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1132人目の素数さん
2018/07/29(日) 01:01:12.73ID:MbuK+QQd
過去ログ
http://www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/

まとめwiki
http://www6.atwiki.jp/omoshiro2ch/

1 http://cheese.2ch.net/test/read.cgi/math/970737952/
2 http://natto.2ch.net/test/read.cgi/math/1004839697/
3 http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1026218280/
4 http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1044116042/
5 http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1049561373/
6 http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1057551605/
7 http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1064941085/
8 http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1074751156/
9 http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1093676103/
10 http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1117474512/
11 http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1134352879/
12 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1157580000/
13 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1183680000/
14 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1209732803/
15 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1231110000/
16 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1254690000/
17 http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1284253640/
18 http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1307923546/
19 http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1320246777/
20 http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1356149858/
21 http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1432255115/
22 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1464521266/
23 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1497416499/
24 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1502016223/
25 http://2chb.net/r/math/1502032053/
26 http://2chb.net/r/math/1518967270/
2132人目の素数さん
2018/07/29(日) 01:08:06.03ID:l2yOVkhL
削除依頼を出しました
3132人目の素数さん
2018/07/29(日) 01:15:30.20ID:MbuK+QQd
〔前スレ.964〕
log(2) = 0.30103000,log(3) = 0.47712125 が与えられている。
ここから log(11) の小数第2位の値を求めよ。
4132人目の素数さん
2018/07/29(日) 01:22:51.10ID:MbuK+QQd
>>3

(20/9)^3 = 8000/81 < 11 < 100/9 = (10/3)^2,
3 {1+log(2)-2log(3)} < log(11) < 2 {1-log(3)},
これに数値を入れて
3 * 0.346787486 < log(11) < 2 * 0.522878745
1.04036246 < log(11) < 1.04575749

なお log(11) ≒ 1.041392685
5132人目の素数さん
2018/07/29(日) 01:55:52.37ID:tomArlFn
そういえば前スレに貼った画像の閲覧数から、このスレの人口は30人くらいだと分かった
6132人目の素数さん
2018/07/29(日) 02:00:46.67ID:JdwFFF1G
前スレ
>>1000
>>>998
>テンソル積でうまく表現できるかもですね。
>いま思いついたんだけどGを可換有限群としてGの元gに対応する不定元Agを用意しておいてg行h列がAghである行列にすればよさそう。
>GがZ/2Zをn個直積した場合が今回の例でG=Z/nZの場合が巡回行列の行列式の理論になる。
>その行列式はGの既約指標x(g)にたいしてΣ[g] x(g)Agの形の一次式をn個の指標全体でかけ合わせたものになると思う。
>それで今回の話も巡回行列の行列式の理論も同様に説明できるみたい。
うひゃあ
一挙に一般化しちゃえるのですね素晴らしい
最後のところの証明って付けられますか?
7132人目の素数さん
2018/07/29(日) 02:05:57.51ID:MbuK+QQd
>>4 訂正
 (20/9)^3 = 8000/729 < 11
でした。
8132人目の素数さん
2018/07/29(日) 03:08:53.96ID:+uIZHiM9
前スレ993補足

a_1=7
a_(n+1)=a_n+gcd(n+1, a_n)
{a_n}=7,8,9,10,15,18,19,20,21,22,33,36,37,38,39…
https://oeis.org/A106108
b_n=a_(n+1)-a_n
{b_n}=1,1,1,5,3,1,1,1,1,11,3,1,1,1…
https://oeis.org/A132199

c_1=1
c_(n+1)=c_n+lcm(n+1, c_n)
{c_n}=1,3,6,18,108,216,1728,3456,6912,41472,…
https://oeis.org/A135504
d_n=(c_(n+1)/(c_n)-1
d_n=2,1,2,5,1,7,1,1,5,…
https://oeis.org/A135506
9132人目の素数さん
2018/07/29(日) 03:11:50.71ID:+uIZHiM9
おまけ

パズル
10,11,12,13,14,15,16,17,20,22,24,31,100,121,10000,1111111111111111
の16項からなる数列の定義は?
10132人目の素数さん
2018/07/29(日) 04:06:12.98ID:AQS7OXTt
A = Σ[k=0 → ∞] {t^(3k)}/{(3k)!}
B = Σ[k=0 → ∞] {t^(3k+1)}/{(3k+1)!}
C = Σ[k=0 → ∞] {t^(3k+2)}/{(3k+2)!}
を簡単な形で表せ。
11132人目の素数さん
2018/07/29(日) 06:08:32.46ID:dOyuex2D
>>6
GがZ/2Z×Z/2Zの場合(前スレ>>994)と同じ。
――
g行h列がAghである行列をMとしxをGの指標とする。
n=#Gとする。
g行目(g≠e)をx(g)倍してe行目にたすとe行目はh^(-1) = h^として
Σ[g]x(g)Agh = Σ[k]x(k)x(h^)Ak = x(h^)Σx(k)A(k)
でe行目がすべてΣx(k)A(k)の倍数だからdet MはD(x) = Σx(k)A(k)でわりきれる。
D(x)の全体は一次独立であったからMはΠ[x]D(x)の倍数で(Ae)^nの係数を比較して
det M = Π[x]D(x)
をえる。
――
12132人目の素数さん
2018/07/29(日) 06:22:46.24ID:dOyuex2D
>>10
0<t<1の場合、(-∞,0]で切ったlog zの分岐をとって
Σ[k]t^(3k)/(3k)
=(1/3)(Σ[k](t)^k/k + Σ[k](ωt)^k/k + Σ[k](ω^2t)^k/k)
=log (1-t) + log (1-ωt) + log (1-ω^2t)
Σ[k]t^(3k+1)/(3k)
=(1/3)(Σ[k](t)^k/k + ω^2Σ[k](ωt)^k/k + ωΣ[k](ω^2t)^k/k)
=log t + ω^2log ωt + ωlog ωt^2
Σ[k]t^(3k+2)/(3k)
=log t + ωlog ωt + ωl^2og ωt^2
|t|<1の一般の場合はtの偏角に応じて分岐の切り目を変えればいける希ガス。
多分|t|=1でもt≠1ならAbelの定理でいける希ガス。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%BC%E3%83%99%E3%83%AB%E3%81%AE%E9%80%A3%E7%B6%9A%E6%80%A7%E5%AE%9A%E7%90%86
13132人目の素数さん
2018/07/29(日) 06:46:44.15ID:AQS7OXTt
分母に階乗がついているんだけど。
14132人目の素数さん
2018/07/29(日) 07:06:23.08ID:dOyuex2D
>>13
みえてなかった。じゃexpで。
15132人目の素数さん
2018/07/29(日) 07:26:47.10ID:JdwFFF1G
>>11
ありがとうございます
16132人目の素数さん
2018/07/29(日) 08:02:36.05ID:vq7B4GjZ
自然数nについてn^5-nが5の倍数であることを示せ。(有名問題)
素数pについて一般化できる。
17132人目の素数さん
2018/07/29(日) 08:03:23.79ID:vq7B4GjZ
任意の自然数は4個の平方数の和として表せるという。
170以上の自然数はちょうど5個の正の平方数の和として表せることを示せ。
なお、34から169までの自然数もちょうど5個の正の平方数の和として表せることは個別に確認できる。
18132人目の素数さん
2018/07/29(日) 16:42:45.72ID:MbuK+QQd
>>10 >>13

ω = exp(i(2π/3)) = (-1+i√3)/2,
ω~ = exp(i(-2π/3)) = (-1-i√3)/2,
とおくと
A(t) = (1/3){exp(t) + exp(ω・t) + exp(ω~・t)}
       = (1/3)exp(t) + (2/3)exp(-t/2)cos((√3)t/2),

A '(t) = C(t) = (1/3)exp(t) + (2/3)exp(-t/2)cos((√3)t/2 + 2π/3),

A "(t) = B(t) = (1/3)exp(t) + (2/3)exp(-t/2)cos((√3)t/2 + 4π/3),

A '''(t) = A(t).

簡単ぢゃねぇ?
19132人目の素数さん
2018/07/29(日) 16:47:59.43ID:MbuK+QQd
>>16
フェルマーの小定理
20132人目の素数さん
2018/07/30(月) 00:57:03.10ID:rSe3jdja
>>3 >>4

(10/3)^2 - 11 = 81/729 = 1/9,
11 - (20/9)^3 = 19/729
直線で近似すると
1.04036246・0.81 + 1.04575749・0.19 = 1.0413875 < log(11)
21132人目の素数さん
2018/07/30(月) 16:44:10.74ID:SUIlNKTF
ある整数の五乗となる数を五乗数と呼ぶことにする。
13個の五乗数の和で任意の整数を表せることを示せ。
22132人目の素数さん
2018/07/30(月) 17:20:03.54ID:NLRgC79E
3.891156823326853818078262556719905049852981445670139299627728956
23132人目の素数さん
2018/07/30(月) 17:24:44.08ID:eQIEf3dH
>>22
Wiki 情報ではVaughan and Wooleyの結果で17個以内で出来るってのは示されてるらしいけど13個で出来るん?
24132人目の素数さん
2018/07/30(月) 17:50:01.03ID:NLRgC79E
(x-1)^3+(x+1)^3+(-x)^3+(-x)^3=6x.
a=a^3+6((a-a^3)/6).
25132人目の素数さん
2018/07/30(月) 18:26:16.40ID:eQIEf3dH
あ、整数か、負の数使うのありなのね。
なら頑張って見ます。
26132人目の素数さん
2018/07/30(月) 23:48:47.37ID:aGHmkBcO
>>17
できた。
3平方定理は既知とする。
http://integers.hatenablog.com/entry/2017/07/05/172017
以下を除く正の整数は5個の正の平方数の和として表せることを示す。
1,2,3,4,6,7,9,10,12,15,18,33
n≦72のとき。
計算機で確認できる。
以下ではn≧72とする。
n≡0 (mod 8)のとき n-1-1 ≡ 6 (mod 8)よりn-1-1は3個の正の平方数で表せる。
n≡2 (mod 8)のとき n-4-4 ≡ 6 (mod 8)よりn-4-4は3個の正の平方数で表せる。
n≡3 (mod 8)のとき n-4-4 ≡ 3 (mod 8)よりn-4-4は3個の正の平方数で表せる。
n≡4 (mod 8)のとき n-1-9 ≡ 6 (mod 8)よりn-1-9は3個の正の平方数で表せる。
n≡5 (mod 8)のとき n-9-9 ≡ 3 (mod 8)よりn-9-9は3個の正の平方数で表せる。
n≡6 (mod 8)のとき n-4-4 ≡ 6 (mod 8)よりn-4-4は3個の正の平方数で表せる。
n≡7 (mod 8)のとき n-4-16 ≡ 6 (mod 8)よりn-4-16は3個の正の平方数で表せる。
n≡1 (mod 72)のとき n-4-36 ≡ 33 (mod 72)よりn-4-36は3個の正の平方数で表せる。
n≡17 (mod 72)のとき n-4-36 ≡ 57 (mod 72)よりn-4-36は3個の正の平方数で表せる。
n≡25 (mod 72)のとき n-4-36 ≡ 57 (mod 72)よりn-4-36は3個の正の平方数で表せる。
n≡33 (mod 72)のとき n-36-36 ≡ 33 (mod 72)よりn-36-36は3個の正の平方数で表せる。
n≡41 (mod 72)のとき n-4-4 ≡ 33 (mod 72)よりn-4-4は3個の正の平方数で表せる。
n≡49 (mod 72)のとき n-16-36 ≡ 69 (mod 72)よりn-16-36は3個の正の平方数で表せる。
n≡57 (mod 72)のとき n-36-36 ≡ 57 (mod 72)よりn-36-36は3個の正の平方数で表せる。
n≡65 (mod 72)のとき n-4-4 ≡ 57 (mod 72)よりn-4-4は3個の正の平方数で表せる。
以上によりnが9の倍数でない場合は示された。
27132人目の素数さん
2018/07/30(月) 23:49:21.74ID:aGHmkBcO
>>26
一般のとき。
n = 9^em (mは9の倍数でない)となるe,mをとる。
mは9の倍数でない奇数であるから1,3,7,15,33の場合を除いては5個の正の平方数の和として表せる。
よってnも表せる。
m=1ならn≧73よりe≧4ゆえn=81・9^(e-4)かつ81=1+4+4+36+36ゆえよい。
m=3ならn≧73よりe≧2ゆえn=27・9^(e-1)かつ27=1+4+4+9+9ゆえよい。
m=7ならn≧73よりe≧2ゆえn=63・9^(e-1)かつ63=1+1+9+16+36ゆえよい。
m=15ならn≧73よりe≧1ゆえn=135・9^(e-1)かつ135=1+1+16+36+81ゆえよい。
m=33ならn≧73よりe≧1ゆえn=297・9^(e-1)かつ297=1+4+4+144+144ゆえよい。
28132人目の素数さん
2018/07/31(火) 00:04:54.85ID:Tk7zeIY/
>>21
これ>>24がほとんど答えやね。

f:Z/480Z→Z/480Zをf(x) = x^5で定めればこれは全射である。
(∵Z/32Z、Z/3Z,Z/5Z上で言えれば十分である。容易ゆえ略。)
よって整数Nに対しN-a-5= 480nを満たす整数a,nがとれる。
このとき
(-n-1)^5+(1-n)^5+(-n-2)^5+(-n+2)^5+(-n-2)^5+(-n+2)^5+(n+3)^5+(n-3)^5+n^5+n^5+n^5+n^5=480n
であるから
N = a^5+(-n-1)^5+(1-n)^5+(-n-2)^5+(-n+2)^5+(-n-2)^5+(-n+2)^5+(n+3)^5+(n-3)^5+n^5+n^5+n^5+n^5
である。
29132人目の素数さん
2018/07/31(火) 00:12:49.16ID:Tk7zeIY/
あ、うそいった。
>>28は撤回しまつ
30132人目の素数さん
2018/07/31(火) 00:50:51.39ID:Tk7zeIY/
>>21
再挑戦
f:Z/2880→Z/2880は奇数の類かつ3の倍数でない場合に限れば全射である。
(∵Z/64Z、Z/9Z、Z/5Zについてしめせばよい。以下のように計算機でたしかめられる
length $ filter odd $ sort [mod (n^5) 64|n<-[0..63]] -> 32
sort [mod (n^5) 9|n<-[0..8]] -> [0,0,0,1,2,4,5,7,8]
sort [mod (n^5) 5|n<-[0..4]] -> [0,1,2,3,4]。)
与えられたNに対しaを
N≡0 (mod 2)、N≡0 (mod 3)のとき1。
N≡1 (mod 2)、N≡0 (mod 3)のとき2。
N≡0 (mod 2)、N≡1,2 (mod 3)のとき3。
N≡1 (mod 2)、N≡1,2(mod 3)のとき0。
とすればN-a^5は偶数でも3の倍数でもない。
よってN-a^5≡b^5 (mod 2880)を満たす整数bがとれる。
このときN-a^5-b^5=2880nとおけば
N = a^5+b^5+(n+5)^5+(n-5)^5+(-n-4)^5+(-n+4)^5+(-n-3)^5+(-n+3)^5+n^5+n^5
である。□
10個でいけた?
31132人目の素数さん
2018/07/31(火) 01:45:45.06ID:pRIeupgb
>>30
正解です。すごい、越された…想定していたのは
(n+8)^5 + (n-8)^5 - (4n+1)^5 - (4n-1)^5 + 2・(4n)^5 - 2・n^5 = 40920n = 2^3・3・5・11・31n
を利用するものでした。(この式だとmod11,31でどうしても残り5つの五乗数が必要になります)
32132人目の素数さん
2018/07/31(火) 03:46:20.91ID:WJMFWVUG
>>17

N-169 が4個の平方数の和のとき
 13^2 をたす。
N-169 が3個の平方数の和のとき
 5^2 + 12^2 をたす。
N-169 が2個の平方数の和のとき
 3^2 + 4^2 + 12^2 をたす。
N-169 が平方数のとき
 1^2 + 2^2 + 8^2 + 10^2 をたす。
N-169=0 のとき
 1^2 + 2^2 + 2^2 + 4^2 + 12^2.

(//ja.wikipedia.org/wiki/四平方定理)

N.C.Ankeny: "Sums of three squares" (1957) は2次形式の理論を使うし、難しそう。
33132人目の素数さん
2018/07/31(火) 04:27:11.48ID:WJMFWVUG
>>17 >>32

〔ラグランジュの四平方定理〕(1770)
 すべての自然数は高々四個の平方数の和で表わされる。

オイラーの四平方恒等式
 (aa+bb+cc+dd) (ww+xx+yy+zz)
 = (aw+bx+cy+dz)^2 + (ax-bw+cz-dy)^2 + (ay-bz-cw+dx)^2 + (az+by-cx-dw)^2
により、各々高々四個の平方数の和に表わされる二数の積は、高々四個の平方数の和で表わされる。
従って、全ての素数に関して高々四個の平方数の和で表わされることを証明すれば十分である。
素数2に関しては 2 = 1^2 + 1^2 より明らかであある。
次に奇素数pについて証明する。
p-1 が法pに関して平方剰余であれば、
 s^2 ≡ -1 (mod p)
 s^2 + 1^2 + 0^2 = f・p
となる {s,f} が存在する。
p-1 が非剰余であれば、1≦k<p-1 で kが平方剰余、k+1が非剰余となるものが存在する。
(-1)(k+1) は二個の非剰余の積であるから平方剰余である。従って、
 s^2 ≡ k (mod p)
 t^2 ≡ -(k+1) (mod p)
 s^2 + t^2 + 1^2 = f・p
は解 {s,t,f} をもつ。
その解の中でfが最小になるものを選ぶと f=1 であることを証明する。(無限降下法?)
(以下略
34132人目の素数さん
2018/07/31(火) 06:50:19.64ID:ooP76B0X
>>16の正解

(証明1)
mod 5で
n≡0のときn^5-n=0≡0
n≡1のときn^5-n=0≡0
n≡2のときn^5-n=30≡0
n≡3のときn^5-n=240≡0
n≡4のときn^5-n=1020≡0
よってn^5-n≡0 ■

(証明2)
n^5の下1桁とnの下1桁は一致するからn^5-nは10の倍数
よってn^5-nは5の倍数 ■

(証明3)
唐突だがn^5-n+5(-n^3+n)を考えると
n^5-5n^3+4n
=n(n^4-5n^2+4)
=n(n^2-1)(n^2-4)
=n(n+1)(n-1)(n+2)(n-2)
連続する5数のうちいずれかは5の倍数だからn^5-n+5(-n^3+n)は5の倍数
よってn^5-nも5の倍数 ■

(一般化)
素数pについて、nがpと互いに素のときn^(p-1)-1はpの倍数(フェルマーの小定理)
よってn(n^(p-1)-1)は常にpの倍数 ■
35132人目の素数さん
2018/07/31(火) 06:54:59.39ID:ooP76B0X
>>32正解
元ネタはWikipediaのその記事

(模範解答)
問題文より、任意の自然数は高々4個の正の平方数の和として表せる。
また、169は
169=13^2=5^2+12^2=3^2+4^2+12^2=1^2+2^2+8^2+10^2
のように1個から4個の正の平方数の和として表せる。
170以上の自然数nについて、
n-169がk個の正の平方数の和として表せるとき、169を4-k個の正の平方数の和として表せば、
nはちょうど5個の正の平方数の和として表せる。 ■
36132人目の素数さん
2018/07/31(火) 07:03:27.79ID:ooP76B0X
>>26
Kはちょうど3個の正の平方数の和で表せる⇒8を法としてK≡0,1,2,3,4,5,6
は真だけど
逆は言えないんじゃないかなあ
37132人目の素数さん
2018/07/31(火) 07:12:00.49ID:ooP76B0X
>>16の類題
自然数nについてn^8-n^2が9の倍数であることを示せ。
38132人目の素数さん
2018/07/31(火) 07:15:46.65ID:ZGEfiyQY
>>36
逆の証明が>>26のリンク先にあるやん。
39132人目の素数さん
2018/07/31(火) 07:33:44.94ID:ooP76B0X
>>38
読んでなかった
40132人目の素数さん
2018/07/31(火) 14:53:14.62ID:8XwwroQ1
(x^2+4)/(x^2-4)が純虚数になる複素数xとは?
図形的に見ると計算もほとんど無くおわる
41132人目の素数さん
2018/07/31(火) 15:38:07.30ID:i8S2cV5s
>>40
X^2が±4にならない絶対値が2の複素数だから
|x|=2、x≠±2、2i
ヒント大杉
42132人目の素数さん
2018/08/01(水) 00:26:45.59ID:I9uVE3Rk
>>37
 n^8 -n^2 = nn(n^3 +1)(n^3 -1),

 n=3m のとき nn = 9mm ≡ 0 (mod 9)
 n=3m+1 のとき n^3 -1 = (3m+1)^3 -1 ≡ 0 (mod 9)
 n=3m-1 のとき n^3 +1 = (3m-1)^3 +1 ≡ 0 (mod 9)

>>40
0 = 2 Re{ (xx+4)/(xx-4) }
 = (xx+4)/(xx-4) + (x~x~+4)/(x~x~-4)
 = 2(|x|^4 -16)/{(xx-4)(x~x~-4)}
 = 2(|x|^4 -16)/{(x+2)(x-2)(x~+2)(x~-2)}
 = 2(|x|^2 +4)(|x|+2)(|x|-2)/(|x+2||x-2|)^2

∴ |x|=2,x≠±2
43132人目の素数さん
2018/08/01(水) 00:41:26.55ID:I9uVE3Rk
>>37
 n^8 - n^2 = nn(n^6 -1),

n=3m のとき nn = 9mm ≡ 0 (mod 9)
nが9と素であるとき n^6 -1 = n^φ(9) -1 ≡ 0 (mod 9)
ここに、φ(9) = 6 は 1~8 のうち9と素であるものの数(オイラーのtotient函数)
44132人目の素数さん
2018/08/01(水) 00:44:44.89ID:JLGyl1uJ
>>42正解
45132人目の素数さん
2018/08/01(水) 00:48:27.06ID:JLGyl1uJ
>>37>>34のように解き方は色々あるが、例えば
mod 9で
n^2≡0,1,4,-2
k≡0のときk^4-k=0≡0
k≡1のときk^4-k=0≡0
k≡4のときk^4-k=252≡0
k≡-2のときk^4-k=18≡0

この形式の問題をどうやって作ったかというと
nが3の倍数のときn^3≡0
その他のときn^3≡1,-1
みたいなのを見つけて来て
n^2(n^3-1)(n^3+1)=n^8-n^2
という式を組み立てた
次数が小さいほど芸術点が高い
46132人目の素数さん
2018/08/01(水) 01:10:14.12ID:JLGyl1uJ
>>34
(さらなる一般化)
素数pについて、φ(p^k)=p^k-(p^k)/p=(p^(k-1))(p-1)だから
nがpと互いに素のときn^{(p^(k-1))(p-1)}-1はp^kの倍数(オイラーの定理)
よって[n^k][n^{(p^(k-1))(p-1)}-1]は常にp^kの倍数 ■
47132人目の素数さん
2018/08/01(水) 03:16:54.26ID:I9uVE3Rk
>>26

1≦n≦33 のとき

1, -
2, -
3, -
4, -
5, (1,1,1,1,1)
6, -
7, -
8, (1,1,1,1,2)
9, -
10, -
11, (1,1,1,2,2)
12, -
13, (1,1,1,1,3)
14, (1,1,2,2,2)
15, -
16, (1,1,1,2,3)
17, (1,2,2,2,2)
18, -
19, (1,1,2,2,3)
20, (1,1,1,1,4), (2,2,2,2,2)
21, (1,1,1,3,3)
22, (1,2,2,2,3)
23, (1,1,1,2,4)
24, (1,1,2,3,3)
25, (2,2,2,2,3)
26, (1,1,2,2,4)
27, (1,2,2,3,3)
28, (1,1,1,3,4)
29, (1,1,1,1,5), (1,1,3,3,3), (1,2,2,2,4)
30, (2,2,2,3,3)
31, (1,1,2,3,4)
32, (1,1,1,2,5), (1,2,3,3,3), (2,2,2,2,4)
33, -
48132人目の素数さん
2018/08/01(水) 03:18:11.48ID:I9uVE3Rk
>>26

34≦n≦72 のとき

34, (1,2,2,3,4)
35, (1,1,1,4,4), (1,1,2,2,5), (2,2,3,3,3)
36, (1,1,3,3,4)
37, (1,1,1,3,5), (1,3,3,3,3), (2,2,2,3,4)
38, (1,1,2,4,4), (1,2,2,2,5)
39, (1,2,3,3,4)
40, (1,1,1,1,6), (1,1,2,3,5), (2,3,3,3,3)
41, (1,2,2,4,4), (2,2,2,2,5)
42, (2,2,3,3,4)
43, (1,1,1,2,6), (1,1,3,4,4), (1,2,2,3,5)
44, (1,1,1,4,5), (1,3,3,3,4), (2,2,2,4,4)
45, (1,1,3,3,5), (3,3,3,3,3)
46, (1,1,2,2,6), (1,2,3,4,4), (2,2,2,3,5)
47, (1,1,2,4,5), (2,3,3,3,4)
48, (1,1,1,3,6), (1,2,3,3,5)
49, (1,2,2,2,6), (2,2,3,4,4)
50, (1,1,4,4,4), (1,2,2,4,5)
51, (1,1,2,3,6), (1,3,3,4,4), (2,2,3,3,5)
52, (1,1,3,4,5), (2,2,2,2,6), (3,3,3,3,4)
53, (1,1,1,1,7), (1,1,1,5,5), (1,2,4,4,4), (1,3,3,3,5), (2,2,2,4,5)
54, (1,2,2,3,6), (2,3,3,4,4)
55, (1,1,1,4,6), (1,2,3,4,5)
56, (1,1,1,2,7), (1,1,2,5,5), (1,1,3,3,6), (2,2,4,4,4), (2,3,3,3,5)
57, (2,2,2,3,6)
58, (1,1,2,4,6), (1,3,4,4,4), (2,2,3,4,5)
59, (1,1,2,2,7), (1,1,4,4,5), (1,2,2,5,5), (1,2,3,3,6), (3,3,3,4,4)
60, (1,3,3,4,5)
61, (1,1,1,3,7), (1,1,3,5,5), (1,2,2,4,6), (2,3,4,4,4), (3,3,3,3,5)
62, (1,2,2,2,7), (1,2,4,4,5), (2,2,2,5,5), (2,2,3,3,6)
63, (1,1,3,4,6), (2,3,3,4,5)
64, (1,1,1,5,6), (1,1,2,3,7), (1,2,3,5,5), (1,3,3,3,6), (2,2,2,4,6)
65, (1,4,4,4,4), (2,2,2,2,7), (2,2,4,4,5)
66, (1,2,3,4,6), (3,3,4,4,4)
67, (1,1,2,5,6), (1,2,2,3,7), (1,3,4,4,5), (2,2,3,5,5), (2,3,3,3,6)
68, (1,1,1,1,8), (1,1,1,4,7), (1,1,4,5,5), (2,4,4,4,4), (3,3,3,4,5)
69, (1,1,3,3,7), (1,3,3,5,5), (2,2,3,4,6)
70, (1,1,4,4,6), (1,2,2,5,6), (2,2,2,3,7), (2,3,4,4,5)
71, (1,1,1,2,8), (1,1,2,4,7), (1,2,4,5,5), (1,3,3,4,6)
72, (1,1,3,5,6), (1,2,3,3,7), (2,3,3,5,5), (3,3,3,3,6)
49132人目の素数さん
2018/08/01(水) 03:49:35.79ID:I9uVE3Rk
>>43

1~q-1 のうち qと素であるもの(正則元)の全体は乗法群Gをなす。
単位元は 1、   #G = φ(q)
n∈G が生成する巡回部分群を <n> = H とすると、
 #H | #G  (←ラグランジュの定理)
n∈G の位数はφ(q)の約数。
∴ n^φ(q) ≡ 1 (mod q)
50132人目の素数さん
2018/08/01(水) 13:49:03.29ID:s7KpG2Ja
-1≦α≦1とする.
円の面積を2等分する曲線Cについて、
Cの長さをL、Cにより区切られた円周の短い方の長さをSとする
(1)L+αSが最小となるようなCが存在することを示せ.
(2)L+αSが最小となるとき、Cと円周のなす角はarcsin(α)となることを示せ.
(3)円の半径を1として、L+αSの最小値を求めよ.
51132人目の素数さん
2018/08/01(水) 13:50:27.75ID:s7KpG2Ja
>>50
(2)については円でなくても一般のC^1曲線でも成り立ちますがそれだとあまりに証明が難しいので円にしました
52132人目の素数さん
2018/08/01(水) 14:00:15.66ID:CziNQBVb
α=0のときCは直径じゃないの?
そのときなす角はπ/2だと思うけど、arcsin(0) = 0になってしまう??
53132人目の素数さん
2018/08/01(水) 14:08:22.13ID:s7KpG2Ja
>>52
あーごめんなさいarccos(α)の間違いでした
54132人目の素数さん
2018/08/01(水) 14:53:47.27ID:s7KpG2Ja
そしてまた訂正ごめんなさい
0≦α≦1
でした
55132人目の素数さん
2018/08/01(水) 19:41:12.55ID:L9G1MYAK
正の整数 n,k について、
n√2の整数部分を数列{an}とする。
また、全体を正の整数として、{an}の補集合を小さいものから順に並べたものを{bk}とする。
このとき、n=kにおいてbk-an=2nとなることを、(1/√2)+1/(2+√2)=1となることを利用して証明せよ。
56132人目の素数さん
2018/08/01(水) 23:42:34.87ID:iuY0Ipqs
レイリーの定理
57イナ ◆/7jUdUKiSM
2018/08/02(木) 23:04:17.70ID:zqKxfWmN
>>1解けたよ。前スレの952

正五角形の対角線と正六角形を二分する線が一致するように正五角形内部に正六角形の半分を描くと、
分岐点と頂点を結ぶ線分の長さは(対角線の半分)か(1-対角線の半分)のどちらかになる。
分岐点と分岐点の距離は(対角線の半分)。
5つの頂点を結ぶ曲線(シオマネキのハサミのような)
=1+(対角線の半分)×3+(1-対角線の半分)×2
=1+{(1+√5)/4}×3+{1-(1+√5)/4}×2
=1+(3/4)(1+√5)+(1/2)(3-√5)
=(13+√5)/4
=3.8090167……
58132人目の素数さん
2018/08/02(木) 23:40:22.76ID:525L2lOC
>>57
それが最小である証明は?
59132人目の素数さん
2018/08/03(金) 00:41:53.72ID:9GctjKwG
>>57

分岐点と頂点を結ぶ線分の短い方の長さは(1-対角線の長さ)にはなりませんよ

A=分岐点と頂点を結ぶ線分の長い方

B=分岐点と頂点を結ぶ線分の短い方

C=正五角形の一辺

とすると
AとCの挟角が12°ってことが分かって

余弦定理を使えばBの長さは0.30266...になる

そうするとネットワークの長さは4.0323...になって単に辺のみを結ぶよりも長くなってる
60132人目の素数さん
2018/08/03(金) 08:25:19.00ID:aHpLf1sw
1,2,3,5,6,9,11,17,29,41を除く4の倍数ではない自然数は4つの正の平方数の和で表される事を示せ。
61132人目の素数さん
2018/08/03(金) 10:49:52.69ID:3AwxCDFf
>>59
辺のみの解4より大きくなるのは、分岐点の角ぜんぶが120°になってないからで、そのAとBの角が120°になるように長さを調整すると、正弦定理より
A=0.85810…
B=0.24007…
分岐点と分岐点の距離は 1-B
これらからネットワークの長さは3.95629…
4未満にはなる
62132人目の素数さん
2018/08/03(金) 16:45:39.60ID:tRRMlHHD
>>57 >>59

正五角形を P1-P2-P3-P4-P5
正六角形の半分を P1-Q2-Q3-P4 とする。

分岐点の角ぜんぶが 120゚ にはなっていない。 >>61

A は対角線 P1-P4 の半分で
 A = (1/4)tan(72゚) = (1/4)√(5+2√5) = 0.769420884293813350642572644009227456
P2-Q2,P3-Q3 は第二余弦定理から
 B = √{AA -2AC・cos(12゚) +CC} = 0.2946084067614508837941816613267963
P1-P2-P3-P4 は
 C = 1
したがってネットワークの長さは
 3A + 2B + C = 3.897479466404341819516081254681275 < 4

単に辺のみを結ぶよりも長くなるのは おかしい。
63132人目の素数さん
2018/08/03(金) 17:20:37.37ID:tRRMlHHD
>>62 訂正スマソ

A は対角線 P1-P4 の半分で
 A = 1/{4sin(18゚)} = (1+√5)/4 = 0.809016994374947424102293417182819
P2-Q2,P3-Q3 は
 B = √{AA+CC-2AC・cos(12゚)} = 0.2680157330941872201843362931855557
辺 P1-P2-P3-P4 は
 C = 1
したがってネットワークの長さは
 L = 3A + 2B + C = 3.96308244931321671267555283792 < 4
64132人目の素数さん
2018/08/03(金) 18:36:23.63ID:tRRMlHHD
>>57
[前スレ.952] の解は

正五角形 P1-P2-P3-P4-P5 の一辺 P1-P5 に
1×A の長方形P1-Q2-Q4-P5 を貼る。
点Q3 を
 ∠P1-Q2-Q3 = 120゚
 ∠Q2-Q3-Q4 = 120゚
 ∠Q3-Q4-P5 = 120゚
となるようにとる。
分岐点の角ぜんぶが 120゚ になるように A,B を決める。

P1-Q2、Q4-P5 は 正弦定理より
 A = (2/√3)sin(42゚)
  = 0.772645471408608606145454411856338206414855596502316039236
P2-Q2、P4-Q4 は 正弦定理より
 B2 = B4 = (2/√3)sin(18゚) = (√5-1)/(2√3)
  = 0.356822089773089931941969843046087873981686075246868366421
P3-Q3 は
 B3 = tan(72゚)/2 -1/(2√3) - A
  = (1/2)√(5+2√5) -1/(2√3) - A
  = 0.477521162584205212885116485911137977764694599631516736273

したがって、ネットワークの長さは
 2A + (2/√3) + B2 + B3 + B4 =
  = 3.891156823326853818078262556719905049852981445670139299627728956  >>22
65132人目の素数さん
2018/08/03(金) 18:52:34.11ID:6rYEsJmV
>>3 の出題者です, 遅くなりました.
私はlog2, log3を小数第4位までしか与えていないのですが, 其れは置いておきまして, 想定解は
11・9<100, 11⁵>160000
此等に常用対数を取って評価するものです.
66132人目の素数さん
2018/08/03(金) 21:43:01.83ID:rUIhDNs6
>>9
正解は(17-n)進法で表した16
実際にパズル本を出典としてOEISに登録されている
https://oeis.org/A008713

逆順
https://oeis.org/A095431
67イナ ◆/7jUdUKiSM
2018/08/03(金) 23:35:21.21ID:hUvbBELI
>>64
>>57のほうが小さいよ。
>>57

最初は大きくなると思ってあきらめてました。が120°に注意して作図しなおしたら実際は小さくなりました。

左右非対称だというヒントにもかなっていると思います。
68132人目の素数さん
2018/08/04(土) 01:00:13.76ID:KdoMpN08
>>67
>>57の想定は間違っていると言う話をしている
つまり、角度を120°にしたとき、
2つの分岐点の距離と、分岐点から頂点への距離は異なる
同じと考えてそこから計算するのは間違い
69132人目の素数さん
2018/08/04(土) 01:41:02.22ID:ZD/Bfk7m
>>3

20^(4/5) /10 = (8/5)^(1/5) < 11/10 < (4/3)^(1/3),

∴ (8/5)^(1/15)・(4/3)^(2/9) < 11/10 < (8/5)^(1/17)・(4/3)^(4/17),

∴ 1.04137216 < log(11) < 1.0414044

なお log(11) ≒ 1.041392685
70132人目の素数さん
2018/08/04(土) 02:12:51.68ID:ZD/Bfk7m
>>67

>>57 の件は別スレでどうぞ。
http://2chb.net/r/math/1532824890/
71132人目の素数さん
2018/08/04(土) 06:25:20.11ID:c00Ag7Bl
x1,・・・,xn はすべてm以下の自然数
y1,・・・,ym はすべてn以下の自然数
このとき {xi|1≦i≦n},{yj|1≦j≦m} からそれぞれいくつかの数を選んで
それらの和が等しくなるようにできることを示せ
72132人目の素数さん
2018/08/04(土) 07:26:09.87ID:p07vMUFr
>>71
どっかでみたことある問題やな
73132人目の素数さん
2018/08/04(土) 08:11:32.71ID:W7N0ST8g
m=nの場合はある本に載ってた。
ほとんどそのままの論法でいけた。
74132人目の素数さん
2018/08/04(土) 08:50:23.79ID:OvmiclLr
>>73
> ある本に載ってた。

構わん、続けたまえ!
75132人目の素数さん
2018/08/04(土) 10:15:30.89ID:W7N0ST8g
zi=z1+‥+zi、wj=y1+‥+yj とする。
zn≦wmとしてよい。
各1≦i≦nに対して
y j(i-1)<xi≦yj(i)
をみたすj(i)がとれる。
この時各iに対し0≦y(j(i))-xi≦n-1である。
=0が成立するiがあるときには、主張は正しいから≠0とする。
このときyj(1)~yj(n)は全て1~n-1であるから相異なるi1、i2でyj(i1)=yj(i2)となるものがとれる。以下ry
76イナ ◆/7jUdUKiSM
2018/08/04(土) 10:22:48.63ID:JRpAGFBz
>>68圧倒的多数らしい右のハサミが大きい(左利き?)シオマネキのオスを、分岐点が正五角形の下方に水平に並ぶように描きました。
>>67分岐点の角度を120°にするという発想は当初なかったんですが、前スレの左右対称のカブトガニのような図を見て、(最小値は0.89……)分岐点については理にかなってると考えを改めざるをえませんでした。
左右非対称だというヒントで、シオマネキのオスの形を描きなおしました。
正五角形の中に正六角形の半分を描きます。シオマネキの胴体です。分岐点の角度を120°にしたということは正六角形なんで辺の長さは同じ。
分岐点と分岐点の距離は正五角形の対角線(正六角形を二分する線)の半分です。
分岐点から下方の頂点に引いた短い線は、右下か左下にこの短い線の正三角形ができるように平行線を描くことで、
(1-対角線の半分)
と直感しました。
∴1+(対角線の半分)×3+(1-対角線の半分)×2
=1+(3/4)(1+√5)(1/2)(3-√5)
=(13+√5)/4
77132人目の素数さん
2018/08/04(土) 12:02:05.27ID:W7N0ST8g
>>75の後半ことごとくzとwがxとyになってる。
エスパーしてちょ
78132人目の素数さん
2018/08/04(土) 14:02:27.63ID:OvmiclLr
書き直したまえ
79132人目の素数さん
2018/08/04(土) 16:12:09.09ID:oYRkGrO4
次の方程式が持つ整数解の個数は有限か、無限か。
1 + 3x^2 + 4y^3 - 108z^6 = 0
80132人目の素数さん
2018/08/04(土) 20:02:22.42ID:W7N0ST8g
>>79
(x,y,z) = (0,3t^2,t)が解だから無限個。
81132人目の素数さん
2018/08/04(土) 20:25:50.46ID:W7N0ST8g
(0,3t^2,t)が解だから無限個。
82132人目の素数さん
2018/08/04(土) 20:26:41.70ID:W7N0ST8g
ダフッンだorz
83132人目の素数さん
2018/08/05(日) 02:39:33.02ID:rWEeASLy
>>55
 a_n=a,b_n=b と略す。
 {1,2,…,b} のb個のうち {a_k} に含まれるものの数は [(b+1)/√2] 個
 {1,2,…,b-1} のb-1個のうち {a_k} に含まれるものの数は [b/√2] 個
∴ [b/√2] = [(b+1)/√2] = n-b,
 n-b ≦ b/√2, (b+1)/√2 < n-b+1,
 n - (1 -1/√2) < (1 -1/√2)b ≦ n,
(2+√2) を掛けると題意から
 n(2+√2) -1 < b ≦ n(2+√2),
一方、定義から
 -n√2 ≦ -a < -n√2 +1,
辺々たして
 2n-1 < b-a < 2n+1
∴ b-a = 2n.
84132人目の素数さん
2018/08/05(日) 02:45:28.74ID:rWEeASLy
>>83 訂正

∴ [b/√2] = [(b+1)/√2] = b-n,
85132人目の素数さん
2018/08/05(日) 03:01:58.70ID:rWEeASLy
>>79
(|x|,y,|z|) = (5,2,1) (1,-1,0)
有限っぽい…
86132人目の素数さん
2018/08/05(日) 18:36:47.96ID:UTRYBnUN
学部1~2年レベル置いとく

⑴V,Wを有限次元K線形空間とする。f:V→Wの基底ℬ,ℬ'に関する表現行列がAである時、fの双対f *の基底ℬ'*,ℬ*に関する表現行列を求めよ

⑵任意の対称形式b:V×V→Kに対し
て、Kの標数が2でなければ直交基底が存在する事を示せ

⑶L^p[0,1]をp乗可積分な関数全体とする。この時、||f||={∫[0,1]|f|^pdx}^(1/p)でノルムを入れる。このノルムによる単位球面S={f:||f||=1}はコンパクトではない事を示せ。
但し、ここでいう積分は全てリーマン積分で考える
87132人目の素数さん
2018/08/05(日) 19:20:01.63ID:OyR+X+HP
1+3(6z^2-1)^2+4(3z^2-1)^3-108z^6=0。
88132人目の素数さん
2018/08/05(日) 20:10:00.41ID:Bx2Ewg0/
>>87
正解です。
abc conjecture のちょっとした一般化に n conjecture なるものがあるのですが、
この式のzに何を代入しても良いことから、強い方の n conjecture の反例"に近いもの"(
すなわち和が0になるような整数の四つ組であって、どの二つ組の最大公約数も高々4であるもの)がいくらでも構成できます。
この最大公約数の最大を4から1にできないかなとは考えてるけどこれがなかなか難しい…
89132人目の素数さん
2018/08/05(日) 22:27:57.17ID:Q/h8gsf+
>>86
(3)正の整数nに対して f_n(x) の値を
2^n (2^(-n+1) - 2^(-pn) < x < 2^(-n+1) の時)
0 (それ以外)
と定めたら、f_n∈S かつ ||f_n-f_m||=2 となるので、
{f_n}_n=1,2,… のどの部分列も収束しない。
したがってSは点列コンパクトでないためコンパクトでない。
90イナ ◆/7jUdUKiSM
2018/08/06(月) 05:29:38.42ID:0lzyOGBY
>>76前スレ976のカブトガニが最小ってことか。

http://www.kyodemo.net/demo/r/math/1518967270/n976-
91132人目の素数さん
2018/08/06(月) 07:30:20.00ID:PDFtrC+O
数値ちがう。
そもそも最小性の証明出来てないから話にならん。
92132人目の素数さん
2018/08/06(月) 13:19:39.84ID:v0jMK/82
aを1でない実数とする。
[tan(log|log√√√√‥√a|]
において√の数を変化させるとき上式は全ての実数値を取りうることを示せ。
93132人目の素数さん
2018/08/06(月) 13:40:49.77ID:3mj5BX2w
>>92
え?これが出来たら自然数から実数への全射が出来ることにならない? 濃度に反するんだが

稠密の間違いじゃないの?
94132人目の素数さん
2018/08/06(月) 14:05:28.47ID:iZo6oDkQ
カッコが対応してないのも気になるが、
一番外側のカッコがガウス記号のつもりなら、「全ての実数値」は「全ての整数値」の間違いだったりするのかな?
95132人目の素数さん
2018/08/06(月) 15:44:20.70ID:KLoNTCQ2
>>93
×すべての実数値
○すべての整数値
orz
96132人目の素数さん
2018/08/06(月) 16:16:53.28ID:840AtD1X
>>79

1 + 3x^2 + (1/2)(x-1)^3 - (1/2)(x+1)^3 = 0,

1 + 3x^2 + 4{(x-1)/2}^3 - 108{(x+1)/6}^3 = 0,
97132人目の素数さん
2018/08/07(火) 04:07:20.36ID:c5YOeYuN
>>92 >>95

a>0,a≠1,√がn個あるとする。

log|log(√√√√…√a)| = log|(1/2^n)log(a)|
 = log|log(a)| - log(2^n)
 = log|log(a)| - n・log(2),
これはnの等差数列である。

次は tan だから mod π で考えよう。
上式にπ/2 を加えてπで割った ( log|log(a)| - n・log(2) + π/2)/πの小数部分を c_n とおく。
任意の有限区間(α,β)内に或る c_n が存在することを示そう。

〔補題〕
0≦α<β≦1 に対し、α < c_n < β をみたす自然数nが存在する。
(略証)
[ 1/(β-α) ] + 1 = m とおくと、β-α > 1/m
鳩ノ巣原理により
c_1,c_2,…,c_{m+1} の中に |c_i - c_j| < 1/m となる i<j がある。
n を j-i ずつ増減すれば、c_n はある公差(<1/m)で増減する。
∴ m/2回以内にc_nは区間 (α,β) に到達し、補題が成立する。(終)
98132人目の素数さん
2018/08/07(火) 08:35:06.26ID:QCqAGpcR
>>97
正解です。いろいろ問題文不備あったけどエスパーしていただいて申し訳ない。
問題は

an = -n (log2)/π + (log | loga |)/πの小数部
がどうなるか? 

