない」
>と宣われたという逸話もあるみたいですから確かにね
単につまんないってことだと思うよ
古くはバナッハタルスキ
>>582 > 最近だと実数の中に有理数より多くて無理数より少ない部分集合の存在とか
詳しく
>>561 その人、神戸の菊池誠さんとか加藤文元さんとかを
あからさまにdisるような事ばっか書いてて
人の冗談には激昂するとかどんだけ一方的なんだよ、
と思うよね
ついこの間似たようなことあったよね
>>583 巨大基数公理から2^N0=N2が出る
Nはアレフね
カナモリの巨大基数の集合論は前々からやろうやろうとばっかり思ってて全然手がついてないんだよな
>>587 2^(アレフ0)=(アレフ2)が
有理数より多くて無理数より少ない部分集合の存在を意味する、というのがよくわからない
2^(アレフ0)は実数の濃度=無理数の濃度
無理数の濃度=実数の濃度=2＾アレフ0≦アレフ1
一般にはアレフ1以上だが先に書いてる人が言っているように巨大基数の存在などのもっともらしい公理の追加をすると実数の濃度がアレフ2かアレフ2以下に制限される現象が知られていて俗にアレフ2現象と呼ばれている
別にaleph2じゃなくても、not CHだけで良いよね、っていう
>>590 検索したらそいつだった有名な人なんですね
別に矛盾しないならどんな公理を想定してもいいけど
ただ記述集合論をある程度やるとGodelみたいに
別にこれは個人的な好みの問題だから別にいいんですけど、
>>601 てゆーか「無いと言いたいがどうしても言えそうにない」って感覚なんじゃないかな
>>602 具体的に思えるのに実はつかみ所が無くて困るってこと
でも
こういうのをちまちま考えるから数理論理学は嫌われる
有ったからどうだって言うの？無かったからどうなの？
って感覚が普通
ここの人で実解析と数理論理学の関係に興味ある人いる？
数学基礎論は数学じゃないでしょ
>>602 >数理論理学でも集合論でもある程度抽象度のある集合を考えた方が面白い
↑
具体例を挙げないバカ
>>609 だって何かしら動機を与える興味深い問題を豊富に内在してないでしょ
それで何度もスレに悪口を書き込んでるのか
>>611 理由を添えずに批判だけするのは
頭使わなくても機械的に出来る
>>613 ↑
健全な反論を何一つできないくせに
幼稚な皮肉めいたレスしか返せないバカ
アレフゼロとかオウム真理教みたいできもいと思ったやつが正解
その的外れな反応も感情で目が曇っているのが理由ではない、と
興味深い問題を豊富に内在していないから何度もスレにそのことを書き込みに来ている
>>618 ↑
①相手に対して「俺はムチャクチャを言っていない」と思ってる訳ね、
という機械的念押し
②最後尾に「説得力がないね」という文字列を付加する
自分のレスにアンカがつくと
必ず①+②のレスが生成されて必ずかぶせてくる
>>618 が間違っているなら訂正を
今の君は皮肉めいたレスで逃げているように見える
というか…
>>618 で俺は君の「機械的なレス」という誤解を解こうと思ったわけだが、全然伝わらなかったのだろうか
集合論はもともと三角級数の研究してたCantorが
ウルトラフィルターを取る操作と
もう50年くらい前のイデアル論を著した成田正雄ですら
>>623 は興味深いが
>>624 は言葉足らずで意味不明
>>623 説明があった
1975年に指摘されていたみたいね
https://arxiv.org/abs/1309.0389 あと言っとくが、同値な命題だからといって同価値ではない。
>>622 general topology（笑）
それだけをなんやかんや弄る人達がいるのは知ってるけど
そのgeneral topologyの研究も同様に、数学の主流とほぼ交わりなしでしょ
>モデル理論はもともと代数幾何で考えられてきたような
もうずっと昔にモーデルの定理か何かで
モデル理論的なアプローチが成功したとかいう過去の栄光のただその一点に
ずっとしがみついてる感じ
あれ以降に何か目に見える発展はあったんですかね
実代数幾何とかゲテモノ（しかもカビの生えた古びたゲテモノ）という印象しかない
>連接トポスに関するDeligneの定理と
>Godelの完全性定理は片方からもう一方を導けるので
>片方が無意義ならもう片方もそうなるだろう。
>>626 ←の人が既に言ってるみたいだけど
その話自体は全然知らなかったが、翻訳することで何か具体的な実りはあるのですか？
もし翻訳することの価値がないなら、一般論として、
AとBが翻訳可能でAに価値があっても、Bに翻訳する価値がないなら
Bに価値があるとは限らない
幾何学的群論と数理論理学は深い関連があるみたいで、詰まらなくはない。
モデル理論が実代数幾何には使えて
>>630 代数幾何や数論幾何以外は数学でないと思ってるド阿呆もいるぞ。
上から目線で扱き下ろす快感のためにこのスレに足を運んでる様子なので、
>>632 感情を使わずに数学をやってるようじゃまだまだだな
独我論的構造を持つ現代数学を扱う人間は自然に独我論者になる
>>634 > 独我論的構造を持つ現代数学
インチキ
>>633 貴方がこのスレでやってることが数学なのかね
>>634 かの御仁は独我論の意味も知らんやろ
ケチをつけるのに理由を添えることすらしていない
>>636 当たり前だが5ちゃんの書き込みは数学とは言えない
埒が明かないので大真面目に受け止めるけども、貴方は基本的な読解力に問題があるみたいだね
自然数に関する命題で、巨大基数公理を仮定することで証明できるようになるもの
>>640 へんてこに決まってんじゃん
だいたい
巨大基数は存在しないというのが普通の感覚
>>641 調べても分かりませんでした