です。
用意した解答。
――
はLindemannの定理から(log2)/π は無理数。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%B3%E3%83%87%E3%83%9E%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
よってWeylの一様分布定理
http://integers.hatenablog.com/entry/2016/07/30/140137
により任意の0≦α<β≦1に対し
lim[n→∞] #{n | α < an < β} /n = 1/(β - α)
が成立することから主張が成立。
――
ホントは上のサイトで紹介されているKroneckerの定理でも証明できるのですが、なんといってもWeylの発見したワイルの基準(Weyl's criterion)が美しく素晴らしい。
はじめて見たときはちょっと感動しました。
99132人目の素数さん
2018/08/07(火) 08:38:30.86ID:QCqAGpcR
>>98
訂正
× lim[n→∞] #{n | α < an < β} /n = 1/(β - α)
○ lim[N→∞] #{n | α < an < β , n≦N }/N = 1/(β - α)
100132人目の素数さん
2018/08/07(火) 16:30:38.97ID:c5YOeYuN
>>97

鳩ノ巣原理のところを、
 0 < |c_i - c_j| < 1/m となる i≠j がある。
と訂正。
 Lindemann により log(2)/π が無理数だから。
101イナ ◆/7jUdUKiSM
2018/08/07(火) 20:33:19.19ID:O2SKNB5L
カブトガニ型の左右対称な分岐点3つの経路の値を確認した。
(斜め線4つ)=(1+√5)/2×(2/√3)
=(1+√5)/√3
(短い縦線)=(正五角形の高さ)-(中央と左右の分岐点の水平距離)(1/√3)-(長い縦線)
=√[{(1+√5)/2}^2-(1/2)^2}]-1/2√3-(長い縦線)
(長い縦線)=(左右の頂点の高さ)-(左右の頂点と左右のの分岐点の水平距離)×(1/√3)
=√[1-{(1+√5)/4 -(1/2)}^2]-{(1+√5)/4 -(1/2)}(1/√3)
=(1/4)√(10+2√5)-(√5-1)/4√3
(最小値)=(1+√5)/√3+(1/2)√(5+2√5)-1/2√3+(1/4)√(10+2√5)-(√5-1)/4√3
=(1+2√5)/2√3+(1-√5)/4√3+(1/4)2√(5+2√5)+(1/4)√(10+2√5)
=(1/4){2√(5+2√5)+√(10+2√5)+(1+√5)√3}
≒(1/4)(6.15536707+3.80422607+5.60503415)
=3.89115682……
>>90
102132人目の素数さん
2018/08/07(火) 22:36:32.55ID:CtNA0gf3
1-6, 2-5, 3-4が向かい合った, 1~6までの各数を揃えた6面サイコロを作る.
サイコロの1つの角c_nを共有する3面の数を合計した数をS_nとする.
(1)1つの角を共有する3面の数の組合せは何通り取れるか?
(2)S_nの最小値, 最大値を求めよ.
又サイコロを如何に作れど, S_nが最小値, 最大値を取る組み合わせの3面が必ず存在することを示せ.
103132人目の素数さん
2018/08/07(火) 23:22:39.52ID:QCqAGpcR
>>102
(1) 8通り
(2) 8つの角に現れる数はいかなるサイコロでも8つの角それぞれの計は
1+2+3=6、 1+2+4=7、 1+5+3=9、 1+5+4=10、
6+2+3=11、6+2+4=12、6+5+3=14、6+5+4=15。
最小値は6,最大値は15。
104132人目の素数さん
2018/08/07(火) 23:55:27.21ID:CtNA0gf3
>>103
正解です.
(ii)は鳩ノ巣原理使った解答想定していたけど, 8通りだと書き出す方が確かに早かった.
105132人目の素数さん
2018/08/08(水) 03:15:07.43ID:ujPEEHfC
>>97 >>98

〔Kroneckerの稠密定理〕
c を無理数とする。
0≦α<β≦1 である任意の区間(α,β) に対して α< {nc} <β を満たす自然数nが存在する。

http://mathtrain.jp/kronecker
106132人目の素数さん
2018/08/08(水) 04:15:20.33ID:/NaPNINC
a[1]=1/2
a[n+1]=a[n]/(1+a[n])^2
で与えられる数列について、
(1)極限値lim[n→∞] na[n] を求めよ。
(2)次の極限が0でない有限値に収束するような正の有理数pの値を求めよ。
lim[n→∞] {a[n]-(1/n)(a[1]+a[2]+...+a[n])}*(n^p)
107132人目の素数さん
2018/08/08(水) 09:14:58.65ID:yP/BCdxN
>>106
(2)解無しになるんじゃないの?
(1)は数値実験で1/2っぽいけど、だとすると a[n] ~ 1/(2n) で (1/n)(a[1]+a[2]+...+a[n]) ~ (log n)/(2n) にならない?
108132人目の素数さん
2018/08/08(水) 12:42:52.37ID:/NaPNINC
>>107
(1)は確かに1/2だが証明を与えてほしい
(2)は解無しもありだが本当にそうなのかを説明してほしい

大学入試問題からヒントを得た問題だが高校生には難しすぎるだろうと思ってここに出してみた
109132人目の素数さん
2018/08/08(水) 14:21:58.02ID:tfbAd/iv
(1)
lim a[n] = 0 は容易。
e>0 に対しa[n] < e (∀n ≧ N)であるNをとって
1/a[n+1] = 1/a[n] + 2 + a[n]
1/a[n] + 2 < 1/a[n+1] <1/a[n] + 2 + e
∴ 2(n - N) + 1/a[N] < 1/a[n] < (2+e)(n-N) + 1/a[N]
∴ 2 ≦ liminf 1/(na[n]) ≦ limsup 1/(na[n]) ≦ 2 + e
eは任意であったから主張は示された。

(2)
(1)と同様にe,Nをとって
Σ[k:N~n]1/((2+e)(n-N) + 1/a[N]) ≦ Σ[k:N~n]a[k] ≦ Σ[k:N~n] 1/((2+e)(n-N) + 1/a[N])
より
1/(2+e) ≦ liminf Σ[k:1~n]a[k]/log n ≦ limsup Σ[k:1~n]a[k]/log n ≦ 1/2
eは任意であったから
lim Σ[k:1~n]a[k]/log n = 1/2。
∴解無し。
110132人目の素数さん
2018/08/08(水) 16:07:37.54ID:xAaRXHEL
R^nの凸集合A,Bについて,A⊂Bならば Aの境界の表面積≦Bの境界の表面積 となることを証明せよ
111132人目の素数さん
2018/08/08(水) 23:10:32.02ID:SNGhFA0V
>>110
以下凸体Vに対しその表面積をS(V)と書く。
e>0をとる。
Aにふくまれる凸多面体A'でS(A)<S(A') + eなるものをとる。
A'の各面Fに対しFを底面とする柱で側面が底面と垂直であり、A'の外側に伸びるものをC_Fとする。
C_Fが切り取るBの表面をT_Fとする。
このとき
S(A) - e ≦ S(A') = Σ (Area of F) ≦ Σ (Area of T_F) ≦ S(B)。
eは任意であったから S(A) ≦ SI(B)。
112132人目の素数さん
2018/08/09(木) 00:03:46.99ID:F9re0hqo
>>111
なるほど
想定していた解答はガウスの発散定理を使うものでしたがこれでも完璧ですね

正解です
113132人目の素数さん
2018/08/09(木) 00:08:45.09ID:gADyDncP
>>112
あざっす。想定解面白そう。教えて下さい。
114132人目の素数さん
2018/08/09(木) 01:39:40.80ID:gADyDncP
>>109
訂正
(2)
e>0をとる。
(1)よりn≧Nにたいして(2-e)/n ≦ a[n] ≦ (2+e)/nを満たすNをとる。
Σ[i:1~N]a[i] = Sとおけば
S+(2-e)(log n - log N -1/n) ≦ Σ[i:1~n]a[i] ≦ S+(2+e)(log n - log N)。
2-e ≦ liminf Σ[i:1~n] a[i]/log n ≦ liminf Σ[i:1~n]a[i]/log n ≦ 2+e。
eは任意であったからlim Σ[i:1~n] a[i]/log n = 2。
∴解無し。
115132人目の素数さん
2018/08/09(木) 02:01:15.97ID:gADyDncP
>>114まだミスしてる。orz。まぁ解無し。
116132人目の素数さん
2018/08/09(木) 02:32:45.03ID:F9re0hqo
>>113
以下想定解答です

Aは滑らかとして十分(軟化などをする)

dを∂Aに対する符号付き距離関数,すなわち
d(x):=dist(x,∂A) (=inf{dist(x,y) | y∈∂A}) (x∈A) , -dist(x,∂A) (x∈A^c) とする

x∈∂Aのとき,∇d(x)は∂Aの外向き単位法線ベクトルとなる
また,∇・∇d(x)=△d(x)は∂Aの点xにおける平均曲率となる
また,Aは凸より,任意のt<0に対して,{x∈R^n | d(x)=t}も凸

滑らかな凸集合の平均曲率は正より,△d(x)≧0 (x∈A-B)
A⊂Bより,0≦∫_(B-A) △d(x) dx=∫_B △d(x)dx-∫_A △d(x)dx

ガウスの発散定理より n_S(x)をSの外向き単位法線べクトルとすれば,
∫_B △d(x)dx-∫_A △d(x)dx=∫_(∂B) ∇d(x)・n_(∂B)(x) dS-∫_(∂A) ∇d(x)・n_(∂A)(x) dS
≦S(∂B)-S(∂A) (∵∇d(x)・n_(∂A)(x)=n_(∂A)(x)・n_(∂A)(x)=1 (x∈∂A) ,∇d(x)・n_(∂B)(x)≦|∇d(x)||n_(∂B)(x)|≦1 (x∈∂B))

よってS(∂A)≦S(∂B)
117132人目の素数さん
2018/08/09(木) 09:49:21.22ID:/mrDq4Yp
>>116
なるへそ。
{x∈R^n | d(x)≦t}が凸。なので△d(x)≧0 (foy x not in A)。
こんなの成り立つのか。知らなんだ。面白い。
118132人目の素数さん
2018/08/09(木) 09:55:49.21ID:/mrDq4Yp
この>>116

>∇・∇d(x)=△d(x)は∂Aの点xにおける平均曲率

とかの周辺の話って勉強できるおすすめの教科書ってありますか?
119132人目の素数さん
2018/08/09(木) 17:21:51.06ID:w0c/gBS2
なるへそ。有向距離d(x)を

d(x) = (x~∂A の最短距離),  x∈A
   =-(x~∂A の最短距離),  x∈A^c
   = 0            x∈∂A
とおく。

∇d(x) = (∂Aの外向き法線単位ベクトル),  x∈∂A

∇・∇d(x) = (∂Aの平均曲率),  x∈∂A

等距離面 {x∈R^n | d(x)=t} も凸

滑らかで凸 ⇒ (∂Aの平均曲率) = ∇・∇d(x) ≧ 0, (x∈A でない)

こんなの成り立つのか。知らなんだ。面白い。
120132人目の素数さん
2018/08/09(木) 17:27:54.87ID:w0c/gBS2
∂Aが滑らかで凸 ⇒ 等距離面も滑らかで凸 ⇒ (等距離面の平均曲率) = ∇・∇d(x) ≧ 0, (x∈A でない)
121132人目の素数さん
2018/08/09(木) 20:39:17.79ID:67QzVCkx
>>117
あーごめん間違いをエスパーしてくれてありがとう

そうだね{d≦t}とB-A上だね


>>118
うーんちょっと洋書で申し訳ないんだけど
Carlo MantegazzaのLecture Notes on Mean Curvature Flowなんかには詳しく載ってるよ
122132人目の素数さん
2018/08/09(木) 22:12:52.40ID:1xDyQzpf
素晴らしいぞ
これでπが上から抑えられる
123132人目の素数さん
2018/08/09(木) 23:51:19.31ID:CfoTNK1M
>>121
あざっす!勉強しときます!!
124132人目の素数さん
2018/08/10(金) 02:09:45.51ID:MxWQLJMW
A:単位球(半径=1)
B_n:Aに外接する正n面体
とすると

S(∂A) = 4π,
S(∂B_4) = (√3)(L_4)^2 = 24√3,  (L_4 = 2√6)
S(∂B_6) = 6(L_6)^2 = 24,     (L_6 = 2)
S(∂B_8) = (2√3)(L_8)^2 = 12√3 = 20.7846097 (L_8 = √6)
S(∂B_12) = 3√(25+10√5)(L_12)^2 = 16.650873 (L_12 = 0.898056)
S(∂B_20) = (5√3)(L_20)^2 = (60√3)/φ^4 = 15.16216843 (L_20 = (2√3)/φ^2 = 1.323169)

π < 3.7905421
125132人目の素数さん
2018/08/10(金) 09:08:54.35ID:MxWQLJMW
>>124
単位円と、それに外接する正n角形の面積を比べた方がいいな…

n=6 正6角形
 π < 6 tan(π/6) = 2√3 = 3.4641016
n=8 正8角形
 π < 8 tan(π/8) = 8(√2 -1) = 3.3137085
n=12 正12角形
 π < 12tan(π/12) = 12(2-√3) = 3.2153903
126132人目の素数さん
2018/08/10(金) 10:40:50.87ID:7pSE0FgU
球に外接する多面体のデータなら前スレ642にあるな
数値の信憑性は定かではないが……。
127学術
2018/08/10(金) 14:13:19.38ID:kjMGeLEi
何をどのときに感じてみているかだな。
128学術
2018/08/10(金) 14:20:21.63ID:kjMGeLEi
女体信仰から始まったのか?モノに執着もあるし、怖い自然もある。異種と出会うこともまれながら、愛した思い出もある。
129132人目の素数さん
2018/08/10(金) 17:50:06.94ID:4DZstiab
円に内接する正三角形ABCと劣弧AB上の点PについてAP+BP=CPを示せ。
面白い問題おしえて~な 27問目 	YouTube動画>1本 ->画像>46枚
130132人目の素数さん
2018/08/10(金) 18:35:42.66ID:FohgrxLg
>>129
トレミーの定理より
AP・BC + BP・AC = CP・AB。
∴ AP+BP=CP。
131132人目の素数さん
2018/08/10(金) 18:45:32.75ID:docgQ2AT

132132人目の素数さん
2018/08/10(金) 19:40:42.18ID:5+P/C2Aj
>>130
正解(想定解)

>>131
正三角形CPDを描くと、∠CPB=∠CAB=∠60°だからBは辺PD上
二辺夾角相等より△CAP≡△CBD
AP+BP=BD+BP=DP=CP
正解
133132人目の素数さん
2018/08/10(金) 20:44:49.01ID:apZDSISF
別スレで出題したのですがこちらの方が適当かなと思いまして、こちらで出題します。


「問題」

2つの円CとDは相異なる2点で交わっている。これによりCとDの和集合である領域は、CおよびDの円弧により3つの領域に分割される。
すなわち、
Cの内部かつDの外部である領域P、
Cの内部かつDの内部である領域Q、
Cの外部かつDの内部である領域R、
に分割される。

このとき、CとDがどのような交わり方をしていても、次の(条件)を満たすような直線lが必ず存在するか。

(条件)
・lは領域P、Q、Rのどの内部も通る。
・lの領域Kに含まれる部分の長さをL[K]とおくとき、次の等式が成り立つ。
L[P]=L[Q]=L[R]
134132人目の素数さん
2018/08/11(土) 10:03:08.35ID:KjzsAEhK
いくつかの赤玉と白玉の入った袋がある。
以下の試行(T)を繰り返す

 (T) : 無作為に玉を一つ取り出し赤玉ならその玉と白玉一個を追加して袋にもどし、白玉ならそのまま取り除く。

この試行をn回行った後の白玉の個数をXnとする。
最初赤玉a個の状態であったとしてlim[n→∞] E(Xn)を求めよ。
――
別スレの問題を改題。
とりあえずいろいろ収束すると仮定すればlim[n→∞] E(Xn)はさらっと求まりますが、収束証明が難しい。
私、出来なくて知ってる限りのそ関連ありそうな単語でいろいろググったらやっと出きた。
135132人目の素数さん
2018/08/11(土) 11:56:17.84ID:TSBXIcfK
>>134
訂正
最初赤玉a個の状態であったとしてlim[n→∞] E(Xn)+ E(X(n+1))を求めよ。
136132人目の素数さん
2018/08/11(土) 14:04:12.77ID:/7veEAAF
>>134
赤玉の個数は永遠に変わらないa個のまま
Xnの時点で
赤がでる確率a/(Xn+a)
Xn+1=Xn+1
白がでる確率Xn/(Xn+a)
Xn+1=Xn-1
E=lim E(Xn)が存在すれば
E=(E+1)a/(E+a)+(E-1)E/(E+a)=(E^2+(a-1)E+a)/(E+a)=E-(E-a)/(E+a)
E=a
137132人目の素数さん
2018/08/11(土) 14:38:11.48ID:/7veEAAF
>>134
最初の時点での白玉の個数をb個とする
n回の試行中x回赤玉がy回白玉がでているときn=x+yで
Xn=b+x-y
しかし
(x,y)→(x+1,y)と遷移する確率はa/(a+b+x-y)
(x,y)→(x,y+1)と遷移する確率は(b+x-y)/(a+b+x-y)
Xn≧0よりy≦x+b
またもちろん0≦x,y
138132人目の素数さん
2018/08/11(土) 16:11:27.84ID:bu/lTCpc
n次行列値関数 A(t)、B(t) が、dA(t)/dt = A(t)B(t)-B(t)A(t) をみたすとき、
tr(A^k) はtに依らない定数であることを示せ。ただしkは自然数とする。
139132人目の素数さん
2018/08/11(土) 17:35:46.41ID:4h9sumgz
>>138
B(t)は任意?ある?
140132人目の素数さん
2018/08/11(土) 18:04:00.18ID:4h9sumgz
>>134
数値実験結果(赤玉3個、白玉0個から始めた場合の n :1001~1010の E(Xn))。
http://codepad.org/TRA2Qa3r

1001 : 6.501239
1002 : 6.498761
1003 : 6.501239
1004 : 6.498761
1005 : 6.501239
1006 : 6.498761
1007 : 6.501239
1008 : 6.498761
1009 : 6.501239
1010 : 6.498761
141132人目の素数さん
2018/08/11(土) 18:08:08.85ID:4h9sumgz
>>138
dA(t)/dt = A(t)B(t)-B(t)A(t)
の両辺のtraceをとって
d/dt trA(t) = tr (A(t)B(t)-B(t)A(t)) = 0。
142132人目の素数さん
2018/08/11(土) 18:32:27.67ID:4h9sumgz
>>140
訂正。
これは玉の総数の期待値。つまりE(赤玉の個数+X_n)でした。
143132人目の素数さん
2018/08/12(日) 01:40:01.12ID:QnRFj99l
>>138

dA(t)/dt = A(t)B(t) - B(t)A(t),

d/dt {A(t)^k} = Σ[j=1,k] A(t)^(j-1) {A(t)B(t) - B(t)A(t)} A(t)^(k-j)
 = Σ[j=1,k] A(t)^j・B(t)・A(t)^(k-j) - A(t)^(j-1)・B(t)・A(t)^(k+1-j)
 = A(t)^k・B(t) - B(t)・A(t)^k,
∴ 任意の多項式 P(x) について
 d/dt P(A(t)) = P(A(t))B(t) - B(t)P(A(t)),
∴ tr{P(A(t))} は一定。
144132人目の素数さん
2018/08/12(日) 08:52:36.66ID:QnRFj99l
〔問題670〕
nを自然数、xを実数とするとき
 [nx] ≧ Σ(k=1,n) [kx]/k
を示せ。ただし [x] はガウス記号である。

[前スレ.670,680+684+717]
145132人目の素数さん
2018/08/12(日) 08:57:27.11ID:QnRFj99l
>>144

[a+b] = [a] + [b] + [{a}+{b}] ≧ [a] + [b],
j≧2 のとき
S_j = (j-1)・[jx] - 2Σ(k=1,j-1) [kx]
  = Σ(k=1,j-1) ( [jx] - [kx] - [(j-k)x] )
  ≧ 0,

f(x) = [nx] - Σ(k=1,n) [kx]/k
 = Σ(j=2,n-1) (1/j - 1/(j+1))・S_j + (1/n)・S_n
 ≧ 0,
146132人目の素数さん
2018/08/12(日) 12:14:49.53ID:H5+qPAxA
g:ℤ →ℤとして,
∀n; g(g(g(g(n))))=2n
を満足するg(n)を挙げよ.

gは一意的だろうか.
147132人目の素数さん
2018/08/12(日) 12:53:01.66ID:62kxiEQs
>>142
赤玉10個、白玉90個で始めた時のシミュレーション

面白い問題おしえて~な 27問目 	YouTube動画>1本 ->画像>46枚

Rのコードはここ
http://egg.2ch.net/test/read.cgi/hosp/1533510399/341
148132人目の素数さん
2018/08/12(日) 13:23:29.73ID:ns/pkk0J
f=gg
ffn=2n
f2n=fffn=2fn
f(2n+1)を任意に選ぶと
f2^k(2n+1)=2^kf(2n+1)
gg2^k(2n+1)=2^kgg(2n+1)
149132人目の素数さん
2018/08/12(日) 13:23:48.26ID:wMzivoP7
>>146
奇素数pを任意に固定する。
f(0)=0 とし、 0 でない整数 n = m・p^k (mはpと互いに素な整数) に対して f(n) の値を
2n/(p^3) (kが4で割って3余る時)
pn (それ以外)
と定めれば、f は満たすべき性質を満たす。
また、奇素数 p は任意であったから、一意的ではない。
150132人目の素数さん
2018/08/12(日) 14:29:19.77ID:FG0t7/CX
>>146
Sを1と素数の集合し、S=∪Tiを4元ずつのdisjoint unionとする。T={a,b,c,d}をそのうちの一つとして
f(a2^i)=b2^i、f(b2^i)=c2^i、f(c2^i)=d2^i、f(d2^i)=a2^(I+1)、f(0)=0
とすれば良い。
151132人目の素数さん
2018/08/12(日) 14:32:38.92ID:FG0t7/CX
>>150
Sは奇数の集合に訂正。
152132人目の素数さん
2018/08/12(日) 14:52:42.72ID:qFRdnMrB
はい
153132人目の素数さん
2018/08/12(日) 14:59:45.25ID:YC87Rpxe
0337 卵の名無しさん 2018/08/12 08:03:01

数学板にあった問題をこのスレの趣旨に合わせて改変。 

あるド底辺シリツ医に 
学力考査で入学した学生(学力学生)と任意の寄付や縁故による加点で入学した学生(裏口学生)がいるとする。 
無作為に一人選んで調査して以下の「浄化操作」をする。 
・調査対象の学生が裏口学生なら退学させる。 
・調査対象の学力学生ならそのまま在籍させて裏口学生を一人追加入学させる。 

この「浄化操作」を n 回行った後の裏口学生の人数を Un とする。 
最初に学力学生10人、裏口学生90人がいるとしてn→∞としたときの Un の期待値を求めよ。
154132人目の素数さん
2018/08/12(日) 17:15:22.96ID:Mmw0/nIQ
>>141
意味不明。


>>143
>  = Σ[j=1,k] A(t)^j・B(t)・A(t)^(k-j) - A(t)^(j-1)・B(t)・A(t)^(k+1-j)
>  = A(t)^k・B(t) - B(t)・A(t)^k,

一般にA(t)とB(t)は可換でない。
155132人目の素数さん
2018/08/12(日) 21:58:42.42ID:Trl31eBa
>>147
一瞬グラフみて「え?10.5近辺に収束するはずなんだけど」と思ってあせりました。
グラフ下の方切れてるんですね。
赤10,白90からスタートした場合のCでの数値実験。
http://codepad.org/ALVNXu5t
――
1001 : 10.500000
1002 : 10.500000
1003 : 10.500000
1004 : 10.500000
1005 : 10.500000
1006 : 10.500000
1007 : 10.500000
1008 : 10.500000
1009 : 10.500000
1010 : 10.500000
――
ちなみに収束してるようにみえますが±1/(2 exp 20)の幅で奇数項と偶数項で振動するはずです。
しかし奇数項+偶数項は収束します。
収束性を仮定すると赤10の場合なぜ奇数項+偶数項が21に収束するかは割と簡単に示せると思います。
156132人目の素数さん
2018/08/12(日) 23:16:24.06ID:QnRFj99l
>>154 (下)
意味不明。

(t) を略して書くと、
 = Σ[j=1,k] {A^j・B・A^(k-j) - A^(j-1)・B・A^(k+1-j)}
 = {A^k・B - A^(k-1)・BA} + {A^(k-1)・BA - A^(k-2)・BAA} + ……
 + {AAB・A^(k-2) - AB・A^(k-1)} + {AB・A^(k-1) - B・A^k}
 = A^k・B - B・A^k,

一般にA(t)とB(t)は可換でない。
157132人目の素数さん
2018/08/12(日) 23:23:50.21ID:Trl31eBa
(1)
d/dt tr A(t) = tr d/dt A(t)
を示せ。
(2)
tr AB = tr BA
を示せ。
158132人目の素数さん
2018/08/13(月) 00:04:58.21ID:hNu7S3fz
>>156
すまんこ。

>>157
うむ。
159132人目の素数さん
2018/08/13(月) 00:47:12.62ID:AgeFDqH3
>>135
EXn+EXn+1は振動しない?
EX2n+E2n+1とかではなくて?
160132人目の素数さん
2018/08/13(月) 01:00:51.11ID:UXlQxOKj
>>159
振動しません。
十分大きいnでは
……x,y,x,y,x,y,x,y……
のような形になるので。
振動幅ごくわずかですけど。
もっというなら各 i に対し
lim P(X_{2n-1} = i)、lim P(X_{2n} = i)
はすべて収束します。
それを使えば >>135 の答えは割と簡単。
問題は収束性。
ネットで調べまくって、いや~偉い人は偉いなぁとしみじみ思いました。
161132人目の素数さん
2018/08/13(月) 01:02:36.69ID:jcwA1+WY
行列の成分表示を使わない trace って、どう定義されるんだっけ?
つまり、-(固有値の総和)のことなんだけど、これを一次変換の変換の性質を表す言葉を使った定義。
162132人目の素数さん
2018/08/13(月) 03:23:48.30ID:1N1Ao5YG
>>161
射影変換の場合はその階数だと思うけど…
一般の場合はどうするか?
163132人目の素数さん
2018/08/13(月) 13:59:17.88ID:c6T1rAtc
数列{a[n]}は上に有界かつ単調増加である。
この数列の極限値をαとするとき、同じ極限値に収束する定数でない数列{b[n]}で、以下の性質を持つものを考える。

(A)ある自然数kが存在し、m>kであるすべての自然数mに対して、|b[m]-α| < |a[m]-α| が成り立つ。
(B)ある2次多項式f(x)が存在し(2次の係数は0でない)、b[n]=f(a[n])と表される。

(1)性質(A)を持つ{b(n)}が存在することを示せ。
(2)性質(A),(B)をいずれも持つような{b(n)}は存在するか。
164132人目の素数さん
2018/08/13(月) 14:05:43.02ID:k1hBg8fv
>>155
これは lim[n→∞] E(Xn)のグラフ。
165132人目の素数さん
2018/08/13(月) 14:12:33.40ID:yjNe5lz4
>>163
・f(α) = α
・a1≦x<αにおいてfは単調増加、x<f(x)<α
であるfをとれば良い。
166132人目の素数さん
2018/08/13(月) 21:47:45.69ID:TJ5+5j7R
>>155
赤10,白90からスタートして
n回試行後のXnの期待値X[n]は

X[0]=90
red=10
X[i+1] = (X[i] +1)*red/(X[i]+red) + (X[i] - 1)*X[i]/(X[i]+red)

で10に収束するように思えるんだけど。

> Xn <- function(n,red=10,white=90){
+ X=numeric()
+ X[1]=white
+ for(i in 1:n){
+ X[i+1] = (X[i] +1)*red/(X[i]+red) + (X[i] - 1)*X[i]/(X[i]+red)
+ }
+ return(X[n+1])
+ }

> sapply(c(100,200,300,400,500),Xn)
[1] 24.22034 10.17547 10.00105 10.00001 10.00000
167132人目の素数さん
2018/08/13(月) 23:36:19.35ID:AgeFDqH3
>>147
コード間違ってない?
168132人目の素数さん
2018/08/13(月) 23:37:43.20ID:D4q3PiWE
>>166
その漸化式がおかしい。
X(0) = 90、X(1) = 992/10
までは正しくでるけどその漸化式では
X(2) = 54809 / 620。
でも正しくは
P(2回目で玉98個) = 89/110、
P(2回目で玉100個) = 2011/1111、
P(2回目で玉102個) = 1/101
なので
X(2) = 546621/5555。
169132人目の素数さん
2018/08/13(月) 23:50:45.71ID:N5KGoV58
訂正
P(2回目で玉100個) = 2011/11110、
170132人目の素数さん
2018/08/14(火) 01:46:43.87ID:Hv2DfroI
>>145

[nx] - Σ(k=1,n) [kx]/k = Σ(j=2,n) c_j・S_j
とおく。c_2 ~ c_n は定数。
まず [nx] を含むのは S_n だけ。
 1 - 1/n = (n-1)c_n,
 c_n = 1/n,
次に [(n-1)x] を含むのは S_n と S_{n-1}.
 -1/(n-1) = (n-2)c_{n-1} - 2c_n,
 c_{n-1} = 1/(n-1) - 1/n,
さらに [jx] を含むのは S_n ~ S_j.
 -1/j = (j-1)c_j - 2(c_{j+1} + … + c_n)
    = (j-1)c_j - 2/(j+1),
 c_j = 1/j - 1/(j+1),    (2≦j<n)
171132人目の素数さん
2018/08/14(火) 05:48:08.92ID:9Q8utBMl
>>148
>f2^k(2n+1)=2^kf(2n+1)
ff(2n+1)=2(2n+1)
f(2n+1)=2^k(2m+1)とすると
ff(2n+1)=f2^k(2m+1)=2^kf(2m+1)=2(2n+1)より
k=1,f(2m+1)=2n+1
または
k=0,f(2m+1)=2(2n+1)
そこで
A={2m+1|f(2m+1)が奇数}
B={2n+1|f(2n+1)が奇数の2倍}
と定めるとABは可算集合ですべての奇数はどちらか一方のみに所属
逆に奇数をどちらも可算のA,Bに分けて
h:A→B:isoを任意に取り
2m+1∈Aに対してf(2m+1)=h(2m+1)=2n+1,f(2n+1)=2(2m+1)と定義し2べき倍に拡張すれば
fは所定の性質ffn=2nを持つ
しかし
gg(2n+1)=2(2m+1)
gg(2m+1)=2n+1
および
gg2n=2ggn
172132人目の素数さん
2018/08/14(火) 07:10:34.74ID:IA4dHF2A
>>168
ご指摘通り、
2回めが赤でも
1回めが赤で2回めが赤の場合と
1回めが白で2回めが赤の場合で
期待値は異なりますね
御助言ありがとうございました。
173132人目の素数さん
2018/08/14(火) 11:13:55.13ID:2ZjKXoLF
札幌ひばりが丘病院を麻薬取締法違反で書類送検

174132人目の素数さん
2018/08/14(火) 12:39:36.37ID:1M/cP5sU
>>168
X(n)は球の総数として
P(2回目で玉100個) になるのは99→100の場合と101→100の場合があって
前者は90/100*10/99、後者は10/100*91/101で異なりますね。

御指摘に従ってコードを書き直しました。

X <- function(n,red=10,white=90){
rw=red+white
p=list()
total=list()
total[[1]]=c(rw-1,rw+1)
p[[1]]=c(white/rw,red/rw)
if(n > 1){
for(i in 1:n){
total[[i+1]]=c(total[[i]]-1,total[[i]]+1)
p[[i+1]]=c(p[[i]]*(total[[i]]-red)/total[[i]], p[[i]]*red/total[[i]])
}
}
return(sum(p[[n]]*total[[n]]))
}

計算結果は合致しました。
> X(2)
[1] 98.40162
> 546621/5555
[1] 98.40162

プログラムとしては間違っていないと思うのですが、メモリー不足になって実用性はありませんでした。
175132人目の素数さん
2018/08/14(火) 22:12:20.44ID:AsxK2Ejm
f:R^2→R が原点で連続ならば
lim(x→0)lim(y→0)f(x,y)=lim(y→0)lim(x→0)f(x,y)
は成り立つか?
176132人目の素数さん
2018/08/14(火) 22:15:51.04ID:1M/cP5sU
>>140
省エネ化してRに移植

# 確率を行列化
rm(list=ls())

X = function(n,r=10,w=90){
# s[i,j]
rw=r+w # 試行前総玉数
J=rw+n # jの上限
s=matrix(0,nrow=n,ncol=J) # i回試行後に総数がj個である確率の行列
s[1,rw-1]=w/rw ; s[1,rw+1]=r/rw # 1回試行後
if(n > 1){
   for(i in 2:n){
  for(j in r:J){ # jはr未満にはならない
  # if(j==1) s[i,j] = s[i-1,j+1]*(j+1-r)/(j+1)
  if(j==J) s[i,j] = s[i-1,j-1] * r/(j-1)
  else s[i,j] = s[i-1,j-1] * r/(j-1) + s[i-1,j+1]*(j+1-r)/(j+1)
  }
  }
}
total=sum((r:J)*s[n,r:J])
white=total-r
return(c(total=total,white=white))
}

X(2)
546621/5555
vX=Vectorize(X)
vX(1000:1010)

> vX=Vectorize(X)
> vX(1000:1010)
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11]
total 20.5 20.5 20.5 20.5 20.5 20.5 20.5 20.5 20.5 20.5 20.5
white 10.5 10.5 10.5 10.5 10.5 10.5 10.5 10.5 10.5 10.5 10.5
177132人目の素数さん
2018/08/14(火) 23:48:12.60ID:rkGL5Dow
>>175
例えば f(x,y) の値を
|x| (x,yがどちらか一方のみが有理数の時)
0 (それ以外の時)
と定めればfは原点で連続であるが、x≠0 の時に lim(y→0)f(x,y) は定義されないため、二行目の等式が成り立つことはない。
178132人目の素数さん
2018/08/15(水) 06:08:02.10ID:S7PPEbKD
{n}=1111...111と定義する(nは自然数であり、10進法表記したときに1がn個並んでいる)。

(1){n}=3^a(aは自然数)となることはあるか。

さらに、自然数kおよび非負整数mに対し、以下の等式を満たす非負整数a及び整数b(bは1または2である)がただ1つに定まるとき、a,bを決定せよ。
ただ1つに定まらない場合はaの最大値を述べよ。
ただしaは非負であり、bは1または2とする。

(A){3k}=(3^a)*(3m+b)
(B){3(k+1)}=(3^a)*(3m+b)
(C){3(k+2)}=(3^a)*(3m+b)
179132人目の素数さん
2018/08/15(水) 08:52:04.11ID:6OEqz/R6
>>167
1000~1010回試行をそれぞれ100回繰り返して平均をだすシミュレーション結果で10.5近辺で振動したから

シミュレーションのコードは正しいと思う。

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180132人目の素数さん
2018/08/15(水) 10:13:13.78ID:HKfY+w2Q
>>150-151
 奇数m、(m,p)=1、非負整数j≧0 に対し
 T_(m,j) = {m・p^(4j),m・p^(4j+1),m・p^(4j+2),m・p^(4j+3)} = {a,b,c,d}
としたものが >>149
181132人目の素数さん
2018/08/15(水) 12:30:17.95ID:p/Nzh/yc
>>140
精度上げて計算。
赤10,白90スタート。
http://codepad.org/d3B4hPPi

1001 : 0000020.50000000103057681723857863179375573
1002 : 0000020.49999999896942319451989818931917708
1003 : 0000020.50000000103057681669136956653754163
1004 : 0000020.49999999896942319399815481629102060
1005 : 0000020.50000000103057681619390677994098141
1006 : 0000020.49999999896942319352384265899269428
1007 : 0000020.50000000103057681574166788303501812
1008 : 0000020.49999999896942319309264978872148864
1009 : 0000020.50000000103057681533054161312050221
1010 : 0000020.49999999896942319270065627029311700
182132人目の素数さん
2018/08/15(水) 16:32:11.26ID:6OEqz/R6
>>176

Rは16桁が限度

> print(data.frame(total),digits=16)
total
1001 20.50000000103054
1002 20.49999999896938
1003 20.50000000103054
1004 20.49999999896938
1005 20.50000000103054
1006 20.49999999896938
1007 20.50000000103054
1008 20.49999999896938
1009 20.50000000103054
1010 20.49999999896938
183132人目の素数さん
2018/08/16(木) 12:47:10.18ID:vdt1qXMY
丁度4個の元から成る, 乗法単位元を持つ可換とも限らない環R=({0,1,x,y},+,×)の演算表を以下に4つ作った.
但し, (1)~(4)で定義される環は互いに同型でないとし, 加法単位元を0, 乗法単位元を1と書いた.
表の残りを埋め, (1)~(4)の環構造を決定せよ.