>>642 普通の人の感覚では到達不能基数の存在を利用したフェルマーの最終定理もヘンテコということになるのでしょうか
正確には、フェルマーの最終定理が本当に巨大基数を必要としているかどうかは不明なので、
>>640 の答えにはなりませんけど
巨大基数公理ってクラスを必要としないで済ませられるよって言いたいが為にする公理なので
>>643 > 普通の人の感覚では到達不能基数の存在を利用したフェルマーの最終定理もヘンテコということになるのでしょうか
えっ？？？
Wiles（と補題に関しては彼とTaylorだっけ）によるフェルマーの最終予想の証明は到達不能基数の公理なんて使ってた？
WilesによるFLTの証明はそんな怪しげ（少なくとも集合論屋や論理屋以外の通常の数学者の少なからずは疑っているどころか
その公理の存在すら知らない）な公理には依存していないんじゃないの？ 当時、そんな変な公理を使ってるなんて騒ぎにはならなかったし
もしWilesの証明がそうであったならば、FLTは到達不能基数の存在・不在とは関係なく正しいわけで、そういう関係なく正しい命題であるFLTを
別の誰かが通常のZFCよりも強力な公理（到達不能基数の存在公理）を持ち出して証明するって
（仮にその新しい証明がたとえWilesのよりもエレガントだったとしても）数学的にはあまり意味がないよね（最初の証明ならともかく、既により弱い
公理系で証明済のを強力な公理系でエレガントに証明し直すって単なる 【牛刀をもって鶏を割く】 の類でしょ）
>巨大基数公理ってクラスを必要としないで済ませられるよって言いたいが為にする公理なので
>>647 >誰かが通常のZFCよりも強力な公理（到達不能基数の存在公理）を持ち出して証明するって
> （仮にその新しい証明がたとえWilesのよりもエレガントだったとしても）数学的にはあまり意味がないよね（最初の証明ならともかく、既により弱い
> 公理系で証明済のを強力な公理系でエレガントに証明し直すって単なる 【牛刀をもって鶏を割く】 の類でしょ）
基礎論にそんなかっこいいことできたためしないよ
確かグロタンディーク宇宙っていう集合論のモデルの存在が巨大基数公理と同値とかなんとかで
グロたんの構築した概念使う限りは巨大基数公理の存在を認めざるを得ないとかなんとか
けど精査したらWilesの証明にはそこまで仮定する必要なくって選択公理も不要で
ZFで十分だったんだって
>>651 なるほどそういうことか、答えてくれて有難う
>>649 そうそれ。自然数の集合として表現されるから自然数に関する命題かなあと
直観主義な人はそれをやる前提が中途半端と嫌ったりもする
選択公理を採用する直観主義数学として有名なのはビショップの構成的数学
数学ってまず手を動かしてノート取らないと分からないけど、数理論理学は熟読するだけで割と何となく分かるからいいよな
>>654 証明読むと有限集合しか出てこないから
選択公理を使う必要はないよね
結局
ZFの命題では必ず排中律が成立
つまり
LJ+ZF=LK
みたいな
日本には哲学者でも数学者でもないいわゆる
有名でない人も含めればまだ居るとは思うけど、
>>668 論理の本は数理論理学の専門家が書いたほうがいい。
>>659 そこのページも正しくなさそう
なぜかってABふたついらないから
X={0,1}
f:2^X-{{}}->X
f({0})=0
f({1})=f({0,1})=1
A={x∈X|x=0∨ψ}
f(A)∈A
f(A)=0∨ψ
f(A)=0∧ψ→A=X→f(A)=1→NG→￢ψ
f(A)=0∨ψ→￢ψ∨ψ
結局
>>664 > LJ+ZF=LK+ZF
てことね
数理論理学を位相空間的に扱うのってありますか？
ありましたね、田中俊一『論理と位相』 日本評論社 ってのが
https://www.amazon.co.jp/dp/toc/4535601275/ 位相と論理 (日評数学選書)
田中 俊一 (著)
中古品の出品：3 ￥ 13,755より
目次
1 順序と束
2 命題論理とブール代数
3 構造とモデル
4 ブール代数の表現定理
5 フレーム
6 カテゴリー
ラッセル・ヒルベルト流にしろ、ゲンツェン流にしろ、[PならばQ]を[Pでないか又はQ]と同値であると考えたのが、そもそもの誤り。
>>676 また言い出したよ
結局定義も出来ないんじゃ
くり言うわ言たわ言だよ
>>676 > ・・・、[PならばQ]を[Pでないか又はQ]と同値であると考えたのが、そもそもの誤り。
日常言語の「ならば」とか「又は」に込められた感覚が記号論理に正確に写し取られるとは限らないし正確に写し取らねばならない必然性もない。
そもそも日常言語での「ならば」はしばしば因果関係的なニュアンスを含んでいる。
>>678 は書きかけて廃棄しようと思ったのを間違って投稿してしまったので無視してね
皆、講義PDFは印刷してorタブレット端末上どっちで読んでる？
676>>
>>676 ラッセル・ヒルベルトもゲンツェンも、肝腎かなめのところで間違っていたってことだな。
Jechのset theoryを今読んでいます。
>>684 jechを読んだことないけど、一般論としてはある程度さくさく読めるようにはなるよ
読みづらいと感じるならしばらく別の本を読むのも手
数学において｢読む｣という言葉の意味の幅って十人十色だから
隅々まで読んだことあるわけじゃないけど、
あとJechは二版は単なる初版の増訂版だけど
>>688 そういう事なのですね。有難うございます。私が読んでいるのはmillenium editionです。
最初の1/3について言えば、例えばChapter8のSilver's theoremの証明は論理の飛躍があるように思えました。
まー洋書はネットで……………だから皆…………なんだろうけど
荒らしがまず現れないこんな学術スレでレスが非表示だから何かと思ってウェブブラウザで見たら数学関係のスレで現れる荒らしだった
諸君は、（Ｐ⊃Ｑ）ｖ（Ｑ⊃Ｐ）などと言った「奇怪な“定理”」をもつ
直観主義なら成り立たないって何回言えばわかるんですか
そいつ宣伝しに来てるんだよ
>>706 これを称して、下種の勘繰りと言う。
燕雀安んぞ鴻鵠の志を知らんや
円弱、安いんぞ、広告の志を知らんや
大会の結果です。
まったく数学素人なのですが、質問させてください（スレチかもしれませんが）
>>720 このスレのタイトルにある「数学基礎論」というのは「基礎的な（つまり基本的な、あるいは初歩的な）数学」とは全く違います
「数学基礎論」あるいは「数理論理学」というのは、数学の中の、それもかなり特殊で偏屈な分野の名前で普通の数学（代数とか幾何とか解析とか）をやっている人々の
大半からは胡散臭い目で見られている分野です
というわけで、ご質問の件は、このスレでは答えは得られないと思います
この数学板や生物学板にスレがあるか否かは知りませんが、ご質問は「数理生物学」に関する問題だと思いますので、数理生物学に関するスレッドで
ご質問なさるか、あるいは、数学板で質問したり問題を提起したりするための以下のスレのどちらか（あるいは両方）で訊ねられては如何でしょうか
分からない問題はここに書いてね442
http://2chb.net/r/math/1522418128/ 面白い問題おしえて～な 26問目
http://2chb.net/r/math/1518967270/ >>721 >>732さん
そんな気はしていました。。
>>720 の質問は取り下げます
親切にありがとうごさいました
また他のスレッドできいてみます
>> 705１３２人目の素数さん2018/04/22(日) 03:11:11.98ID:XPQebsTa
>>734 少なくもチミの考えはマトモじゃないと信じるに足る
命題「AならばB」に対し、
直観主義論理はいろいろいい性質を持ってるので考慮に入れるのにやぶさかではない
帰謬法の原理を否定するような Intuist に、夢も希望も無い、
数学基礎論は初歩的な数学ではない。
ロジック・基礎論の入門的な教科書って、
初等的な話ですみません
x∈A∨¬(x∈A)
>>771 (8a)A∪A^c=U (P8)
は正確には
A∪A^c=A∪U
あるいは
A⊆U→A∪A^c=U
なのではないでしょうか。
>>773 「A⊆U」は大前提じゃないの？
読み落としてない？
Hundert Jahre sind notig, um eine Wahrheit zu begreifen, und wieder hundert,
強制法と相性がいいとは聞いた
先日亡くなったフィールズ賞な男の方の人は証明検証システムと相性がいいHoTTとかイうのを推奨していたらしい
数学歴ゼロに近いから分かるとこまではわかるのだろうか。理詰めで。誰か説明して。
数学基礎論の問題：ー 命題とはなにか？ 数とはなにか？ 量とはなにか？
>>775 真理は、理解されるのに百年、実用化されるのに更に百年を要する。
>>773 原本を見たらp4で「A⊆U」が定理扱いされていたぞ
propertyって定理なんですね
>>785 そこの「定理」っていうのはその前にある記述をまとめただけだ
「property」とは何を言ってるの？
p4でthe following properties of sets should be notedと書かれていたことからです
>>770 キューネン+超冪+超フィルターで必要十分ですか？
知らんけど大抵の事はどうにかなりそうだよ。
日本人の著者の中には、“恒真命題”なんて用語を使っているアホがいるぜｗ。
>>791 >“恒真命題”なんて用語を使っているアホ
？
12回生になったある日、Dibbie が言った；－「小さなサークルを作って、論理学の研究をしない？」と。
P ∨ Q は否定と論理積を用いた ￢(￢P ∧ ￢Q) と同じである
>>796 >PはQを内含する” は 偽であるのに
真だよ
P→P∨Q
>>798 ”ライオンは哺乳動物である” は ”ライオンとクジラは共に哺乳動物である” を
内含しはしない。
P→P∧Q
P ならば Q である（前提 -- 実質含意）
>>802 命題論理は意味を省いた真理値だけで論理を解釈するもの
ライオンが鯨が
ではなく
真理値が内包するかどうか
真理値の内包とは
偽は偽を内包し
真は真と偽を内包すると
それだけ
>>803 これなんですよ結局
異なる論理式の真偽が違うじゃないかーって言ってるわけです
内含(implication)の意味が分かってない香具師がいるようだなｗ。
>>807 ”俺はライオンであり哺乳動物である”
”俺はライオンでありとあいつはクジラであり、俺もあいつも共に哺乳動物である”
”ライオンは哺乳動物である”
”ライオンとクジラは共に哺乳動物である”
この違いですよ
P”俺は大阪に住んでいる” Q”俺は日本に住んでいる”
>>808 なんか変でしたね
とにかく、またはをならばに読み返るとき、あなたは勝手に量化してるんです
安倍昭恵さんの件といい、
かつて C I Lewis は、material implication(実質的内含)は真の implication ではない
∀x(P(x)→Q(x)) ∨ ∀x(Q(x)→P(x))は成り立たない、というだけです
>>807 >内含(implication)の意味が分かってない香具師がいるようだなｗ。
お前がその香具師な
>>813 >真の内含
とか云うものを定義できなければどうにもならない
"if P(x) then Q(x)" is defined to mean ∀x(～P(x)vQ(x)) .