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184132人目の素数さん
2018/08/16(木) 13:08:49.86ID:GB9705T4
>>183
4元からなる代数をRとしてk={1,1+1,…}のなす環はZ/2Z、Z/4Zのいずれか。
後者のときはR=Z/4Z。
kが2元体のときt∈R\kをとってR=k[t]はk上の2次元の代数で可換。
Rが零因子を持たないときはRは4元体。
Rが冪零根基をもつときはRはk[x]/(x^2)、持たないときはkΠk。

(2)はkが2元体でないのでZ/4Z。
(4)は残り3つのうちy^2=yがkの元でない解をもつのでkΠk。
(3)は残り2つのうちx^2がkの元でないのでF4。
(1)は残りのひとつk[x]/(x^2)。
185132人目の素数さん
2018/08/16(木) 20:15:06.84ID:j+ZMiWwO
整数から複素数への写像 f であって、次を満たすものはいくつ存在するか:
任意の整数 x, y について f(xy+1) = f(x+y) + f(x)f(y) が成り立つ。
186高添沼田の親父「糞関東連合テメエらまとめてぶち殺すっ!!」
2018/08/16(木) 21:18:08.93ID:dZ5ratnn
高添沼田(葛飾区青戸6-23-21ハイツニュー青戸103号室)の挑発
高添沼田の親父「関東連合文句があったらいつでも孫を金属バットで殴り殺しに来やがれっ!! 関東連合の糞野郎どもは俺様がぶちのめしてやるぜっ!! 賞金をやるからいつでもかかって来いっ!!糞バエ関東連合どもっ!! 待ってるぜっ!!」 (挑戦状)
187132人目の素数さん
2018/08/17(金) 12:30:16.29ID:5QyvDwxU
>>185

f(x) = 0, x-1, xx-1,
3つ以上
188132人目の素数さん
2018/08/17(金) 13:18:28.99ID:PyFaMZsM
誰か>>178を解いてほしい
189132人目の素数さん
2018/08/17(金) 14:18:20.52ID:5QyvDwxU
>>178
(1)
{n} = (10^n - 1)/9,

(解1)
nの素因数をpとすると
 {p} | {n}
p=2 のとき
 {p} = 11、{n}は11の倍数。
p=3 のとき
 {p} = 111 = 3・37、{n}は37の倍数。
p>3 のとき
 {p} = Σ[k=0,p-1] 10^k ≡ Σ[k=0,p-1] 1 = p ≠ 0 (mod 3)
 ∴ 3以外の素因数をもつ。

(解2)
題意より
10^n - 3^(a+2) = 1
n=1 のとき
 a=0 となり不適。
n≧2 のとき
 カタラン予想(ミハイレスクの定理)により、等式は成り立たない。
190132人目の素数さん
2018/08/17(金) 15:17:34.90ID:wEIB7UVm
>>187
x^2-1 いけてる?
191132人目の素数さん
2018/08/18(土) 02:22:32.06ID:nZNQvP8k
2直線l,mに対してsl+tmで表される直線は確かにl,mの交点を通る直線だが、逆にl,mの交点を通る直線は全て上の形で表されることを初等的に示せ。
(集合っぽくで書けば{sl+tm|s,t:実数}⊂{l,mの交点を通る直線全体}は成り立つが逆向きの包含関係は成り立つことを示せ。)
192132人目の素数さん
2018/08/18(土) 02:24:49.62ID:nZNQvP8k
例えば:
2直線l,mの交点をPとし、各々の方向ベクトルをa,bとする。Pを通る任意の直線l'に対し、l,mは一点で交わるのでa,bは一次独立。l'の方向ベクトルcに対しある実数s,tが存在しc=sa+tbと表せる。このs,tに対しsl+tmで表せる直線を考えればこれはl'と一致している。

初等的とは、高校レベルです
Hilbertの零点定理などはやめてください。

背景としては、2直線の交点を通る任意の直線は2直線の(陰関数表示の)実数倍の和で表せる、みたいなことを使った問題を見ました。(つまり逆を使ってる)これって初等的に簡単に示せるのか?というものです

方向ベクトル使うのは良さそうですが、さすがにこれだけだと方向ベクトルの線型結合であって多項式の線型結合ではないけど続ければいけるかな。
193132人目の素数さん
2018/08/18(土) 02:44:24.89ID:+MatSxby
0,1,2から無作為に1つの数字を選び、それを左から順に並べたものをa[1],a[2],...,a[n]とする。
このとき、1の位が0で、小数点以下第1位から順にこれらの数を並べ実数
0.a[1]a[2]a[3]...
を作る。このとき以下の確率を求めよ。

P( 1/9 < lim[n→∞] 0.a[1]a[2]a[3]... a[n] < 11/54)
194132人目の素数さん
2018/08/18(土) 03:00:01.61ID:ysEwLX7s
f(a,b)g(x,y)-g(a,b)f(x,y)=0は(a,b)を通る。
195132人目の素数さん
2018/08/18(土) 11:30:05.03ID:nZNQvP8k
>>194
逆に...
196132人目の素数さん
2018/08/18(土) 12:15:57.37ID:fvuJFh35
続けたまえ
197132人目の素数さん
2018/08/18(土) 18:11:28.62ID:cjiOCrrL
2018×2019×2020×2021+aが平方数となるような最小の自然数aを求めよ
198132人目の素数さん
2018/08/18(土) 18:37:29.17ID:6ZaBdHKO
>>197
n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(nn+3n+1)^2
199132人目の素数さん
2018/08/18(土) 18:42:58.22ID:l/WFHu05
>>192
簡単なことをある一定レベルの表記で書けと言う問題は
数学じゃないよ
200132人目の素数さん
2018/08/18(土) 18:45:27.02ID:l/WFHu05
>>198
必要性は簡単だから略?
201132人目の素数さん
2018/08/18(土) 18:45:55.21ID:l/WFHu05
>>198
必要性は簡単だから略?
202132人目の素数さん
2018/08/18(土) 18:57:27.70ID:ZLWLnWSx
a=1より小さい自然数はないだろ
203132人目の素数さん
2018/08/18(土) 19:13:11.29ID:CzAEbVuC
いいかげん自然数という用語を廃止した方が良いと思う
204イナ ◆/7jUdUKiSM
2018/08/18(土) 20:25:38.66ID:8YqiT/8g
>>197
平成31年て四か月だけあるのかな?

2018×2019×2020×2021+a=(2019-1)×2019×2020×(2020+1)+a
=(2019^2-2019)×(2020^2+2020)+a
=(2019×2020)^2-2020・2019・2020+2019・2019・2020-2019・2020+a
=(2019×2020)^2-2・2019・2020+a
a=2・2019・2020
=8076000+80760
=8156760
205132人目の素数さん
2018/08/18(土) 20:37:09.89ID:71FfZJbC
>>204
なんで既に答えが出てる問題のしかも間違って答えわざわざのせるん?
206イナ ◆/7jUdUKiSM
2018/08/18(土) 21:37:17.38ID:8YqiT/8g
>>204
2018×2019×2020×2021+a=2018×(2018+1)×(2018+2)×(2018+3)+a
=(2018^2+3・2018)(2018^2+3・2018+2)+a
=(2018^2+3・2018+b)^2

(2+9)2018^2+6・2018+a=(2b+9)2018^2+6b・2018+b^2
b=1
∴a=b^2=1

あってるような。違うかも。
207132人目の素数さん
2018/08/18(土) 21:50:37.26ID:3x7t6dEc
非負整数・正整数でいいよね
208132人目の素数さん
2018/08/18(土) 22:16:08.97ID:fh2fHZ6e
>>185の答え:7つ。

f(xy+1) = f(x+y) + f(x)f(y) …[0]

x=y=1 とすれば f(1)=0.
x=y=0 とすれば f(0)=0,-1.
f(0)=0 の場合、[0]において y=0 とすれば f(x)=0 が導けるので、以降 f(0)=-1 と仮定する。
y=-1 とすると、 f(-x+1) = f(x-1) + f(x)f(-1). …[1]
この x を 2-x に置き換えれば
f(x-1) = f(1-x) + f(2-x)f(-1).
足しあわせて
f(-1)(f(x)+f(2-x))=0.

(i) f(-1)≠0 の時
f(x)+f(2-x)=0. (特に、f(2)=1.)
これと [1] より f(x+1) + f(-1)f(x) + f(x-1) = 0.
これは三項間漸化式であり、f(0)=-1, f(1)=0 は決定されているので、関数fはf(-1)=:aの値で全て決まる。漸化式より、 f(-2) = 1 - a^2,
f(-3) = a^3 - 2a.
[0] で x=2, y=-2 とすれば、 f(-3) = -1 + f(-2) となるので、
a^3 + a^2 - 2a = 0.
a≠0 より、 a=1,-2.
これに対応するfはそれぞれ
f(x)=(xmod3)-1, (ただしxmod3はxを3で割った余り。以降同様)
f(x)=x-1
となるが、このどちらも[0]を満たす。

(ii)f(-1)=0 の時
[1]よりfは偶関数となるので、
f(m)= f(2m-3) - f(m-2)f(2) ([0]において x=m-2, y=2)
= f(-2m+3) - f(m-2)f(2)
= f(m-3) + f(m-1)f(2) - f(m-2)f(2). (x=m-1, y=-2)
これは四項間漸化式であり、 f(-1)=f(1)=0, f(0)=-1 は全て決定されているので、関数fはf(2)=:bの値で全て決まる。
漸化式よりf(3) = b^2 - 1,
f(4) = b^3 - b^2 - b,
f(5) = b^4 - 2b^3 - b^2 + 2b.
また、[0]でx=y=2を代入すると f(5)=f(4)+b^2 となるから、bについて解くと b=3,1,0,-1 となる。これに対応するfはそれぞれ
f(x)=x^2-1,
f(x)=-cos(πx/2),
f(x)=(x^2 mod3)-1,
f(x)=(xmod2)-1
となり、このいずれも[0]を満たす。

以上より、求めるfの個数は7つである。
209132人目の素数さん
2018/08/18(土) 22:48:16.80ID:Kb8WtIjW
>>208
出題者ですか?出展は何?
210132人目の素数さん
2018/08/18(土) 23:33:37.30ID:fh2fHZ6e
>>209
そうです、ごめんなさいオリジナルなんです
最近数オリとかの関数方程式にはまってて自分も何か作ってみようかと思って色々いじってたら、
整数値しかとれない制約をつけた時に思いの外難易度が上がったので、試しにと思いついた二乗関連の恒等式から1つ作ってみたものです
211132人目の素数さん
2018/08/18(土) 23:46:58.33ID:O00DZNcd
>>210
おお、まじっすか?すばらしい!
212132人目の素数さん
2018/08/19(日) 01:07:42.09ID:zWYbH0EH
問題をコピペしてくるしか能が無い出題者は悔い改めて(クソデカブーメラン)
213132人目の素数さん
2018/08/19(日) 04:25:51.57ID:39kF/huC
連続した2018個の正整数の和として表され、かつ連続した2018個の正整数の積としても表される整数は存在するか。
214イナ ◆/7jUdUKiSM
2018/08/19(日) 05:10:40.08ID:WM7DpM9S
>>213存在しないんじゃないの。前>>206

和より積のほうが圧倒的に大きい。

1+2+3+……+2018=2019×1009=2019000+18171=2037171<1000・1001・1002<1・2・3・……・2018

2+3+……+2018+2019=2021×1009=2021000+18189=2039189<1001・1002・1003<2・3・……・2019
和より積のほうが圧倒的に大きい。宇宙のように膨張する。
215132人目の素数さん
2018/08/19(日) 05:29:40.82ID:oIedIwUK
>>203
 自然数という用語が問題なのではなく、平然と拡大解釈(誤用)して改めない人たちが問題では?(特に一部の某基礎論…)

>>207
 それで用は足りますね。

>>213
連続した2018個の正整数の和は、1009個の奇数を含むから、奇数。
連続した2018個の正整数の積は偶数。
216132人目の素数さん
2018/08/19(日) 20:59:34.95ID:39kF/huC
空間において次の不等式を満たす点(x,y,z)全体からなる領域の体積を求めよ。
8≦(1+x^2)(1+y^2)(1+z^2)≦125
217イナ ◆/7jUdUKiSM
2018/08/20(月) 01:27:50.42ID:dUJyFYYV
>>216
0≦x、0≦y、0≦zの領域の体積を8倍する。
キッチンのコーナーからゴキブリが顔を出すぐらいのスペースをあけてモルタルを満遍なくなめらかに塗るか蜘蛛の巣を張るイメージ。
y=0のとき、
(7-x^2)/(1+x^2)≦z^2≦(124-x^2)/(1+x^2)
x軸、y軸、z軸近辺は、√7から2√31の領域が題意を満たす。
点(1,1,1)と点(2,2,2)のあいだの領域が題意を満たす。
y=tのとき、
(7-x^2)/(1+t^2)(1+x^2)≦z^2≦(124-x^2)/(1+t^2)(1+x^2)
今0≦zなので、
√{(7-x^2)/(1+t^2)(1+x^2)}≦z≦√{(124-x^2)/(1+t^2)(1+x^2)}
lim(t=0→∞)Σ(x=0~∞)√{(124-x^2)/(1+t^2)(1+x^2)}-√{(7-x^2)/(1+t^2)(1+x^2)}
パス。
218132人目の素数さん
2018/08/20(月) 02:38:11.43ID:aqIyIh2S
>>218
K(a) = {(1+x^2)(1+y^2)(1+z^2)≦a}、R(a,t) = K(a) ∩ {z=t}
とおく。
Area of R(a,t)
= Area of {(1+x^2)(1+y^2) ≦ a/(1+t^2)}
= Area of {1+r^2 + (1/4)r^2sin 2θ ≦ a/(1+t^2)}
= (a/(1+t^2) - 1)/2∫[θ]1/(1+(1/4)sin2θ)dθ
= 2π(a/(1+t^2) - 1)/√5
∴ Vokume of V(a) = 2∫[0,√(a-1)] 2π(a/(1+t^2) - 1)/√5 dt = …
∴ V(125) - V(8) = …
219132人目の素数さん
2018/08/20(月) 03:15:39.45ID:aqIyIh2S
>>218
撤回
220132人目の素数さん
2018/08/20(月) 03:16:11.73ID:OYtnOW7S
>>214
2組の「連続した2018個の正整数」が同じとは限らないよ。

>>218
(1+xx)(1+yy)
 = 1 + rr + (xy)^2
 = 1 + rr + {(1/2)rr sin(2θ)}^2
 = 1 + rr + (1/8)r^4 {1-cos(4θ)},
221132人目の素数さん
2018/08/20(月) 03:29:02.87ID:OYtnOW7S
>>198
n(n+3) = (nn+3n+1) - 1,
(n+1)(n+2) = (nn+3n+1) + 1,
辺々掛ける

>>220
撤回
222132人目の素数さん
2018/08/20(月) 03:45:58.06ID:OYtnOW7S
>>208 >>210
 7つとも実の整数解。(とくに周期解は {-1,0,1}のどれか)
 複素数を持ち出す理由ないんぢゃね?
223132人目の素数さん
2018/08/20(月) 10:54:33.09ID:7T0qfw2z
>>194
今回はl,mの交点Pを通る任意の直線がlとmの定数倍の和で表せる事を示したいです。つまりPを通る任意の直線l'に対してある実数s,tが存在してl'=sl+tmとなる事を示せば良いです。
なのでまずPを通る任意の直線l'を一つとってきてl'=sl+tmを満たす実数s,tの存在を示す…というのがオーソドックスな解法だと私は思いました
224132人目の素数さん
2018/08/20(月) 12:03:22.68ID:OYtnOW7S
>>218
a/(1+tt) = 1+1/kk (k>0) とおくと

Area of R(a,t)
 = Area of {(1+xx)(1+yy) ≦ 1+1/kk }
 = 4∫[0,1/k] √{(1+1/kk)/(1+xx) - 1} dx
 = -i(4/k) E(i・arcsinh(1/k) ; -kk)
 = -i(4/k) E(i・log[1/k + √(1+1/kk)] ; -kk)
 = ?
ここに
E(φ ; kk) = ∫[0,φ] √{1 - kk・(sinθ)^2} dθ
は第二種の楕円積分

E(iφ ; -kk) = i∫[0,φ] √{1 + kk・(sin(iθ))^2} dθ
  = i∫[0,φ] √{1 - kk・(sinhθ)^2} dθ
225132人目の素数さん
2018/08/20(月) 13:42:10.32ID:OYtnOW7S
>>216 の近似値

V(125) = 479.6672

V(8) = 33.6566

V(125) - V(8) = 446.0106
226132人目の素数さん
2018/08/20(月) 15:24:12.58ID:SNrKAAqU
>>223
まず、等式 l'=sl+tm が何を表す式なのかをはっきりさせないと、誰も答えてくれないだろう。
227132人目の素数さん
2018/08/20(月) 16:30:56.17ID:+/IVnl4B
(1){}内はある無限小数において循環する部分を表す。0.{14159}を互いに素な正整数p,qを用いてq/pの形で表せ。
またその場合のpの桁数Nを求めよ。
(2)分母がN桁の整数である既約分数全体の集合をSとする。Sの要素で|3+r-π|を最小にする有理数rは(1)のq/pかどうか判定せよ。π=3.14159265358979...は既知としてよい。
228132人目の素数さん
2018/08/20(月) 19:03:03.28ID:+ygP34AP
Prelude Data.Ratio> (atan 1)*4 - (fromRational $ 208341 % 66317)
1.2235634727630895e-10
229132人目の素数さん
2018/08/21(火) 01:28:29.64ID:oZoclI/8
>>227

(1) p=99999,q=14159,N=5

(2) 3+(q/p)-π= -1.237675634×10^(-6)
230132人目の素数さん
2018/08/21(火) 11:41:48.66ID:eP1ELGdp
行列の指数関数に対して、以下は成り立つか?成り立たないなら反例を挙げよ。
(1) e^A e^B = e^B e^A ならば、AB = BA.
(2) e^A e^B = e^B e^A ならば、e^(A+B) = e^A e^B.
231132人目の素数さん
2018/08/21(火) 12:21:53.39ID:0VsK5pzR
0.1415926535…を連分数展開すると
[0;7,15,1,292,1,1,1,2,…]
深いところで打ち切るほど、より近似的な規約分数を与える

[0;7,15,1]=16/113=0.1415929…
[0;7,15,1,292]=4687/33102=0.1415926530…
[0;7,15,1,292,1]=4703/33215=0.1415926539…
[0;7,15,1,292,1,1]=9390/66317=0.1415926534…
[0;7,15,1,292,1,1,1]=14093/99532=0.1415926536…
[0;7,15,1,292,1,1,1,2]=37576/265381=0.141592653581…

特に|3+14093/99532-π|=2.9…*10^-11
232132人目の素数さん
2018/08/21(火) 14:51:01.42ID:+o5+r4Be
>>231
素晴らしい解答です。14159/99999から平均を使って一回だけ近似する方法を考えていましたが、鮮やかです。
233132人目の素数さん
2018/08/22(水) 13:11:26.71ID:NfyFbR8Y
3 + 14159/99999 - π = -1.23767563409687122747・10^(-6)   >>229

3 + 9390/66317 - π = -1.22356532942188597930・10^(-10)   >>228

3 + 14093/99532 - π = 2.91433849348569181311・10^(-11)   >>231
234132人目の素数さん
2018/08/23(木) 06:05:47.86ID:3pYC65Id
円周率の近似値として355/113より誤差が小さい分数の中で、最も分母が小さいものは何か?
235132人目の素数さん
2018/08/23(木) 06:22:20.29ID:ikVvtxLl
*Main> sort [(b,a,abs $ pi - a/b) | a<-[1..400],b<-[1..113],(abs $ pi-a/b) <= (abs $ pi - 355/113)]
[(113.0,355.0,2.667641894049666e-7)]
236132人目の素数さん
2018/08/23(木) 14:25:52.00ID:lIscp1NC
3 + 16/113 - π = 2.667641890624223・10^(-7)

3 + 4495/31746 - π = -1.1997151645821・10^(-8)

3 + 4703/33215 -π = 3.3162780624607・10^(-10)
237132人目の素数さん
2018/08/23(木) 15:01:28.60ID:3pYC65Id
>>236
99733/31746 ではありません。
238イナ ◆/7jUdUKiSM
2018/08/23(木) 15:58:03.67ID:bAKOXdaJ
34906588/11111111
239イナ ◆/7jUdUKiSM
2018/08/23(木) 16:10:46.77ID:bAKOXdaJ
34906585/11111111
≒3.14159268
π≒3.14159265
>>238
240132人目の素数さん
2018/08/23(木) 19:25:50.18ID:IjH3B28L
! Fortran 95
program pi
implicit none
integer :: p,q
real(8) :: a,b,r,s
a=dacos(-1D0)
b=dabs(a-355D0/113D0)
do p=1,40000
do q=1,p
r=3D0+dble(q)/dble(p)
s=dabs(a-r)
if (s<b) then
write(*,*) 3*p+q,"/",p,"=",r,s
stop
end if
end do
end do
stop
end program pi
241出力
2018/08/23(木) 19:26:25.55ID:IjH3B28L
52163 / 16604 = 3.1415923873765359 2.6621325721620792E-007
242132人目の素数さん
2018/08/23(木) 19:43:37.30ID:3pYC65Id
>>241
正解
分母がkの分数で、値がπに最も近いものは、[kπ]/k か [kπ+1]/k のどちらか。([x]はガウス記号)
kを1から変化させながら、この近似分数を発生させ、誤差を計る。
最小誤差が更新したときに、出力するようにしたのが、次のプログラム。

http://codepad.org/uDLvmZr4

出力結果から分かるように、 52163/16604 が答。
355/113 が桁数のわりに異常に精度が高いことが確認できると思う。
243132人目の素数さん
2018/08/23(木) 20:39:33.38ID:CCij6LL+
>>234
2π-355/113から355/113の間にある分数を虱潰しに探させて最初に見つかった分数を出してみた。



options(digits=16)

a=355
b=113
(U=a/b) # 3.141592 92
(L=2*pi-a/b) # 3.141592 39

f <- function(n){
m=0
x=m/n
while(x<U){
if(L<x) return(m-1)
x=m/n
m=m+1
}
return(NULL)
}

n=1
while(is.null(f(n))){
if( !is.null(f(n)) ) break
n=n+1
}
cat(f(n),'/',n,'\n')
f(n)/n

> cat(f(n),'/',n,'\n')
52163 / 16604
> f(n)/n
[1] 3.141592387376536
244132人目の素数さん
2018/08/23(木) 22:55:30.81ID:lIscp1NC
3 + 16/113 - π = 2.667641890624223・10^(-7)

3 + 2351/16604 - π = -2.6621325746395047764・10^(-7)

相加平均すると

3 + 531327/(2・113・16604) - π = 2.75465799235917364424・10^(-10)
245132人目の素数さん
2018/08/24(金) 07:50:15.84ID:EcIJMm6h
>>242
正解の出し方ありがとうございました。

Rにはガウス記号にあたるfloorという関数があるのでこれでやってみました。

a=355
b=113
f <- function(k){
dk=abs(floor(k*pi)/k-pi)
dk1=abs(floor(k*pi+1)/k-pi)
min(dk,dk1)
}
d=abs(a/b-pi)
k=1
while(f(k)>=d){
if(f(k)<d) break
k=k+1
}
k

> k
[1] 16604

虱潰しと違って瞬時に答がでました。
246132人目の素数さん
2018/08/24(金) 09:00:39.75ID:6iqaLKp5
問題読み間違えた orz
http://codepad.org/GHLm2A9a
main = do
print $ head [(d,x,y) | d<-[1..], let y = fromInteger d, let x = fromInteger $ floor $ y*pi, x/y > 2*pi -355/113]
print $ head [(d,x,y) | d<-[1..], let y = fromInteger d, let x = fromInteger $ ceiling $ y*pi, x/y < 355/113]
(16604,52163.0,16604.0)
(33215,104348.0,33215.0)
247132人目の素数さん
2018/08/24(金) 12:25:56.70ID:EcIJMm6h
>>242
 [kπ-1]/k は 考えなくていい?
248132人目の素数さん
2018/08/24(金) 15:30:38.06ID:hamen4ff
二項係数 nCr を C[n,r] で表すとき、
Σ[k=0 to 2n] C[2(n-k),n-k]*C[2k,k] = 4^n を証明せよ。
249132人目の素数さん
2018/08/24(金) 16:23:36.35ID:3NPIIstV
f(x)=1/√(1-x)を二項展開してf(x)^2=1/(1-x)の係数比較。
250132人目の素数さん
2018/08/24(金) 16:46:34.01ID:hamen4ff
>>248
Lv.1:計算で証明
Lv.2:組合せの考え方で証明
251132人目の素数さん
2018/08/24(金) 17:17:37.52ID:ka/vB1OM
>>247
kπ に一番近い整数を求めたい訳ですが、数直線上に kπ を印し、そこから左に進んで
最初に見つかる整数か、そこから、右に進んで最初に見つかる整数 のどちらかです。
ガウス記号を使うと、前者は、[kπ]で表せるし、後者は、[kπ+1]です。
切り捨て関数といえるガウス記号を使う限りでは、[kπ-1]は考慮する必要がありません。

もし、ガウス記号ではなく、四捨五入関数を使うのであれば、それに放り込んだものが、最も近い整数だし、
切り上げ関数Ceil()を使うのであれば、Ceil(kπ)か、Ceil(kπ-1)のどちらかということになります。


>>243
アイデアを拝借して、プログラムを組んでみました。
分数の目標となる範囲をあらかじめ設定し、仮に設定した分数の値が大きすぎれば、分母を大きくし、
小さすぎれば、分子を大きくし、...を繰り返し、範囲に収まる分数を探すという方法です。

http://codepad.org/JrigZqIn

242の方法は、分母 n までチェックする場合、2n の候補を調べていましたが、
この方法は、あと、もう一工夫入れることで、(3/2)n 位の候補のチェックで済みそうで、
よりよいアルゴリズムだと思います。
252132人目の素数さん
2018/08/24(金) 18:32:28.24ID:EcIJMm6h
>>251
初歩的な質問にご丁寧に解説いただいてありがとうございました。
253132人目の素数さん
2018/08/24(金) 20:00:04.56ID:3MU6nkA5
floor(x+1/2).
254132人目の素数さん
2018/08/25(土) 00:08:37.01ID:sHlKLTqi
Haskell、テメーはダメだ
255132人目の素数さん
2018/08/25(土) 05:19:28.97ID:FnMpTv1D
>>251
虱潰し解の過程でに少数表示から分数表示に変換するスクリプトを書いてみた。

LU2fra <- function(L,U){
f <- function(n){
m=0
x=m/n
while(x<U){
if(L<x) return(m-1)
x=m/n
m=m+1
}
return(NULL)
}

n=1
while(is.null(f(n))){
if( !is.null(f(n)) ) break
n=n+1
}
cat(f(n),'/',n,'\n')
f(n)/n
}

dec2fra <- function(digit,precision=1e-3){
L=digit*(1-precision)
U=digit*(1+precision)
LU2fra(L,U)
}


走らせてみた。

> dec2fra(0.3333)
1 / 3
[1] 0.333333333
> dec2fra(0.1538)
2 / 13
[1] 0.153846154
> dec2fra(0.2040)
10 / 49
[1] 0.204081633
> dec2fra(pi,1e-5)
355 / 113
[1] 3.14159292

そこそこ使える。
256132人目の素数さん
2018/08/25(土) 20:13:13.75ID:uRy96NNz
等面四面体の切断面の面積をできる限り手間なく求める方法はないでしょうか。
直方体に埋め込んでもかなりの計算量で困っています。
257132人目の素数さん
2018/08/25(土) 20:27:41.39ID:0HaUtabE
>>256
埋め込んで座標設定しても計算が面倒というなら統一的なうまい方法はないんじゃね
258132人目の素数さん
2018/08/25(土) 22:49:26.02ID:B7knys1/
当面はない。
259132人目の素数さん
2018/08/26(日) 07:04:18.35ID:bVDU8wDx
>>256
三点の座標を入力したら三角形の面積を計算するプログラム組めばいんじゃない?
260132人目の素数さん
2018/08/26(日) 07:14:03.46ID:bVDU8wDx
Rで書くとこんな感じ

area3 <- function(A,B,C){
a=sqrt(sum((B-C)^2))
b=sqrt(sum((C-A)^2))
c=sqrt(sum((A-B)^2))
s=(a+b+c)/2
return(sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c)))
}
261132人目の素数さん
2018/08/27(月) 18:43:17.97ID:Nbp1l6GT
いい加減飽きたわ
262132人目の素数さん
2018/08/27(月) 19:08:54.16ID:asrRAOhi
2以上の自然数nに対して、
1+2^(1/2)+3^(1/3)+...+n^(1/n)
は無理数であることを証明せよ
263132人目の素数さん
2018/08/27(月) 19:33:24.86ID:ixJjBx0X
>>262
チェビシェフの定理からn/2 より大きく、n以外である素数pがとれる。
KをQにi^(1/i)(1 ≦i≦ n 、i ≠p)を添加して得られる体のガロア閉包、MをQにp^(1/p)を加えたガロア閉包、L=KMとするとGal(K/Q)の位数はpを割らないのでp^(1/p)はKにはふくまれない。
ここで tr[L/M](2^(1/2)+‥n^(1/n) はp^(1/p)[L:K] であるから主張は示された。
264132人目の素数さん
2018/08/27(月) 19:56:02.46ID:5a+trmgU
>>263
最後の7文字だけ理解できた。
265132人目の素数さん
2018/08/28(火) 00:11:59.49ID:D6LFOWaI
>>216 >>218 >>225
Wolfram先生に訊きました。

K(a) = { (x,y,z) | (xx+1)(yy+1)(zz+1)≦a},

V(a) = 8∫[0,√(a-1)]∫[0,√(a-1)] √{[ a/(xx+1)(yy+1) - 1]/2 + | a/(xx+1)(yy+1) - 1 |/2} dx dy,

V(125) = 479.663
V(8) = 33.657
辺々引いて
V(125) - V(8) = 446.006
266132人目の素数さん
2018/08/29(水) 03:22:32.89ID:gzTBhfMR
>>262
最小多項式は
P_1(x) = x -1,
P_2(x) = x^2 -2x -1,
P_3(x) = x^6 -6x^5 +9x^4 -2x^3 +9x^2 -60x +50,
P_n(x) = P(x-a) P(x-aω) P(x-aω^2) …… P(x-aω^{n-1}),
 ただし P(x) = P_{n-1}(x), a=n^(1/n), ω = exp(2πi/n).
267132人目の素数さん
2018/08/29(水) 04:08:39.23ID:SegNiKLu
空間の原点をO、点(10,0,0)をAとする。
Oからの距離が1以上2以下の点全体からなる領域をD、aを正の数としてAからの距離がa以上(a+1)以下の点全体からなる領域をD_aとおく。
DとD_aとの共通部分の体積が最大となるとき、[a]を求めよ。
ただし[x]でxを超えない最大の整数を表す。
268132人目の素数さん
2018/08/29(水) 06:30:54.14ID:xUvDZPf/
共通部分はxy平面で切った図形の回転体だから、7≦a≦9と10≦a≦12の場合の面積(それぞれa=8,a=11で最大)を比較すればいいが
ちょっとめんどくさい
269132人目の素数さん
2018/08/29(水) 08:40:23.79ID:gK8zj4a5
>>266
たとえばn=4のとき4^(1/4)=2^(1/2)になるから、それ一般にQ上規約にならんでしょ?
270132人目の素数さん
2018/08/29(水) 18:15:10.16ID:BcwFyR33
>>267
(1,2)と(a,a+1)が一致するときじゃないのか?
271132人目の素数さん
2018/08/29(水) 18:35:56.47ID:gzTBhfMR
>>267
O (0,0,0)
A (L,0,0)

 Aからの距離がa以下、Oからの距離がb以下 である点全体からなる領域の体積をV(a,b) とする。

・a+b ≦ L のとき V(a,b) = 0

・|a-b| ≧ L のとき V(a,b) = (4π/3)・min{a,b}^3

・|a-b| ≦ L ≦ a+b (△条件)のとき
 2球面の交差円を含む平面を x=c とすると
 c = (LL-aa+bb)/2L,
 L-c = (LL+aa-bb)/2L,
 V(a,b) = (π/3)(2a+L-c)(a-L+c)^2 + (π/3)(2b+c)(b-c)^2
  = (π/12L)(a+b-L)^2 {(a+b+L)^2 -4aa +4ab -4bb)}.
272132人目の素数さん
2018/08/29(水) 23:24:13.11ID:gzTBhfMR
>>267

DとD_aとの共通部分の体積は V(a+1,2) - V(a,2) - V(a+1,1) + V(a,1)
273132人目の素数さん
2018/08/30(木) 17:26:38.43ID:TXV3EdOO
質問スレの問題

http://2chb.net/r/math/1534342085/374

くじ引きと料金に関する質問です
1)30%で当たる1回300円のくじ引き
2)60%で当たる1回800円のくじ引き

くじ引きは毎回戻して同じ確率で引く
当たりは一度だけ引けば良い場合
どちらの方が安く当たりを引く確率が高いですか?

を少し変えてみた。

くじ引きと料金に関する質問です
1)100本中30本当たりの1回1000円のくじ引き
2) 50本中30本当たりの1回2000円のくじ引き

くじ引きは戻さないで次のくじを引く
どちらの方が安く当たりを引く確率が高いですか?
274132人目の素数さん
2018/08/30(木) 19:03:16.28ID:h8meZojP
4チームで総当たり戦を行う。引き分けは無いとすると、
(1) 結果は何通りあるか?
(2) そのうち上位2チームが決まらないものは何通りあるか?
(3)
アジア大会の野球競技ではSuper Roundが行われており、日本はあと1勝でもすれば決勝進出、2戦とも負けても台湾が全勝かつ中国が韓国に勝てば同率2位である。
現時点での各チームの勝敗はどうなっているか?
275132人目の素数さん
2018/08/30(木) 19:06:03.11ID:h8meZojP
ごめん、(3)訂正

アジア大会の野球競技ではSuper Roundが行われており、日本は次の試合を勝てば決勝進出、負けても台湾が全勝かつ中国が韓国に勝てば同率2位である。
現時点での各チームの勝敗はどうなっているか?
276132人目の素数さん
2018/08/30(木) 23:14:27.67ID:h8meZojP
試合が終わったので解答

(1)
「勝数の合計は必ず6になる」という必要条件を考慮して数え上げると
勝-敗
A:3-0, B:2-1, C:1-2, D:0-3 24通り
A:3-0, B:1-2, C:1-2, D:1-2 4通り ★
A:2-1, B:2-1, C:2-1, D:0-3 4通り ★
A:2-1, B:2-1, C:1-2, D:1-2 6通り
計38通り

(2)
★をつけた8通り

(3)
日○-●中
台○-●韓
韓○-●日
なお、さっき台湾vs中国の試合が終わり
台○-●中
277132人目の素数さん
2018/08/30(木) 23:54:37.86ID:9L5Udeko
>>271 >>272

V(a,2) - V(a,1)
 = 0  (a≦L-2)
 = (π/12L)(a+2-L)^2 {(a+2+L)^2 -4(aa -2a -4)}  (L-2≦a≦L-1)
 = (π/12L)(a+2-L)^2 {(a+2+L)^2 -4(aa -2a -4)}
   - (π/12L)(a+1-L)^2 {(a+1+L)^2 -4(aa -a +1)}  (L-1≦a≦L+1)
 = (π/12L)(a+2-L)^2 {(a+2+L)^2 -4(aa -2a -4)} - (4π/3)  (L+1≦a≦L+2)
 = 0  (L+2≦a)

a = 10.1267741 のとき
 V(a+1,2) - V(a+1,1) - V(a,2) + V(a,1) = 9.9571649074689 (最大)

 V(a+1,2) - V(a+1,1) = 24.6422247200042
 V(a,2) - V(a,1) = 14.6850598125353
 V(a+1,2) = 28.8310149247906
 V(a+1,1) = 4.1887902047864 = 4π/3,
 V(a,2) = 17.0995582899984
 V(a,1) = 2.4144984774631

>>267
[a] = 10
278132人目の素数さん
2018/08/31(金) 00:03:07.28ID:cRcTiDeO
>>267

計算の練習ですな。数学とはいえない。
279132人目の素数さん
2018/08/31(金) 03:29:49.41ID:sSt/IBY8
>>276
4チームの勝数で区別したとき、
3210 24通り
3111 8通り
2220 8通り
2211 24通り の合計64通りとカウントすべき
合計6試合あり、それぞれ二通りのパターンがあるから、2^6で64通り。38通りな訳がない。

3111or2220の8通りは、どのチームが全勝or全敗するかで4通り、
残り三チームの三すくみが右回りか左回りかで2通りあり、合計8通り

2211の24通りは、3210型の結果において、1位のチームと4位のチームの対戦の結果が
ひっくり返った場合に相当するので、3210型と同じ24通りになります。
280132人目の素数さん
2018/08/31(金) 20:20:48.68ID:DzJ3TdYI
△ABCの各頂点から対辺に下ろした垂線の足をS,T,Uとする。
AS+BT+CU=AS・BT・CUとなる三角形の形状を決定せよ。
281132人目の素数さん
2018/08/31(金) 21:47:57.17ID:zUl6hSMn
>>280
なんか問題変じゃね?
外接円の半径をRとして
AS = 2R sin B sin C、
BT = 2R sin C sin A、
CU = 2R sin A sin B
だから
与式 ⇔ (sin B sin C + sin C sin A + sin A sin B)/(sin A sin B sin C)^2 = 4R^2
A,B,Cに何入れても与式を成立せしめる R が存在して形状なんか決定できない希ガス。
282132人目の素数さん
2018/08/31(金) 22:52:06.37ID:IWQvY6FL
>>260
4点の座標を入力したらそれらを結ぶ四面体の体積を求めるRのスクリプトを書いてみた。
但し、高さの算出は近似計算
改造歓迎


library(nleqslv)
Tetra <- function(O=c(1/2,sqrt(3)/6,sqrt(2/3)),A=c(0,0,0),B=c(1,0,0),C=c(cos(pi/3),sin(pi/3),0)){
fn <- function(x,O,A,B,C){
AO=A-O
BO=B-O
CO=C-O
HO=x[1]*AO+x[2]*BO+(1-x[1]-x[2])*CO # H on triangle ABC
AB=B-A
AC=C-A
c(HO%*%AB,HO%*%AC) # HO vertial to AB and AC
}
fn1 <- function(x) fn(x,O,A,B,C)
x=nleqslv::nleqslv(c(1/3,1/3),fn1)$'x'
AO=A-O
BO=B-O
CO=C-O
HO=x[1]*AO+x[2]*BO+(1-x[1]-x[2])*CO
h=sqrt(sum(HO^2))
a=sqrt(sum((B-C)^2))
b=sqrt(sum((C-A)^2))
c=sqrt(sum((A-B)^2))
s=(a+b+c)/2
base=sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c))
V=1/3*base*h
return(V)
}
283イナ ◆/7jUdUKiSM
2018/08/31(金) 23:05:30.97ID:T4oIV6NC
>>280 AS=1、BT=x、CU=yとおくと、題意より、
1+x+y=xy
  y=(x+1)/(x-1)
∥∩∩∥∩∩ ∥∴
( (`)(^o^))∥x>1
(っ[ ̄]っц)∥y>1
「 ̄ ̄ ̄ ̄ ̄]∥即ち
□/_UU__UU□∥ △ABCは鈍角三角形
284132人目の素数さん
2018/08/31(金) 23:43:22.19ID:tlpo/NtZ
次の条件を満たす関数f(x)が存在すればそれを求め
存在しなければそれを証明せよ

(1) 実数全体で微分可能
(2) x≠0 なる任意の実数 x に対して x^2 f’(x)=f(x)
(3) f(1)=1
285132人目の素数さん
2018/09/01(土) 00:03:17.58ID:baGSQrGf
>>284
 f '(x)/f(x) = 1/xx,
 log f(x) = c - 1/x,
 f(x) = e^(c -1/x),
 f(1)=1 より c=1
 f(x) = e^(1 -1/x)
x=0 で微分可能ではないだろうな。
286132人目の素数さん
2018/09/01(土) 00:05:44.56ID:sXxqajz0
早速地雷踏んでくれて有り難う
間違いですわ
287132人目の素数さん
2018/09/01(土) 00:16:23.33ID:SmKY07df
>>282
4点の座標が判っているなら、ベクトルの三重積(の絶対値の1/6)で体積求まりますよ。

つまり、一つの点が原点になる様に平行移動して、残り三点を
(x1,y1,z1),(x2,y2,z2),(x3,y3,z3) としたら、

V=(1/6) | x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2-x1y3z2-x2y1z3-x3y2z1 |
288132人目の素数さん
2018/09/01(土) 00:53:56.74ID:qG52f2Ee
>>287
ありがとう御座います。スクリプトの検証に使わせていただきます。
289132人目の素数さん
2018/09/01(土) 01:24:38.36ID:qG52f2Ee
>>287
ご教示の通りにスクリプトを書いたら僅か4行で済みました。
ありがとうございました。

tetrahedron <- function(O=c(1/2,sqrt(3)/6,sqrt(2/3)),A=c(0,0,0),B=c(1,0,0),C=c(cos(pi/3),sin(pi/3),0)){
AO=A-O
BO=B-O
CO=C-O
as.numeric(abs(pracma::cross(AO,BO) %*% CO)/6)
}

どれも一致しました。

> sqrt(2)/12
[1] 0.1178511301977579
> Tetra()
[1] 0.1178511301977579
> tetrahedron()
[1] 0.1178511301977579
290 【凶】
2018/09/02(日) 00:15:54.07ID:SWpvtSyz
>>283
AS=1
BT=x>1
CU=y>x>1
とすると、
1+x+y=xy
y=(x+1)/(x-1)
=1+2/(x-1)>1
y-x=(x+1)/(x-1)-x
={(x+1)-x(x-1)}/(x-1)
=(1+2x-x^2)/(x-1)>0
1+2x-x^2>0
1<x<1+√2

x=1.1のときy=21
x=2.4のときy=17/7=2.42857……>1+√2
1<x<1+√2<y

三つの垂線の大小を、
AS<BT<CUとすると、
AS<BT<AS+√2<CU
291イナ ◆/7jUdUKiSM
2018/09/02(日) 00:24:17.72ID:SWpvtSyz
>>290
AS=1
BT=x>1
CU=y>x>1
とすると、
1+x+y=xy
y=(x+1)/(x-1)
=1+2/(x-1)>1
y-x=(x+1)/(x-1)-x
={(x+1)-x(x-1)}/(x-1)
=(1+2x-x^2)/(x-1)>0
1+2x-x^2>0
1<x<1+√2

x=1.1のときy=21
x=2.4のときy=17/7=2.42857……>1+√2
1<x<1+√2<y

直角三角形の相似かな。
鋭角三角形でも可能なような。
292132人目の素数さん
2018/09/02(日) 00:35:32.53ID:/8VHpxNB
>>284
f(x)の値を
e^(1-1/x) (x>0 の時)
0 (x≦0 の時)
と定めればこのfは条件を満たす。
293132人目の素数さん
2018/09/02(日) 02:09:18.38ID:OV+feI78
>>292
まったりと地雷踏んでくれてありがとう。
そう定義すると
x=0 に対しても x^2 f ’(x) = f(x)
が成り立ってしまうから。
294132人目の素数さん
2018/09/02(日) 02:11:04.45ID:yuZVqNzR
ガイジ
295132人目の素数さん
2018/09/02(日) 02:17:40.47ID:2XDKWeV1
図形問題とかエレガントで綺麗な答えでないかのう
296132人目の素数さん
2018/09/02(日) 03:29:15.13ID:Nzfp7DXI
>>293
成り立っていると、どうししてダメなの?
297132人目の素数さん
2018/09/02(日) 06:31:28.57ID:mpKs6bzT
>>292
答だけ書かれてもなあ
298132人目の素数さん
2018/09/02(日) 09:11:41.03ID:X+pFFvOr
うむ、まったくだ。
299132人目の素数さん
2018/09/02(日) 23:21:59.05ID:098/zdUS
高校数学でつ。

nは自然数とする。1から5nまでの数字がそれぞれ書かれた5n枚のカードから2枚選んでその数字をx、yとする。
x^2+y^2
の一の位が7となる確率をPnとするとき、極限値
lim(n→∞)(25Pn/2)⁵ⁿ
を求めよ。
300132人目の素数さん
2018/09/02(日) 23:59:29.84ID:OV+feI78
>>299

xx+yy の一の位が 7
 ⇔ xx, yy の一の位が {1,6} または {6,1}
 ⇔ x, yの一の位が {1または9, 4または6} または {4または6, 1または9}

5n枚のカードのうち、一の位が 1または9 のものは n枚。
 一の位が 4または6 のものは n枚。

Pn = 2/25.