＞内含(implication)の意味が分かってない香具師がいるようだなｗ。
「アライNさんがもしトリイロさんに喧嘩とか
ゲーデルの(第二?)不完全性定理の証明への途上でゲーデルのベータ関数ってどうしてなくちゃならないんですか？
>>827 いや面白すぎるでしょコレ
ただ、他の数学者（夫含む）の数学の邪魔はして
欲しくないなとは思うけど。
>>826 再帰的定義のコーディングが必要なのが
第二の方なのか第一なのかは証明の方針を理解してりゃ
明らかにわかるでしょ。知りたいならちゃんとした
教科書を読むしかないよ。
中国剰余定理を使うコーディングが主流なのは、多分
多分それが一番サクッとコーディング出来るから、
というだけだと思う。
使わないやり方の本は、Peano算術より弱い
限定算術に対して不完全性定理を証明してる本とか、
説明の都合上最初は指数関数の記号が入ってて
コーディングが楽にできる体系で本筋を進みたいという
方針の本とか、
割と話題を証明論の一部に特化した本になる。
基本的に表現力が強い体系の方がコーディングは楽で、
弱い体系になればなるほど、地道で微妙なコーディングが
必要になって来る。
>>830 僕の質問はコーディングに際して
素因数分解の一意性に基づいて議論を進めるのか
可逆写像φ:N*N→N の存在に基づいて議論を進めるのか
に関わっているということですか
そもそも素数が無限個あることを前提としている
direct limitって直極限と訳されてるけど、
ああでも逆極限と同時に考える場合はそれじゃ困るか
純粋数学で議論･構築されている数学って形式的体系内における数学なのか外における数学なのかどっちですか？
ということは形式的体系外で議論している内容を体系内へ表現することって意識はすると思うのですが、
ZFCにおける術語が帰納的かどうかで分類して形式的議論においてどこまでの違いを生むのかとか気になりますが
形式的体系外とか内とかいっても、やってることは
>>840 >ということは形式的体系外で議論している内容を体系内へ表現することって意識はすると思うのですが、
そんなの意識するのは
食い詰めた基礎論屋だけ
船上に26匹の羊と10匹のヤギがいる
A「ピザって十回言ってみて」
Ｐ，Ｑをそれぞれ
Ｐ，Ｑをそれぞれ
だから
material inplucationは質料と形相とかいうときの
>>826 は私ですけど、廣瀬健の帰納的関数 p117-p118に気持ちいいぐらいのドストライクな回答がありましたね
初等的述語が算術的述語であることを証明するのに必要でした
今、廣瀬健の｢帰納的関数｣を黙読してますけどこれいい本ですよ
>>850 P Qいずれも真なら P→QもQ→Pも真
Ｐ，Ｑをそれぞれ
ｐ：「ケネディ大統領は暗殺された」
Ｑ：「ケネディ大統領もリンカーン大統領も暗殺された」
とすると、 P→Q は明らかに偽。
P Qいずれも真であるが、
>>850 P Qいずれも真なら P→QもQ→Pも真
Ｐ，Ｑをそれぞれ
ｐ：「ケネディ大統領は暗殺された」
Ｑ：「ケネディ大統領もリンカーン大統領も暗殺された」
とすると、P Q いずれも真であるが、 P→Q は明らかに偽。
明らかに真だが…
849１３２人目の素数さん2018/06/10(日) 03:19:10.66ID:ATVzbBYJ
>>856 いかなる人物を入れても、P→Qと¬P∨Qの真理値は一致する
P→Qを¬P∨Qと定義したのならならそのとおりだ。
問題は、P→Qを¬P∨Qと定義すべきではないと主張しているのだ、ｗ
P→Qを∀x.P(x)→Q(x)としか思えないヤツは頭が悪い
＞アインシュタインは間違っている！とか言いだしちゃう手合い
>>859 まだ言ってる
ではどう定義するべきかは何も考えてない
P→Qを∀x.P(x)→Q(x)と考える香具師は、一歩進んでいる。
>>862 ＞ではどう定義するべきかは何も考えてない
のではなくて、何も教えていない。ｗ
なお
>>866 ＞背理法が使えるような定義でなくては誰も興味持たないよ
勿論、使えるさ。
何度言えばわかるんですかねー
ケネディ大統領が暗殺された→1+1=2である
>>866 どういう話の流れか把握してないけど、
俺は背理法が使えない矛盾許容論理に興味あるぞ
>>874 数理論理的に言うなら、命題とは、アトミックな論理式、すなわち原始命題から構成される論理式のことですね
複雑な論理式は、原始命題や他の命題を論理結合子で結びつけることによって作ることができます
前提とは、A→BにおけるAのことですね
つまりですね、ならば命題を作ると言う段階は統語の範疇であり、意味はまだ付加されていないんですよ
少なくとも数理論理においては
ここまでの説明がわからないのであれば、あなたは意見をするレベルにないと言うことです
勉強し直してくださいね
マジレスすると
だので
874 名前:１３２人目の素数さん :2018/06/13(水) 23:44:56.08 ID:DMPVOmLK
>>870 前提は命題って言うにはちょっと甘いな
これは統語と意味論の区別がついていないから書き込めるレスですね
>>878 「意味」を考えることはないってことが分かってないのね
>>880 そこで言ったのは
ケネディ
暗殺
ケネディが暗殺された
定義を明確に出来ないからだよ
>>881 数理論理学において、意味とは、命題記号、述語記号、定数記号、関数記号に具体的な命題、述語、対象、写像をマッピングすることを言います
定義を明確にしようとすればするほど無限後退になってしまうからね
>>884 数学的には、意味とは厳密に数学的に定義された用語です
>>883 どうぞ
ケネディ
大統領
暗殺
をマッピングしてね
>>870 >ケネディ大統領が暗殺された
さあ
ドンドン「意味」をマッピングしてね
>>887 ケネディ→ケネディ
大統領→大統領
暗殺→暗殺
この意味が分からなければ、あなたはこのスレッドにいる資格がありません
M|=ケネディ^M大統領^Mは暗殺^Mされた
こういうことを、数理論理において論理式を解釈する、といいます
>>891 はい、数理論理が何もわかっていないことが判明しましたね
消えてください
>>883 命題記号には真偽値を、述語記号には真理集合を、に訂正しておきます
>>857 > 哲学板でやってれば
>
> いいや、ここに留まる。
> ”if ..., then ...” の解釈を誤った上に構築されている現行の論理学理論は、根本的に間違っているのだ。
だからそれは哲学の問題、あるいは哲学としての論理学理論の問題
ここは数学、数学は単なるゲーム
ゲームとしての数学で重要なのは、公理系が面白い＝様々な美しい定理が導かれるだけの豊かさを持つか否かであって日常の言葉に沿っているか否かの問題は数学では関心・興味の対象ではない
君が拘っている自然語としての"if …, then …"に沿った解釈に基づく公理か否かは数学の問題ではないから、これについて数理論理学としては正しい・間違っているの判断はしない
どういう解釈であろうと、その解釈の結果として面白い公理系が得られればそれが数学としては「正しい」道
そして、君が「解釈が間違っている」と批判する古典命題論理はモデルとしてのブール代数など十分に豊かで楽しめる世界を与えてくれたので数学の一分野である数理論理学としてはそれで十分に合格
君の疑問や議論が意味や意義を持つのはあくまでも哲学においてだけだ、数学では君の疑問の価値はゼロ、ここで論じられても単なる迷惑なだけというのを良く認識したまえ、偏執狂のアスペ君
命題論理で拘るべきなのは形式の整合性であって、現実的な意味内容にアクセント
>>901 全くその通り
極論を言えば普通に考えておかしいと思えるような公理であったとしてもそこから十分に面白いと思える定理が導かれるなら
そういう公理もアリとなる
矛盾許容論理って
思うんだが、何で日本ってこれほどまでに数理論理学が舐められてるの？
日本人がバカだからに決まってます
日本のIT分野全般的にダメダメだから
>>909 それ数理論理学特有の理由にはなってないんですがね
どのスレに書けばいいか分からないのでココに書きます
>>912 クヌースの矢印表記のこと？
巨大数スレ見てみた？
数理論理学は論理学と哲学分野が密接に関係していると思っていて、数理論理学に触れる前にそれらを通るものだと考えると、
ヒルベルトとかの頃ならともかく
>>915 908が知りたいのは日本特有の理由だから、数学としての面白みがないだけだとまだ足りないと思う
何で欧米では軽視されてないのに日本では軽視されてるの？って質問を言い換えるといいのかも
単に人口の問題ではないとして、文化的な違いが背景にあるんじゃないかと思ってるわ
ダウンロード＆関連動画＞＞ VIDEO 数字の発見をしました。
動画です。
ついでにもしよかったら他の動画もよろしく。（工作、電卓、絵、花火など）
>>908 数理論理学の研究者が数学科の中でポストを得にくいから情報科学科とかで何とか大学教員になる。
余計数学科の中では勢力が弱くなるってことでしょ。
>>920 だけど、数学難しいです。
理科が好きですー
921は数理論理学が舐められていることを前提にしていて、舐められているからこそ数学科のポストが得られず、情報科に行き、それによってまた舐められて数学科のポストが得られないという負の循環を示すだけで、数学的帰納法で言うn=1が成り立つ理由を説明できてないように思う
>>922 見ましたよ
面白いですやん
数学的な理由付けがあればシリーズ物として見てみたいと思いましたわ
アメリカは日本の不幸の元凶である。
>>918 > 908が知りたいのは日本特有の理由だから、数学としての面白みがないだけだとまだ足りないと思う
> 何で欧米では軽視されてないのに日本では軽視されてるの？って質問を言い換えるといいのかも