1.
301132人目の素数さん
2018/09/03(月) 00:11:00.36ID:6tYYWVAZ
>>296

>>284 (2) は x=0 に対しては … が成り立たないことを示唆する。

>>284 (2) が
 任意の実数 x に対して x^2 f ’(x)=f(x)
だっから >>292 で正解だが…
302132人目の素数さん
2018/09/03(月) 00:50:18.66ID:mCw/mPSU
>>301
> >>284 (2) は x=0 に対しては … が成り立たないことを示唆する。

バカバカしい。
303132人目の素数さん
2018/09/03(月) 01:13:46.43ID:QfkLCLld
おれも>>301はあかんにイピョ
304132人目の素数さん
2018/09/03(月) 02:40:55.29ID:rC/8GJGC
>>301
君、命題の裏が恒真だと思ってる?
高校数学からやり直した方がいいよ
305132人目の素数さん
2018/09/03(月) 02:52:15.87ID:khyirEW8
>>299
カードは戻すの?戻さないの?
あと極限の式を正確に書け
ただの宿題なら質問スレへ
306132人目の素数さん
2018/09/03(月) 03:19:20.10ID:6tYYWVAZ
>>299
1枚目のカードを戻さない場合は
Pn = 2nn/{5n(5n-1)},

(25/2)Pn = 1/(1 - 1/5n)

lim(n→∞) {(25/2)Pn}^(-5n) = lim(n→∞) (1 - 1/5n)^(5n) = 1/e,

lim(n→∞) {(25/2)Pn}^(5n) = e,
307132人目の素数さん
2018/09/03(月) 03:39:35.51ID:DRYmg1Ug
f'(x)が全実数で定義できるが0で連続じゃないって相当性質悪い関数しかなさそうだが
308132人目の素数さん
2018/09/03(月) 03:59:03.74ID:6tYYWVAZ
x=0 でも成立つのに、わざわざ「x≠0 なる任意の実数xに対して」と言うところがキモ。
緩めても他の解が出てくるわけぢゃないし。
309132人目の素数さん
2018/09/03(月) 04:04:28.62ID:MIVYq/4y
>>301
例えば、(リーマン)積分では有界閉区間上の連続関数f:[a,b]→Rを扱うけど、このときfは[a,b]以外では定義されてたら(もしくは連続だと)駄目なんですね?

群準同型f:G→Hの定義にf(e)=eという条件があるけど、これはg∈Gについて「g=eならばf(g)=e」という条件だから、g≠eのときf(g)=eとなったら駄目なんですね?
つまりker(f)={e}となって、群準同型は常に単射になるんですね?

……アホか
310132人目の素数さん
2018/09/03(月) 05:17:38.13ID:ElBzR58b
>>305
指摘ありがとう
二枚のカードは同時に取り出します
自作問題なんです気を付けます、、、

>>306
正解です
311132人目の素数さん
2018/09/03(月) 05:59:48.40ID:tfW6DRyU
あるチームスポーツの世界大会は次のフォーマットで行われる。
総当たり戦では必ず順位が定まるとする。
nは2以上の整数とする。

①参加チーム4nを2nずつの2組に分け、各組で総当たり戦を行う。

②各組の上位nチームが勝者リーグへ、下位nチームが敗者リーグへ回り、各リーグで総当たり戦を行う。ただし、①で同組だったチーム同士の試合は再び行わずに①の成績を持ち越す。

③勝者リーグの3位と4位で三位決定戦を、1位と2位で決勝を行う。

総試合数を求めよ。



ちなみに
全チーム総当たり形式の場合、(4n-1)*(4n)/2=8n^2-2n試合
トーナメント形式の場合、4n-1試合
312132人目の素数さん
2018/09/03(月) 07:39:28.67ID:Ah7o5BC3
>>301
x≠0で云々、というのは、x=0のときについては何も言ってないよね?
確かに一般的な感覚とはずれてますが
313132人目の素数さん
2018/09/03(月) 08:38:44.22ID:Sn+ALi0W
>>308
同じ結果我得られるなら仮定はできるだけ緩くするのは当然だろ
何いってんの
314132人目の素数さん
2018/09/03(月) 11:26:21.45ID:lTazNORX
>>308
緩めて他の解がでてこないなら益々あかんやろ。
出てくるなら ”それは解を尽くせてないからダメ” といえなくはないけど。
315132人目の素数さん
2018/09/03(月) 11:29:04.31ID:YLOjNQde
(正解)
① … 2*{(2n-1)*(2n)/2} = 4n^2-2n 試合
② … 2*{n^2} = 2n^2 試合
③ … 2 試合
総試合数は 6n^2-2n+2 試合

(別解1)
A組上位とB組下位、B組上位とA組下位の間の試合( 2n^2 試合)が省略、三決と決勝が追加されると考えて、
8n^2-2n-2n^2+2 = 6n^2-2n+2 試合

(別解2)
①と②で各チーム必ず (2n-1)+n = 3n-1 回戦うから (3n-1)*4n/2 = 6n^2-2n 試合
③の2試合を足して 6n^2-2n+2 試合


今年の大会だと
U12アジア選手権 4n = 8 22 試合
U-15野球W杯 4n = 12 50 試合
U18アジア選手権 4n = 8 22 試合(予定)
U-23野球W杯 4n = ? ?? 試合(未定)
アジア競技大会 野球 4n = 8 22 試合(ただし3チームが最後の1枠を争う予選が3試合あった)
女子野球W杯 4n = 12 50 試合
316132人目の素数さん
2018/09/03(月) 12:22:10.30ID:v06uP+qx
10人を空部屋なしで5部屋を割り当てる、但し、各部屋の定員は3人とする。割り当て方は何通りあるか。
317132人目の素数さん
2018/09/03(月) 12:53:32.38ID:DXewdMGY
(10!/(2!2!2!2!2!)/5! + 10!/(3!2!2!2!1!)/3! + 10!/(3!3!2!1!1!)/2!/2! ) * C[10,5]
318132人目の素数さん
2018/09/03(月) 13:10:21.24ID:Rgj39vFJ
まちがえた
(10!/(2!2!2!2!2!)/5! + 10!/(3!2!2!2!1!)/3! + 10!/(3!3!2!1!1!)/2!/2! ) * P[10,5]
319132人目の素数さん
2018/09/03(月) 13:41:41.12ID:6tYYWVAZ
 (10!/(2!2!2!2!2!)) /5! = 945,
 (10!/(3!2!2!2!1!)) /3! = 12600,
 (10!/(3!3!2!1!1!)) /(2!2!) = 12600,

 945 + 12600 + 12600 = 26145,

 26145 * 5! = 3137400,
320イナ ◆/7jUdUKiSM
2018/09/03(月) 13:55:23.15ID:cLGP6ng+
>>316
各部屋に一人ずつ5人入れると、その入れ方は5!=120通り。
あとから入る5人の入れ方は、
1、1、1、1、1が1通り
2、1、1、1、0が5×4=20通り
2、2、1、0、0が5×(4C2)=5×4!/2!=30通り
だが、だれがどの部屋に入るか公平に決めないといけないから、
1、1、1、1、1が5!=120通り
2、1、1、1、0が20×(5C2)×3!=1200通り
2、2、1、0、0が30×5×(4C2)=900通り
合計2220通り
先に入るかあとから入るかは確率1/2だから二倍すると、
(120+2220)×2=4680通り
321イナ ◆/7jUdUKiSM
2018/09/03(月) 14:06:11.64ID:cLGP6ng+
先に入るかあとから入るかで公平さは変わらない。
>>320
結果的にその部屋に決まるなら、先に入ろうがあとから入ろうが同じ。

2340通り
322132人目の素数さん
2018/09/03(月) 14:07:54.81ID:9xhI/ydp
wwww
323132人目の素数さん
2018/09/03(月) 15:40:28.40ID:0zWReidZ
>>314
真正の馬鹿だな
324132人目の素数さん
2018/09/03(月) 18:23:28.47ID:fowZfPON
>>319
素晴らしい
325イナ ◆/7jUdUKiSM
2018/09/03(月) 20:28:31.19ID:cLGP6ng+
まず初めに最初に部屋に入る人を選ばないといけないから、
(10C5)×2340
=10×9×8×7×6×2340
=70761600
>>321
部屋に名前をつけて検証する。部屋を(北西)(北)(西)(中央)(東南の角部屋)の五つとする。
人に①~⑩の番号を振る。(北西)(北)
┏━━┳━━┓
┃① ┃② ┃
┃  ┃⑥④┃
┣━━╋━━╋━━┓
┃③ ┃⑤⑨┃⑦⑩┃
┃  ┃⑧ ┃  ┃
┗━━┻━━┻━━┛
(西)(中央)(東南の角部屋)
試しに①~⑩の被験者に順に部屋に入ってもらった。このとき、①~⑥まではどこでも入れたんですんなり入ってくれたが、⑦が困った。一部屋いっぱいで。つまり(北)が。つまり4択という不公平感。⑩にいたっては3択だった。
5^6×4^3×3=300万通り
一回の施行で少なくともこれだけある。何千通りじゃ足りない。
326132人目の素数さん
2018/09/03(月) 22:14:33.99ID:fowZfPON
既に正解出てるのに
327132人目の素数さん
2018/09/03(月) 22:35:44.19ID:MKM8nReS
糞スレ一直線
328132人目の素数さん
2018/09/03(月) 22:41:48.68ID:rn4fGwrw
いつもの芸風
329 【大吉】
2018/09/04(火) 00:49:18.64ID:p8VPyo40
>>325
一回の施行というか試行で300万通りという値を得たが、少なくとも300万通りあるんであって、実際はもう少し変わった部屋割りが可能だから増えると感じた。つまり二人部屋を多くしたりとかほかのパターンがある。

>>319この値は信憑性がある。
330132人目の素数さん
2018/09/04(火) 02:13:35.69ID:0YvKMhiI
>>134>>135
解答です。
ネットで見つけた素晴らしいNoteに依ります。
---- 解答例 ----
以下では初期配置における玉の総数が偶数である場合を考える。
奇数の場合はE(X[2n])とE(X[2n-1])の結論が逆となるだけである。
自然数 j で玉が j 個ある状態を表すとする。系を HMC([1]、p3) と考える。
まず不変分布 π[n] ([1]、p11)を求める。
π[n] = aπ[n-1]/(n-1+0) + (n+1-a)π[n+1]/(n+1+0)
である。ただしp/(q+0) = lim[ε→0]p/(q+ε)である。
f(x) = Σπ[n]x^n、g(x) = Σπ[n]/(n+0)x^nとおけば
 (x-1)g′(x)=a x-x g(x)
となり、これを解いてg(x) = Ax^ae^(ax) を得る。よって
 f(x) = xg′(x) = Aa(x + 1)x^ae^(ax) である。
ここで f(1) = 1 により
 f(x) = (x+1)x^ae^(ax) / (2e^a)
を得る。以上によりこの HMC は π[n] = f (1) < ∞ を満たす不変分布を持つから、正再帰的 HMC ([1]、p13)である。
また p_{aa}^(2) > 0、奇数 n に対して p_{aa}^(n) = 0 で あるから周期は 2 である。([1]、p5)
以上により初期の玉の総数が偶数であることから
 lim[n→∞]E(X[2n])
 = f′(1) + f′(-1)
 = 1 {e^a +2a+2a+(-1)^ae^(-a)}/(2e^a)
 = 2a + 1/2 + (-1)^a/(2e^a)
 lim[n→∞]E(X[2n-1])
 = f′(1) - f′(-1)
 = 1 {e^a +2a+2a-(-1)^ae^(-a)}/(2e^a)
 = 2a + 1/2 - (-1)^a/(2e^a)
である。([1]、p19)
ref.
[1] マルコフ連鎖、https://www.komazawa-u.ac.jp/~toshi/teaching/TIT/note1.pdf
[2] a=10、玉の総数が100の場合、>>182
----
どうも東大の講師の方の講義のレジュメのようです。
収束証明とか感動的です。
カップリングとか言われたらわかるけど、こんなん絶対思いつかん。
331132人目の素数さん
2018/09/04(火) 03:08:39.06ID:0YvKMhiI
しまった。リンクまちがった。
赤10、白90のより精密な数値シュミレーション例>>181

1001 : 0000020.50000000103057681723857863179375573
1002 : 0000020.49999999896942319451989818931917708
1003 : 0000020.50000000103057681669136956653754163
1004 : 0000020.49999999896942319399815481629102060
1005 : 0000020.50000000103057681619390677994098141
1006 : 0000020.49999999896942319352384265899269428
1007 : 0000020.50000000103057681574166788303501812
1008 : 0000020.49999999896942319309264978872148864
1009 : 0000020.50000000103057681533054161312050221
1010 : 0000020.49999999896942319270065627029311700

ちなみに
1/(2e^10) = 1.030576811219279e-9
332132人目の素数さん
2018/09/04(火) 03:48:50.95ID:0YvKMhiI
>>330
さらに訂正。
 lim[n→∞]E(X[2n])
 = f′(1) + f′(-1)
 = {e^a +2ae^a+2ae^a+(-1)^ae^(-a)}/(2e^a)
 = 2a + 1/2 + (-1)^a/(2e^a)
 lim[n→∞]E(X[2n-1])
 = f′(1) - f′(-1)
 = {e^a +2ae^a+2ae^a-(-1)^ae^(-a)}/(2e^a)
 = 2a + 1/2 - (-1)^a/(2e^a)
まだあるかもだけどエスパーしてちょ。
333イナ ◆/7jUdUKiSM
2018/09/04(火) 10:15:50.16ID:p8VPyo40
(北西)(北) 前>>329
┏━━┳━━┓部屋割り
┃①②┃④⑤┃ だな。
┃③ ┃⑥ ┃
┣━━╋━━╋━━┓
┃⑦⑧┃⑨ ┃⑩ ┃
┃  ┃  ┃  ┃
┗━━┻━━┻━━┛
(西)(中央)(東南の角部屋)
「奥から詰めてください」学級委員の指示で北西と北が三人部屋になった。「空き部屋を作らないように」
⑦と⑧は仲良しだから喜んだ。
⑦「どの部屋を選ぶか最初の奴らは5通りだが、俺ら入るときは三人部屋ができてて3通りしかないだろ」
⑧「不公平だな。部屋の決め方がまず5!通りある。あとは5部屋をそれぞれ何人ずつにするか」
⑦「今回は3、3、2、1、1だ」
⑧「ほかに3、2、2、2、1と2、2、2、2、2があるな」紙に書きながら言う。
⑨「俺が計算してやろうか」襖をあけた⑨が言った。
⑦「入ってくるなよ」これを拒んだ。
⑨「おお」うなずいて、「人数変わってデータが狂うからな」手をのばし、⑧から紙を受けとると、なにか書いた。
『(10!/3!・3!・2!・1!・1!・2!・2!
+10!/3!・2!・2!・2!・1!・3!
+10!/2!・2!・2!・2!・2!・5!)×5!
={(10×9×8×7×6×5)/(3×2×2)+(10×9×8×7×6×5)/(2×3×2)+(10×9×8×7×6×5×4×3)/(2×2×2×2×5!)}×5!
={(5040/4)×2+(5040×90)/(2×2×5!)}×5!
={2520+(2520×9)/24}×5!
={2520+(2520×3)/8}×5!
=2520×(11/8)×5!
=2520×11×5×3
=12600×33
=330000+66000+18000+1800
=396000+19800
=415200

あれ、計算間違いかな?
(シッピン)(グニ)
41も52も吉数なんだが。
334132人目の素数さん
2018/09/04(火) 10:36:42.58ID:diXKRUIE
Prelude> let fact x = product [1..x]
Prelude> (* (fact 5)) $ sum [div (fact 10) (product $ map fact a) | a<-[[2,2,2,2,2,5],[3,2,2,2,1,3],[3,3,2,1,1,2,2]]]
3137400
335イナ ◆/7jUdUKiSM
2018/09/04(火) 10:52:57.78ID:p8VPyo40
>>333計算間違いだ。
『(10!/3!・3!・2!・1!・1!・2!・2!
+10!/3!・2!・2!・2!・1!・3!
+10!/2!・2!・2!・2!・2!・5!)×5!
={(10×9×8×7×6×5)/(3×2×2)+(10×9×8×7×6×5)/(2×3×2)+(10×9×8×7×6×5×4×3)/(2×2×2×2×5!)}×5!
={(10×9×4×7×5)×2+(10×9×7×3)/2}×5! ={25200+945)×5!
=26145×5×4×3×2
=26145×120
=2614500+522900
=3137400(通り)
336132人目の素数さん
2018/09/04(火) 12:28:51.00ID:7/9foHEp
コンピュータに数えさせました。

library(gtools)
n=5
r=10
c=3
perm=permutations(n,r,rep=T)
tail(perm)
g <- function(x) all(1:n %in% x)
system.time(g(perm[1:1e6,])) # fast
i=which(apply(perm,1,g)) # lengthy
perm5=perm[i,]
tail(perm5)
j=length(i)/factorial(5)
h <- function(x) max(table(x)) <= c
k=which(apply(perm5[1:j,],1,h))
length(k)
length(k)*factorial(5)
l=which(apply(perm5,1,h)) # lengthy
length(l)

答は>319の通り

> length(l)
[1] 3137400
337132人目の素数さん
2018/09/04(火) 12:29:15.98ID:7/9foHEp
>>328
ワロタ
338132人目の素数さん
2018/09/04(火) 12:41:39.17ID:7/9foHEp
>>336
最初と最後を書くとこんな感じ

> head(perm53) ;tail(perm53)
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10]
[1,] 1 1 1 2 2 2 3 3 4 5
[2,] 1 1 1 2 2 2 3 3 5 4
[3,] 1 1 1 2 2 2 3 4 3 5
[4,] 1 1 1 2 2 2 3 4 4 5
[5,] 1 1 1 2 2 2 3 4 5 3
[6,] 1 1 1 2 2 2 3 4 5 4
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10]
[3137395,] 5 5 5 4 4 4 3 2 1 2
[3137396,] 5 5 5 4 4 4 3 2 1 3
[3137397,] 5 5 5 4 4 4 3 2 2 1
[3137398,] 5 5 5 4 4 4 3 2 3 1
[3137399,] 5 5 5 4 4 4 3 3 1 2
[3137400,] 5 5 5 4 4 4 3 3 2 1
339132人目の素数さん
2018/09/04(火) 13:35:31.81ID:7/9foHEp
10人を5部屋に割り当てるときに空室があってもよいが1部屋の定員は3とすると 4229400通り数えられた。

library(gtools)
n=5
r=10
c=3
perm=permutations(n,r,rep=T)
tail(perm)
h <- function(x) max(tabulate(x))<=c
idx3=which(apply(perm,1,h))
perm3=perm[idx3,]
tail(perm3) #  定員3空室可
> tail(perm3)
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10]
[4229398,] 5 5 5 4 4 4 3 3 2 3
[4229399,] 5 5 5 4 4 4 3 3 3 1
[4229400,] 5 5 5 4 4 4 3 3 3 2
>

g <- function(x) all(1:n %in% x)
system.time(apply(perm3[1:1e5,],1,g)) # fast
idx35=which(apply(perm3,1,g))
perm35=perm3[idx35,]
tail(perm35) # 定員3空室不可
> tail(perm35)
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10]
[3137398,] 5 5 5 4 4 4 3 2 3 1
[3137399,] 5 5 5 4 4 4 3 3 1 2
[3137400,] 5 5 5 4 4 4 3 3 2 1

g <- function(x) all(1:n %in% x) #
system.time(apply(perm[1:1e5,],1,g)) # fast
i=which(apply(perm,1,g)) # lengthy
perm5=perm[i,] #定員なし空室不可
> tail(perm5)
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10]
[5102998,] 5 5 5 5 5 5 4 2 3 1
[5102999,] 5 5 5 5 5 5 4 3 1 2
[5103000,] 5 5 5 5 5 5 4 3 2 1
340イナ ◆/7jUdUKiSM
2018/09/04(火) 16:43:33.58ID:p8VPyo40
今回はこれぐらいにしといてやる。前>>335口ほどにもない易問やったなぁ。
((-.-)
(っц)~
「 ̄ ̄ ̄]台風も最大いうほどたいしたことないし。もうそろそろ日本海か。
○田くん、さびしなったはんのかな。知り合いも知り合いやよな。敵に言わんといて言うたはんのにや。頼れるもんなくなっていくんはきついやろで。でも記録は記録なんやろ。逃走の。
341132人目の素数さん
2018/09/04(火) 20:40:34.54ID:+Cb4FyTf
ニュー速+でみつけた問題

男が90人女は10人、医学部を受験しました。学力は同程度だと仮定します。合格できるのは10人です。
では女の合格率が男と同程度以上になる確率はいくらでしょう?
342132人目の素数さん
2018/09/04(火) 20:47:34.99ID:mRWF0GrZ
女子が1人以上合格すると(女子の合格率)≧(男子の合格率)となる
女子が1人も合格しない確率は(1/2)^10=1/1024
求める確率は1-1/1024=1023/1024
343132人目の素数さん
2018/09/04(火) 21:40:46.03ID:7/9foHEp
>>341
man=90
woman=10
pass=10
total=man+woman
p=pass/total
i=0:10
#
女子>男子
> sum((choose(woman,i)*choose(man,pass-i)/choose(total,pass))*(i/woman > (pass-i)/man))
[1] 0.2615285
女子=男子
> sum((choose(woman,i)*choose(man,pass-i)/choose(total,pass))*(i/woman == (pass-i)/man))
[1] 0.4079953
女子<男子
> sum((choose(man,i)*choose(woman,pass-i)/choose(total,pass))*(i/man > (pass-i)/woman))
[1] 0.3304762
344イナ ◆/7jUdUKiSM
2018/09/04(火) 21:49:28.81ID:p8VPyo40
______」|
( -~-)   |
_'``'____」
 ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄今宵は嵐じゃ。あしたは暑くなる。寝るぞ。前>>341すでに同程度言うたはるやろ。同程度以上になる確率は1/2(二分の一)や。不正はあかん。公平やないと。それが試験ちゅうもんや。
345132人目の素数さん
2018/09/04(火) 21:55:56.97ID:7/9foHEp
男子900人受験、女子100人受験、定員100人のときはこうなった。

> sum((choose(woman,i)*choose(man,pass-i)/choose(total,pass))*(i/woman > (pass-i)/man))
[1] 0.4160339
> sum((choose(woman,i)*choose(man,pass-i)/choose(total,pass))*(i/woman == (pass-i)/man))
[1] 0.1389853
> sum((choose(man,i)*choose(woman,pass-i)/choose(total,pass))*(i/man > (pass-i)/woman))
[1] 0.4449808
346132人目の素数さん
2018/09/04(火) 21:57:01.66ID:7/9foHEp
>>344
コインを4回投げて表が必ず2回でなくちゃ不正なのか?
3回だったらどうすんの?
347132人目の素数さん
2018/09/04(火) 21:57:56.74ID:7/9foHEp
>>346
コインを3回投げたら1回表、1回裏、残りはコインが立たなくちゃ不正なのか?
348132人目の素数さん
2018/09/04(火) 22:26:36.16ID:7/9foHEp
>>341
興味が湧いたので

定員10人受験生100人でそのうち女子の数が変化したときに

男女の合格率のどちらが高くなるかの確率をグラフにしてみた。


面白い問題おしえて~な 27問目 	YouTube動画>1本 ->画像>46枚
349イナ ◆/7jUdUKiSM
2018/09/04(火) 22:52:10.46ID:p8VPyo40
______」|
(-゚- )   |
_'``'____」
 ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄アンカー間違えた。前々>>344>>340合格率が同じってことは男10人女1人だ。同程度以上になる確率が1/2、同程度未満になる確率が1/2、あわせて1。これが公平ってことだ。
が実際には片寄りが出る。なぜなら男女別で審査してないから。同じ問題を同じ条件で解くと同程度になるはずだが実際はやってみないとわからない。
ただ男から10人、女から1人を選ぶような条件付きの試験じゃないってことだ。男が11人受かることもあれば、女が2人受かることもある。
350イナ ◆/7jUdUKiSM
2018/09/04(火) 22:56:27.85ID:p8VPyo40
>>349違うな。訂正。

男が10人受かることもあれば、女が2人受かることもある。
351132人目の素数さん
2018/09/05(水) 00:47:20.79ID:yVIjHYi9
以前は、このスレだけは多少なりとも参加する価値があったんだがな。
この惨状。
数学板だから、空気が読めなくても数学ができれば別にいいんだが
空気が読めなくてバカでコテハンでイキリ厨房っていうね…
352132人目の素数さん
2018/09/05(水) 00:49:27.57ID:IWPs/wy/
イナはNG登録しとけ。
353132人目の素数さん
2018/09/05(水) 03:11:05.80ID:g3wnyE4O
>>344
たまーに まともなことも言う。
製造業、建設業、商業… 世に職業はいろいろあるが、大学の売り物は公正さぐらいしかない。
それを損なっては、仕事のないトクニンの溜まり場でしかなくなる。
自分らの値打ちを自ら下げてどうする。
学生は、くれぐれもこういう真似をしないように。
354132人目の素数さん
2018/09/05(水) 03:17:55.75ID:g3wnyE4O
では問題です。[前スレ>>535]

〔問題100〕
a, b, c, d が正のとき
 (a-b)(a-c)/(a+b+c)
 + (b-c)(b-d)/(b+c+d)
 + (c-d)(c-a)/(c+d+a)
 + (d-a)(d-b)/(d+a+b)
 ≧ 0,
を示せ。
 IMO-2008 Short list A.7
 不等式bot(@inequalitybot) [100] ☆12
355132人目の素数さん
2018/09/05(水) 03:39:21.63ID:727LRHOT
まぁこの手の問題はアルゴリズムが発見されてるからなぁ。
356132人目の素数さん
2018/09/05(水) 03:39:47.28ID:g3wnyE4O
>>354
[前スレ.961]
煩雑で汚い解答の例

(1) まづ a-c, b-d の斉2次式で表わす。
 2 (左辺) = F (a-c)^2 + H (a-c)(b-d) + G (b-d)^2,
ここに
 F = 1/(c+d+a) + 1/(a+b+c),
 G = 1/(b+c+d) + 1/(d+a+b),
 H = 3{ -(a+c)/(c+d+a)(a+b+c) + (b+d)/(d+a+b)(b+c+d)},
とおいた。この斉2次式が正定値となる条件は、
 (判別式) = HH - 4FG < 0,

(2) F, G, H を評価する。
相加-調和平均で
 F = 1/(c+d+a) + 1/(a+b+c) ≧ 4/{2(a+c)+(b+d)},
 G = 1/(b+c+d) + 1/(d+a+b) ≧ 4/{(a+c)+2(b+d)},
∴ FG ≧ 16/{2(a+c)^2+5(a+c)(b+d)+2(b+d)^2} ≧ 16/{(9/4)(a+b+c+d)^2} > 7/(a+b+c+d)^2,

0 < (a+c)/(c+d+a)(a+b+c) = (a+c)/{(a+c)(a+b+c+d)+bd} < 1/(a+b+c+d)、
0 < (b+d)/(b+c+d)(c+d+a) = (b+d)/{(b+d)(a+b+c+d)+ac} < 1/(a+b+c+d)、
∴|H| < 3/(a+b+c+d)、

よって (判別式) = HH - 4FG < 0,
∴ 左辺は正定値。
357132人目の素数さん
2018/09/05(水) 05:51:17.83ID:8OL+IejM
じゃあ関連して
(問題)
有理係数の多項式 P(x1,…,xn) が与えられた時、∀x1…xn P(x1,…,xn) ≧ 0 ならその証明を、そうでないならその反例を与えるアルゴリズムが存在することを示せ。
358132人目の素数さん
2018/09/05(水) 07:54:12.78ID:/Bgg3/O7
もういいよ
次どうぞ
359132人目の素数さん
2018/09/05(水) 10:25:09.19ID:y3oPENAv
>>345
これをグラフ化した。

面白い問題おしえて~な 27問目 	YouTube動画>1本 ->画像>46枚
360132人目の素数さん
2018/09/05(水) 17:50:23.45ID:g3wnyE4O
男子90n人、女子10n人、定員10n人 とする。

・女子>男子
 Σ[n < k ≦10n] C[90n,10n-k] C[10n,k] / C[100n,10n]

・女子=男子
 C[90n,9n] C[10n,n] / C[100n,10n]

・女子<男子
 Σ[0≦ k < n] C[90n,10n-k] C[10n,k] / C[100n,10n]

n=1 のとき   >>343
 > 0.2615284665839845
 = 0.4079953223292903
 < 0.3304762110867252

n=10 のとき   >>345  
 > 0.41603390750170235
 = 0.13898526767704465
 < 0.4449808248212530
361132人目の素数さん
2018/09/05(水) 18:09:44.30ID:g3wnyE4O
>>360
n→∞ のとき正規分布に近づく(?)
 > 1/2,
 = (5/9)√(2/πn) = 0.4432692/√n,
 < 1/2,
362132人目の素数さん
2018/09/05(水) 19:23:46.48ID:cvXoBINQ
>>360
検算ありがとうございます。
363132人目の素数さん
2018/09/05(水) 23:22:56.54ID:g3wnyE4O
>>360 >>361

Stirling の近似式
 log(m!) ≒ (m+1/2)log(m) -m +(1/2)log(2π) +1/(12m),
を使えば
 log(C[10m,m]) ≒ b m - (1/2) log(m) + (1/2) log(5/9π) - c/12m,
ここに
 b = 10 log(10) - 9 log(9) = 3.250829734
 c = 1 + 1/9 -1/10 = 91/90,

= となる確率は
 (5/9)√(2/πn) exp(cc/12n),
 = (0.443269200446/√n) exp(0.085195473251/n)
364132人目の素数さん
2018/09/06(木) 01:04:19.00ID:K2yw997V
>>339
r人をn部屋に割り当てるときに(n=5, r=10) 各部屋の定員がc人だとする。

・定員c=3、空室可

 (r!/(3!3!2!2!0!)) /(2!2!) = 6300,
(r!/(3!3!3!1!0!)) /3! = 2800,
を含めて
 26145 + 6300 + 2800 = 35245,
 35245 * n! = 4229400,

・定員なし、空室不可
 (r!/(4!2!2!1!1!)) /(2!2!) = 9450,
 (r!/(4!3!1!1!1!)) /3! = 4200,
 (r!/(5!2!1!1!1!)) /3! = 2520,
 (r!/(6!1!1!1!1!)) /4! = 210,
を含めて
 26145 + 9450 + 4200 + 2520 + 210 = 42525,
 42525 * n! = 5103000,

・定員なし、空室可
 5^r = 9765625,
(内訳)
 空室0 … C[n,0] (5^r - 5・4^r + 10・3^r - 10・2^r + 5・1^r) = 5103000,
 空室1 … C[n,1] (4^r - 4・3^r + 6・2^r -4・1^r) = 4092600,
 空室2 … C[n,2] (3^r - 3・2^r + 3・1^r) = 559800,
 空室3 … C[n,3] (2^r - 2・1^r) = 10220,
 空室4 … C[n,4] (1^r) = 5,
365132人目の素数さん
2018/09/06(木) 06:34:14.49ID:I3kUTkoO
男子5人女子5人を空室なし男女混合なしで5部屋に割り当てる方法は何通りあるか?
366132人目の素数さん
2018/09/06(木) 09:55:20.94ID:d/UUW4lX
>>365
(C[5,1]×(C[1,0]1^5 - C[1,1]0^5)×(C[4,0]4^5 - C[4,1]3^5 + C[4,2]2^5 + C[4,3]1^5 + C[4,4]0^5)
+C[5,2]×(C[2,0]2^5 - C[2,1]1^5 + C[2,2]0^5)×(C[3,0]3^5 - C[3,1]2^5 + C[3,2]1^5 + C[3,3]0^5))×2
367132人目の素数さん
2018/09/06(木) 10:01:58.71ID:Hm/e+rBC
>>>365
(C[5,1]×(C[1,0]1^5 - C[1,1]0^5)×(C[4,0]4^5 - C[4,1]3^5 + C[4,2]2^5 - C[4,3]1^5 + C[4,4]0^5)
+C[5,2]×(C[2,0]2^5 - C[2,1]1^5 + C[2,2]0^5)×(C[3,0]3^5 - C[3,1]2^5 + C[3,2]1^5 - C[3,3]0^5))×2
368132人目の素数さん
2018/09/06(木) 12:20:30.70ID:gOFawY04
>>367
お見事です。

コンピュータのカウントと合致。
> tail(perm5[m,])
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10]
[92395,] 5 5 5 5 5 4 4 1 2 3
[92396,] 5 5 5 5 5 4 4 1 3 2
[92397,] 5 5 5 5 5 4 4 2 1 3
[92398,] 5 5 5 5 5 4 4 2 3 1
[92399,] 5 5 5 5 5 4 4 3 1 2
[92400,] 5 5 5 5 5 4 4 3 2 1


次はこんな問題かな。

男子5人女子5人を空室なし男女混合なしで定員3の5部屋に割り当てる方法は何通りあるか?
369132人目の素数さん
2018/09/06(木) 14:32:37.10ID:rn9Lvv36
部屋分け
(1) 3 :男(3,2)、女(3,1,1)または(2,2,1)
(2) 1: 男(3,1,1)、女(3,2)
(3) 1: 男(2,2,1)、女(3,2)

3+1+1=5通りかな?

簡単すぎ?
370132人目の素数さん
2018/09/06(木) 14:35:40.34ID:rn9Lvv36

(1) 2 :男(3,2)、女(3,1,1)または(2,2,1)
(2) 1: 男(3,1,1)、女(3,2)
(3) 1: 男(2,2,1)、女(3,2)

2+1+1=4通りかな?

ほかのことをしていた。注意しませう
371132人目の素数さん
2018/09/06(木) 15:24:45.56ID:gOFawY04
部屋を1~5と命名すると
定員3で男女混合にならない部屋割はこんな感じ

男1 男2 男3 男4 男5 女1 女2 女3 女4 女5
[1,] 1 1 1 2 2 3 3 3 4 5
[2,] 1 1 1 2 2 3 3 3 5 4
[3,] 1 1 1 2 2 3 3 4 3 5
[4,] 1 1 1 2 2 3 3 4 4 5
[5,] 1 1 1 2 2 3 3 4 5 3
[6,] 1 1 1 2 2 3 3 4 5 4
372張儀
2018/09/07(金) 02:45:55.83ID:ISFTB5Pe
>>371

いみがわからねえ
[1,] 1 1 1 2 2 3 3 3 4 5  の意味は
男3人、男二人、
女三人、女二人 
4部屋しか使っていないからXじゃないの

男(3,2)、女(3,1,1)または(2,2,1)
とは意味が違うね
373132人目の素数さん
2018/09/07(金) 06:10:41.28ID:Yxvt+nxW
>>372
部屋も人も区別する。
374132人目の素数さん
2018/09/07(金) 12:06:53.67ID:U68TdVzs
収容人数がそれぞれa,b,c,d+p人の部屋A,B,C,Dに、ちょうど(a+b+c+d)人を割り振る。
そのような方法は何通りあるか。
ただしa,b,c,dは自然数、pは非負整数とする。
375132人目の素数さん
2018/09/07(金) 15:01:50.07ID:Yxvt+nxW
>>372
男1 男2 男3 男4 男5 女1 女2 女3 女4 女5
[1,] 1 1 1 2 2 3 3 3 4 5

男1男2男3は部屋1に
男4男5は部屋2に
女1女2女3は部屋3
女4 は部屋4
女5は部屋5
に割り当てるという意味。
376132人目の素数さん
2018/09/07(金) 15:35:06.01ID:Yxvt+nxW
4人部屋の空床が5部屋あるとする。
男5人女5人の入院予約を受けた。
空室ができてもよいが男女混合部屋は不可とするとき
部屋割の方法は何通りあるか。

これ男性部屋の個数と収容人数で場合分けして数えたけど
もっと効率の良い数え方ってあるでしょうか?
377132人目の素数さん
2018/09/07(金) 15:52:16.77ID:mbd0IjUn
https://twitter.com/mas20285
https://m.facebook.com/masaoki.iwasaki.9

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この人が現在、どこで就職しているか、特定してみてください!
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)
378132人目の素数さん
2018/09/07(金) 16:09:54.77ID:ISFTB5Pe
>>375

つまり
男(3,2)、女(3,1,1)というわけですね
379132人目の素数さん
2018/09/07(金) 16:37:35.18ID:IeKE/87s
r人をちょうどn部屋に(定員なしで)割り当てる方法は、
 A[r,n] = n^r - C[n,1](n-1)^r + C[n,2](n-2)^r - … + (-1)^(n-1) C[n,n-1] 1^r
  = Σ[k=0,n-1] (-1)^k C[n,k] (n-k)^r,

r=5 のとき
 A[r,1] = 1^r = 1,
 A[r,2] = 2^r -2 = 30,
 A[r,3] = 3^r -3・2^r +3・1^r = 150,
 A[r,4] = 4^r -4・3^r +6・2^r -4・1^r = 240,

>>365-368
r = 5,
部屋の数が (男1,女4) (男2,女3) (男3,女2) (男4,女1)
C[5,1] A[r,1] A[r,4] + C[5,2] A[r,2] A[r,3] + C[5,3] A[r,3] A[r,2] + C[5,4] A[r,4] A[r,1]
 = 5・1・240 + 10・30・150 + 10・150・30 + 5・240・1
 = 92400,
380132人目の素数さん
2018/09/07(金) 17:13:17.63ID:Yxvt+nxW
男子5人女子5人を5部屋割り当てる。
部屋に定員はなし、空室があってもよい。
割り当てた部屋を全て男女混合にする方法は何通りあるか。
381132人目の素数さん
2018/09/07(金) 17:15:57.84ID:IeKE/87s
 男(5) 女(2,1,1,1)  (5!/5!) (5!/(2!1!1!1!))/3! = 10,
 男(2,1,1,1) 女(5)  (5!/(2!1!1!1!))/3! (5!/5!) = 10,

 男(4,1) 女(3,1,1)  (5!/(4!1!)) (5!/(3!1!1!))/2! = 50,
 男(3,1,1) 女(4,1)  (5!/(3!1!1!))/2! (5!/(4!1!)) = 50,
 男(4,1) 女(2,2,1)  (5!/(4!1!)) (5!/(2!2!1!))/2! = 75,
 男(2,2,1) 女(4,1)  (5!/(2!2!1!))/2! (5!/(4!1!)) = 75,

 男(3,2) 女(3,1,1)  (5!/(3!2!)) (5!/(3!1!1!))/2! = 100,
 男(3,1,1) 女(3,2)  (5!/(3!1!1!))/2! (5!/(3!2!)) = 100,
 男(3,2) 女(2,2,1)  (5!/(3!2!)) (5!/(2!2!1!))/2! = 150,
 男(2,2,1) 女(3,2)  (5!/(2!2!1!))/2! (5!/(3!2!)) = 150,

定員c=3 のとき
 (100+100+150+150) * 5! = 60000,   >>368

定員c=4 のとき
 (50+50+75+75 + 100+100+150+150) * 5! = 90000,

定員c≧5(なし)のとき
 (10+10 + 5+50+75+75 + 100+100+150+150) * 5! = 92400,  >>365
382132人目の素数さん
2018/09/07(金) 18:39:47.42ID:Yxvt+nxW
>>381
整理されてわかりやすい解答ありがとうございました。
383132人目の素数さん
2018/09/07(金) 23:33:27.69ID:J6jDxt5X
有理数の集合は可算個の開集合の共通部として表せないことを証明せよ
384132人目の素数さん
2018/09/07(金) 23:49:23.57ID:lEnTWg59
・QはRで稠密だから
・各開集合はある区間を含み、したがって無理数を含むから
・共通部分がある区間を含んでしまうと無理数を含むことになるから
・共通部品が無理数を含まないとしたら、当然どんな区間も含むことはないから
385132人目の素数さん
2018/09/07(金) 23:51:48.55ID:sx5jRqmo
Q=∩Ui (Ui : open) とすると任意のiについて Ui はQを含む開集合だからR。
386132人目の素数さん
2018/09/07(金) 23:54:09.83ID:J6jDxt5X
>>384

∩_(n=1,∞) (-1/n,1/n)={0}
の通り 開集合の共通部分は開区間を含むとは限らない
387132人目の素数さん
2018/09/07(金) 23:55:50.50ID:J6jDxt5X
>>385
なぜ任意のiに対してUiはQを含む?
共通部分の定義間違えてないか?
388132人目の素数さん
2018/09/07(金) 23:58:19.71ID:ej0CkW05
>>387
Q = ∩ Ui ⊂ Ui やん。加算個もへったくれもないやん。
389132人目の素数さん
2018/09/08(土) 00:00:49.37ID:ODNzaBTv
>>387
あ、ごめん、こっちが間違い。
390132人目の素数さん
2018/09/08(土) 00:03:30.36ID:aRbaZ8fq
>>388
ごめん頭ぶっ壊れてた
でもQを含む開集合はRとは限らないよ
閉包はもちろんRだけど

例えばR\{√2}
とかね
391132人目の素数さん
2018/09/08(土) 00:04:11.01ID:WdPtYa7p
>>386
それがどうかしたの?
392132人目の素数さん
2018/09/08(土) 00:04:22.09ID:aRbaZ8fq
¥→-(setminus)
です
393132人目の素数さん
2018/09/08(土) 00:10:06.83ID:aRbaZ8fq
>>391
>・共通部分がある区間を含んでしまうと無理数を含むことになるから

これってある区間を含むことを導いて矛盾させるってことじゃないの?
394132人目の素数さん
2018/09/08(土) 02:31:24.07ID:WdPtYa7p
>>393
すまん、アホな勘違いをしてたわ
むしろRから点を取り除く方向で行った方がいいかな……