欧米でも数理論理学が充分にリスペクトされるようになったのは割と最近で
それまではマイノリティとして主流分野の数学者との間で長い長い戦いがあった
それは欧州のとある数理論理学者から直接に聞いたので確かだろう
現時点において、欧米で数理論理学が日本よりも安定した地位を得ているのは、
理論計算機科学に対する欧米と日本とでのリスペクトの違い
日本が人工知能という与太に基づく第５世代コンピュータを当時の通産省主導でブチ上げたのに対する
ヨーロッパの反撃はESPRIT計画だったわけだが、このプロジェクトを成す様々な研究テーマの大半は理論計算機科学の特定テーマの研究加速化であったり
理論計算機科学の成果を応用しようというものであったりした
少なくとも当時のハード性能では与太話に過ぎなかった人工知能や知識工学に入れあげた日本と、理論計算機科学という中身の確かな学術分野を育てようとしたヨーロッパ
その理論計算機科学への集中的かつそれなりに長い期間の予算投入と重点強化で、そのバックグラウンドとしての数理論理学もヨーロッパではスポットライトを浴びて
数理論理学の研究者はヨーロッパで安定したステータスを確立できたと考えるのが妥当だろうね
日本だって一応はロジックプログラミングに基づく第五世代ということで、その際にばら撒かれた研究資金はロジック屋や理論計算機科学屋さんたちにも少しは流れたから
第五世代プロジェクトの時代にそれらの分野の研究者が急激に増えて育ったが、その後の予算が続かなかったので徐々に先細りしつつあるのが現状
AwodeyたちがやってるHoTTのプロジェクトも
p進さんってGentzenのHauptsatzについて
極限について、ツイッターで大学の教員が「極限は一階述語論理の関数記号であり、それを付け加えることは保存的拡大」としていたんだが、
極限は普通の関数(写像)の定義で作れるから、新しい関数記号として lim を付け加えても元と同じ（保存的拡大）
>>931 確かにそう見ようと思えば見られる
ありがとう
>>908 ・相対性理論
・数学基礎論（foundation of mathematics）
・量子力学
確かにこの３点セットは舐められているようになっているように見える。
でもどれも共通していることは、ゆるぎないものだってことだよね。
変なこと言ったら全方面から怒りを買うし気を使うよ。
>>933 > ・相対性理論
> ・数学基礎論（foundation of mathematics）
> ・量子力学
> 確かにこの３点セットは舐められているようになっているように見える。
量子力学と相対性理論は物理屋さんの間で舐められていない。
特に量子力学はこれに習熟していなければ研究者どころか物理学専攻の院生にさえなれない。
相対性理論だって宇宙論や天体物理方面を志望する学生には必須。
ただ、量子力学にせよ相対性理論にせよ既に物理理論として確立してこれら自体の研究は終わっているからポストもない。
舐められているとすれば、量子力学でなく量子力学基礎論とでも呼ぶべき研究分野、つまり観測の問題とか量子力学の解釈問題とかを研究テーマとする分野。
これが何故に殆どの物理学者から無視され相手にされない（つまり舐められている）かと言えば、それら量子力学基礎論の問題の答えがどうなろうとも
量子力学を使って実験・観測で出るべき値を予測したり実験で出たデータを解析したりする上で全く影響がないからだ。
つまり量子力学の解釈問題（コペンハーゲン解釈が正しいかEveretteの多世界解釈が正しいか或いは他の解釈が正しいのかという問題）は
実験によって当否を判定できる（つまり反証可能な）の問題でなく、従って自然科学としての物理学の研究対象ではない（自然哲学の対象ではあるかも知れないが）という事だ。
観測の問題にしても同様だと思われているが、こちらは本当に反証不能な問題なのかは少し疑問が残るような気が個人的にはしている。
これが殆どの物理学者たちが量子力学基礎論に対して冷淡な理由だよ、本質的に自然科学の研究ではないからだ。
もっとも「人間原理」なんて持ち出す宇宙論とか素粒子論の連中は量子力学基礎論の研究者以上に自然科学者として正気か疑わしいけれどね。
これに対して重力理論としての相対性理論に対する疑問は現在も充分にホットなトピックだよ。
何しろ一般相対性理論は量子力学と矛盾してしまうからね。（発散の問題）
だから例えばエントロピック重力理論なんてのは非常に魅力的な新しい重力理論の代替候補だし量子力学とは矛盾しない。
ただ、重力理論を素粒子論から基礎付けようとする超弦理論が久しくブームなので他の代替候補には予算もポストも回らない現実がある。
>>934 で言いたかったことを要約しておくと、
量子力学と量子力学基礎論とはきちんと区別すべきだ、ということだ。
前者は反証可能な自然科学（自然は～である、を扱う学問）の理論だが、
後者は（恐らくは）反証不能な問題に関する理論を作ろうとしており自然哲学（自然は～であるべし、を扱う学問）の理論ということだ。
（一般）相対性理論や重力理論に関しては状況は全く異なる。
一部の分野には必須だし、その当否については現状でもホットな問題でもあるが物理学者コミュニティ内部の力学が原因で
特定のアプローチだけに予算とポストが集中している（ので他のアプローチは舐められてるように見えている）。
ところで量子力学基礎論が反証不可能であることの証明はできますか？
>>934-935 要約ありがとう。だいたいそういう理由が返ってくるので物理学専攻の学生でも
あまり手を出さない、つまり聖域みたいになっている。だから量子力学基礎論に
至っては、物理学専攻じゃなくて計算機専攻が量子コンピューターの研究の一環
で手を出しはじめている。量子力学基礎論を本当に進めたいのは量子コンピュー
ターまわりの人物だ。
つまり２系統今あるわけで、どこかで合流することは必然的だ。（これは不可避）
相対性理論、これもまた物理学専攻の学生にとっては聖域だね。専攻して講義を
受けてみても不可解な教科書に講義、図書館で調べようとしても相対性理論と名
のつく本は「ものすごく頭のいい人が書いたから」というような不可解な理由付
けがされているものの結局は、形容しづらいので、難しいわけだ。
宇宙論は輪をかけて難しいものの、こう、最初の膨張宇宙のモデルを提出した人
達で有名ではない人をみていると、亡くなっていても偉大な人物はいまからでも
評価しなくてはならない、ってなる。宇宙論だろうが力学分野だろうが探せば、
ああこの現象を理由付けたのはあの人物だったのか、って言う人がいるだろう。
ブラックホールの概念についてもそうだね。
>>936 量子力学基礎論が反証不可能な証明ですか、それは今の自分の力量ではできません。
なにせ数理論理学ってすごく難しいでしょう。中高でやる幾何学の証明とは全く別物
みたいで、幾何学の証明について書かれている古い本もっていますけど、その付録を
読んでいると、ああ、丸写しできる答えがそのままのっていないと証明することって
一人では難しいなって思ってしまいます。
「量子力学基礎論」という知らない固有名詞に乗るのはよろしくなかった。
格子ゲージ理論が離散化で却って成功してる事例だろ
ガイシの時点で量子論理とかとの関係性見いだそうとやってたのに
怒らないで聞いて欲しいんだけれど、こう、陳腐な話だけれど、
言ってしまえば、所詮ね、こんな学問的に追い求めるということは
人生は死ぬまでの暇つぶし
それはあなたの判断であって他の人は違うでしょう？
もう理解もしていないロマンを追っておかしなことをするのは止めよう
スレチだったらすみません。
>>948 論理的に同値かどうかを調べるには、論理式に使われる言語や述語記号などの解釈を定めていただかないといけないのですが、そこら辺はどのようになっていますか？
>>948 ゼンシヨウヘイホウカトクシヨウヘイホウカジユツゴカ
>>948 ∀n∈N[
( ∃t∈R t^3+3nt^2-3n-2=0 )
⇔
( ∃t∈R ∃Y∈R ∃X∈R Y=(3/2)t^2*X-t^3 ∧ (X,Y)=(-2n,-3n-2) )
]
は明らかに正しいよな
でも、代数学の基本定理を加味して考えると(？)
∀n∈N ∃t∈R[
( t^3+3nt^2-3n-2=0 )
⇔
( ∃Y∈R ∃X∈R Y=(3/2)t^2*X-t^3 ∧ (X,Y)=(-2n,-3n-2) )
]
も正しいよな
(3次方程式だから代数学の基本定理は一々言わなくていいか…)
∀x(P(x)⇔Q(x)) ならば ∀xP(x)⇔∀xQ(x)
も正しい主張だから、
>>951 の前段により、
論理式
∀n∈N( ∃t∈R t^3+3nt^2-3n-2=0 )
⇔
∀n∈N( ∃t∈R ∃Y∈R ∃X∈R Y=(3/2)t^2*X-t^3 ∧ (X,Y)=(-2n,-3n-2) )
も正しい
はず…。
∀n∈N ∀t∈R[
カッコって
>>954 >>953 は単なる見栄え上の問題です
ただ、論理式を書く中で波括弧{}を書くと、集合と誤解を受けるので角括弧[],丸括弧()が多用されますね
勿論丸括弧()も組(x,ｙ)と誤解を受ける可能性があるので注意は払うべきですが
>>870 「当時の」日本の関係者が揶揄するなら、K.Y.ケネディ
ということですね。
順序数定義可能集合について書かれている、
２０世紀は、論理学の歴史からみれば、おおかたの予想に反して、Russell-Hilbert-Goedel
ZFCで(とりあえず)考えます
>>960 計算機科学屋さんで一番役に立たない連中の間違いだろ
>>960 自分としては幾何学の基礎の八版改訂をしたベルナイスが一番。
フロイデンタールは皮肉ったが、他は誰も誤解されてても
指摘しなかったしそういう雰囲気だったんじゃないか。
ヒルベルトも第一次世界大戦後にドイツがようやく加入がみとめられて、