というかもしかしてカテゴリー定理使う?
395132人目の素数さん
2018/09/08(土) 10:00:38.11ID:oErW2fPx
>>394
その通り
ベールのカテゴリー定理をすこーしだけ工夫して使えば終わり
396132人目の素数さん
2018/09/08(土) 10:28:30.78ID:/f0/Th7a
なるほど。Q = ∩ Ui とすると Q = {qi} として Vi = Ui \{qi} とおくと ∅ = ∩Vi、Vi は稠密開集合となってカテゴリー定理に矛盾するのか。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%81%AE%E7%AF%84%E7%96%87%E5%AE%9A%E7%90%86
397132人目の素数さん
2018/09/08(土) 13:00:56.08ID:WFiBaON4
>>380
536405通り
398132人目の素数さん
2018/09/08(土) 14:38:00.48ID:SCUox7ZN
[0,1]の一様乱数をn個発生させて,小さい順にa(1), ..., a(n)とする。
同様にもう一度n個の乱数を作って小さい順にb(1), ..., b(n)とする。

a(1)とb(1), a(2)とb(2), ...と同じ順位同士でペアを作り大小を比較する。
この時aのほうが大きいペアの数は0個~n個のいずれかになるが,その確率分布は?
399132人目の素数さん
2018/09/08(土) 15:17:20.99ID:WFiBaON4
>>398
シミュレーションしての予想、Norm(n/2,√n/2)
400132人目の素数さん
2018/09/08(土) 18:28:14.22ID:LYybmjpA
>>398

a(k) > b(k) となる確率 1/2
a(k) < b(k) となる確率 1/2

k=1~n が独立事象かどうか分からんが、もし独立だとしたら 
 P_k = C[n,k] (1/2)^n

スターリングの公式
 log(k!) ≒ (k+1/2)log(k) -k + (1/2)log(2π) + 1/(12k),
を使うと
 log(P_k) = log(n!) - log(k!) - log((n-k)!) - n・log(2)
   ≒ -(1/2)log(π) - 1/(4n) -{2(n-1)/nn}(k-n/2)^2 -{4(n-3)/3n^4}(k-n/2)^4 - …
より
 μ = n/2,
 σ = n/{2√(n-1)},
 k ~ Norm(n/2, n/{2√(n-1)})
401132人目の素数さん
2018/09/08(土) 18:58:00.72ID:Ac81XkBv
いや、そこまで単純ではないと思う。
n=2のとき引かれた4つの玉をならべたら
   | a1<b1 | a2<b2
AABB|  ◯ | ◯
ABAB|  ◯ | ◯
ABBA|  ◯ | ✕
BAAB|  ✕ | ◯
BABA|  ✕ | ✕
BBAA|  ✕ | ✕
でそれぞれ同様に確からしいわけでもないから、この表だけで独立でないとは言い切れないけど、独立かどうかはかなり怪しい。
2項分布二項分布B(n, 1/2)にはなると思うけど。
402132人目の素数さん
2018/09/08(土) 19:12:58.78ID:tdF1Tcwr
以下の性質をもつ実数xについての微分可能な関数f(x)の例を挙げるか、またはそのような関数が存在しないことを証明せよ。

・各自然数mに対しm-(1/m)≦x≦m+(1/m)の範囲において少なくとも1つの整数値をとる。
・任意の自然数kに対してある自然数a[k]が存在し、a[k]<x<a[k+1]の範囲でf(x)が自然数となるxがちょうどk個ある。
403132人目の素数さん
2018/09/08(土) 19:16:51.50ID:Ac81XkBv
あれ?もしかして同様に確からしい?とすると一様分布になる?
404132人目の素数さん
2018/09/08(土) 21:38:56.57ID:jY+er8Ai
スレを私物化するなよ基地外
405132人目の素数さん
2018/09/08(土) 22:03:49.53ID:WFiBaON4
>>398

n=100で1000万回シミュレーションしてみた。
結果は
> sd(re.sim) # シミュレーションの標準偏差
[1] 4.999704
> sqrt(n)/2
[1] 5
> n/2/sqrt(n-1)
[1] 5.025189

シミュレーション結果は√n / 2の方に近い。
正規分布近似でのパラメータを求めると

> (fit=fitdist(re.sim,"norm"))
Fitting of the distribution ' norm ' by maximum likelihood
Parameters:
estimate Std. Error
mean 50.001295 0.001581045
sd 4.999703 0.001117967
やはり、結果は√n / 2の方に近い
406132人目の素数さん
2018/09/08(土) 22:20:28.67ID:tdF1Tcwr
>>402
すみません書き間違えました
誤:a[k+1]
正:a[k]+1
407132人目の素数さん
2018/09/08(土) 22:29:01.77ID:WFiBaON4
>>401
2個の一様分布[0,1]をRで発生させて1個めを横軸、2個めを縦軸にしてグラフにしてみた。

面白い問題おしえて~な 27問目 	YouTube動画>1本 ->画像>46枚

一定の傾向はなさそうだから、独立のように見える。
408132人目の素数さん
2018/09/08(土) 22:45:23.75ID:c6D53/Sw
ボケたレンズで見る。
縦に伸ばしてみる
横に縮めてみる。

いろいろ印象がかわり有意にみえるそうだよ。

むかし鳩の豆鉄砲撃ちデータなんて論文評価があったけどどうなったんだろ
409132人目の素数さん
2018/09/09(日) 00:33:45.03ID:Wdm+Az3l
>>405
それあってる?一様分布になると思うんだけど?
410132人目の素数さん
2018/09/09(日) 00:49:14.03ID:9XY+z1xx
>>409
sim = function(n){
sum(runif(n) > runif(n))
}

re.sim=replicate(1e7,sim(n))

hist(re.sim,col='lightgreen',freq=FALSE,breaks=50)

面白い問題おしえて~な 27問目 	YouTube動画>1本 ->画像>46枚
411132人目の素数さん
2018/09/09(日) 00:56:24.35ID:p+giZO8u
>>409
ごめん。わからん。それn=2のとき結局4つの実数x1,x2,y1,y2とった後a1=min(x1,x2)、a2=max(x1,x2)、b1=min(y1,y2)、b2=max(y1,y2)の処理してる?
412132人目の素数さん
2018/09/09(日) 01:01:50.89ID:9XY+z1xx
>>409
aの従う分布を

指数分布にしてもポワソン分布にしても、正規分布になるみたいだな。
413132人目の素数さん
2018/09/09(日) 01:15:39.31ID:9XY+z1xx
>>411
すまん、あなたが正しい。ソートするのが抜けてた。

sim = function(n){
sum(sort(runif(n)) > sort(runif(n)))
}
re.sim=replicate(1e6,sim(100))
hist(re.sim,col='lightgreen',freq=FALSE,breaks=50)

面白い問題おしえて~な 27問目 	YouTube動画>1本 ->画像>46枚
414132人目の素数さん
2018/09/09(日) 01:27:34.38ID:9XY+z1xx
aの従う分布を

正規分布、指数分布、ポワソン分布、負の二項分布、コーシー分布でやってみたが、どれも一様分布になった。
415132人目の素数さん
2018/09/09(日) 01:35:33.55ID:p+giZO8u
import Data.List

n = 30

samples = [ t | x1<-[1..n],x2<-[1..n],y1<-[1..n],y2<-[1..n],let s = nub $ sort [x1,x2,y1,y2],length s == 4, let [a1,a2] = sort [x1,x2],let [b1,b2] = sort [y1,y2],let t=[a1,a2,b1,b2]]

pl [a1,a2,b1,b2] = (if a1 < b1 then 1 else 0) + (if a2 < b2 then 1 else 0)
pls = map pl samples

main = do
print $ length $ filter (==0) pls
print $ length $ filter (==1) pls
print $ length $ filter (==2) pls
416132人目の素数さん
2018/09/09(日) 01:38:26.99ID:9XY+z1xx
>>414
訂正

aの従う分布を

正規分布、指数分布、コーシー分布でやってみたが、どれも一様分布になった。

ポワソン分布、負の二項分布では一様分布にはならず。
417132人目の素数さん
2018/09/09(日) 01:38:35.32ID:Wdm+Az3l
>>413
だよね?一様分布になるハズ。
Haskell で n=30 で(値が被るときはのぞいて)ペア数0,1,2全部同数になる。
219240
219240
219240
コードは>>415
418132人目の素数さん
2018/09/09(日) 01:42:41.47ID:Wdm+Az3l
というか一様分布になると証明出来たと思う。
方針は>>415のコードでn=2、N=40で同数になったけど、n≧2、N任意で全部同数になる。
よってペア数=iである確率は1/(n+1)。
N→∞でも1/(n+1)。
419132人目の素数さん
2018/09/09(日) 01:50:45.73ID:9XY+z1xx
>>416

SIM <- function(fun,n=100,...){
si = function(n,rfun=fun){
sum(sort(rfun(n)) > sort(rfun(n)))
}
re.si=replicate(1e4,si(n,fun))
hist(re.si,col=sample(colours(),1),...)
}


par(mfrow=c(3,3))
SIM(rnorm,main='正規分布')
SIM(rexp,main='指数分布')
SIM(rcauchy,main='コーシー分布')
SIM(function(x) rt(x,3),main='t分布')
SIM(function(x) rbeta(x,2,1000),main='β分布')
SIM(function(x) rgamma(x,2,1000),main='ガンマ分布')

SIM(function(x) rpois(x,7),main='ポアソン分布')
SIM(function(x) rnbinom(x,100,0.3),main='負の二項分布')
SIM(function(x) rbinom(x,100,0.1),main='二項分布')


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420132人目の素数さん
2018/09/09(日) 02:01:33.48ID:Wdm+Az3l
う~ん、わからん。一様分布にならない分布もあるのか……
421132人目の素数さん
2018/09/09(日) 02:19:33.65ID:0zpfqEtK
>>420
いずれも離散分布だからかも。
422132人目の素数さん
2018/09/09(日) 02:36:07.58ID:FSxCW4PL
>>419-421
同じ値があることで、少なくカウントされているのなら
sum(sort(rfun(n)) > sort(rfun(n)))

sum(sort(rfun(n)) >= sort(rfun(n)))
にすれば、逆の分布になるのでは?
423132人目の素数さん
2018/09/09(日) 02:44:50.94ID:0zpfqEtK
100回サイコロをふって1の目が出る回数は二項分布に従う。
それを30個ずつ乱数発生させてソートして配列順に大小比較して片方が大きかった総数をだす、
という操作を1000回繰り返して総数の分布をヒストグラムにする。
以下のコードを
https://rdrr.io/snippets/
に入力して実行する。
一様分布にはなっていない。

hist(replicate(1000,sum(sort(rbinom(30,100,1/6))>sort(rbinom(30,100,1/6)))))
424132人目の素数さん
2018/09/09(日) 02:53:16.78ID:0zpfqEtK
hist(replicate(1000,sum(sort(rbinom(30,100,1/6))>=sort(rbinom(30,100,1/6)))))
で実行すると傾きが逆になりましたが一様分布とは言い難いようです。
離散分布だと同じ値が出るからでしょう。
ポアソン分布で特にそうなりやすいですね。
425132人目の素数さん
2018/09/09(日) 02:58:09.94ID:0zpfqEtK
パラメータ7のポアソン分布で>と>=でやるには

https://rdrr.io/snippets/



hist(replicate(1000,sum(sort(rpois(30,7))>sort(rpois(30,7)))))

hist(replicate(1000,sum(sort(rpois(30,7))>=sort(rpois(30,7)))))

を入れるとグラフが出ます。
426132人目の素数さん
2018/09/09(日) 03:02:59.76ID:Wdm+Az3l
>>418 の方針では例えばn=2のときは任意の<j<k<lに対して

                  # ai<bi であるペア数
P(a1 = i, a2 = j, b1 = k, b2 = l)   # 2
=P(a1 = i, b1 = j, a2 = k, b2 = l)   # 2
=P(a1 = i, b1 = j, b2 = k, a2 = l)   # 1
=P(b1 = i, a1 = j, a2 = k, b2 = l)   # 1
=P(b1 = i, a1 = j, b2 = k, a2 = l)   # 0
=P(b1 = i, b2 = j, a1 = k, a2 = l)   # 0

が一様な離散分布のとき成立することを利用するんだけど、これ一様でない離散分布だと成立するとは限らないのかな?
427132人目の素数さん
2018/09/09(日) 03:11:05.57ID:MYGAesBf
>>400

 log(P_k) = log(n!) - log(k!) - log((n-k)!) - n・log(2)
   ≒ log(P_μ) - {1/(2σ^2)}(k-μ)^2 - {4(n-3)/3n^4}(k-μ)^4,

ここに
 μ = n/2,
 1/(2σ^2) = 2(n-1)/nn + 4/(3n^3),
 log(P_μ) = - (1/2)log(nπ/2) - 1/(4n),
428132人目の素数さん
2018/09/09(日) 03:25:29.91ID:9XY+z1xx
パラメータ(平均=分散)7のポアソン分布4個を 20組だすとこんな感じ

> t(replicate(20,rpois(4,7)))
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 10 4 10 6
[2,] 5 7 5 7
[3,] 7 11 3 8
[4,] 8 4 8 2
[5,] 9 6 1 8
[6,] 5 10 9 7
[7,] 7 7 6 9
[8,] 8 7 7 7
[9,] 10 7 8 7
[10,] 4 12 13 10
[11,] 4 8 3 7
[12,] 7 6 7 8
[13,] 6 6 9 7
[14,] 7 7 10 9
[15,] 10 8 5 8
[16,] 7 7 7 8
[17,] 5 4 10 5
[18,] 7 9 5 4
[19,] 10 2 5 6
[20,] 8 11 5 8
429132人目の素数さん
2018/09/09(日) 08:00:44.83ID:9XY+z1xx
>>428
n=2のときポアソン分布で20回やってみると

a1 a2 b1 b2 pair
5 7 6 8 0
a1 a2 b1 b2 pair
5 8 6 6 1
a1 a2 b1 b2 pair
8 9 4 7 2
a1 a2 b1 b2 pair
8 11 7 9 2
a1 a2 b1 b2 pair
6 10 4 5 2
a1 a2 b1 b2 pair
4 8 4 6 1
a1 a2 b1 b2 pair
6 6 8 8 0
a1 a2 b1 b2 pair
8 8 6 9 1
a1 a2 b1 b2 pair
4 7 4 9 0
a1 a2 b1 b2 pair
9 9 4 13 1
a1 a2 b1 b2 pair
6 10 8 8 1
a1 a2 b1 b2 pair
6 8 5 8 1
a1 a2 b1 b2 pair
5 9 6 7 1
a1 a2 b1 b2 pair
6 7 3 5 2
a1 a2 b1 b2 pair
5 12 9 10 1
a1 a2 b1 b2 pair
6 12 6 8 1
a1 a2 b1 b2 pair
5 5 4 10 1
a1 a2 b1 b2 pair
6 13 6 11 1
a1 a2 b1 b2 pair
6 15 9 13 1
a1 a2 b1 b2 pair
11 13 4 5 2
> c(pair=pair)
pair1 pair2 pair3 pair4 pair5 pair6 pair7 pair8 pair9
0 1 2 2 2 1 0 1 0
pair10 pair11 pair12 pair13 pair14 pair15 pair16 pair17 pair18
1 1 1 1 2 1 1 1 1
pair19 pair20
1 2

> table(pair)
pair
0 1 2
3 12 5
全然、一様分布になっていない
430132人目の素数さん
2018/09/09(日) 08:09:37.86ID:Z3IdChrQ
Rってぱっと書けるために可読性をかなり犠牲にしてるね。
さっぱりわからん。
431132人目の素数さん
2018/09/09(日) 09:20:48.19ID:9XY+z1xx
ポアソン分布は非負整数を返してくるから、その値にゆらぎをつけて同値が起こらないようする(Rではjitterという関数)と

a1 a2 b1 b2 pair
3.94 5.02 11.06 13.51 0.00
a1 a2 b1 b2 pair
7.06 11.19 7.87 7.99 1.00

k=10000
pair=NULL
for(i in 1:k){
a=sort(jitter(rpois(2,7)))
b=sort(jitter(rpois(2,7)))
c=sum(a>b)
pair[i]=c
}
hist(pair,col='skyblue')

このポアソンもどき分布での結果は、一様分布。

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>422
の御指摘のように

離散分布で成立しないのは同値の存在のため。

自分には原因がわからなかったので>422の指摘は目から鱗でした。ありがとうございました。
432132人目の素数さん
2018/09/09(日) 09:44:14.03ID:MMVEefdl
>>398解くのに図1の左下から右上に至る最短経路ρに対して=を通る回数を X(ρ) とすると i:0~n に対して X(ρ) = i となる経路の数がカタラン数 C[n] になること使ったんだけど、こんなん知らんかった。
C[n] = C[2n,n]/(n+1) の n+1 の意味を初めて知った。

―図1―(n=6の場合)
┌─┬─┬─┬─┬─┬─┐
│ │ │ │ │ │ │ 
├─┼─┼─┼─┼─┼=┤
│ │ │ │ │ │ │ 
├─┼─┼─┼─┼=┼=┤
│ │ │ │ │ │ │ 
├─┼─┼─┼=┼=┼=┤
│ │ │ │ │ │ │ 
├─┼─┼=┼=┼=┼=┤
│ │ │ │ │ │ │ 
├─┼=┼=┼=┼=┼=┤
│ │ │ │ │ │ │ 
└=┴=┴=┴=┴=┴=┘
433132人目の素数さん
2018/09/10(月) 01:30:44.28ID:GA8rqAam
ノートにまとめてみたけどやっぱり>>398は特に一様分布である必要はなくて非特異(=分布関数が連続)であるIID(独立同分布)であればイイ(ペアの個数は一様分布になる)はず。
434132人目の素数さん
2018/09/10(月) 03:28:42.25ID:em8sSblw
小さい順にという縛りをなくして

乱数をn個発生させて,a(1), ..., a(n)とする。
同様にもう一度n個の乱数を作ってb(1), ..., b(n)とする。
a(1)とb(1), a(2)とb(2), ...と乱数発生順にペアを作り大小を比較する。
この時aのほうが大きいペアの数は0個~n個のいずれかになるが,その確率分布は?

という問題にすると、乱数発生の分布が離散分布であっても、ペアーの個数の分布は正規分布になるみたい。
シミュレーションでの結果。

多分、中心極限定理のおかげかな。大小比較なので乱数発生がコーシー分布でもいいみたい。
435132人目の素数さん
2018/09/10(月) 09:15:22.90ID:yLu5dLg/
明らかに二項分布
436132人目の素数さん
2018/09/10(月) 10:01:05.85ID:zE8CQbRD
並べ替えなかったらもはや数学の問題にならん。
437132人目の素数さん
2018/09/10(月) 13:42:07.52ID:bgnF4wj1
一様分布ならどうなる?二項分布なら?……
計算機はなんでも答えてくれるけど、逆になんでも答えてくれるから頭使わなくなるんだな……
438132人目の素数さん
2018/09/10(月) 14:56:21.53ID:ZXDYF7nW
この人の住所と職場はどこでしょう?

602626345

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439132人目の素数さん
2018/09/11(火) 23:52:06.14ID:zAmBbrVv
>>398
p(1),…,p(n),q(1),…,q(n)を非特異(=分布関数が連続)な独立同分布な確率変数とし、それぞれを昇順に並べたものをa(1),…,a(n),b(1),…,b(n)とする。
a(i) < b(i)となる i の個数をNとする。
このときNの分布は一様分布である。
(∵)
a(1)~b(n)共通の分布関数をFとする。
a(1),…,a(n),b(1),…,b(n)すべてを昇順に並べたものをc(1),…,c(2n)とする。
MをAをn文字、Bをn文字、計2n文字を並べたものの全体とする。
Mに値をとる確率変数μを
μ[i] = A ⇔ c(i) = a(k) (∃k)、μ[i] = B ⇔ c(i) = b(k) (∃k)、
で定める。
m∈Mに対し A[m] = μ^(-1)(m) とおく。
Gを{1,2,…,n}の置換の全体としg,h∈Gに対し
B[gh] = {ω| a[i] = p[g(i)], b[i] = q[h(i)]}
とおく。
長さ4nの狭義単調増大列の全体をVとし、v∈Vに対し
C[v] = {ω|v[2i-1] < c[i] <v[2i]}
とおく。
このとき任意のμ、μ'、g、h、vに対し
P(A[μ] ∩ B[gh] ∩ C[v]) = P(A[μ'] ∩ B[gh] ∩ C[v]) = Π(F(v[2i]) - F(v[2i-1]))
である。
任意のv',v''に対しC[v']∩C[v'']は空でなければC[v']∩C[v'']=C[v]となるvがとれることとσ加法性により
A[μ] ∩ B[gh] = A[μ'] ∩ B[gh]
である。ことなるg,hの組に対しB[gh]は互いに排反であるから足し合わせて
A[μ] = A[μ']
である。
Mの各元 m に対し
L(m) = #{i | mの中のi番目のAがi番目のBより前}
とおくと
N(ω) = L(μ(ω))
であるから
P(N = k) = #{m∈M | L(m) = k}/C[2n,n]
である。
ここで任意のkに対し#{m∈M | L(m) = k}はカタラン数C[2n,n]/(n+1)に等しいから主張は示された。
440132人目の素数さん
2018/09/12(水) 01:40:17.70ID:pJvSAofP
>>439
訂正
✕:A[μ] ∩ B[gh] = A[μ'] ∩ B[gh]
◯:P(A[μ] ∩ B[gh]) = P(A[μ’] ∩ B[gh])

✕:A[μ] = A[μ']
◯:P(A[μ]) = P(A[μ’])
441132人目の素数さん
2018/09/13(木) 20:00:27.71ID:amOk7NEq
『辺の長さが全て整数となる直角三角形と二等辺三角形の組の中には、
 周の長さも面積も共に等しい組が(相似を除いて)たった 1 組しかない』

これ、問題はシンプルなんだけど初等的な方法では解けないそうだ
まるでフェルマーの大定理みたいで面白い
442132人目の素数さん
2018/09/13(木) 20:44:50.96ID:nL3Qcqc5
>>441
こういう事?
(直角三角形Ver)
a,b,c,a’,b’,c’が正の整数、a^2 + b-2 = c^2、 a’^2+b’^2 = c’^2、ab = a’b’、a+b+c = a’+b’+c’ ⇒ (a,b,c) =(a’,b’,c’)
(二等辺三角形Ver)
a,b,,a’,b’が正の整数、2a > b、 2a’ > b’ 、b√(a^2-(b/2)^2) = b’√(a’^2-(b’/2)^2) 、2a+b= 2a’+b’⇒ (a,b) =(a’,b’)
443132人目の素数さん
2018/09/13(木) 22:16:49.05ID:CuCKdbHf
いやこうか

a+b+√(a^2+b^2) = 2c + d
(1/2)ab = (1/2)d√(c^2 - d^2/4)
2c>d

をみたす正の整数a,b,c,dの組は一組しかない。
444132人目の素数さん
2018/09/13(木) 22:53:20.15ID:I26RPKIv
>>441
この記事か
http://engineer.fabcross.jp/archeive/180913_keio.html
445132人目の素数さん
2018/09/13(木) 23:20:31.71ID:RZVt7y9v
>>444
うむ、でかした!
446132人目の素数さん
2018/09/14(金) 01:00:10.46ID:fi8phqJc
>>444
この記事の

>種数1以上の代数曲線上の有理点集合の決定」に帰着される問題には、現代でも統一的な解法が知られていない。

これあってる?
種数1=楕円曲線の場合には一応アルゴリズムが発見されてた希ガス。
447132人目の素数さん
2018/09/14(金) 02:38:24.86ID:0c+5G0AL
>>443

ピタゴラス数より
 a = kk-LL,
 b = 2kL,
 c = 6(mm+nn),
 d = 12(mm-nn),
とおく。

 周長/2: k(k+L) = 12mm,
 面積:  kL(kk-LL) = 6(mm-nn)・12mn
辺々割ると
  L(k-L) = 6(mm-nn)n/m,
これらを満たす正の整数の組は
 (k, L, m, n) = (16, 11, 6, 5)
しかない…
 (a, b, c, d) = (135, 352, 366, 132)
448132人目の素数さん
2018/09/14(金) 02:49:56.66ID:pQZEdF1W
とある会社の社長は毎日午後5時に会社を出て自宅からの迎えのクルマに乗って帰る。
ある日、午後4時に退社した。
天気が良かったので、迎えのクルマに出会うまで散歩した。
出会ったところで、クルマはUターンして自宅に戻った。
するといつもより10分早く帰宅した。
何時何分にクルマに出会ったか?

https://cybozushiki.cybozu.co.jp/articles/m000434.html
449132人目の素数さん
2018/09/14(金) 03:09:00.92ID:DRaXi/Az
>>448
4時55分じゃないの?
450132人目の素数さん
2018/09/14(金) 03:46:07.18ID:Mp8Kmtbr
社長歩きすぎww
451132人目の素数さん
2018/09/14(金) 05:06:34.55ID:Inirn2HK
「接近する2人の間を往復し続ける犬が走る距離」の問題のような、面白い発想の解答が存在する…?
452132人目の素数さん
2018/09/14(金) 09:06:52.50ID:nLYHzMrr
成立学園1-F担任の岩崎柾典先生がヤバイ。
成立学園に勤めるのは3年目。
担当科目は数学。
部活は女子テニス部。
何がヤバイというと、2013年4月から2015年3月まで宮前平中に働いていたけど、女子中学生とsexしたことがバレて、飛ばされたから。
今でも教師を続けているのがすごく不思議な感じだよ。
岩崎先生って、ツイッターとFacebookをやってるみたいだから、覗いてみては?

https://m.facebook.com/masaoki.iwasaki.9
https://twitter.com/mas20285
https://twitter.com/keepmathtop
https://twitter.com/kyuuchan_
https://twitter.com/xPuGPq8Tn9GWCJb
https://twitter.com/K46_N700_hikari

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今度はこの問題を解いてみて?
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)
453132人目の素数さん
2018/09/14(金) 12:51:59.33ID:+kqLDApQ
>>448
d:全距離
c:車速
w:歩行速度
t:歩行時間

{5+d/c} - {4+t+(d-wt)/c}=10/60

t = (5 c)/(6 (c - w))
ここから進めなくなった。
454イナ ◆/7jUdUKiSM
2018/09/14(金) 12:59:00.31ID:TIJl1tZs
>>448
いつもより50分帰宅に使う時間が長かった。
つまり社長は50分いつもより長く散歩ができたと喜ぶはずだ、と家から来た頭のいい家来のクルマは計算しいつもより10分早く帰宅するよう走った。
社長は4:00に会社を出たから、クルマと出会ったのは4:50。
~ 人人 ~今日は
~ (_(_)4時あがり
ε(^o^)) だったから
~∩ξ_ノ散歩したよ
(e`) ) )゙わっはっは
UyU⌒Uヾ, ……
~υυ`υυ...カッポカッポ
455132人目の素数さん
2018/09/14(金) 14:17:47.25ID:nkJyrM3C
>>453
社長の歩行時間と歩行速度は関係ない。
散歩した距離 l だけが問題。
ピックアップした時間は5時からl/cだけ前。
通常の車の走行時間 - その日の車の走行時間 = 2d/c - 2(d-l)/c = 1/6。
l/c = 1/12。
まぁ、ちょろっと鉄道のダイアグラム風の図かけば 4:55 なのはすぐわかるけど。
456132人目の素数さん
2018/09/14(金) 14:30:30.89ID:+kqLDApQ
>>455
速攻レスありがとうございました。
457132人目の素数さん
2018/09/14(金) 14:49:11.57ID:+kqLDApQ
社長と車は同時に出発という暗黙の条件があるので

d:全距離
c:車速
w:歩行速度
t:歩行時間

wt+ct=dが加わるかな。
458132人目の素数さん
2018/09/14(金) 15:01:40.41ID:+kqLDApQ
>>457
この暗黙の条件は必要ないな。
459132人目の素数さん
2018/09/14(金) 15:17:33.05ID:LytWWg/t
そんな条件ねーよ
460132人目の素数さん
2018/09/14(金) 15:33:34.49ID:+kqLDApQ
d:全距離
c:車速
w:歩行速度
t:歩行時間
l:歩行距離
l=wt
車の走行時間差から
l/c=wt/c=1/12

{5+d/c} - {4+t+(d-wt)/c}=10/60
に入れると
t=1+1/12-10/60=55/60社長は55分歩いた。
461132人目の素数さん
2018/09/14(金) 17:26:41.09ID:E4BddXGB
難しく考えすぎ。
10分早く帰宅できたってことは、車が会社のビルから片道5分の距離だけ家に近いところで社長を拾っただけのこと。
OK?
462132人目の素数さん
2018/09/14(金) 18:54:37.37ID:+kqLDApQ
>>448
帰宅時刻がいつもより10分早かったという意味?
それとも帰宅に要した時間が10分短かったという意味?
463132人目の素数さん
2018/09/14(金) 19:11:39.61ID:+kqLDApQ
普段は5時に車で帰って7時に自宅到着
今回は4時に歩いて出発、途中から車で自宅到着が6時50分という意味に解釈したんだが、

題意は帰宅に要した時間が10分短い5時50分に自宅到着という意味なのか?
464132人目の素数さん
2018/09/14(金) 19:19:07.64ID:nAmkgSRx
まぁ問題の設定があまりにも非現実的なのも一因かな?
帰りの車が毎日自宅からピッタリ社長の退社時間5:00に会社につくように迎えにくるという設定みたいだけど、実際にそんな事するやつおらんと。
465132人目の素数さん
2018/09/14(金) 19:30:23.44ID:GF0kVG1H
>>448
問題文からは、通常時、五時にクルマに乗っているとは、確定しきれない。つまり、

>>とある会社の社長は毎日午後5時に会社を出て自宅からの迎えのクルマに乗って帰る。

を、「とある会社の社長は毎日午後5時に会社を出て(自宅に向かって歩き出し、その途中)
自宅からの迎えのクルマに乗って帰る。」の様に受け取ることも可能。

「いつもは、5時にスタートする散歩がてらの帰途を、この日は4時にスタートした。(中略)
さて、クルマに乗った時刻は?」
のような問題とも受け取れる。このような解釈をした場合、クルマに乗ったのが4:55とは確定されない。
ただ、社長はいつもより五分早くクルマに乗ったということは言える。
466132人目の素数さん
2018/09/14(金) 19:56:44.81ID:+kqLDApQ
>>465
通常時は5時には車が会社で待っていてそれに乗って帰るでいいんだが、
 10分早く帰宅
の意味が時刻なのか帰宅所要時間なのか判然としない。
5時に歩き始めたでなくわざわざ4時に出発なのでどちらともとれる。
467132人目の素数さん
2018/09/14(金) 20:42:37.18ID:+kqLDApQ
>>466
車の方が徒歩より早いので
所要時間でなく到着時刻が10分早いというのが題意じゃないかな?

帰宅時間のうち車に乗っていた時間が10分短いという意味ではないと思う。
468132人目の素数さん
2018/09/14(金) 20:43:56.59ID:GF0kVG1H
>>466
まず、一番最初にいっておかなければならないが、
普通に解釈すれば、通常は5時にクルマに乗るのだろうし、
帰宅した時刻が10分早かったのであって、所要時間が10分短かったのではないことは
(AIだったら難しいかもしれないが、)人間だったら判る。
あえて、問題にいちゃもんをつけて、楽しんでいることを共通認識にしたいと思う。

>> 10分早く帰宅
>>の意味が時刻なのか帰宅所要時間なのか判然としない。
これは、クルマだけで帰宅するより、散歩+クルマで帰宅した方が、帰宅所要時間が
短かったということを、解釈の選択肢に加えなければならないという事ですよね?
つまり、
散歩の速度 > クルマの速度
を想定していると。( >>463の説明だと、これですよね)

徒歩より、自転車の方が速いし、自転車より、自動車の方が速いのは、小学校でも暗黙の了解だとおもいます。

もし、散歩+クルマで要した時間ではなく、クルマだけで要した時間が10分短かった というような設定の問題
ならあり得ますが、問題文を読む限り、このような設定ではないし...。
10分早いというのは、時刻であって、所要時間とするのは、厳しいかと。
469132人目の素数さん
2018/09/14(金) 20:52:07.07ID:+kqLDApQ
>>468
時刻での計算が

d:全距離
c:車速
w:歩行速度
t:歩行時間

{5+d/c} - {4+t+(d-wt)/c}=10/60

t = (5 c)/(6 (c - w))

まではいいのだが

車の往復走行時間の差が到着時刻の差になるという理由がわからないで困っている。
470132人目の素数さん
2018/09/14(金) 21:14:55.23ID:+kqLDApQ
>>469
c/wでもわからないと歩行時間は確定できないのじゃないかという
最初の疑問、>453に思考が戻ってしまったわけです。
471132人目の素数さん
2018/09/14(金) 21:49:43.23ID:j2UAYPJZ
ダイヤグラムを書くと
普段
A クルマ自宅発
B クルマ会社着=クルマ会社発
C クルマ自宅着

その日
A' クルマ自宅発=A
B' クルマ社長乗せてUターン
C' クルマ自宅着

条件
クルマの速さは至るところ同じと仮定すると、
ABとBCの長さは等しい
AB'とB'C'の長さは等しい
△ABCと△AB'C'は相似
Bの座標は時間成分は5時
CC'=10分
さて、B'の時刻は?
472132人目の素数さん
2018/09/14(金) 23:34:09.16ID:C0b4NuTc
>>471
クルマが同じ時刻に自宅から迎えに出発という前提はないんじゃない?

通常、早めに出発して5時に会社で待機するだろ?
473132人目の素数さん
2018/09/15(土) 00:10:59.61ID:Vl7XZ52q
迎えの車は5時に到着するという暗黙の条件があったのだな。
帰りの時間だけ考えていたから答がみつからなかったのだな。
ようやく納得できました。
474132人目の素数さん
2018/09/15(土) 00:51:04.90ID:YyuEqBCq
松本深志高校出身の山田洋平くん。
毎日ゲームばかりやってたのに、現役で東京理科大学理学部応用数学科に受かってすごいな。
鉄道も趣味らしい。
眼鏡しててピースしてる人が彼。
まさか推薦ではないよね?

https://twitter.com/denkichi369
https://twitter.com/denkichi369_1
https://twitter.com/doit_369
https://twitter.com/keepmathtop
https://twitter.com/EjC0mPe26Nlm92d
https://twitter.com/xPuGPq8Tn9GWCJb
https://twitter.com/K46_N700_hikari

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この問題を解いてみよ!
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)
475イナ ◆/7jUdUKiSM
2018/09/15(土) 01:54:01.05ID:6DLGbKCd
>>454
求める社長とクルマの出会う時刻を4時x分とする。
クルマが自宅会社間y㎞を時速v㎞で等速直線運動する場合、クルマは自宅から会社まで(y/v)時間、往復だと(2y/v)時間いつも走ったはる。
今日クルマはいつもどおり社長を迎えにいったが、自宅から(vx/60)㎞地点で思わず散歩したはる社長に遭遇、「社長、どないしはりましたん!?」
「かくかくしかじか」話は帰りの車の中で、ということで題意よりじきUかましましたんですが、結果的に家にいつもより10分はよ着いたという話。 クルマは(日いいいもと違っては、
)y/v-10/60㎞時間走ったわけだけど、そのちょうど半分の時間で社長に出会ったんで、
(2y/v-10/60)(1/2)=x/60
y/v-5/60=x/60
60y/v=x+5
クルマがいつもどおり時速60㎞で等速直線運動したと仮定すると、
y=x+5
会社から自宅まで55㎞歩いて帰るのはきつい。
x=50(分)
これ以上は特定のしようがない。
476132人目の素数さん
2018/09/15(土) 02:07:52.43ID:EwvmtnHM
a,bを正の定数、x,yを正の実数とするとき
a*(x^2)+b*(y^2)が最小になるのは
x+yが最小になるときである。

↑これって正しいですか?証明すると結構ながくなりますか?
477132人目の素数さん
2018/09/15(土) 02:18:25.08ID:EwvmtnHM
すいませんスレまちがえました
478132人目の素数さん
2018/09/15(土) 07:20:08.63ID:GIF2eLTV
車に着目したら簡単。
浮いた10分は社長に逢った地点から
会社までの往復分なんだから。
その片道は5分だから、
会社到着予定時刻の5分前に社長に逢った。
479イナ ◆/7jUdUKiSM
2018/09/15(土) 08:34:48.22ID:6DLGbKCd
>>478ああ、そうだ。それ正解だと思う。

訂正。前>>475
求める社長とクルマの出会う時刻を4時x分とする。
クルマが自宅会社間y㎞を時速v㎞で等速直線運動する場合、クルマは自宅から会社まで(y/v)時間、往復だと(2y/v)時間いつも走ったはる。
今日クルマはいつもどおり社長を迎えにいったが、自宅から(vx/60)㎞地点で思わず散歩したはる社長に遭遇、「社長、どないしはりましたん!?」
「かくかくしかじか」話は帰りの車の中で、ということで題意よりじきUかましましたんですが、結果的に家にいつもより10分はよ着いたという話。
クルマは今日はいつもと違って、
(2y/v-10/60)時間走ったわけだけど、そのちょうど半分の時間で社長に出会ったんで、
(2y/v-10/60)(1/2)=x/60
y/v-5/60=x/60
60y/v=x+5
クルマがいつもどおり時速60㎞で等速直線運動したと仮定すると、
y=x+5
会社から自宅までは50㎞。x=55(分)
これはありえる。

出会った地点から会社までの距離は、
y-vx/60
社長はx/60時間歩いたから、社長の歩く速さは、
(y-vx/60)÷(x/60)=60y/x-v
4時x分(x/60時間後)、社長は会社から、
(60y/x-v)×x/60=y-vx/60 (㎞)の地点を歩いたはった。
480132人目の素数さん
2018/09/15(土) 08:44:22.13ID:VibLIqgl
>>471
ご丁寧に解説いただいたので、グラフにしてみました。

面白い問題おしえて~な 27問目 	YouTube動画>1本 ->画像>46枚
481132人目の素数さん
2018/09/15(土) 08:49:29.76ID:VibLIqgl
>>479
時速30kmだったり、道路が曲線だったら計算変わる?
482イナ ◆/7jUdUKiSM
2018/09/15(土) 09:45:02.96ID:6DLGbKCd
>>481時速30㎞は遅いね。パパァー!! 鳴らされっで。道は曲線でもいいけど。前>>479
つまりクルマの時速とか自宅会社間の距離とかどうでもいいわけか。


まとめると、
いつもより10分はよ着いたクルマは社長と出会わなんだら社長と出会った地点から会社まで10分で往復できたはず。クルマが社長と出会ったのは会社到着予定時刻5:00(待ち時間なし)の5分前。
∴4:55
483132人目の素数さん
2018/09/15(土) 10:19:13.83ID:Vl7XZ52q
>>482
社長が乗ってないときは時速60kmで社長が乗ったら時速30kmにすると面白いかも。
484132人目の素数さん
2018/09/15(土) 12:26:29.62ID:VibLIqgl
>>483
こんなダイヤグラムになるな

面白い問題おしえて~な 27問目 	YouTube動画>1本 ->画像>46枚
485132人目の素数さん
2018/09/15(土) 12:29:26.11ID:Vl7XZ52q
l:歩行距離
迎えの車速:rv
同乗の車速:v
通常:d/rv+d/v
早退:(d-l)/rv+(d-l)/v
d/rv+d/v - ((d-l)/rv+(d-l)/v)= 10/60
l (r + 1)/rv=10/60
l/v=10/60*r/(r+1)

5+d/v - {4+t+(d-l)/v}= 10/60
1-t+l/v=10/60
t=50/60+l/v=(50+10*r/(r+1))/60

迎えの車速が社長同乗時のr倍とすると
社長の歩いた時間は
 50+10*r/(r+1) 分
486132人目の素数さん
2018/09/15(土) 15:06:24.20ID:Vl7XZ52q
t:歩行時間
l:歩行距離
迎えの車速:rv
同乗の車速:v

通常走行時間:d/rv+d/v
早退時走行時間:(d-l)/rv+(d-l)/v
d/rv+d/v - ((d-l)/rv+(d-l)/v)= 10/60
l (r + 1)/rv=10/60
l/v=10/60*r/(r+1)

5+d/v - {4+t+(d-l)/v}= 10/60
1-t+l/v=10/60
t=50/60+l/v=(50+10*r/(r+1))/60

迎えの車速が社長同乗時のr倍とすると
社長の歩いた時間は
 50+10*r/(r+1) 分
487イナ ◆/7jUdUKiSM
2018/09/15(土) 15:30:03.04ID:6DLGbKCd
>>483実際そんなもんかも。午後4時台はわりと進むと思うけど午後5時台の下りは混む可能性が高い。速度半分はかなりリアルですね。前>>482
488132人目の素数さん
2018/09/15(土) 17:08:30.20ID:Vl7XZ52q
>>484
ABの傾きが60
BCの傾きが-30
CC'=10/60のときHH'を求めよという幾何の問題になるな。
どうすれば簡単に求まるだろ?
489132人目の素数さん
2018/09/15(土) 17:37:35.43ID:VibLIqgl
>>487

リアルさでいうなら、社長は早く帰宅しなければならない用事ができた。
5時に到着するようにクルマが会社に向かっている、社長は自宅に向かって歩きだした
4時30分にクルマと合流した、いつもより何分早く帰宅できるか?

こういう方が現実にはありそう。
490132人目の素数さん
2018/09/15(土) 18:02:29.87ID:Vl7XZ52q
>>489
>486の式の10/60をXに置き換えて
社長の歩行時間をt hourとすると
X= (r + 1) (1- t ) hour早く到着。
491イナ ◆/7jUdUKiSM
2018/09/15(土) 18:06:40.63ID:6DLGbKCd
>>489一時間余裕が生まれたから健康と気分転換のために散歩しよう、電源切って。前>>487このほうが社長らしいと思います。
492132人目の素数さん
2018/09/15(土) 20:47:26.08ID:LMepW5/l
どのような非負整数a,b,cに対しても、下記の方程式を満たす非負整数m,nが存在すると言えるか。
a(m+bn)-cn^2=1
493132人目の素数さん
2018/09/15(土) 20:48:24.35ID:LMepW5/l
>>492
訂正
正しくはam(m+bn)-n^2=1
494132人目の素数さん
2018/09/15(土) 22:07:59.67ID:Vl7XZ52q
>>490
一般化してみた。

歩行時間:t
歩行距離:l
迎えの車速:rv
同乗の車速:v
出発時刻差:s
到着時刻差:X

通常走行時間:d/rv+d/v
早退時走行時間:(d-l)/rv+(d-l)/v
d/rv+d/v - ((d-l)/rv+(d-l)/v)= X
l (r + 1)/rv=X
l/v=X*r/(r+1)

s0+s+d/v - {s0+t+(d-l)/v}= X
s-t+l/v=X

X=(r + 1) (s - t)
t = (r s + s - X)/(r + 1)
495132人目の素数さん
2018/09/15(土) 22:17:09.08ID:LMepW5/l
xyz空間の4点
O(0,0,0),A(1,0,0)B(0,1,0)C(0,0,1)
を頂点とする四面体Vがある。
Vの内部で、領域
2x≧2y^2-1かつ3z≧x^2-2
の内部にもある部分の体積を求めよ。
496132人目の素数さん
2018/09/16(日) 01:18:06.94ID:yOmOmGvY
>>492-493
方程式 x^2+abx-a =0 の解をα,βとしQ(α) = Kとおくと
N(n+mα) = (n+mα)(n+mβ) = n^2 - abmn - am^2。
よってKの基本単数をεとするとき
∃m n n^2 - abmn -am^2 = -1 ⇒ N(ε) = -1。
ここで a=2、b=1のときK=Q(√3)でありε=2+√3、N(ε) = 1ゆえ与式は解を持たない。
497132人目の素数さん
2018/09/16(日) 09:41:27.00ID:iQSIwjej
別スレより
Aをn次交代行列とする。det(A) をその行列式、Pf(A) をPfuffianとする。
このとき

 det(A) = Pf(A)^2

を示せ。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%91%E3%83%95%E3%82%A3%E3%82%A2%E3%83%B3
498132人目の素数さん
2018/09/16(日) 22:19:20.63ID:F9M9l7xY
>>495
誰かこの傑作を解いて
499132人目の素数さん
2018/09/16(日) 22:52:52.67ID:6dAlb6yD
だいたい前スレからの流れだと、これ以上待っても答え出そうになさそうなタイミングで自分が解答貼るのが通例だな。
500イナ ◆/7jUdUKiSM
2018/09/17(月) 02:49:49.68ID:+bylqonv
>>495
V=1/6
正四面体は0≦x≦1の範囲にある。
一方、3z≧x^2-2のx軸上の範囲は、
z=(x^2)/3-2/3のグラフより、
0≦x≦√2
z軸について下に凸だから 、
3z≧x^2-2の領域は正四面体Vを包含する。
同様にx=y^2-1/2のグラフより、
求める物体は正四面体Vを放物面x=y^2-2で切りこみ、x<y^2-1/2の部分を切りとったもの、すなわちy=0の平面からy=1/√2の平面までは三角錘台として求め、y=1/√2の平面からy=(√7-1)/2の平面まではy=tで水平に切った切り口の面積の和として求める。
具体的にはその区間で微分して積分する。

三角錘台は1/6-1/6(1-1/√2)^3
積分区間のy=tにおける断面積は、
1/2(1/2-t^2)^2
積分区間を表す括弧を【】にすると、
(求める物体の体積)=1/6-1/6(1-1/√2)^3+(1/2)∫【1/√2~(√7-1)/2】(1/2-t^2)^2}dx
1/6-1/6(1-1/√2)^3+(1/2)∫【1/√2~(√7-1)/2】(1/2-t^2)^2}dx
=(5√2+6)/24+(1/2)[t/4-t^3/3+t^5/5]【1/√2~(√7-1)/2】
=……ひたすらべつに面白くもない計算をし、
通分して表すと、
=(50√2+1453√7-3757)/240
501132人目の素数さん
2018/09/17(月) 03:40:22.83ID:xEisEVSk
直方体ABCD-EFGHにおいて、
 (△BDE)^2=(△ABD)^2+(△ADE)^2+(△AEB)^2
が成り立つことを示せ
(ただし、△BDEなどはその三角形の面積を表す)
502132人目の素数さん
2018/09/17(月) 12:57:45.00ID:6l7hT17C
正八面体の投影図が六角形となる必要十分条件を求めよ。(ただし平行四辺形の辺上に点が存在するものは平行四辺形とする)
503イナ ◆/7jUdUKiSM
2018/09/17(月) 13:00:23.53ID:+bylqonv
>>500訂正。
放物面x=y^2-1/2
(-2じゃなく-1/2)予測変換してしまうんで。
504132人目の素数さん
2018/09/17(月) 13:36:17.70ID:iDwWzM3i
>>501

4面体ABDE で考える。
 △BDE = (1/2)|↑BD×↑BE|,
を求める。
 A (0, 0, 0)
 B (b, 0, 0)
 D (0, d, 0)
 E (0, 0, e)
とおくと、
 ↑BD = (-b, d, 0)
 ↑BE = (-b, 0, e)

(1/2)↑BD×↑BE = (de/2, eb/2, bd/2) = (⊿ADE, ⊿AEB, ⊿ABD)

これより求める関係が出る。

なお、(1/2)↑BD×↑BE = △BDE ↑n,

 ↑n は平面BDEの法線単位ベクトル。

もちろん、DE^2 = x, EB^2 = y, BD^2 = z とおいてヘロンの公式

 S = (1/4)√{2(xy+yz+zx) -xx -yy -zz},

を使ってもできます。
505132人目の素数さん
2018/09/17(月) 13:47:13.51ID:kitNQFyN
>>501
△BDE、△ABD、△ADE、△AEBの単位法線ベクトルをそれぞれn、e、b、d、平面BDEへの射影像の面積をS、Se、Sb、Sdとする。
 △ABD = (ne)△BDE、△ADE = (nb)△BDE、△AEB = (nd)△BDE
により
 与式右辺 = ((ne)^2 + (nb)^2 + (nd)^2)(△BDE)^2 = (△BDE)^2 = 与式左辺 (∵ n は単位ベクトルで(e,b,d)は正規直交規定)。
506132人目の素数さん
2018/09/17(月) 13:49:28.65ID:kitNQFyN
>>504カブスマ
>>505
間違いじゃないが
>平面BDEへの射影像の面積をS、Se、Sb、Sdとする。
はいらなかった。
507132人目の素数さん
2018/09/17(月) 13:59:07.52ID:iDwWzM3i
>>497

nが奇数なら0、nが偶数のときはパフィアンの2乗になる。

分かスレ446 939-944 を参照。
508132人目の素数さん
2018/09/17(月) 14:00:00.18ID:xEisEVSk
>>504,505
明快ですね
自分が用意してたのは、>>504のように頂点の座標を決めて
△BDEを含む平面x/b+y/d+z/e=1と原点との距離を求め、
四面体ABDEの体積を2通りに表す、という方針でした
509イナ ◆/7jUdUKiSM
2018/09/17(月) 14:38:02.41ID:+bylqonv
1/6=0.166……>(50√2+1453√7-3757)/240=0.6……
おかしい。間違ってる。
>>503
510イナ ◆/7jUdUKiSM
2018/09/17(月) 15:37:41.63ID:+bylqonv
>>509y=tで切った切り口の面積が違った。やりなおしたい。時間をくれないか。
511学術
2018/09/17(月) 15:48:12.76ID:jlhqH3K5
ベクレルが課題。
512132人目の素数さん
2018/09/17(月) 18:29:57.52ID:PkdZ1PhU
>>507
そうです。それを証明して下さいが題意。
wikipediaに載ってる定義どうりにやって力押ししてもできるかもしれませんが、用意の解答は一工夫しました。
自然な問題なのでいろんな面白いルートがありそう。
513132人目の素数さん
2018/09/17(月) 20:20:23.27ID:UGjqumaZ
>>497 >>507
あ、nは偶数です。てかnが奇数のときのPfaffianの定義はしりません。
定義はwikiのサイト
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%91%E3%83%95%E3%82%A3%E3%82%A2%E3%83%B3
によるものとします。
514132人目の素数さん
2018/09/17(月) 22:08:24.85ID:oyf1BTQk
nを2以上の自然数としる。
1~nの自然数を小さい方から並べた順列 1,2,3,……,n を、
次の操作1 or 操作2 を繰り返して n,n-1,……,2,1と逆順にしたい。

[操作1] 隣接する2項を入れ替える。
[操作2] 隣接する3項 x, y, z について(yはそのままで) xとzを入れ替える。

操作を行う必要回数をa[n] とおく。この a[n] を求めたいのです。
例えばn=4のときは
1234 → 3214 →3412 → 4312 → 4321 で4回で行けそうです。

調べると a[2]=a[3]=1, a[4]=a[5}=4, a[6]=a[7]=7, a[8]=14 になるみたい(自信無し)なのですが
一般項は求められるでしょうか。漸化式でも分かればいいのですが。

宜しくお願いします。
515イナ ◆/7jUdUKiSM
2018/09/17(月) 23:50:37.55ID:+bylqonv
>>510
正四面体(V=1/6の三角錘)に放物曲面x=y^2-1/2の切れ目を入れる。点B(0,1,0)を含む一角をとりのぞくだけだから、求める体積は0.15ぐらい。
0≦t≦1/√2の値をとるxy平面と平行な平面z=tで切った切り口の面積をtで表す。
0≦y≦1/√2の範囲は切り口が平面だから角錐台として体積V1を求める。
1/√2≦y≦(√7-1)/2の部分を微分積分。
体積V2=∫【1/√2~(√7-1)/2】{(1-t)-(t^2-1/2)}dt

V1=(1/√2)(1-1/√2)+(1/2)(1/√2)^2+……

(つづく)
516132人目の素数さん
2018/09/18(火) 00:23:52.23ID:DDbX/VPU
>>514
a[6] = 7 はどうやんの?
517132人目の素数さん
2018/09/18(火) 01:32:00.80ID:Jl+kWzy4
色んなやり方ありますがたとえば
123456 → 132456 → 132465 → 136425 → 631425 → 634125 → 634521 → 654321
518132人目の素数さん
2018/09/18(火) 01:38:30.14ID:4du09Zrz
どの面も出るのが同様に確からしい8面ダイスを
独立に2回振った時に少なくとも一回は4の目が出る
確率はいくらですか?

 1..2..3..4..5..6.7..8
1■■■□■■■■
2■■■□■■■■
3■■■□■■■■
4□□□□□□□□
5■■■□■■■■
6■■■□■■■■
7■■■□■■■■
8■■■□■■■■

一回目i,二回目jとして

Ω={(i,j)|1≦i≦8,1≦j≦8}から

#A=64-49=15なので

少なくとも一回は4の目が出る確率は

P(A)=15/64ですか?
519132人目の素数さん
2018/09/18(火) 01:54:40.72ID:uKx/Thq1
次の行列式を計算し、因数分解せよ。
determinant{{ax, az+cx, cz}, {ay+bx, aw+dx+bz+cy, cw+dz}, {by, bw+dy, dw}}
520132人目の素数さん
2018/09/18(火) 01:58:54.74ID:H/WECQa6
>>516
なるほど。
なんか Coxeter Group の reduced expression の理論とかいうのがあるらしいけどそれ使えないのかな?
521132人目の素数さん
2018/09/18(火) 02:03:13.03ID:H/WECQa6
>>519
(%i1) determinant(matrix([a*x,a*z+c*x,c*z],[a*y+b*x,a*w+d*x+b*z+c*y,c*w+d*z],[b*y,b*w+d*y,d*w])),factor;
(%o1) (a*d-b*c)*(b*z+c*y-d*x-a*w)*(y*z-w*x)
522イナ ◆/7jUdUKiSM
2018/09/18(火) 02:05:40.00ID:1O5/8SmF
>>515
z=t平面の切り口の面積を、
0≦t≦1/√2の範囲で積分し、あとの部分は三角錘台として求める。
z軸に垂直な面でスライスすれば、積分区間は0~1/√2でいいことに気づいた。
放物曲面の屋根がついた部分=∫【0~1/√2】{(1-t)-t^2-1/2)dt
=[3t/2-t^2/2-t^3/3]【0~1/√2】
=(2√2)/3-1/4
三角錘台=1/6-1/2√2
V=(2√2)/3-1/4+1/6-1/2√2
=0.152368927……

あってる。
523イナ ◆/7jUdUKiSM
2018/09/18(火) 02:31:32.09ID:1O5/8SmF
>>522
通分したかたちで表すと、
V=(2√2)/3-1/4+1/6-1/2√2
=(5√2-1)/12
≒0.5……
あってない。Googleの演算順序が読みちがえていい値になっただけ。
524132人目の素数さん
2018/09/18(火) 03:08:29.08ID:uKx/Thq1
>>521
手計算で出せる人間いるのかな?
525132人目の素数さん
2018/09/18(火) 04:41:58.58ID:VmGjAMY2
>>508

頂点Aから平面BDEまでの距離をhとする。

4面体A-BDEの体積Vは
 V = (b/3)⊿ADE = (d/3)⊿AEB = (e/3)⊿ABD = (h/3)△BDE,

(右辺) = (⊿ADE)^2 + (⊿AEB)^2 + (⊿ABD)^2 = (3V/b)^2 + (3V/d)^2 + (3V/e)^2,

(左辺) = (△BDE)^2 = (3V/h)^2,

ところで h = 1/√(1/bb + 1/dd + 1/ee) だから成立。
526132人目の素数さん
2018/09/18(火) 06:19:38.19ID:VmGjAMY2
>>524

[ax, az+cx, cz]
[ay+bx, aw+bz+cy+dx, cw+dz]
[by, bw+dy, dw]

  ||

[a, c, 0, 0] [x, z, 0]
[b, d, a, c] [0, x, z]
[0, 0, b, d] [y, w, 0]
       [0, y, w]

  ||

[a, 0, c, 0] [x, z, 0]
[b, a, d, c] [y, w, 0]
[0, b, 0, d] [0, x, z]
       [0, y, w]

では 出ませぬ^^
527132人目の素数さん
2018/09/18(火) 06:35:28.90ID:uKx/Thq1
>>526
結果から、行列の積に書き直してからdet計算するのかと思ったけど、3次行列だった…。
528132人目の素数さん
2018/09/18(火) 06:38:51.57ID:VmGjAMY2
>>526 の続き

 [a, c, 0, 0]
 [b, d, a, c]
 [0, 0, b, d]
の任意の3列からなる正方行列は、1行目 or 3行目の非0成分が1個だけで
 [a, c] = ad-bc
 [b, d]
を因子にもつ。
同様に
 [x, z, 0]
 [y, w, 0]
 [0, x, z]
 [0, y, w]
の任意の3行からなる正方行列は、1列目 or 3列目の非0成分が1個だけで
 [x, z] = wx-yz
 [y, w]
を因子にもつ。

∴ (ad-bc) ( ????? ) (wx-yz) の形になるのは分かるが…
529132人目の素数さん
2018/09/18(火) 07:24:09.24ID:jt6dJF0A
>>514
a[7]=7 はどうやるの?
530132人目の素数さん
2018/09/18(火) 11:48:44.48ID:uKx/Thq1
次の行列式を計算し、因数分解せよ。
determinant{{a, b, c, 0}, {y, x, 0, -c}, {z, 0, -x, -b}, {0, -z, -y, -a}}

これも手計算は無理?
531イナ ◆/7jUdUKiSM
2018/09/18(火) 13:11:40.78ID:1O5/8SmF
積分する区間をもっと限定できる。前>>523
P(0,1/√2,0)
Q(0,1/√2,1-1/√2)
R(1-1/√2,1/√2,0)
S((3-√7)/2,(√7-1)/2,0)
T((3-√7)/2,1/√2,0)
物体PQRSのうち、放物曲面PQSを持つ物体PQSTの部分のみ微分積分する。
(つづく)
532132人目の素数さん
2018/09/18(火) 13:25:52.02ID:B1WJ6rBc
>>530
それは1列目と4列目、2列目と3列目ひっくり返して>>497でいける。
533132人目の素数さん
2018/09/18(火) 18:02:58.18ID:PmqjCaim
>>514,520

あかん。s[1]=(12)、…、s[n-1]=(n-1 n)、t[1]=(13)、…t[n-2]=(n-2 n)で(s[i]s[i+1])^3 = 1、(s[i]t[i])^3=1、…全部いれてもCoxter Systemにならん。
なのでもちろん reduced expression の理論もつかえない。
なので解けるにしても一般論は使えず、ゴリゴリやるしかなさそう。
534イナ ◆/7jUdUKiSM
2018/09/18(火) 18:53:58.62ID:1O5/8SmF
座標を整理する。
P(0,1/√2,0)
Q(0,1/√2,1-1/√2)
R(1-1/√2,1/√2,0)
S((3-√7)/2,(√7-1)/2,0)
T((3-√7)/2,1/√2,0)
放物曲面を平面z=tで切ったときのQSとの交点をUとすると、
U((3-√7)t/(2-√2)+(3-√7)/2,√(t+1/2),t)

三角錘台PQR-OCA=1/6-1/6(1-1/√2)^3
=(7√2)/24-1/4――①

三角錘台PQR-OCAより上の部分のうち平面のみで囲まれた部分QRST=(1/3)(1/2){1-1/√2-(3-√7)/2}{(√7-1)/2-1/√2}(1-1/√2)
=(1/6)(√7-√2-1)/2}{(√7-√2-1)/2}{(2-√2)/2}
=(8-3√2-√14)/48――②
三角錘台PQR-OCAより上の部分のうち放物曲面PQSの屋根を持つ部分=∫【0~1-1/√2】(3-√7)t/(2-√2)+(3-√7)/2-(t^2-1/2)}dt
=∫【0~1-1/√2】{(3-√7)t/(2-√2)+(4-√7)/2-t^2}dt
=[(4-√7)t/2+(3-√7)t^2/2(2-√2)-t^3/3]【0~1-1/√2】
=35/12-(19√2)/24-(7√7)/4+(3√14)/4――③

①+②+③=17/6-(27√2)/48-(7√7)/4+(35√14)/48
=0.136065255……

>>531頂点B付近を意外と大きくえぐってくるな。
問題>>495禿げたくない。
535132人目の素数さん
2018/09/18(火) 21:47:37.31ID:i+qJz8xt
>>514,529
a[7]=7 にはならない。なぜなら、
順列7654321は転倒数が21であり、操作1,2は転倒数を高々それぞれ1,3しか増加させないので、
操作数が7なら、すべて操作2でなくてはならないが、この場合、互いに独立した1357と246の隣接互換での操作に等しい。
それぞれ7531と642にする操作数は、それぞれ6,3なので、合わせて9となり、矛盾する。
また、順列7654321は置換として奇置換であり、操作1,2も奇置換であるから、操作数は奇数。
したがって、上のすべて操作2の場合が最小となり、a[7]=9。
PCにやらせた結果も、a[7]=9。
PCの結果は、a[2]=a[3]=1, a[4]=a[5]=4, a[6]=7, a[7]=9, a[8]=14, a[9]=16。
(a[9]=16 出すのに数時間かかった。)
536132人目の素数さん
2018/09/18(火) 21:49:30.43ID:i+qJz8xt
>>514
根拠は薄弱だが、下のような n-1個から始まる階段状の○に
┏━を最大限敷き詰めたときの、

┏━と○の個数の合計が、a[n]であると予想する。


n=8の場合:
○○○○○○○
○○○○○○
○○○○○
○○○○
○○○
○○

に最大限敷き詰めて、
┏━┏━○┏━
┃○┃┏━┃
┏━○┃○
┃○┏━
┏━┃
┃○

で、a[8]=7+7=14。

これがもし正しいなら、n=2k+1のとき a[n]=k^2、n=2kのとき a[n]=k^2 - 2[(2k-1)/5]。
ただし、[]はガウス記号(floor関数)。

実際 n=16のとき上の式で a[16]=64-6=58 であるが、下のように58回でできる:
(56)(45)(67)(34)(56)(78)(bc)(ab)(cd)(8a) (68)(ac)(46)(8a)(ce)(24)(68)(ac)(ef)(12)
(46)(8a)(ce)(fg)(24)(68)(ac)(ef)(46)(8a) (ce)(68)(ac)(8a)(34)(56)(78)(45)(67)(56)
(ab)(cd)(bc)(13)(35)(13)(24)(ce)(eg)(ce) (df)(78)(ab)(8a)(68)(89)(9b)(79)。
ここで、()は互換(操作1,2を表す)で、10~16をa~gとした。
最小回数であることは確かめていない。(簡単にできる方法ある?)
537学術
2018/09/18(火) 23:10:13.17ID:bdccv7Cm
しかし穴埋め問題なんて見りゃわかるだろうさ。独りよがりでない事。
538学術
2018/09/18(火) 23:13:04.59ID:bdccv7Cm
不自然さを競うなよ。理系頭脳は秩序だったフィクションだと世界を気付かない。
539132人目の素数さん
2018/09/18(火) 23:36:35.93ID:Fj5Ev5sJ
>>536
その “敷き詰め” から逆順に持っていく “置換” はどう対応してるんですか?
540132人目の素数さん
2018/09/18(火) 23:41:45.83ID:hNCQZTmT
あ、わかった┌が一個飛びの置換で◯が隣接する置換か。
でもその “敷き詰め” の “┌” と “◯” の合計が

>n=2k+1のとき a[n]=k^2、n=2kのとき a[n]=k^2 - 2[(2k-1)/5]

になるのは何故ですか?
541132人目の素数さん
2018/09/19(水) 04:38:55.67ID:xWCfGFrt
正八面体Kの各辺の中点を通る球C、Vの内接球Dを考える。
Kの外側かつCの内部である領域の体積(すなわち、8つの閉領域の和集合の体積)をVとおくとき、Dの体積とVの大小を比較せよ。
542132人目の素数さん
2018/09/19(水) 08:00:10.05ID:FaK0ssKS
慶應義塾大学の大学院生が発見、世界でたった一組の三角形
https://univ-journal.jp/22743/?show_more=1
これまで知られていなかった定理の証明に成功

辺の長さが全て整数となる直角三角形と二等辺三角形の組の中には、
周の長さも面積も共に等しい組が(相似を除いて)たった1組しかない。
これまで知られていなかった定理の証明に成功した。
543132人目の素数さん
2018/09/19(水) 08:23:55.03ID:hJ1rl5wX
>>542
>>441
544132人目の素数さん
2018/09/19(水) 08:55:36.98ID:4b08hYvS
「同じ長さの針金が二本ある。
 一本の針金を、2箇所の有理点で切り(※)、三角形状に並べたら直角三角形になった。
 もう一本の針金を、別の2箇所の有理点で切り、三角形状に並べたら二等辺三角形になった。
 偶然にもこの二つの三角形の面積が等しくなった。
 さて、この二本の針金、どのような長さに切ったか?」

初見では「そんなもの、いくらでもあるだろう」「確定できるの?」等と思うと思うが、
実は、ユニークな答えが存在する立派な問題だった、ようだ。この点は面白い。

※:針金全体の長さを1としたとき、切り分けた針金の長さが有理数になるような切り方。
545132人目の素数さん
2018/09/19(水) 08:56:01.99ID:hjAe7KFT
アンドリュー・ワイルズ  フェルマーの最終定理を証明

グリゴリー・ペレルマン  ポアンカレ予想を解明

望月新一          ABC予想を証明

ヴォルフガング・ハーケン 四色問題を証明
546132人目の素数さん
2018/09/19(水) 11:37:28.33ID:OD14AjpY
>>514
奇数のときは外出の答えでいいみたい。
偶数のときがムズい。
547132人目の素数さん
2018/09/19(水) 11:42:10.41ID:Z3PLanp/
なんだよ外出って?どこ行くんだよ、ああ?
548132人目の素数さん
2018/09/19(水) 11:44:49.60ID:0dtRTn7i
概出の書き間違いでしょ
549132人目の素数さん
2018/09/19(水) 12:06:30.28ID:OD14AjpY
>>546
撤回。奇数でもムズい。ギブ。
550132人目の素数さん
2018/09/19(水) 12:15:41.64ID:OD14AjpY
うん、やっぱり無理。>>514は出来たら論文級やね。一抜けた。
551イナ ◆/7jUdUKiSM
2018/09/19(水) 12:22:01.90ID:dCVYbNeW
>>542
377+352+135=864
366×2+132=864
>>534こちらは解答待ちです。
(1/2)(352×135)=23760
66×√(366^2-66^2)=23760
たまたま一つみつけたんじゃないの? ほかにないことをどうやって示したの?
552132人目の素数さん
2018/09/19(水) 12:44:19.43ID:J/Jlclj7
>>514
俺はコンピュータアルゴリズムが専門なんだけど、操作1だけで考えるとソートアルゴリズムなんで、
x,y,z
x,z,y
z,x,y
z,y,x
の試行を操作2で置き換えると考えてみたらうまくいきそう。
553132人目の素数さん
2018/09/19(水) 13:29:32.09ID:QW/ibDMV
>>522
と思ったんだけど結構ムズいよ。
操作1だけで全ひっくり返しを最低何回で表示できるか?っていうのはCoxeter Groupのlongest elementのreduced expressionを求める問題として古くからもあり、結果もでてる。
結果は1~nの文字を操作1だけで全ひっくり返す必要回数はn(n-1)/2。
操作2は操作1を3回で表示できるから最低でも┌n(n-1)/6┐は必要だとわかる。(┌ ┐はceiling、切り上げ関数。)
この回数での解が見つかれば終わりで、nが小さいときにはそういう解があるんだけどnが大きくなるとトタンに無理。
となると必要回数の評価はCoxeter Groupの理論が使えない。
それで操作2も含めてCoxeter Systemの中に組み入れられないかとも思ったけど残念ながら操作2を含めるとCoxeter Systemにならない。
で、既存の理論使うのは無理。
となると必要最低回数(=下からの評価)が激ムズになる。
結局のところ「おお、こんな回数でできるんや。きっとこれが最小回数。でも証明できんなぁ。」まではいっても、そこまでの尻切れトンボで終わる可能性しか見えない。
数学やってるとそういうのイヤなんだよねぇ。前にあった8面体の話と同じ運命を辿るっぽい。
554132人目の素数さん
2018/09/19(水) 13:41:14.17ID:J/Jlclj7
奇数偶数の話もあったけど、
1,3,5,7,9
2,4,6,8,10
というふうに分ければ操作2は操作1になる。どうにかならんか?
555132人目の素数さん
2018/09/19(水) 16:13:49.45ID:wiQUfdGa
abcd
1342
1324
1423
1432

4132
4231
4123
2314
2413
2341
2431
3142
3241
3214
3124

これに一つ足りないabcdの組み合わせは何ですか?
556132人目の素数さん
2018/09/19(水) 18:14:01.27ID:E6LIP1oB
>>554
そう、それが最初に考えたことでたとえばn=9のとき13579と2468それぞれにわけて考えて
(13)(35)(57)(79)(57)(35)(13) (35)(57)(35)
(24)(46)(68)(46)(24) (46)
はそれぞれ13579と2468の総ひっくり返しのreduced expressionになってる。
実際 5・4/2 + 4・3/2 = 16 で置換群の Longest Element の公式とピッタリ。
しかし、問題はそこじゃない。
これがホントにこれ以上短い表現を持たないかどうか。
一般論が教えてくれるのは奇数は奇数、偶数は偶数で一個飛ばしの交換しか使わない場合にはこれが最短というだけ。
隣接する交換を使ったらもっと短くなる可能性を否定できない。
ただ、多分これが最短の表示だとは思う。
証明に一般論使えないだけで。
奇数のときはこれでなんとかなるかもしれないけど、偶数の場合はなぁんも思いつかん。
557132人目の素数さん
2018/09/19(水) 18:38:35.63ID:J/Jlclj7
>>556
さっき確かめたらa[6]で操作1を使った最短パターンが出ててたわ。
操作2だけじゃ最短にならない。
558132人目の素数さん
2018/09/19(水) 19:07:50.53ID:RUIjKzd7
>>557
偶数のときは必然的に最低でもn/2回の操作1が必要であることはわかる。
なぜなら偶数のときは1→n、2→n-1…と奇偶を変えないといけないから。
操作2は奇偶を変えないので操作1は絶対必要。
操作1一回につき奇偶を変えられるのは2つなので最低n/2回の操作1が必要なのはわかる。
で、話が(12)(34)(56)…(n-1 n)やったあとに、あとは操作2だけでなんとかなるならまだいいんだけどn=4、6ぐらいで確かめると、そうはいかない事がわかるのでもうお手上げ。
勘でゴチャゴチャやれば “多分これじゃね?” ってのが出てくるかもくらいが関の山。
それが最簡表示であることを証明できる気はとてもしない。
nが奇数で操作2だけでなんとかなる場合ならできるかもしれないけど。
少なくとも掲示板で暇つぶしに解くレベルの問題じゃない希ガス。
559イナ ◆/7jUdUKiSM
2018/09/19(水) 21:12:42.92ID:dCVYbNeW
もしたった一つに決まるなら、
a^2=b^2+c^2
bc/2=(d/2)√{e^2-(d/2)^2}
a+b+c=d+2e

この3式で未知数5つ。あとa~eが2以上の自然数ってことぐらい。一つに決まるには条件が足りなくない?
>>551逆に条件が足りてるなら方程式で解いてくれよ。
560132人目の素数さん
2018/09/20(木) 04:16:16.04ID:7+n0UQHR
>>559
直角⊿の直辺を a, b とし、二等辺△を二等分した直角⊿の斜辺をc, 底辺をd' とする。

周長: a+b + √(aa+bb) = 2c + 2d'
面積: (1/2)ab = d'√(cc-d'd')   (c>d')
となる。 >>443

ピタゴラス数を
 a = kk-LL,
 b = 2kL,
 c = 6(mm+nn),
 d' = 6(mm-nn),
とおけば、
 周長/2: k(k+L) = 12mm,   …… (1)
 面積:  kL(kk-LL) = 6(mm-nn)・12mn
辺々割って
 L(k-L) = 6(mm-nn)n/m,   …… (2)

これらを満たす正の整数の組は (k, L, m, n) = (16, 11, 6, 5) しかないという…
  >>447
561イナ ◆/7jUdUKiSM
2018/09/20(木) 07:54:33.81ID:NGgbPn0s
>>559
a^2=b^2+c^2
bc/2=(d/2)√{e^2-(d/2)^2}
a+b+c=d+2e
>>560わかりました。ここから16、11、6、5という数字を導きたいと思います。
いずれも吉数ですね。しかもかなりの大吉数。

a^2=b^2+c^2
bc/2=(d/2)√{e^2-(d/2)^2}
√(b^2+c^2)+b+c=d+2e

つづく……。
562132人目の素数さん
2018/09/20(木) 16:17:59.42ID:inhvJQZo
>>536
「○と┏」 の話は 逆順化の操作とどのように対応しているのでしょうか。

アイデアというか概略を教えて下さい
563132人目の素数さん
2018/09/20(木) 17:41:21.98ID:Ajky0sy3
半径が等しい2つの円CとDを、CとDの交点がちょうど2つとなるように空間に配置する。
このとき各円は、その交点を境に短い弧と長い弧に分かれる(分かれた弧の長さが等しい場合、どちらを短い弧としてもよい)。
短い弧同士、長い弧同士の長さはそれぞれ等しいことを証明せよ。
564132人目の素数さん
2018/09/20(木) 18:21:27.27ID:PyzagyfR
>>563
グラフ書いて交点を結ぶ直線を中心に対称というのじゃだめ?
565132人目の素数さん
2018/09/20(木) 19:04:38.49ID:W+nuqQRz
C(もしくはD)を、交点を結ぶ直線まわりに回転させて同一平面にのせないとダメでね
566132人目の素数さん
2018/09/20(木) 19:35:23.14ID:CBHJ7d6o
>>565
じゃあ、回転移動で重ねればいいってことか。
567132人目の素数さん
2018/09/20(木) 20:32:59.50ID:pG3+oaY5
>>444の記事の論文ってどこに掲載されるの?もう手に入る?だれか手に入れた?
568132人目の素数さん
2018/09/20(木) 20:38:04.18ID:tRde1W/e
>>540
> >n=2k+1のとき a[n]=k^2、n=2kのとき a[n]=k^2 - 2[(2k-1)/5]
> になるのは何故ですか?
すまん。特定の敷き詰め方で考えていたので、間違ってますね。

n=2k+1のとき、操作2だけでk^2回でできるけど、操作1も使うと回数を減らせるのかが、関心事。
n=15のとき、「○と┏」では43回でできる予想になるけど、どうなのか。

>>562
隣接互換での逆順化(reduced word)は階段状のタブローの標準版あるいはbalanced tableauに対応するので、
階段状のタブローで考えて、nが9以下で数が合ったので、それっぽいかなと思っただけです。
いろいろ試して、「○と┏」から単純に作った標準版からは直接問題の逆順化には対応しないことが分かったので、予想は間違ってそう。

参考論文
Balanced tableaux
https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0001870887900636
569132人目の素数さん
2018/09/20(木) 23:29:08.08ID:ir0WpWQ+
>>563
n=15のとき43個の◯と┌での敷き詰めがあるという事?
どんな敷き詰めですか?
570132人目の素数さん
2018/09/21(金) 01:05:25.74ID:e6rI4s7l
>>569
┏━○┏━○┏━○┏━○┏━
┃┏━┃┏━┃┏━┃┏━┃
○┃┏━┃┏━┃┏━┃○
┏━┃┏━┃┏━┃┏━
┃┏━┃┏━┃┏━┃
○┃┏━┃┏━┃○
┏━┃┏━┃┏━
┃┏━┃┏━┃
○┃┏━┃○
┏━┃┏━
┃┏━┃
○┃○
┏━


塊のまんまで┌を移動させる規則を作ればできそうな気もしてきた。
571132人目の素数さん
2018/09/21(金) 01:41:21.45ID:ipgK9BRD
>>570
thx
┌─
│◯

│├┤│
├┤├┤
│├┤│
を操作2回
├┼┤│
│├┼┤
で実現できるので大丈夫だけど
┌─
│┌─
 │◯

│├┤├┤│
├┤├┤├┤
│├┤├┤│
を操作3回で実現できるという意味だと思いますができます?
572132人目の素数さん
2018/09/21(金) 12:42:29.36ID:b65ucfBh
>>447 >>560

ピタゴラス数を
 a = i(kk-LL),
 b = i(2kL),
 c = j(mm+nn),
 d' = j(mm-nn),
とおけば、
 ik(k+L) = 2jmm,    …… (1)
 iL(k-L) = j(mm-nn)n/m, …… (2)
 gcd(i, j) = 1,     …… (3)

これらを満たす正の整数の組は (i, j, k, L, m, n) = (1, 6, 16, 11, 6, 5) しかない…
573132人目の素数さん
2018/09/21(金) 16:22:16.43ID:b65ucfBh
半径が等しい2つの円CとDを、CとDの交点がちょうど3つとなるように空間に配置する。

無理だろうな。
574132人目の素数さん
2018/09/21(金) 18:58:01.97ID:NuyD1SeT
ジョーカーを除いたトランプ52枚の中から1枚の
カードを抜き出し、表を見ないで箱の中にしまった
そして、残りのカードをよく切ってから
3枚抜き出したところ、3枚ともダイヤであった
このとき、箱の中のカードがダイヤである確率はいくらか
575132人目の素数さん
2018/09/21(金) 19:04:27.89ID:5gy9lheO
箱の中のカードがダイヤとはどういうことか
576イナ ◆/7jUdUKiSM
2018/09/21(金) 21:19:58.61ID:drfzqsLH
>>574
1/4
∵52枚のカードから1枚引くとき、52枚のうち13枚はダイヤだったから
577イナ ◆/7jUdUKiSM
2018/09/21(金) 21:26:33.08ID:drfzqsLH
>>576訂正。前の前>>561
>>574
1/4
∵52枚のカードから1枚引くとき、52枚のうち13枚はダイヤだったから
578132人目の素数さん
2018/09/21(金) 21:35:38.11ID:u3X4Ifqb
これが有名なシュレディンガーのダイヤか。。
579イナ ◆/7jUdUKiSM
2018/09/21(金) 22:38:44.33ID:drfzqsLH
>>577
そのダイヤがどんなダイヤだろうと関係ない。ましてや有名か否かなど。

52枚のうち13枚はダイヤ。それがトランプのルール。

引いたあと箱の中のカードが影響を受けるならそれはマジック。
580132人目の素数さん
2018/09/22(土) 00:11:57.64ID:o6fBynpB
>>579

ジョーカーを除いたトランプ52枚の中から1枚の
カードを抜き出し、表を見ないで箱の中にしまった
そして、残りのカードをよく切ってから
13枚抜き出したところ、13枚ともダイヤであった
このとき、箱の中のカードがダイヤである確率はいくらか
581132人目の素数さん
2018/09/22(土) 00:27:50.92ID:Mhmq7VtT
>>574
10/49
582132人目の素数さん
2018/09/22(土) 00:37:02.39ID:3QVpguls
>>579
最初に1枚を引いた時点では1/4だけど、その後残りのカードの情報を知ったら可能性は絞られるんじゃない
583132人目の素数さん
2018/09/22(土) 00:38:50.94ID:3QVpguls
箱の中のカードは影響を受けない
が、確率は観測の影響を受ける
584132人目の素数さん
2018/09/22(土) 00:44:09.96ID:ctBQxeJa
>>571
考えている対応関係は>>568の論文のFig.5.2のようなもので、○と┏の位置が直接あみだくじの横棒の位置に対応していません。

例えば下のものに数を入れて標準盤もどきにして
┏━○
┃○


114
13


114④
13③
2②

  ↓
11□③
13④
2②

  ↓
□11③
□1②
2④

  ↓
□11③
□1②
□①

  ↓
□□□①
□□②
□③


というような感じで
①②③④
├┼┤│
││├┤
│├┤│
├┤││
④③②①
に対応しないかなあ、と考えています。
585132人目の素数さん
2018/09/22(土) 00:46:16.95ID:cnafI+Ld
単純に場合分けすればいい。
場合分けの確率も考慮して。
586132人目の素数さん
2018/09/22(土) 01:13:07.94ID:mNByRw8N
>>536
とりあえず
>n=2kのとき a[n]=k^2 - 2[(2k-1)/5]。
だとa[10] = 23になるけどn=10で21回の解があった。

import Data.Ratio
import Data.List

exchange (i, j) x = let
(a,b) = (min i j,max i j)
in
(take (a-1) x) ++ [x!!(b-1)] ++ (drop a $ take (b-1) x) ++ [x!!(a-1)] ++ (drop b x)

apply exs ns = foldr exchange ns exs

exs3 = [(5,7),(3,5),(5,6),(6,8),(4,6),(6,7),(7,9),(5,7),(2,3),(3,5),(5,7),(7,9),(1,3),(3,4),(4,6),(6,8),(8,10),(6,8),(4,6),(2,4),(1,2)] :: [(Int,Int)]

main = do
print $ apply exs3 [1..10]
print $ length exs3
―実行結果―
[10,9,8,7,6,5,4,3,2,1]
21
587132人目の素数さん
2018/09/22(土) 04:03:54.10ID:5SVHXwna
>>574
>>581と同じ結果になった。
高1で習うただの条件付き確率

(あと、ノイズの相手をして増幅するのはやめてほしい>各位)
588132人目の素数さん
2018/09/22(土) 05:25:43.00ID:OM3JlOD/
kを正の整数の定数として
山札からダイヤがn枚抜き出された時の
n=3の時にq=10/49になる関数を発見しました

5≦k≦15の範囲において以下の式が成り立つ

ダイヤである確率は

∵q=1-{{165n-(k-4)n^2+351}/(208n-kn^2+468)}

k=7,n=3の時q=10/49

k=7,0≦n≦13の範囲において

1/4
52/223
187/856
10/49
25/132
232/1333
77/488
74/527
205/1684
20/197
7/88
106/1909
19/652
589132人目の素数さん
2018/09/22(土) 10:00:34.86ID:1l7cVLlo
いや、普通に

事象A:箱の中のカードがダイヤ
事象B:残りから3枚引いたら全てダイヤ

P(B)
=(1/4)*(12/51)*(11/50)*(10/49)+(3/4)*(13/51)*(12/50)*(11/49)
=1320/(4*49*50*51)+5148/(4*49*50*51)
=6468/(4*49*50*51)

P_B(A)
=P(A∧B)/P(B)
={(1/4)*(12/51)*(11/50)*(10/49)}/{6468/(4*49*50*51)}
=1320/6468
=10/49

んにゃぴ…
590132人目の素数さん
2018/09/22(土) 10:31:45.18ID:ctBQxeJa
>>586
すばらしい。よく見つけましたね。

次の21個の敷き詰め方があるので、予想の反例とはならないですね。
┏━○┏━○┏━○
┃┏━┃┏━┃○
○┃┏━┃┏━
┏━┃┏━┃
┃┏━┃○
○┃┏━
┏━┃
┃○


>n=2kのとき a[n]=k^2 - 2[(2k-1)/5]。
>>568で言ったように、その式は間違いでした。

n=16まで描いてみたところ、次のようになりそうです:
a[1]=0, a[2]=1, a[3]=1, a[4]=4, a[5]=4, a[6]=7, a[7]=9,
n≧8のとき、a[n] = n(n+3)/6 + 2 (n≡0 mod 3), (n-1)(n+4)/6 (n≡1,2 mod 3)
591132人目の素数さん
2018/09/22(土) 10:36:51.84ID:yCmk73wm
D:ダイヤの枚数、H:それ以外のスートの枚数

抜き取ったn枚が全部ダイヤのとき

T=D+Hとして


求める確率pは ( choose(n,r)は組み合わせnCr = n!/((n-r)!*r!)

p=(D/T * choose(D-1,n)/choose(T-1,n)) /((D/T * choose(D-1,n)/choose(T-1,n)) + H/T * choose(D,n)/choose(T-1,n))

展開して整理すると

=(D-n)/(D+H-n)