論理式全体の集合Fは含意記号⇒について順序集合をなしますが(議論している形式的体系はZFCとかそれ以外でもいいんですかね？)、
>>968 自分の理解では、その含意の意味が少なくとも２種類あるのだけれど、
混同して理解されているからまず分離しないと研究領域にならないと思う。
言い換えると、〜ならば〜っていうときの「ならば」は自然言語的で曖昧なんで、
包含の意味なのか導出という意味なのかそれぞれ固定して別個の領域で研究する
必要があるだろうということ。
宇宙が地球よりも大きいならば
宇宙はcosmologyの宇宙じゃなくてuniverseの方か？
無念の内に埋没していった奴らの業績掘り起こすのぐらい言われなくてもやるわい。
なんだったっけ…
パース（Peirce）について聞かれても正直わからん。
その『数学的対象』と呼ばれるものは何か実在モデルがあってその定式化されたものと
自励系だけじゃないだろ。結局、現象は作れるけど『実は、説明はできません』とは
>>982 頭の中を整理してから書き込みましょう。
自分のアプローチというか動機は物理に型概念を導入したいということなので、
>>977 これだと、ラッセルの考え方と逆になるね。
命題関数や論理は、その概念上の中で自己完結できるというのがラッセルの
観点。つまり、現実的な対応物がなくても、数学的な記号操作だけで真偽を決定できる、
ということ。自分もこのラッセルの考え方を支持しているよ。
なぜなら、科学的な真理は、かつて天動説が信じられていた時代があったように
論理の真理値を完全に保障するものとはなり得ないから。つまり、客観的な物理学を
想定しなくても用いることが出来るのが論理や命題関数の本質じゃないかな、と考えられる。
だから「すべての人間は死ぬ」という命題も常に真、すなわち恒真命題だとはいえない。
なぜなら、バイオテクノロジーの発展で、今後、不老不死の人間が現れないとも限らないから。
あと、枚挙型の帰納的推論だと、人類誕生以来のすべての人間の死を確認した訳でもないので、
そこからも命題の真偽と現実の客観的対応は、完全である、と思い込まない方がいいだろう。
あくまでそれは蓋然性の度合いや高低の問題となる
ラッセルの時代は知られてなかったけど、
たとえば、「先日、オウム真理教の教祖、麻原彰晃に対して死刑執行が為された」
現実との対応関係が曖昧なのは、論理だけでなく、数学でも事情は一緒。
>>986 ラッセルが英墺系の哲学と論理学をイギリスをはじめとする英米系の文化圏にもって
来るときに、フレーゲの論理学もなにもだいぶ簡略化して紹介してしまったんだよ。
ラッセルの念頭には「形式論理学」としての論理主義があったので、フレーゲの真理
概念も誰にとっての真理なのかわからない真理関数として単純化された。
それはそれで時流に乗って成功しちゃったんだけど、やっぱ現実と合わないところが
出てきたので、同じイギリス人のダメットが回りくどいやり方で、もとの英墺系の
哲学論理学を復活させようという運動をしてくれた。
英墺系哲学論理学の観点から２０世紀科学をみると、納得いかないところが
いっぱいあるので、英墺系哲学論理学をベースに２０世紀科学をやり直そう、という
運動をしたらここまできた。
計算機の方が現実的なメソドロジカルな経験主義的な最重要な「手段」だからね
自分としてはこういう理由。
我々は２０世紀論理実証主義者が定義した科学の範疇を逸脱しているのに
>>991 だから、ラッセルやオーストリア出身のゲーデルを出すまでもなく、
古典論理の運用は、日常言語の使用法とは幾分、解離しているよ。
命題をP,Qと置き、論理和は、P ∨ Q はP,Qが共に真(1)の場合でも、
真とみなされるけど、現実の日常生活でこの論理の法則を適用したら、
おかしくなるよ。
たとえば性別を問われた時には、PかQのいずれかが真でいずれかが偽となる
回答を求めているのに、「私は男(P(1))です」また同時に「私は女(Q(1))です」
という回答も真理関数の上では真(P(1)∨ Q(1) ⇒ 1)となる。
P⇒Qについても同じで、Pが偽の時は、Qがどんな命題でも真となる。
これは日常言語での言葉の扱いとはズレている。
「オウム真理教の教祖、麻原彰晃に対しては、まだ死刑執行が為されていない」
という命題Pは偽なので、任意の命題Q、
「だから、麻原彰晃は今も独房の中で生きている」
というP(0)⇒Q(0) は、真偽表の上では真(1)となる命題扱いになるから。
偽からはどんな帰結でも導けるというのは、論理の世界では有名でしょ。
それは、日常での言語運用感覚とは異なるもの。
「オウム真理教の教祖、麻原彰晃に対しては、まだ死刑執行が為されていない」
もっと簡単に言うと、OR文を日常言語の運用法で解釈すると、PかQのどちらか一方
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