D=13 H=39 n=3  なら p= 10/49
592132人目の素数さん
2018/09/22(土) 11:38:21.07ID:ctBQxeJa
>>586,590
n=10で19回(最小)のものが見つかりました。(予想では21回が最小)
よって、>>536の予想は非成立です。残念。
a[10]=19 です。
[(1,3),(2,4),(3,5),(1,3),(5,7),(4,5),(7,9),(5,7),(3,5),(2,3),(9,10),(7,9),(5,7),(3,5),(1,3),(7,8),(5,7),(3,5),(5,6)]
593132人目の素数さん
2018/09/22(土) 11:58:01.25ID:Vi+U3TOW
>>592
a[10] ≧ 19 は証明済みですか?
あとその shape は19個以下の◯と┌でタイリング出来ないことも証明済みですか?
594イナ ◆/7jUdUKiSM
2018/09/22(土) 16:22:13.18ID:kyhuudxO
>>580わかった。13枚ダイヤが出たら箱の中にダイヤがある確率は0。ダイヤ3枚はあとの人のために引かなかったことになる。>>574つまり分母が52-3で、分子が13-3。10/49
_∥∩∩]∥◇|∩∩_∥
∩((-。-)。∥>/( (`。)∩
(^)(っ[ ̄]∥/(υυ( 
 ̄)「 ̄ ̄]∥_υυ/( ̄
)_)□/UU[∩∩_/∩∩(_
~~ ~/_/(__)(^)_)~ ~ ~~~ ~~~ ~~~ ~~~ ~~~~ ~~~ ~~~ ~ ~ ~ ~ 前>>579
595132人目の素数さん
2018/09/22(土) 16:52:58.88ID:nx/h/NAd
平方数のフィボナッチ数は144しかないことを証明せよ。
596イナ ◆/7jUdUKiSM
2018/09/22(土) 22:17:18.43ID:kyhuudxO
>>595
フィボナッチ数列を漸化式、
an+1=an-1+an
a1=a2=1
(n≧2、Zэn nは2以上の整数)とおくと、
a1=1=1^2
a12=144=12^2
この漸化式のグラフをxy平面に描くと、
y=x^2のグラフは、
(x,y)=(1,1)で漸化式のグラフと一致し、xが増加するにしたがってずっとyの値が上にあり、(x,y)=(12,144)でふたたび一致。以降はxがいくら増加しようとも永遠にyの値が下にあるグラフを描く。
1=1^2であるが、n≧2の整数であるから考えなくてよい。
∴ 12^2=144のみが題意を満たす
597132人目の素数さん
2018/09/22(土) 22:36:43.31ID:xKGCFcHf
赤玉、青玉、白玉がk個ずつある。
これら3k個の玉を数珠状に並べるとき、
「どの連続した3個の玉の並びについても、赤玉、青玉、白玉が全て含まれることはない」
ような並べ方の総数をkで表せ。
598132人目の素数さん
2018/09/22(土) 22:48:03.03ID:0FZwTfrH
>>597
回転、反転で一致するのは同一視するの?
599132人目の素数さん
2018/09/22(土) 23:04:31.64ID:4iHvTstY
>>596
0点。
600132人目の素数さん
2018/09/23(日) 00:14:21.34ID:ovyQ7zqo
>>595
α=(1-√5)/2、β=(1+√5)/2とし、Fn = (β^n-α^n)/(β-α)、Ln = β^n+α^n)とおく。
帰納法により
Lnは9の倍数⇔n ≡ 6 (mod 12)。
nが3の倍数でない偶数→Ln ≡ 3 (mod 4)。
また
Fm + Fn = FuLv (u = (m+n)/2、v=(m-n)/2)
であるから m-n = 2ik のとき
Fm ≡ (-1)^iFn (mod Lk)
である。
nを±1,2,12でない自然数とする。
m = {±1,2,12}をn ≡ m(mod 4)とし、n-m = 2ik (kは2以上の2のべき、i:奇数)とする。
このとき
Fn ≡ (-1)^iFm (mod Lk)
で、Lk ≡ 3 (mod 4)、Fmは平方数であるからFnは平方数でない。
以上によりフィボナッチ数列に現れる平方数は1と144のみである。
601132人目の素数さん
2018/09/23(日) 01:11:10.26ID:vK5MD2zy
どうでもいいがF_n=n^2になってるんだね 他の自然数の2乗でもいいのに
602132人目の素数さん
2018/09/23(日) 02:38:25.44ID:U6w99AxU
>>600
訂正
n-m = 2ik (kは2以上の2のべき、i:奇数)とする。
kが4以上またはm≠12ならLkは3で割り切れないので>>400のままでよい。
kが2、m=12のとき。
n=12+4k (k:奇数)だからnは8の倍数。
l=n/2として
Fn = FlLl、(Fl,Ll)=1,2
よりFまたはFl/2のいずれかが平方数。
くりかえしてn=ki(kは2べき、iは奇数)とおくとき
Fi,Liがともに平方数、または2Fi,2Liがともに平方数。
Fiが平方数になる奇数 i は>>600よりi = 1。
しかしこのときL1=2は平方数でない。
2Fiが平方数となる奇数iは>>600と同様にしてi=±3。
i>0よりi=3であるがこのとき2L3=8は平方数でない。
603132人目の素数さん
2018/09/23(日) 02:38:42.22ID:C9G/YLzt
t+1/t=10 のとき t-1/t の取りうる値は?
604132人目の素数さん
2018/09/23(日) 03:01:38.33ID:mwubyJ5Y
>>603
±√((t+1/t)^2-4)=±√96 = ±4√3
605132人目の素数さん
2018/09/23(日) 05:01:08.45ID:V1sXPyjQ
>>598
同一視する
606132人目の素数さん
2018/09/23(日) 06:37:15.84ID:V1sXPyjQ
次の命題の真偽を述べ、それを証明せよ。
「ある正n角形をSnを考える。Snの上にすべての頂点が乗る正k角形の全てからなる集合をA(k)とおくと、A(k)が無限集合になるkはk=nのみである。」
607132人目の素数さん
2018/09/23(日) 08:05:30.23ID:6r+HqQTq
>>596
何の証明にもなってないだろw
そもそもFn=n^2を証明しろなんて問題じゃないから
これドヤ顔で回答するやつがコテ付けてこのスレに45レスもしてるのがやばいよ
608132人目の素数さん
2018/09/23(日) 08:07:16.66ID:6r+HqQTq
途中送信した
条件は「Fn=n^2を満たすnを探せ」ではなく「Fn=m^2を満たすnmの組を探せ」だってことね
609132人目の素数さん
2018/09/23(日) 08:43:31.68ID:mua95mzO
イナ ◆/7jUdUKiSM=稲次将人

プロフィール見ると東大出身らしいが
よく>>596みたいなクソ証明もどき載せられるような奴が東大入れたな
610132人目の素数さん
2018/09/23(日) 08:59:47.01ID:n07erhZD
>>606

(凡例)
nが合成数で、kがその約数 (k≠1, k≠n) のとき。
Snの周をk等分するk点がなすk角形は、中心の周りにk回対称なので、正k角形となる。
したがって A(k) に含まれる。
∴ A(k) は無限集合
611132人目の素数さん
2018/09/23(日) 09:17:52.13ID:mwubyJ5Y
>>606
S6上にすべての頂点がのる正三角形は無限にあるので偽。
612132人目の素数さん
2018/09/23(日) 09:18:51.71ID:mwubyJ5Y
>>609
出身???ということは大学出てるん????
613132人目の素数さん
2018/09/23(日) 09:27:29.40ID:mua95mzO
>>612
https://profile.ameba.jp/ameba/inajimax
大学院も出てるらしい
こんな酷い数学力でどんな論文書いたのか気になるわ
614132人目の素数さん
2018/09/23(日) 11:26:59.61ID:d+w7eKka
まじか……高校生くらいやと思ってた……
615132人目の素数さん
2018/09/23(日) 11:49:04.90ID:JiHXCGH8
>>600
m-n = 2ik のとき
Fm ≡ (-1)^iFn (mod Lk)

ここの証明ができてない
616132人目の素数さん
2018/09/23(日) 12:27:55.49ID:Yv6k7igS
高校生でももうちょっとましな証明するぞ
617132人目の素数さん
2018/09/23(日) 13:35:28.01ID:sar49wwC
>>536
https://oeis.org/A239438
618132人目の素数さん
2018/09/23(日) 14:12:35.55ID:v+jlLp8E
G:有限群 φ:Gの自己同型
・ ∀x∈G について φ(φ(x))=x
・ φ(x)=x をみたすxは単位元のみ
このときGは可換であることを示せ
619132人目の素数さん
2018/09/23(日) 17:47:24.44ID:uIIfqULX
>>615
F[x] + F[y] = F[(x+y)/2]L[(x-y)/2]
により
F[y+2z] + F[y] ≡ 0 (mod L[z])
F[y+2z] ≡ (-1)F[y] (mod L[z])
これを繰り返し用いて
F[y+2iz] ≡ (-1)^i F[y] (mod L[z])。
620132人目の素数さん
2018/09/23(日) 17:56:42.06ID:uIIfqULX
>>617

> a(n) = ceiling(n(n+1)/6) for n > 5

おお、これが作れるなら最小性の証明できる。
なら話は違うな。
存在証明か…
621132人目の素数さん
2018/09/23(日) 18:17:25.49ID:yOcg8Lx3
>>597
K=3のときの並びをコンピュータで算出してみました。

[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9]
[1,] 赤 白 赤 白 白 青 青 赤 青
[2,] 赤 白 赤 白 白 青 青 青 赤
[3,] 赤 白 赤 赤 白 白 青 青 青
[4,] 赤 白 白 青 白 青 青 赤 赤
[5,] 赤 白 白 白 青 青 赤 赤 青
[6,] 赤 白 白 白 青 青 赤 青 赤
[7,] 赤 白 白 白 青 青 青 赤 赤
[8,] 赤 白 白 白 赤 赤 青 青 青
[9,] 白 赤 赤 赤 青 青 白 白 青
[10,] 白 赤 赤 赤 白 白 青 青 青
[11,] 白 赤 白 赤 赤 青 青 白 青
[12,] 白 赤 白 白 赤 赤 青 青 青
[13,] 青 赤 赤 赤 白 白 青 青 白
[14,] 青 赤 赤 赤 青 青 白 白 白
[15,] 青 赤 青 赤 赤 白 白 青 白
[16,] 青 赤 青 青 赤 赤 白 白 白
622132人目の素数さん
2018/09/23(日) 18:30:05.59ID:6r+HqQTq
>>613
いや、オッサンになって数学全く使わない仕事してんならこんなもんだろう。頑張ってる方
623132人目の素数さん
2018/09/23(日) 18:40:15.59ID:VgtK+kEe
>>620

あ、いやちがう。
>>617のa[n]は

>Maximal number of points that can be placed on a triangular grid of side n so that there is no pair of adjacent points.

だ。
そのような点の配置から現問題の条件をみたす standard tableaux が作れるかどうかはわからない。
624イナ ◆/7jUdUKiSM
2018/09/23(日) 20:34:27.67ID:uxTCre2F
>>614おもに高校生のときに数学をやってたんだからあながち高校生で間違ってない。前>>596いや高校生にちがいない。
625132人目の素数さん
2018/09/23(日) 20:37:14.50ID:cLiFCohn
>>593
> a[10] ≧ 19 は証明済みですか?
PCで最小操作数(最短経路)をダイクストラ法で探索した結果です。

> あとその shape は19個以下の◯と┌でタイリング出来ないことも証明済みですか?
これもPCで探索した結果21が最小でした。
また>>617の参考文献で証明されていそうです。


>>617
ありがとう。>>590の訂正した式でよさそうです。
(ときたまOEISを使うのに、使うことを思いつかなかったとは…)

n=11で23回(最小)のものが見つかりました。(すでに間違いだと判明した)予想だと25回です。
操作2だけでは25回になるものでしたが、操作1を混ぜることで小さくなります。
すこし不思議に感じるかもしれませんが、これは操作2が常に転倒数を3だけ変化させるわけではなく、
1だけ変化させることもあることによります。
転倒数の変化を追うことで問題解決のヒントが得られるかもしれません。

(23,[(1,3),(2,4),(3,5),(1,3),(4,6),(6,8),(4,6),(8,10),(7,8),(5,7),(3,5),(2,3),(7,9),(5,7),(3,5),(1,3),(9,11),(7,9),(5,7),(3,5),(1,3),(7,8),(5,7)])
626132人目の素数さん
2018/09/23(日) 20:48:48.84ID:eh0nZaxt
>>625
>PCで最小操作数(最短経路)をダイクストラ法で探索した結果です。

そうなんですか。
じゃあやっぱりこの問題手がかりなしですね。a[n] = ┌n(n-1)/6┐なら最小性が必然になりますが、
┌10・9/6┐=15 ≠ 19 = a[10]
なのであれば下からの評価はほとんど出来る気がしない。
まあ>>617のサイトみたく
n≧✕✕ ⇒ a[n] = ┌n(n-1)/6┐
となってる淡い期待もありますが。
望み薄ですねぇ。
627132人目の素数さん
2018/09/23(日) 21:18:21.29ID:eh0nZaxt
>>626
嘘書いた。
nが偶数のときは一般論+αから一瞬ででてくる下から評価は
a[n] ≧ ┌ n(n-2)/6 ┐+ n/2
であってn=10のときは
┌80/6┐+10/2 = 18
だからもしかしたら、もうちょい議論すれば正しい下から評価でても不思議はないか。
628132人目の素数さん
2018/09/24(月) 13:35:23.55ID:C29H7b6e
>>618

x≠e である x∈G が φ(x) を対をなすので、#Gは奇数。
Feit-Thompson の定理より、Gは可解群。
次の補題に帰着した。

〔補題〕
位数が奇数の可解群はつねに可換群か?
629132人目の素数さん
2018/09/24(月) 17:30:24.22ID:C29H7b6e
>>597
 環状に並べるとする。 ローテーションしてもよい。

・k=1 のとき
 なし。


・k=2 のとき
 AABBCC → ABBCCA →,

2 x 6 = 12

・k=3 のとき
 AAABBBCCC → AABBBCCCA → ABBBCCCAA [7] →,

 AAABBCBCC → AABBCBCCA → ABBCBCCAA [4] → AABABBCCC → ABABBCCCA [2] → ABAACCCBB → ABBCCCAAB →  AABBBCCAC → ABBBCCACA [6] →,

 12 x 6 = 72
630132人目の素数さん
2018/09/24(月) 18:23:39.53ID:C29H7b6e
>>628

有限群Gの位数が奇数 ⇒ Gの部分群の位数も奇数。  … ラグランジュの定理(群論)

奇数位数の単純群が巡回群だけなら、「位数が奇数の有限群は可換群」と言いたい所。

これが端緒になって有限単純群の分類研究が始まったのかも知れない。
631132人目の素数さん
2018/09/24(月) 18:25:37.79ID:H+RX+3OI
>>597はどうみても出題ミスやろ?
こんなん解けんやろ?
まぁ900くらいになったらみんな答え上げてくるけど>>597は答え上がらんと思う。
632132人目の素数さん
2018/09/24(月) 19:05:09.02ID:XRbxrrvI
>>618
とりあえず自分も分かったことを書いてみる。

・主張が正しいとすれば、φは逆元をとる写像である。
G が可換であるとする。
任意の G の元 x に対して、
 φ(xφ(x)) = φ(x)x = xφ(x)
であるから、φの条件より xφ(x)=e (e は単位元)。
したがって φ(x)=x^(-1)

・無限群だと反例がある。
G を 2 元生成自由群とする。生成元を a,b とする。
自己同型 φ:G→G を φ(a)=b, φ(b)=a によって定まるものとすれば、
φは条件を満たすが、G は非可換である。
633132人目の素数さん
2018/09/24(月) 20:03:17.74ID:uYmlDx9K
>>632
逆に、φが自己同型かつ逆元をとる写像なら、逆元をとる操作を「~」として
xy = φ((xy)~) = φ(y~ x~) = φ(y~) φ(x~) = yx
から可換であることが分かる。

つまり、φが逆元をとる写像であることを位数の有限性を利用して示せばいいわけか。
634132人目の素数さん
2018/09/24(月) 22:26:58.03ID:ZjPmyjiO
>>597
k=4のときをPCで列挙してみた。回転および鏡像で同じになるものは1通りと数える。

[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11] [,12]
[1,] 赤 赤 赤 赤 白 白 白 白 青 青 青 青
[2,] 赤 赤 赤 赤 白 白 白 青 白 青 青 青
[3,] 赤 赤 赤 赤 白 白 白 青 青 白 青 青
[4,] 赤 赤 赤 赤 白 白 青 白 白 青 青 青
[5,] 赤 赤 赤 赤 白 白 青 白 青 白 青 青
[6,] 赤 赤 赤 赤 白 白 青 青 白 白 青 青
[7,] 赤 赤 赤 赤 白 白 青 青 青 青 白 白
[8,] 赤 赤 赤 赤 青 青 白 白 白 白 青 青
[9,] 赤 赤 赤 白 赤 白 白 白 青 青 青 青
[10,] 赤 赤 赤 白 赤 白 白 青 白 青 青 青
(中略)
[174,] 青 赤 青 青 赤 赤 赤 白 白 青 白 白
[175,] 青 赤 青 青 赤 赤 白 赤 白 白 青 白
[176,] 青 赤 青 青 赤 青 赤 赤 白 白 白 白
[177,] 青 赤 青 青 青 赤 赤 赤 白 白 白 白
[178,] 青 赤 青 青 青 赤 赤 白 赤 白 白 白
[179,] 青 赤 青 青 青 赤 赤 白 白 赤 白 白
[180,] 青 赤 青 青 青 白 白 赤 赤 赤 白 白

180通り
635132人目の素数さん
2018/09/24(月) 22:32:28.80ID:ZjPmyjiO
>>634
K=2のときは回転・反転を同一視すると
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
[1,] 赤 白 白 青 青 赤

の一通り
636132人目の素数さん
2018/09/24(月) 22:33:51.36ID:ZjPmyjiO
>>635
回転・反転を考えなければ

[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
[1,] 赤 白 白 青 青 赤
[2,] 赤 青 青 白 白 赤
[3,] 赤 赤 白 白 青 青
[4,] 赤 赤 青 青 白 白
[5,] 白 赤 赤 青 青 白
[6,] 白 青 青 赤 赤 白
[7,] 白 白 赤 赤 青 青
[8,] 白 白 青 青 赤 赤
[9,] 青 赤 赤 白 白 青
[10,] 青 白 白 赤 赤 青
[11,] 青 青 赤 赤 白 白
[12,] 青 青 白 白 赤 赤

の12通り
637132人目の素数さん
2018/09/24(月) 23:12:26.71ID:ZjPmyjiO
k=5だと
並べ方は順列で15!/(5!5!5!)=756756通りのうち
3個連続に3色含まないのは13194通りまでは出せた。

回転・鏡像を同一視しての計算はR言語では計算が終わりそうにない。
638132人目の素数さん
2018/09/24(月) 23:24:19.06ID:JXoVVin2
>>621
先頭と最後を繋げると3色揃うから間違っているな。
やり直そう。
639132人目の素数さん
2018/09/24(月) 23:39:52.69ID:ZjPmyjiO
>>621
k=3で

> print(matrix(c("赤","白","青")[core],ncol=3*k),quote=F)
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9]
[1,] 赤 白 赤 白 白 青 青 青 赤
[2,] 赤 白 白 青 白 青 青 赤 赤
[3,] 赤 白 白 白 青 青 赤 青 赤
[4,] 赤 白 白 白 青 青 青 赤 赤

の4通り
640132人目の素数さん
2018/09/24(月) 23:42:57.24ID:ZjPmyjiO
>>634
k=4で
> print(matrix(c("赤","白","青")[core],ncol=3*k),quote=F)
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11] [,12]
[1,] 赤 赤 赤 赤 白 白 白 白 青 青 青 青
[2,] 赤 赤 赤 赤 白 白 白 青 白 青 青 青
[3,] 赤 赤 赤 赤 白 白 白 青 青 白 青 青
[4,] 赤 赤 赤 赤 白 白 青 白 白 青 青 青
[5,] 赤 赤 赤 赤 白 白 青 白 青 白 青 青
[6,] 赤 赤 赤 赤 白 白 青 青 白 白 青 青
[7,] 赤 赤 赤 赤 白 白 青 青 青 青 白 白
[8,] 赤 赤 赤 赤 青 青 白 白 白 白 青 青
[9,] 赤 赤 赤 白 赤 白 白 白 青 青 青 青
[10,] 赤 赤 赤 白 赤 白 白 青 白 青 青 青
[11,] 赤 赤 赤 白 赤 白 白 青 青 白 青 青
[12,] 赤 赤 赤 白 白 赤 白 白 青 青 青 青
[13,] 赤 赤 赤 白 白 白 白 青 青 赤 青 青
[14,] 赤 赤 赤 白 白 白 白 青 青 青 赤 青
[15,] 赤 赤 赤 白 白 白 青 白 青 青 赤 青
[16,] 赤 赤 赤 白 白 青 白 白 青 青 赤 青
[17,] 赤 赤 赤 白 白 青 青 赤 青 青 白 白
[18,] 赤 赤 赤 青 青 白 白 赤 白 白 青 青
[19,] 赤 赤 白 赤 赤 白 白 白 青 青 青 青
[20,] 赤 赤 白 赤 赤 白 白 青 白 青 青 青
[21,] 赤 赤 白 赤 赤 白 白 青 青 白 青 青
[22,] 赤 赤 白 赤 赤 青 青 白 白 白 青 青
641132人目の素数さん
2018/09/24(月) 23:43:13.27ID:ZjPmyjiO
[23,] 赤 赤 白 赤 白 赤 白 白 青 青 青 青
[24,] 赤 赤 白 赤 白 白 白 青 青 赤 青 青
[25,] 赤 赤 白 赤 白 白 白 青 青 青 赤 青
[26,] 赤 赤 白 赤 白 白 青 白 青 青 赤 青
[27,] 赤 赤 白 白 赤 赤 白 白 青 青 青 青
[28,] 赤 赤 白 白 赤 赤 青 青 白 白 青 青
[29,] 赤 赤 白 白 赤 白 白 青 青 赤 青 青
[30,] 赤 赤 白 白 赤 白 白 青 青 青 赤 青
[31,] 赤 赤 白 白 白 赤 赤 青 青 白 青 青
[32,] 赤 赤 白 白 白 白 赤 赤 青 青 青 青
[33,] 赤 赤 白 白 白 白 青 青 赤 赤 青 青
[34,] 赤 赤 白 白 白 白 青 青 赤 青 赤 青
[35,] 赤 赤 白 白 白 白 青 青 青 赤 赤 青
[36,] 赤 赤 白 白 白 青 白 青 青 赤 赤 青
[37,] 赤 赤 白 白 青 白 白 赤 赤 青 青 青
[38,] 赤 赤 白 白 青 白 白 青 青 赤 赤 青
[39,] 赤 赤 白 白 青 青 赤 赤 白 白 青 青
[40,] 赤 赤 白 白 青 青 赤 赤 青 青 白 白
[41,] 赤 赤 白 白 青 青 白 白 赤 赤 青 青
[42,] 赤 赤 白 白 青 青 青 白 白 赤 赤 青

42通り
642132人目の素数さん
2018/09/24(月) 23:57:20.85ID:ZjPmyjiO
>>637

修正

k=5だと
並べ方は順列で15!/(5!5!5!)=756756通りのうち
3個連続に3色含まないのは10050通りまでは出せた
643132人目の素数さん
2018/09/25(火) 00:43:05.05ID:lW3vMOXE
>>618
これは使えるだろうか…

次の場合に示せれば十分である。
「ある元 x∈G が存在して、G は x,φ(x) で生成される。」 …(*)


任意に x∈G をとる。
>>633より、φ(x)=x^(-1) を示せばよい。

x,φ(x) で生成される部分群を H とおく。
φ(H)⊂H が成り立つ。
H が有限群であることとφの単射性から、φ は H の自己同型を誘導する。

φ の H への制限を φ_H とおく。
H と φ_H は問題の条件および (*) を満たす。
もし H において>>618が成り立てば、>>632より φ(x)=x^(-1) である。□
644132人目の素数さん
2018/09/25(火) 02:49:43.86ID:Mf+IIU9l
>>640 >>641
 k=4 のとき

[ 1] AAAABBBBCCCC →                        4

[ 8] AAAACCBBBBCC → [32] AABBBBAACCCC → [ 7] AAAABBCCCCBB →   6

[ 2] AAAABBBCBCCC → [14] AAABBBBCCCAC → [ 9] AAABABBBCCCC →  12
[ 3] AAAABBBCCBCC → [35] AABBBBCCCAAC → [12] AAABBABBCCCC →  12
[ 4] AAAABBCBBCCC → [13] AAABBBBCCACC → [19] AABAABBBCCCC →  12
[ 5] AAAABBCBCBCC → [34] AABBBBCCACAC → [23] AABABABBCCCC →  12
[ 6] AAAABBCCBBCC → [33] AABBBBCCAACC → [27] AABBAABBCCCC →  12

[10] AAABABBCBCCC → [15] AAABBBCBCCAC → [25] AABABBBCCCAC →  12

[11] AAABABBCCBCC → [36] AABBBCBCCAAC → [30] AABBABBCCCAC →  12
[16] AAABBCBBCCAC → [24] AABABBBCCACC → [20] AABAABBCBCCC →  12

[17] AAABBCCACCBB → [31] AABBBAACCBCC → [22] AABAACCBBBCC → [37] AABBCBBAACCC → [42] AABBCCCBBAAC →   12

[39] AABBCCAABBCC →   ABBCCAABBCCA →             2
[40] AABBCCAACCBB → [28] AABBAACCBBCC → [41] AABBCCBBAACC →   6

[29] AABBABBCCACC → [21] AABAABBCCBCC → [38] AABBCBBCCAAC →  12

[26] AABABBCBCCAC →                        4
645132人目の素数さん
2018/09/25(火) 03:09:21.14ID:Mf+IIU9l
>>628 >>630
 φはGの自己同型である。
 e以外の元x∈Gを2個1組の対 {x,φ(x)} に分けたもの。
 逆元でなくてもいいと思うけど・・・・
646132人目の素数さん
2018/09/25(火) 07:01:02.48ID:rGkYItR+
>>597

朝になったらk=5の計算が終わってた。


> print(matrix(c("赤","白","青")[core],ncol=3*k),quote=F)
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11] [,12] [,13] [,14] [,15]
[1,] 赤 赤 赤 赤 赤 白 白 白 白 白 青 青 青 青 青
[2,] 赤 赤 赤 赤 赤 白 白 白 白 青 白 青 青 青 青
[3,] 赤 赤 赤 赤 赤 白 白 白 白 青 青 白 青 青 青
[4,] 赤 赤 赤 赤 赤 白 白 白 白 青 青 青 白 青 青
[5,] 赤 赤 赤 赤 赤 白 白 白 青 白 白 青 青 青 青
中略

[331,] 赤 赤 白 白 青 白 白 白 青 青 赤 青 赤 赤 青
[332,] 赤 赤 白 白 青 白 青 白 白 赤 赤 青 赤 青 青
[333,] 赤 赤 白 白 青 白 青 青 白 白 赤 赤 青 赤 青
[334,] 赤 赤 青 赤 赤 青 青 白 白 赤 白 白 白 青 青
[335,] 赤 赤 青 赤 青 青 白 白 赤 白 赤 白 白 青 青

335通りと算出。

全列挙はここにあげた

http://fast-uploader.com/file/7093381709046/
647132人目の素数さん
2018/09/25(火) 12:06:32.28ID:jg+qtJMH
>>618
f:G→Gをf(x)=x^{-1}φ(x)∈Gと定義する。
まず、fは単射であることを示す。f(x)=f(y)ならば、
x^{-1}φ(x)=y^{-1}φ(y)だから、式変形していけば

x^{-1}φ(x)=y^{-1}φ(y)
yx^{-1}φ(x)=φ(y)
yx^{-1}=φ(y)φ(x)^{-1}
yx^{-1}=φ(yx^{-1})

仮定により、yx^{-1}=eでなければならない。よって、y=xとなるので、fは単射である。
Gは有限集合だから、fは全射である。次に、φ(f(x))=f(x)^{-1} (∀x∈G)を示す。

f(x)φ(f(x))=x^{-1}φ(x)φ(x^{-1}φ(x))=x^{-1}φ(x)φ(x)^{-1}x=e

よって、φ(f(x))=f(x)^{-1} (∀x∈G)である。fは全射だから、
φ(y)=y^{-1} (∀y∈G)が成り立つ。よって、x,y∈Gに対して、
φ(xy)=φ(x)φ(y)=x^{-1}y^{-1},
φ(xy)=(xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1}
となるので、x^{-1}y^{-1}=y^{-1}x^{-1}である。両辺の ^{-1} を取って
yx=xyとなる。よって、Gは可換である。
648132人目の素数さん
2018/09/25(火) 12:15:24.76ID:YWtDoB9t
>>647
>f(x)φ(f(x))=x^{-1}φ(x)φ(x^{-1}φ(x))

は何故?
649132人目の素数さん
2018/09/25(火) 13:27:08.29ID:jg+qtJMH
>>648
f(x)φ(f(x))の2つのf(x)にf(x)=x^{-1}φ(x)を代入すれば
f(x)φ(f(x))=x^{-1}φ(x)φ(x^{-1}φ(x))
650132人目の素数さん
2018/09/25(火) 13:56:33.88ID:OlBAWD/P
>>649
thx
651132人目の素数さん
2018/09/25(火) 15:04:15.54ID:Mf+IIU9l
>>597

a_{kk+4} ?

k=0  a_4 = 0,
k=1  a_5 = 0,
k=2  a_8 = 1,   >>635
k=3  a_13 = 4,   >>639
k=4  a_20 = 42,   >>640 >>641
k=5  a_29 = 335,   >>646
k=6  a_40 = 3154,
k=7  a_53 = 30196,

http://oeis.org/A206556
  (Number of 6's in the last section of the set of partitions of n)
652132人目の素数さん
2018/09/25(火) 15:47:18.03ID:OlBAWD/P
>>651
>Number of 6's in the last section of the set of partitions of n)

の意味すらわからんorz。
653132人目の素数さん
2018/09/25(火) 16:39:58.35ID:OlBAWD/P
lambda n: sum(list(p).count(6) for p in Partitions(n) if 1 not in p)

って python? R?
どういう計算してるんですか?
654132人目の素数さん
2018/09/25(火) 18:02:48.30ID:k/07D+i/
>>653
> って python? R?
Sage(SageMath) http://www.sagemath.org/
Pythonを使った数式処理ソフト

> lambda n: sum(list(p).count(6) for p in Partitions(n) if 1 not in p)
> どういう計算してるんですか?
Also number of occurrences of 6 in all partitions of n that do not contain 1 as a part.
655132人目の素数さん
2018/09/25(火) 18:18:39.16ID:wYx6NI6B
次の行列式を計算し、因数分解せよ。
determinant{{(b+c)^2, c^2, b^2}, {c^2, (c+a)^2, a^2}, {b^2, a^2, (a+b)^2}}

俺には手計算できないんだけど、できる?
656132人目の素数さん
2018/09/25(火) 18:39:41.43ID:FzreliLu
>>651

Rで列挙してみたけど、
k=6にすると
順列候補が17,153,136
csvにしたら600Mバイトを越えて
メモリ不足で読み込めず、この計算は断念。
657132人目の素数さん
2018/09/25(火) 18:53:49.84ID:SXQ8iiU3
>>654
6 = 6
8 = 6 + 2
9=6+3
10 = 6 + 4 = 6 + 2 + 2
11 = 6 + 5 = 6 + 3 + 2
12 = 6 + 6 = 6 + 4 + 2 = 6 + 3 + 3 = 6 + 2 + 2 + 2
13 = 7 + 6 = 6 + 5 + 2 = 6 + 4 + 3 = 6 + 3 + 2 + 2
14 = 8 + 6 = 6 + 6 + 2 = 6 + 5 + 3 = 6 + 4 + 4 = 6 + 4 + 2 + 2 = 6 + 3 + 3 + 2 = 6 + 2 + 2 + 2
こういう意味かな?
658132人目の素数さん
2018/09/25(火) 18:58:44.85ID:SXQ8iiU3
でもこの意味だと流石に一致する気が全くしないんだけど。
659132人目の素数さん
2018/09/25(火) 18:59:57.77ID:SXQ8iiU3
あ、ちがう、a_{k+4}ね。なら可能性あるか……
660132人目の素数さん
2018/09/25(火) 21:40:05.35ID:Eb9fo1bk
さすがにたまたま4項あっただけな希ガス
661132人目の素数さん
2018/09/25(火) 22:17:32.79ID:rPFxES/9
>>647
お見事

ちなみにf(x)=x^{-1}φ(x)の意味を考えるとしたら
単位元とのズレ、とでもなるのでしょうか
またこのようなf(x)を考えるのはよくあること?
662132人目の素数さん
2018/09/26(水) 00:10:59.85ID:zomwMvsu
>>655

2(ab+bc+ca)^3
663132人目の素数さん
2018/09/26(水) 00:18:06.08ID:bt38Ex19
>>618
これは美しい証明を得たが、
それをみると自然に次の問が浮かんでくる


G:有限群 φ:Gの自己同型
・ ∀x∈G について φ^{n}(x)=x
・ φ(x)=x をみたすxは単位元のみ
このときGは可換であるか?
ただし、φ^{1}=φ(x)、 φ^{n}(x)=φ(φ^{n-1}(x)) である。
664132人目の素数さん
2018/09/26(水) 01:01:21.81ID:QBwnT99Q
>>651
自分もPCで>>597を数えたら、k=6 で 3501、k=7 で 36820 だった。

def three_letter_nonadjacent_words(counter, word, letters="abc"):
if sum(counter) == 0:
yield word
return
for i,x in enumerate(letters):
if counter[i] > 0:
if len(word) < 2 or {x,word[-1],word[-2]} != set(letters):
c = list(counter)
c[i] -= 1
yield from three_letter_nonadjacent_words(tuple(c), word + x)

def circularly_legal(word, letters=set("abc")):
return {word[0],word[-1],word[-2]} != letters \
and {word[1],word[0],word[-1]} != letters

def circular_three_letter_nonajacent_words(k):
for word in three_letter_nonadjacent_words((k,)*3,""):
if not circularly_legal(word):
continue
yield word

def num_fixed_perms(word):
n = len(word)
r = 1
for i in range(1,n):
if word[i:] == word[:-i] and word[:i] == word[-i:]:
r += 1
rev = word[::-1]
if word == rev:
r += 1
for i in range(1,n):
if word[i:] == rev[:-i] and word[:i] == rev[-i:]:
r += 1
return r

def num_circular_three_letter_nonajacent_words(k):
#used Burnside's lemma
return sum(num_fixed_perms(word) for word in \
circular_three_letter_nonajacent_words(k)) // (6*k)

for k in range(1,7):
print(k, num_circular_three_letter_nonajacent_words(k))
665132人目の素数さん
2018/09/26(水) 01:20:57.38ID:bjLF+FF2
やっぱり>>597は無理やろ?
せいぜい計算機でプログラミングの練習位にしかならんと思う。
666132人目の素数さん
2018/09/26(水) 10:02:25.87ID:JunfIhlz
私もチャレンジしたところ、同じ結果が得られました。
当初、色の入れ替えも同一視するプログラムを作ってしまっていたため、
その結果があります。それも添えます。
k=8は、重複チェック用のメモリが確保できないとのメッセージが出たため、
実行できませんでした。(色入替同一視版は可能でした)

k=2... 1     (1)
k=3... 4     (2)
k=4... 42    (13)
k=5... 335   (67)
k=6... 3501  (651)
k=7... 36820  (6258)
k=8... ??????  (68747)
667132人目の素数さん
2018/09/26(水) 10:51:16.17ID:zomwMvsu
>>598 >>605 のせいで難しい…

回転・反転を区別すれば a_{k-1}
ここに tan(x) sinh(x) = Σ[n=0,∞] {a_n/(2n)!} x^{2n},

k=1  a_0 = 0,
k=2  a_1 = 2 パターン  >>629 >>636
k=3  a_2 = 12 パターン  >>629
k=4  a_3 = 142 パターン  >>629
k=5  a_4 = 3192 パターン
k=6  a_5 = 116282 パターン

a_n ~ 2 sinh(π/2) (2n)! (2/π)^(2n+1),   (n>>1)

http://oeis.org/A009747
  (Exponential generating function = tan(x)sinh(x) )
668132人目の素数さん
2018/09/26(水) 11:36:44.96ID:CV990pYj
>>667
>回転・反転を区別すれば a_{k-1}
>ここに tan(x) sinh(x) = Σ[n=0,∞] {a_n/(2n)!} x^{2n},

おお、これだけでも十分素晴らしい!
それで十分だから解答のせてたも!
669132人目の素数さん
2018/09/26(水) 20:52:50.98ID:kMXjNQ4p
>>667

回転・反転を区別して、色の入れ替えを同一視するなら次になるけど:
k=1: 0
k=2: 2
k=3: 12
k=4: 142
k=5: 1675
k=6: 20648
k=7: 257740
670132人目の素数さん
2018/09/26(水) 20:55:15.37ID:JunfIhlz
メモリを動的確保に変えて計算させました
k=8... 407629  (68747)
671132人目の素数さん
2018/09/26(水) 23:11:19.44ID:geJ49fv1
x^12+y^12+z^12-2*((xy)^6+(xz)^6+(yz)^6)=0

(x^n-y^n)≠√((2*y^n+2*x^n-z^n)*z^n)

(y^n-z^n)≠√((2*y^n+2*z^n-x^n)*x^n)

(x^n-z^n)≠√((2*x^n+2*z^n-y^n)*y^n)


√((2*y^n+2*x^n-z^n)*z^n)+√((2*y^n+2*z^n-x^n)*x^n)+√((2*x^n+2*z^n-y^n)*y^n)≠0
672132人目の素数さん
2018/09/27(木) 00:27:52.60ID:Ny+jsTgk
結局 >>667 は間違ってるの?
でもまぁなんかの足しになるかもしれないから

>回転・反転を区別すれば a_{k-1}
>ここに tan(x) sinh(x) = Σ[n=0,∞] {a_n/(2n)!} x^{2n},

を導出した過程をうpして下さりませ。
673132人目の素数さん
2018/09/27(木) 19:09:40.41ID:Ia/JTFRy
>>597
自分は>>665に同意。もしきれいな式があったら、興味を持つが。
以下、PCでの探索まとめ。

回転・反転を区別、色の入れ替えを同一視
k=1: 0
k=2: 2
k=3: 12
k=4: 142
k=5: 1675
k=6: 20648
k=7: 257740
k=8: 3255630
k=9: 41515401

回転・反転を同一視、色を区別
k=1: 0
k=2: 1
k=3: 4
k=4: 42
k=5: 335
k=6: 3501
k=6: 36820
k=8: 407629
k=9: 4612825

回転・反転・色の入れ替えを同一視
k=1: 0
k=2: 1
k=3: 2
k=4: 13
k=5: 67
k=6: 651
k=7: 6258
k=8: 68747
k=9: 770248
674132人目の素数さん
2018/09/27(木) 19:13:11.34ID:Ia/JTFRy
有名問題だと思うけど。
すべての辺の長さが自然数の三角形で周の長さが nのもの(合同を同一視する)の個数を a[n]としたときの
a[n]の生成関数、つまり f(x) = Σ[n=0,∞] a[n] x^n となる関数 f(x)を求めよ。
675132人目の素数さん
2018/09/28(金) 09:55:02.92ID:UYgVuIW1
>>673
この計算に使った言語は何でしょうか?
676132人目の素数さん
2018/09/28(金) 11:49:51.98ID:phrHQfEJ
>>674
おっしゃる通りです。 Alcuin数列

 f(x) = (x^3)/{(1-x^2)(1-x^3)(1-x^4)}

http://oeis.org/A005044

なお、これは周長が n+6 である不等整数辺⊿の数でもある。(辺長≧2 となる。)

 a≦b≦c のとき (a,b,c) ⇔ (a+1,b+2,c+3)
677132人目の素数さん
2018/09/28(金) 12:13:54.75ID:uvbX02Yn
>>672お願いします。
678132人目の素数さん
2018/09/28(金) 12:31:47.58ID:hKwonw3I
>>675
Pythonです。プログラムは>>664の改変。
速度は気にせず、楽さとわかりやすさで。
バーンサイドの補題を使うことで並べ方どうしの比較をしないのでメモリーを使わず、
時間さえあればいくらでも求められますが、実際は k=10,11 が時間的限界でしょう。

>>676
難しくないので、導出も書いてくださいな。
679132人目の素数さん
2018/09/28(金) 13:06:24.90ID:uvbX02Yn
>>678
横レス。
導出はできるんだけどなにがどうしてこんな綺麗な形になるのかさっぱりわからんから書く気にならない。
なんかもっと美しい方法がありそうで。
680132人目の素数さん
2018/09/28(金) 15:43:49.16ID:phrHQfEJ
>>678 >>679

>>676 のf(x) は

a[n] は自然数n を n=2p+3q+4r (p≧0, q≧1, r≧0) と分割するやり方である。

Number of partitions of n into parts 2, 3, and 4, with at least one part 3.
- Joerg Arndt, 2013/Feb/03

と同値だが、これをどう出すか…
681132人目の素数さん
2018/09/28(金) 16:02:16.14ID:gDbOCyp+
任意の自然数 n に対して、表面積の等しい n種類の直方体が存在することを示せ。
682132人目の素数さん
2018/09/28(金) 17:01:14.65ID:phrHQfEJ
>>681

稜の長さが {2^r, 2^r, 2^(2n-r)-2^(r-1)} である正方形柱 (r=1,2,…,n)

体積は 2^(2n+r) - 2^(3r-1).
683132人目の素数さん
2018/09/28(金) 17:59:15.72ID:LXsE/mVy
>>679 >>680
とりあえず、奇数の場合と偶数の場合にわけて

f(x) = x^3/((1-x^2)(1-x^4)(1-x^6)) + x^6/((1-x^2)(1-x^4)(1-x^6))

で導くルートは見つけた。
でも

>a[n] は自然数n を n=2p+3q+4r (p≧0, q≧1, r≧0) と分割するやり方である。

これで一発解決できるルートがいかにもありそうだよね?
684132人目の素数さん
2018/09/28(金) 19:28:36.85ID:JQRujdYG
とりあえず奇偶でわけるルート

An = {(u,v,w) | n/2 - u, n/2-v, n/2-wは自然数、u+v+w = n/2、u≦v≦w}
とおけば a[n] = #An。
n が奇数のとき
Bn = {(p,q,r) | p,q,r は非負整数、p+2q+3r=(n-3)/2}
とおき、対応(u,v,w)→(w-v,v-u,u-1/2)によってAn,Bnは一対一対応するから#An = #Bn。
∴Σ[n:odd]a[n]x^n = x^3/((1-x^2)(1-x^4)(1-x^6))。
n が偶数のとき
Cn = {(p,q,r) | p,q,r は非負整数、p+2q+3r=(n-6)/2}
とおき、対応(u,v,w)→(w-v,v-u,u-1)によってAn,Cnは一対一対応するから#An = #Cn。
∴Σ[n:even]a[n]x^n = x^6/((1-x^2)(1-x^4)(1-x^6))。
∴f(x) = x^3/((1-x^2)(1-x^4)(1-x^6)) + x^6/((1-x^2)(1-x^4)(1-x^6)) = x^3/((1-x^2)(1-x^3)(1-x^4))。
685132人目の素数さん
2018/09/28(金) 23:23:10.68ID:cekwbF/M
3より大きな正整数nに対し、2^n+1の素因数がどれもn未満であるようなものは存在するか?
686132人目の素数さん
2018/09/29(土) 09:00:31.68ID:bRb+ZnSw
>>685
これムズい。
ヒントおながいします。
結論は存在する?しない?
687132人目の素数さん
2018/09/29(土) 09:19:38.82ID:rj9LUQDs
>>686
すまないが存在しないだろうと予想している
コンピュータで計算してもそれらしきものは見つからなかった
688132人目の素数さん
2018/09/29(土) 09:22:16.58ID:x/pASdT/
>>687
現時点で答えないの?
じゃぁそれ書いといてよ。
689132人目の素数さん
2018/09/29(土) 09:48:36.15ID:+ZGkjoNR
>>685は、未解決問題を出題したのか?
690132人目の素数さん
2018/09/29(土) 10:27:52.08ID:ZjAaeEtu
普通に考えたら有限個しかしないだろう
nが大きくなれば小さい素因数を大量に持たないといけなくなるがそんなのは非現実的
691132人目の素数さん
2018/09/29(土) 12:57:43.60ID:+Hfhy7Kj
答え持ってない問題を書いていいかどうかは別にしても、現時点で答えがないなら最低でも>>514のように文面から答え持ってない事がわかるようにせんと駄目だよ。
692132人目の素数さん
2018/09/29(土) 15:39:26.89ID:GXtaiBeF
>>674,679,680,683
見た目より簡単だよ。生成関数の標準的な演習問題くらい?
想定解答は以下のようなもの:

合同は同一視するので三角形の成立条件を考慮すれば、
辺の長さが自然数の三角形と 0<a≦b≦c<a+b をみたす非負整数の組(a,b,c)は一対一に対応することがわかる。
a=s+1, b=a+t, c=b+u とおき、 c<a+b ⇔ c-b<a ⇔ u≦s より s=u+v とおくことにより、
関係式 a=u+v+1, b=u+v+t+1, c=2u+v+t+1 で
0<a≦b≦c<a+b をみたす非負整数の組(a,b,c)と任意の非負整数の組(u,v,t)は一対一に対応することがわかる。
したがって、
f(x) = Σ[n-0,∞] a[n] x^n = Σ[0<a≦b≦c<a+b] x^(a+b+c)
= Σ[u,v,t≧0] x^(4u+3v+2t+3) = (x^3)/(1-x^4)(1-x^3)(1-x^2)。
693132人目の素数さん
2018/09/29(土) 15:50:07.13ID:c/zrVhx6
いや、そのu,v,tが思いつかんかった。
これ
0<a≦b≦c<a+b
からうまくu.v.tを見つけてくるのがミソだと思うけどこれなんか一般論で見つけてくる方法があります?慣れの問題?
694132人目の素数さん
2018/09/29(土) 16:37:21.66ID:GXtaiBeF
>>693
一般論というか基本的技法ですね。
・条件のない非負整数の組と対応させることが目標。
・p<q は p+1≦q とする。
・p≦q をみたす整数の組(p,q)は q=p+k とおくことで k≧0 をみたす整数の組(p,k)と一対一に対応することを使う。

>>692では
0<a から a=s+1 とおき(これで a は 非負整数 s で一対一に表せる)
a≦b≦c から b=a+t, c=b+u とおき(ここまでで 0<a≦b≦c をみたす a,b,c が非負整数 s,t,u で一対一に表せる)
そうすることで c<a+b ⇔ u≦s となるので s=u+v とおく(これで条件をみたす a,b,c が非負整数 v,t,u で一対一に表せた)
となります。
695132人目の素数さん
2018/09/29(土) 16:42:36.38ID:5t2MTazF
>>680 と >>692 の関係

(p, q, r) = (t, v+1, u)
696132人目の素数さん
2018/09/29(土) 16:44:28.46ID:GXtaiBeF
>>694
もちろんすべての場合でうまくいくというものではありません。
この場合は運よくうまくいってきれいな形になりましたが。
697132人目の素数さん
2018/09/29(土) 16:52:45.98ID:GXtaiBeF
>>695,680
> a[n] は自然数n を n=2p+3q+4r (p≧0, q≧1, r≧0) と分割するやり方である。
は生成関数の形から分かることで、
三角形とその分割が有用な関係を持つとは思えません。
あったら面白いですが。
698132人目の素数さん
2018/09/29(土) 17:33:54.89ID:RHyq/92m
>>696,697
なるほど。
本文の場合は
0<a≦b≦c<a+b
⇔0 ≦ (a-1)≦ (b-1) ≦ (c-1) ≦ (a-1)+(b-1)
でa-1,b-1,c-1について整理するとキレイに定数項消えちゃうんだ。
気づかなかったorz。
699132人目の素数さん
2018/09/29(土) 17:57:25.67ID:5t2MTazF
>>681

稜の長さが { p^(3r), p^(2n+r), p^(2n-r)[p^(2n)-p^(2r)] } である直方体 (r=0,1,…,n-1)

表面積 2p^(6n),

体積 p^(4n+3r)[p^(2n)-p^(2r)],

p>1.
700132人目の素数さん
2018/09/29(土) 18:16:47.45ID:5t2MTazF
>>682 の拡張

稜の長さが { p^r, p^r, [p^(2n-r)-p^r]/2 } である正方形柱 (r=0,1,…,n-1)

表面積 2p^(2n),

体積 (p^r)[p^(2n)-p^(2r)]/2,

p>1.
701132人目の素数さん
2018/09/29(土) 18:43:59.68ID:+ZGkjoNR
どうやって思いつくん?
702132人目の素数さん
2018/09/29(土) 20:12:28.11ID:sReFGpyG
■■■■■■■■■■■■■
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■□□□□□□□□□□□■
■■■■■■■■■■■■■
703132人目の素数さん
2018/09/29(土) 20:15:52.31ID:uT1RU4nf
呪怨キタ
704132人目の素数さん
2018/09/30(日) 01:15:04.79ID:60e7kxgM
>>682 >>700

稜の長さを { A, A, (S/2A - A)/2 } とおく。

(S/2A - A)/2 が自然数となるAを n個以上とれるように Sを決める。

稜 … 多面体の辺
705132人目の素数さん
2018/09/30(日) 04:11:30.00ID:I1AIdvLV
{(x,y,z)|x+y+z=n、x,y,z は非負整数、n は1以上の整数}
を満たす格子点の集合をAとする。
Aから異なる三点を選んだとき、それが正三角形を成している確率を n で表せ。

答えは、プログラムを組めば予想可能なものになるので、答えのみの解答は認めないものとする。
706132人目の素数さん
2018/09/30(日) 04:56:56.32ID:p1KBHVZY
Oを中心とする半径1の円周上に、n個の点P[1],P[2],...,P[n]を、以下の2条件をともに満たすように配置する。なお各点はこの順に反時計回りに配置されるものとする。

(ア)各線分P[i]P[i+1]の長さは全て等しい。すなわちP[0]P[1]=P[1]P[2]=...=P[n-1]P[n]である。
(イ)0°<∠P[1]OP[n]≦180°

n以下の各自然数iに対し、△OP[i-1]P[i]の重心をG[i-1]とおく。
このとき、以下の(A)が成り立つように辺P[0]P[1]の長さを定めることができるか。

(A)相異なる整数jとkをうまく選べば、2点P[j]とP[k]を通る直線で、その上にG[0],G[1],...,G[n-1]の少なくとも1つが乗るようにできる。
707132人目の素数さん
2018/09/30(日) 05:31:43.70ID:p1KBHVZY
すいません先程の問題文がおかしかったので訂正します。

Oを中心とする半径1の円周上に、n個の点P[1],P[2],...,P[n]を、以下の2条件をともに満たすように配置する。なお各点はこの順に反時計回りに配置されるものとする。

(ア)各線分P[i]P[i+1]の長さは全て等しい。すなわちP[1]P[2]=P[2]P[3]=...=P[n-1]P[n]である。
(イ)0°<∠P[1]OP[n]≦180°

n-1以下の各自然数iに対し、△OP[i]P[i+1]の重心をG[i]とおく。
このとき、以下の(A)が成り立つように辺P[1]P[2]の長さを定めることができるか。

(A)相異なる整数jとkをうまく選んで2点P[j]とP[k]を通る直線を引けば、その上にG[1],G[2],...,G[n-1]の少なくとも1つが乗る。
708132人目の素数さん
2018/09/30(日) 05:39:36.69ID:l/U+OsJc
>>705
求める確率をp[n]とすると
p[n]=2/(n^2+3n-2)
になると予想した

A[n]={(x,y,z)|x+y+z=n, x,y,zは非負整数}
できる正三角形の個数をT[n]とすると、
最初の方は
T[1]=1, T[2]=5, T[3]=15, T[4]=35, T[5]=70
となった
A[n]と△型・▽型の正三角形の個数は規則的に数えられるけど
傾いてる正三角形が一般の場合にうまくいかないorz
709132人目の素数さん
2018/09/30(日) 07:08:48.15ID:60e7kxgM
>>708
 辺長L(≧2)の△型には、傾いた正三角形(L-1)個が内接する。(▽も含む)

>>705
A[1] = 3,
A[n] = A[n-1] + (n+1),
より
A[n] = (n+2)(n+1)/2,   … 三角数

A[n]個の点から3点を選ぶ方法は
C[A[n], 3] = A[n] (A[n]-1) (A[n]-2)/6
 = {(n+2)(n+1)/2} {(n+3)n/2} {(nn+3n-2)/2},

 辺長nの大きい△型の中に
 辺長Lの△型が C[n+2-L, 2] 個ある。
 傾いている正三角形も含めれば、そのL倍になる。

T[n] = Σ(L=1, n) C[n+2-L, 2]・L
 = C[n+3, 4]
 = (n+3)(n+2)(n+1)n/24
 = A[n](A[n]-1)/6,
よって
T[n]/C[A[n], 3] = 1/(A[n]-2) = 2/(nn+3n-2),
710132人目の素数さん
2018/09/30(日) 08:26:01.48ID:I1AIdvLV
ご名答
>> 辺長L(≧2)の△型には、傾いた正三角形(L-1)個が内接する。(▽も含む)
ここがポイントですね。傾かないものも含めると、
「サイズLの正置な正三角形には、調度L個の正三角形が属す」
と言えます。全ての正三角形は、いずれかの正置な正三角形に属すため、
あとは、正置な正三角形がいくつあるかを調べ、足し合わせるだけです。
711132人目の素数さん
2018/09/30(日) 09:33:26.40ID:p1KBHVZY
707おねがいします
712132人目の素数さん
2018/09/30(日) 10:15:57.85ID:l/U+OsJc
>>709,710
なるほど、そうやって考えるんですね

C[n+2-L, 2]の部分ですが、これは
辺長Lの正置な正三角形のいちばん上の辺長1の正三角形に注目して
Σ[k=1,n-(L-1)]k
と数えたものでしょうか?
713132人目の素数さん
2018/09/30(日) 10:53:25.52ID:I1AIdvLV
サイズ n の正置な正三角形は 1 (=C[2,2])
サイズ n-1 の正置な正三角形は 3 (=1+2=C[3,2])
サイズ n-2 の正置な正三角形は 6 (=1+2+3=C[4,2])
サイズ n-3 の正置な正三角形は 10 (=1+2+3+4=C[5,2])
...
サイズ 1 の正置な正三角形は 1+2+3+...+n=C[n+1,2]
です。では、サイズ L では? というと、 C[n+2-L,2] という事です。

注目するサイズの正置正三角形のトップの頂点の、可動範囲を数え上げるという考えでもokですね。
714132人目の素数さん
2018/09/30(日) 12:10:03.51ID:+ZX6Gzee
>>682
用意していた答え

3辺の長さを (a,b,c) = (1, 2^r-1, 2^{2n-r}-1)、r=1,2,…n とおくと、
表面積 S = 2(ab+bc+ca) = 2(2^{2n}-1).
715132人目の素数さん
2018/09/30(日) 17:00:25.87ID:QXkD3Yad
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716132人目の素数さん
2018/10/01(月) 00:17:31.81ID:NFGqB/Wz
>>580
山札からダイヤが12枚出たところまですべて1/4で
13枚目のみゼロにすることも可能

■箱の中のカードがダイヤである確率は

基本形の式

q=1-{{165n-3n^2+351}/(208n-7n^2+468)}に

係数αをnの各項に掛ける

q=1-{{165nα-3αn^2+351}/(208nα-7αn^2+468)}

351と468にはそれぞれβ=479001600を掛ける

∵q=1-{{165nα-3αn^2+351β}/(208nα-7αn^2+468β)}

α=(n^2-13n)^6+182(n^2-13n)^5+13468(n^2-13n)^4
   +516360(n^2-13n)^3+10752768(n^2-13n)^2+114341760(n^2-13n)
   +479001600

これで出来上がり
717132人目の素数さん
2018/10/01(月) 01:58:40.96ID:e3gl78jP
どうして確率や場合の数の問題しか出てこないのかね。
そんなに面白いかい?
718132人目の素数さん
2018/10/01(月) 11:23:19.73ID:zs2OgFnD
AとBが引き分けのないゲームを次々と行い、一回のゲームで勝つ確率はそれぞれa, bである。つまりa+b=1である。
Aが先にn勝に到達する確率を求めよ。
719132人目の素数さん
2018/10/01(月) 11:30:00.57ID:0Ok3sr+H
>>718
これ求まるん?
1/2の時でもバナッハのマッチ箱で超難題なのに。
1/2じゃなくて求まるん?
720132人目の素数さん
2018/10/01(月) 11:33:21.47ID:lz/dpGRk
>>719
続けたまえ
721132人目の素数さん
2018/10/01(月) 11:44:18.11ID:MPNlhgUM
先にn勝というのは、2n-1回やってn勝以上することと同じ
Σ[k=n~2n-1] a^k・b^(2n-1-k)・C(k,2n-1)
722132人目の素数さん
2018/10/01(月) 13:22:40.67ID:WGyB9cPW
何も難問じゃない
将棋の番勝負の勝率レーティングから推計したことあるやつなら簡単にわかるはず
723132人目の素数さん
2018/10/01(月) 13:40:31.38ID:DmLU+xOs
あ、失礼。単にAが勝つ確率か。回数の期待値と勝手に思った。勝つ確率だけなら出るかな?
724132人目の素数さん
2018/10/01(月) 13:43:03.18ID:DmLU+xOs
つまりは>>721か。
これ求まるんかな?
725132人目の素数さん
2018/10/01(月) 13:51:24.17ID:lSP8i6OA
707おねがいします
726132人目の素数さん
2018/10/01(月) 13:57:37.32ID:dDtimu84
>>721,724
p(n)=Σ[k=n,2n-1]a^k・b^(2n-1-k)・C(k,2n-1)
とおくと、n≧2のとき二項定理より
(a+b)^(2n-1)=2(p(n)-a^n・b^(n-1))+a^n・b^(n-1)
よって
p(n)=(1+a^n・b^(n-1))/2
727132人目の素数さん
2018/10/01(月) 14:02:16.70ID:dDtimu84
>>726
二項係数抜けてるしそもそも3行目ダメですね
撤回します
728132人目の素数さん
2018/10/01(月) 15:59:39.87ID:qcAe9ESj
とりあえず10項ほど計算させてみたけど
makelist(factor(expand(sum(binomial(2*n-1,k)*a^k*(1-a)^(2*n-1-k),k,n,2*n-1))),n,1,10);
[
a,
-a^2*(2*a-3),
a^3*(6*a^2-15*a+10),
-a^4*(20*a^3-70*a^2+84*a-35),
a^5*(70*a^4-315*a^3+540*a^2-420*a+126),
-a^6*(252*a^5-1386*a^4+3080*a^3-3465*a^2+1980*a-462),
a^7*(924*a^6-6006*a^5+16380*a^4-24024*a^3+20020*a^2-9009*a+1716),
-a^8*(3432*a^7-25740*a^6+83160*a^5-150150*a^4+163800*a^3-108108*a^2+40040*a-6435),
a^9*(12870*a^8-109395*a^7+408408*a^6-875160*a^5+1178100*a^4-1021020*a^3+556920*a^2-175032*a+24310),
-a^10*(48620*a^9-461890*a^8+1956240*a^7-4849845*a^6+7759752*a^5-8314020*a^4+5969040*a^3-2771340*a^2+755820*a-92378)
]
なんにも思いつかんorz。
729132人目の素数さん
2018/10/01(月) 16:20:15.25ID:gVHzs4Q+
あかん、いろいろ調べたけどどうしようもなさそう。
>>721で正解なんかな?
730132人目の素数さん
2018/10/01(月) 18:00:13.71ID:lSP8i6OA
pを有理数とする。3辺の長さがp,p,1の二等辺三角形をT(p)と書く。
ある自然数kが存在して、k個のT(p)のみに分割できる多角形全体からなる集合をS(k)とする。
k=1,2,3,...に対し、以下の条件を満たすS(k)の要素の多角形の形状をすべて決定せよ。

条件『多角形の任意の2頂点間の距離は有理数である。』
731 【中吉】
2018/10/01(月) 21:00:19.22ID:yiYUO1B1
>>718
Aが先にn勝する確率をPnとすると、
P1=a
P2=a^2+2a^2・b
P3=a^3+3a^3・b+6a^3・b^2
P4=a^4+4a^4・b+(5C2)a^4b^2+(6C3)a^4・b^3
=a^4+4a^4・b+10a^4b^2+20a^4・b^3
P5=a^5+5a^5・b+(6C2)a^5・b^2+(6C3)a^5・b^3+(6C4)a^5・b^4
=a^5+5a^5・b+15a^5・b^2+20a^5・b^3+15a^5・b^4
P6=a^6+6a^6・b+(7C2)a^6・b^2+(7C3)a^6・b^3+(7C4)a^6・b^4+(7C5)a^6・b^5
=a^6+6a^6・b+21a^6・b^2+35a^6・b^3+35a^6・b^4+21a^6・b^5
P7=……
>>624フィボナッチだな。一般項出るぞ。
732132人目の素数さん
2018/10/01(月) 22:20:08.16ID:NFGqB/Wz
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■□■□■□■□■□■□■□■□■
■■■□■■■□■■■□■■■□■
733 【大吉】
2018/10/01(月) 23:00:40.25ID:yiYUO1B1
P1=a
P2/a^2=1+2b
P3/a^3=1+3b+6b^2
P4/a^4=1+4b+(5・4/2・1)b^2+(6・5・4/3・2・1)b^3
P5/a^5=1+5b+(6・5/2・1)b^2+(6・5・4/3・2・1)b^3+(6・5/2・1)b^4
P6/a^6=1+6b+21b^2+35b^3+35b^4+21b^5
P7/a^7=1+7b+28b^2+56b^3+70b^4+56b^5+28b^6
P8/a^8=1+8b+36b^2+84b^3+126b^4+126b^5+84b^6+36b^7
P9/a^9=1+9b+45b^2+120b^3+210b^4+252b^5+210b^6+120b^7+45b^8

P10/a^10=1+10b+55b^2+165b^3+330b^4+462b^5+462b^6+330b^7+165b^8+55b^9
>>731漸化式ができそう。
nが奇数のとき、
Pn/a^n=
nが偶数のとき、
Pn/a^n=
734132人目の素数さん
2018/10/02(火) 02:29:23.68ID:VNedEoPb
>>721

p(n) = Σ[k=n, 2n-1] a^k b^(2n-1-k) C(2n-1, k),   (b=1-a)

p(n+1) = p(n) + C[2n-1, n] (a-b)(ab)^n,   (b=1-a)
735132人目の素数さん
2018/10/02(火) 04:59:51.66ID:VNedEoPb
∂p(n)/∂a = (n/2) C(2n, n) {a(1-a)}^(n-1),

p(n) = (n/2) C(2n, n) Σ[k=0, n-1] (-1)^k C(n-1, k)/(n+k) a^(n+k)

   = (n/2) C(2n, n) a^n Σ[k=0, n-1] C(n-1, k)/(n+k) (-a)^k,

   
736イナ ◆/7jUdUKiSM
2018/10/02(火) 05:33:31.15ID:K+aBpi/A
>>733訂正。
P10/a^10=1+10b+(11C2)b^2+(12C3)b^3+(13C4)b^4+(14C5)b^5+(15C6)b^6+(16C7)b^7+(17C8)b^8+(18C9)b^9
=1+10b+55b^2+220b^3+715b^4+2002b^5+5005b^6+11440b^7+24310b^8+48620b^9
P9/a^9=1+9b+(10C2)b^2+(11C3)b^3+(12C4)b^4+(13C5)b^5+(14C6)b^6+(15C7)b^7+(16C8)b^8
=1+9b+45b^2+165b^3+495b^4+1287b^5+(14C6)b^6+(15C7)b^7+(16C8)b^8
P8/a^8=1+8b+36b^2+120b^3+(11C4)b^4+(12C5)b^5+(13C6)b^6+(14C7)b^7
P7/a^7=1+7b+(8C2)b^2+(9C3)b^3+(10C4)b^4+(11C5)b^5+(12C6)b^6
=1+7b+28b^2+84b^3+(10C4)b^4+(11C5)b^5+(12C6)b^6
P6/a^6=1+6b+(7C2)b^2+(8C3)b^3+(9C4)b^4+(10C5)b^5
P5/a^5=1+5b+(6C2)b^2+(7C3)b^3+(8C4)b^4
=1+5b+15b^2+35b^3+56b^4
737132人目の素数さん
2018/10/02(火) 07:32:49.03ID:+LHY32Zh
>>718
Rを使うと 負の二項分布を使ってpnbinom(n-1,n,a)で数値計算はできる。
738イナ ◆/7jUdUKiSM
2018/10/02(火) 10:50:51.36ID:K+aBpi/A
>>718
>>736一般項が出た。
Pn=a^n/(n-1)!Σ[k=1~n-2]{(n+k)!b^(k+1)}/(k+1)!
739132人目の素数さん
2018/10/02(火) 12:38:55.19ID:eO27KDaY
>>735
おお、すごい。
流石にこれ以上は無理?
740132人目の素数さん
2018/10/02(火) 13:11:05.17ID:0RVIqaz8
>>735
makelist((expand(sum(binomial(2*n-1,k)*a^k*(1-a)^(2*n-1-k),k,n,2*n-1))),n,0,10);
makelist((expand(n/2*a^n*binomial(2*n,n)*sum(binomial(n-1,k)/(n+k)*(-a)^(k),k,0,n-1))),n,0,10);

(%o1) [0,a,3*a^2-2*a^3,6*a^5-15*a^4+10*a^3,-20*a^7+70*a^6-84*a^5+35*a^4,70*a^9-315*a^8+540*a^7-420*a^6+126*a^5,-252*a^11+1386*a^10-3080
*a^9+3465*a^8-1980*a^7+462*a^6,924*a^13-6006*a^12+16380*a^11-24024*a^10+20020*a^9-9009*a^8+1716*a^7,-3432*a^15+25740*a^14-83160*a^13+
150150*a^12-163800*a^11+108108*a^10-40040*a^9+6435*a^8,12870*a^17-109395*a^16+408408*a^15-875160*a^14+1178100*a^13-1021020*a^12+556920*
a^11-175032*a^10+24310*a^9,-48620*a^19+461890*a^18-1956240*a^17+4849845*a^16-7759752*a^15+8314020*a^14-5969040*a^13+2771340*a^12-
755820*a^11+92378*a^10]
(%o2) [0,a,3*a^2-2*a^3,6*a^5-15*a^4+10*a^3,-20*a^7+70*a^6-84*a^5+35*a^4,70*a^9-315*a^8+540*a^7-420*a^6+126*a^5,-252*a^11+1386*a^10-3080
*a^9+3465*a^8-1980*a^7+462*a^6,924*a^13-6006*a^12+16380*a^11-24024*a^10+20020*a^9-9009*a^8+1716*a^7,-3432*a^15+25740*a^14-83160*a^13+
150150*a^12-163800*a^11+108108*a^10-40040*a^9+6435*a^8,12870*a^17-109395*a^16+408408*a^15-875160*a^14+1178100*a^13-1021020*a^12+556920*
a^11-175032*a^10+24310*a^9,-48620*a^19+461890*a^18-1956240*a^17+4849845*a^16-7759752*a^15+8314020*a^14-5969040*a^13+2771340*a^12-
755820*a^11+92378*a^10]

素晴らしい。
741132人目の素数さん
2018/10/02(火) 17:12:04.16ID:xOs+qnbe
n=0,αn/βn,α={2^n+2^(n-1)},β={2^(n+2)+2^(n-1)}

分母と分子の両方にゼロ掛けているのに
なんで1/3が出力されるねん?(´・ω・`)
742132人目の素数さん
2018/10/02(火) 18:09:37.32ID:aHJ20R9e
(1)実級数Σ_{n=1}^∞ a_nが絶対収束するならば
Σ_{n=1}^∞ (a_n)^2は収束するか?

(2)実級数Σ_{n=1}^∞ a_nが条件収束するならば
Σ_{n=1}^∞ (a_n)^2は収束するか?
743132人目の素数さん
2018/10/02(火) 18:18:08.02ID:zN6Tq8dX
(1) a_n > 1 である n は有限個なのでそれらを除いて (a_n)^2 ≦ a_n。よって収束する。
(2) しない。反例:a_n = (-1)^n/√n。
744132人目の素数さん
2018/10/02(火) 18:19:03.50ID:aHJ20R9e
>>743
早すぎワロタ
正解
745学術
2018/10/02(火) 19:49:00.32ID:qfVJ5oyJ
間違ってるものを採点して生徒が伸びた方がいたと思う。
高速通信添削で赤入れるみたいにしちゃうといい。女子美味しいな。
746学術
2018/10/02(火) 19:49:43.60ID:qfVJ5oyJ
フルハウスの意味表象記号観。
747イナ ◆/7jUdUKiSM
2018/10/02(火) 23:29:03.26ID:K+aBpi/A
>>738
Pn(n-1)!/a^n=(n+1)n(1-a)^2/2・1+(n+2)(n+1)n(1-a)^3/3・2・1+……+(2n-2)(2n-3)……n(1-a)^(n-1)/(n-1)!

Pn={a^n/(n-1)!}{(n+1)n(1-a)^2/2・1+(n+2)(n+1)n(1-a)^3/3・2・1+……+(2n-2)(2n-3)……n(1-a)^(n-1)/(n-1)!}

通分するのかな。
748132人目の素数さん
2018/10/03(水) 01:24:31.41ID:7h2ip4rW
>>743 (2)

S = Σ_{n=1}^{∞} a_n = Σ_{n=1}^{∞} (-1)^n /√n が収束すること。

S = -1 + 1/√2 - Σ_{m=2}^{∞} ( 1/√(2m-1) - 1/√(2m) )
 > -1 + 1/√2 - (1/2)Σ_{m=2}^{∞} ( 1/√(2m -3/2) - 1/√(2m +1/2) )  … (*)
 = -1 + 1/√2 - 1/√10
 = -0.60912098483…

S = -1 + Σ_{m=1}^{∞} ( 1/√(2m) - 1/√(2m+1) )
 < -1 + (1/2)Σ_{m=1}^{∞} ( 1/√(2m -1/2) - 1/√(2m +3/2) )    … (*)
 = -1 + 1/√2 - 1/√3 + 1/√14
 = -0.60298224609…

S = -0.60489864342163…
749132人目の素数さん
2018/10/03(水) 02:07:38.39ID:7h2ip4rW
>>748 (補足)
 f(n) = 1/√n の平均変化率 {1/√(n-h) - 1/√(n+h)}/(2h) が h>0 と共に増加すること。

 {f(n-h) - f(n+h)}/2h = {1/√(n-h) - 1/√(n+h)}/(2h)
 = {√(n+h) - √(n-h)}/{2h √(nn-hh)}
 = 1 / {√(nn-hh)・(√(n-h) + √(n+h)}
 = 1 / {√(nn-hh)・√[2n+2√(nn-hh)]},

あるいは平均値の定理により
 f(n-L-h) - f(n+k+h) - {f(n-h) - f(n+h)} - {f(n-L+k-h) - f(n-L+k+h)} + {f(n+k-L) - f(n-L+h)}
 = {f(n-L-h) -f(n-h) -f(n-L+k-h) +f(n+k-h)} - {f(n-L+h) -f(n+h) -f(n-L+k+h) +f(n+k+h)}
 = -2h {f '(a-L) - f '(a) - f '(a-L+k) + f'(a+k)}    (n-h<a<n+h)
 = -2h {f '(a-L) - f '(a)} -2h {f '(a-L+k) - f '(a+k)}
 = 2hk {f "(b-L) - f "(b)}   (a<b<a+k)
 = -2hkL f '''(c)       (b-L<c<b)
 > 0
750132人目の素数さん
2018/10/03(水) 05:10:42.84ID:DaTYnnLD
[0,π]上の連続関数fに対して、
lim(n→∞)∫_0^π f(x)cos(nx) dx=0
となることを証明せよ
751132人目の素数さん
2018/10/03(水) 13:43:17.24ID:rOBG/Z0C
>>751
(p,q) := 2/π∫ pq dx とする。
これは双線形であり、{cos nx} は (cos lx, cos mx) = δ(l,m) となる。
Nを自然数とし
a[n] = (cos nx, f)、g = Σ[m:1~N] a[m] cos mx、h = f-g とおく。
n: 1~N に対し
(h, cos nx) = (f-g, cos nx) = (f, cos nx) - (Σ[m:1~N] a[m] cos mx, cos nx) = a[n] - a[n] = 0
であるから (h,g) = 0 である。
よって
(f, f) = (g+h, g+h) = (g, g) + 2(g, h) + (h, h) = (g, g) + (h, h) ≧ (g, g) = (Σ[l:1~N] a[l] cos lx, Σ[m:1~N] a[m] cos mx) = Σ[m:1~N] a[m]^2
である。
これが任意のNで成立するから
Σ[m:1~∞] a[m]^2
は収束するので lim(n→∞)a[n]=0 である。
752132人目の素数さん
2018/10/03(水) 15:09:19.50ID:sCRZrnTp
>>751
正解!
ベッセルの不等式証明してくれた感じかな
753132人目の素数さん
2018/10/03(水) 15:16:20.13ID:AdKJHB0+
【世界教師マⅰトレーヤ】 トランプは現在、ツイートを囮にして、史上最悪の法案にサインする気でいる
http://2chb.net/r/liveplus/1538533045/l50

山本太郎もブチ切れる、労働者へのゲスい裏切り!
754132人目の素数さん
2018/10/04(木) 00:09:55.61ID:wFWA09/F
>>734

 p(n+1) - p(n) = (2a-1) C[2n-1, n] (a(1-a))^n,     (n≧1)
の両辺に t^n を掛けて和をとると
 G(t)/t - p(1) - G(t) = (2a-1)Σ[n=1,∞] C[2n-1, n] (a(1-a)t)^n

 = (1/2)(2a-1) {1/√(1-4a(1-a)t) -1},     … (*)
 
 (2(1-t)/t) G(t) = 1 + (2a-1)/√(1-4a(1-a)t),

 G(t) = Σ[n=1,∞] p(n) t^n = (t/2(1-t)) {1 + (2a-1)/√(1-4a(1-a)t)},

*) 一般化された二項定理
 1/√(1-4x) = 1 + 2Σ[n=1,∞] C[2n-1, n] x^n,
755132人目の素数さん
2018/10/04(木) 02:29:02.41ID:gUoKrYzL
>>718 の答えは今出てる答えで正解でいいのかな?
流石にもうこれ以上はどうしょうもない気がする。
756132人目の素数さん
2018/10/04(木) 02:43:03.87ID:pCjQRYKm
母函数面白いね
カタラン数のそれに近い感じもある
757イナ ◆/7jUdUKiSM
2018/10/04(木) 10:21:42.56ID:jwM/NwpW
>>755
>>718の答え、>>747でいいの?
確率をnとaで表せってことだよね?
……があるままでいいってこと?
通分して分子が簡単になったりして。
>>747
758イナ ◆/7jUdUKiSM
2018/10/04(木) 11:08:57.18ID:jwM/NwpW
>>757
通分すると、
Pn={a^n/(n-1)!(n-1)!}[(n+1)!{(n-1)(n-2)……3}(1-a)^2+(n+2)!{(n-1)(n-2)……4)}(1-a)^3+……+(2n-2)!(1-a)^(n-1)]
簡単にならないなら……を許可するしかないか。それかΣとkを使うか。
759132人目の素数さん
2018/10/04(木) 22:51:50.84ID:wFWA09/F
>>756

Catalan(n) = C[2n, n] - C[2n, n-1] = {1/(n+1)} C[2n, n]

Σ[n=0,∞] Catalan(n) t^n = {1 - √(1-4t)}/(2t),
760132人目の素数さん
2018/10/04(木) 23:00:52.73ID:LFy1EKo2
カタラン数を語らん!
761132人目の素数さん
2018/10/04(木) 23:14:12.31ID:VmTW+2yt
このスレで見つけた問題。
[0,n]×[0,n]の格子点の隣接する格子点をむすんで得られるグラフを考える。(図1参照)
このグラフの左下と右上を結ぶグラフ上の経路で長さ2nのもののうちy≦xの部分にある横線をちょうどk回通るものの個数を求めよ。

>>432より
>―図1―(n=6の場合)
>┌─┬─┬─┬─┬─┬─┐
>│ │ │ │ │ │ │ 
>├─┼─┼─┼─┼─┼=┤
>│ │ │ │ │ │ │ 
>├─┼─┼─┼─┼=┼=┤
>│ │ │ │ │ │ │ 
>├─┼─┼─┼=┼=┼=┤
>│ │ │ │ │ │ │ 
>├─┼─┼=┼=┼=┼=┤
>│ │ │ │ │ │ │ 
>├─┼=┼=┼=┼=┼=┤
>│ │ │ │ │ │ │ 
>└=┴=┴=┴=┴=┴=┘
762132人目の素数さん
2018/10/08(月) 18:08:41.43ID:vYJ1GP+F
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763132人目の素数さん
2018/10/11(木) 17:11:17.49ID:+nerrO/K
不思議な現象に遭遇したけど、よくわからないのでみんなの知恵を借りたい。

a1,a2,…を不定元とし、σをその添字を1だけ大きくする作用素とする。
次で有理式の列{F[n]; n=0,1,2,…}を定める:
F[0] = 1, F[n] = (F[n-1] + σF[n-1])/(a1+a2+…+an) (n≧1)。
F[1] = (1 + 1)/(a1) = 2/a1,
F[2] = (2/a1 + 2/a2)/(a1+a2) = 2/a1a2,
F[3] = (2/a1a2 + 2/a2a3)/(a1+a2+a3) = 2(a1+a3)/a1a2a3(a1+a2+a3),
F[4] = (2(a1+a3)/a1a2a3(a1+a2+a3) + 2(a2+a4)/a2a3a4(a2+a3+a4))/(a1+a2+a3+a4)
   = 2(a1a2+a2a3+a3a4)/a1a2a3a4(a1+a2+a3)(a2+a3+a4)
のようになるが、既約分数表示での分母を見ると偶数項の因数は約分で消え、奇数項の因数しか現れていない。
PCで調べるとF[8]まではそうなっている。
なので「F[n]を既約分数で表したとき分母には奇数項の因数しか現れない」と予想するが、
これは正しいだろうか?

また関連しそうなことがあったら教えてください。
764132人目の素数さん
2018/10/12(金) 20:40:52.47ID:PScjLvUl
1/a(a+b)(a+b+c)…(a+b+c+…+z) を [a,b,c,…,z] と書くことにする。
[] = 1,[a] = 1/a, [a,b] = 1/a(a+b) など。
次を示せ。
(1) [a][b] = [a,b] + [b,a]
(2) [a,b][x] = [a,b,x] + [a,x,b] + [x,a,b]
(3) [a,b][x,y] = [a,b,x,y] + [a,x,b,y] + [a,x,y,b] + [x,a,b,y] + [x,a,y,b] + [x,y,a,b]
(4) [a][b][c] = [a,b,c] + [a,c,b] + [b,a,c] + [b,c,a] + [c,a,b] + [c,b,a]
また、一般にどのようなことがいえるだろうか?
>>763 を考えた背景にあるもの)
765132人目の素数さん
2018/10/14(日) 10:12:53.96ID:Rg/i5zok
E, A, B を同じ型の正方行列とし、Eを単位行列とする。
E-ABが逆行列Cをもつとき、E-BAが正則であることを示し、その逆行列をE, A, B, Cを用いて表せ。
766132人目の素数さん
2018/10/14(日) 11:38:51.05ID:8dVZheoh
>>765
C = (E-AB)^-1 = E + AB + (AB)^2 + … とおもえば
(E-BA)^-1 = E + BA + (BA)^2 + … = E + BA + B(AB)A + B (AB)^2 C + … = E + BCA と予想できて、
あとは計算で (E-BA)(E+BCA) = (E+BCA)(E-BA) = E。
767132人目の素数さん
2018/10/14(日) 11:48:27.04ID:8dVZheoh
A,Bがn次行列のとき、ABとBAの固有値は等しいことを示せ。
768132人目の素数さん
2018/10/14(日) 18:47:55.39ID:RPfJW+Db
係数環がZで証明できれば十分。
よってさらにCで証明できれば十分。
Aが正則のときABA^(-1)とBの固有多項式が等しく故成立。
一般の場合は等式 ch AB = ch BA がザリスキ開集合 det A≠0 で成立する故一般に成立。
769132人目の素数さん
2018/10/14(日) 20:07:46.18ID:KkBlRZKF
■ニャンティホール問題

□□□  ∧,,∧    ∧,,∧   
□□□  (,,・∀・)   ミ,,・∀・ミ  
□□□~(_u,uノ @ミ_u,,uミ 
770132人目の素数さん
2018/10/15(月) 11:53:39.52ID:Cs8TUMYb
>>763

それ無理じゃね?
全変数に1をいれるとF[n] = 2^n/n!なので十分大きいnでv_2(F[n]) < 0。
一方でa1 = 1、残りに2をいれると全てのnでF[n]は2進整数。
よって分母に必ず項の数が偶数の因子が出てくると思う。
771132人目の素数さん
2018/10/15(月) 12:43:35.59ID:i7/FRo1V
>>770
> 全変数に1をいれるとF[n] = 2^n/n!なので十分大きいnでv_2(F[n]) < 0。

v_2は2進付値だよね。だったら、
v_2(n!) = Σ[k=1,∞] floor(n/2^k) ≦ Σ[k=1,∞] n/2^k ≦ n だから
v_2(F[n]) ≧ 0 だよ。
772132人目の素数さん
2018/10/15(月) 14:26:48.59ID:ArZ1mDJT
>>771
あ、ホントだ。
失礼しました。
773132人目の素数さん
2018/10/15(月) 17:00:40.06ID:I979f5xZ
平川-松村の定理
774132人目の素数さん
2018/10/15(月) 18:23:54.97ID:Pc4lKaBY
p1, p2, Pは素数かつ、
p1 ≧ 3, p2 ≧ 3, P ≧ 7で、
p1 + p2 = ( P + 1 )
が成り立つときの
p1, p2, P がみたす性質って何かありますか?
775132人目の素数さん
2018/10/15(月) 18:33:36.53ID:7e+ZqB9F
>>774
mod
776132人目の素数さん
2018/10/15(月) 23:27:34.88ID:TBaDGY4B
>>767
Aが正則でないとき…

Eをn次の単位行列、yは実数とする。
|A+yE| はyのn次式だから、|A+yE| = 0 を満たすyの個数は高々n個である。
|A+yE|≠0 となるyに対しては
 |xE - (A+yE)B| = |xE - B(A+yE)|,
が成り立つ。|A+yE| = 0 の解をうまく避けながら y→0 とすれば、
 |xE-AB| = lim_{y→0} |xE - (A+yE)B| = lim_{y→0} |xE - B(A+yE)| = |xE-BA|,
∴ |xE-AB| = |xE-BA|.

A,B∈M_n(C)に対して ABとBAの固有多項式が同じになることを証明せよ。
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1239473677

任意のn次正方行列A,Bについて ABとBAの固有多項式が同じになることの証明
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q11107489021
777132人目の素数さん
2018/10/15(月) 23:28:12.32ID:vAwE2iKE
777☆
778132人目の素数さん
2018/10/16(火) 10:47:22.37ID:9Iy8NhYm
nを自然数として、a_1=3,a_n=n(a_(n-1)-1)+2 (n≧2)でa_nを定める。
ここK村の人口はa_n人で、増えることも減ることもない。
さて、K村から任意の2人を選んだ時、その2人はある「関係」を持っているとする。そして、その「関係」はn種類にわたって存在する。
この時、どの2人を選んでも同じ「関係」で結ばれているような3人組が必ず存在することを示せ。

オリジナルです
考え方自体は既出だと思う
779132人目の素数さん
2018/10/16(火) 11:06:57.32ID:XgKYsVQ3
イミフ
780132人目の素数さん
2018/10/16(火) 15:17:31.18ID:pXbAMmW4
a[1]=3人だと1種類
a[2]=6人だと2種類
a[3]=17人だと3種類
・・・
781132人目の素数さん
2018/10/16(火) 15:31:09.15ID:4hIfQunY
>>778
よく分からんけど、ラムゼー数( https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%83%A0%E3%82%BC%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
R_n(3,3,…,3) ≦ a[n] を示せってことか?
782132人目の素数さん
2018/10/16(火) 15:51:55.66ID:xW+nW6TE
>>778
正確に言葉を使え
高卒か?
783132人目の素数さん
2018/10/16(火) 16:25:15.98ID:59lKj0WN
>>778>>781の意味ならそのままwikiに書いてある漸化式で解けちゃうね。R(…)の中の2は自動的に落ちてしまう
784132人目の素数さん
2018/10/16(火) 17:30:56.90ID:5jr9jBpY
清書
Claim 1)
R(k1,…,kn)≦R(k1-1,k2,…,kn) + R(k1,k2-1,…,kn) + … + R(k1-1,k2,…,kn-1) - n + 2
(∵) R(k1-1,k2,…,kn) + R(k1,k2-1,…,kn) + … + R(k1-1,k2,…,kn-1) - n + 2個の点からなる完全グラフから1点v を選び、そこから残りの点への辺を1~nに彩色する。
このとき、色1に塗られている辺の個数がR(k1-1,k2,…,kn)以上かまたは…色nに塗られている辺の個数がR(k1-1,k2,…,kn-1)以上である。
最初の場合(残りの場合も同じように議論できる)、色1に塗られている辺の向かう先の点の個数がR (k -1, k2,…,kn)以上だから、それらの点からk1 -1個の点の、色1のみからなる完全グラフか、ki個の点の色iのみからなる完全グラフがある。
前者の場合、v とあわせればk1 個の点の色1のみからなる完全グラフが得られる。

Claim2)
R(k1,…,kn,2) = R(k1,…,kn)
(∵) R(k1,…,kn)個以上の頂点からなる完全グラフをn+1色に塗り分ける時、色n+1が使われていればその辺のみからなるグラフが2点完全グラフである。
n+1がつかわれていなければR(k1,…,kn)の定義からいずれかの色 i のみで塗られた完全 ki グラフを含む。

以上により R(3,3,…,3) ≦ a_n。
785132人目の素数さん
2018/10/17(水) 12:18:06.75ID:73t+PGbH
>>782
これで理解できへんのはアウトやろ
786132人目の素数さん
2018/10/17(水) 12:26:37.27ID:0tcTzRCF
この問題文はあかん
787132人目の素数さん
2018/10/17(水) 15:01:02.00ID:I9IpbIiP
問題文かは鳩ノ巣かなと思ってた
788132人目の素数さん
2018/10/17(水) 15:40:39.54ID:0tcTzRCF
わかスレの問題改題。

数列 (c[n], d[n]) を

 c[n] = (2n-1)c[n-1] + c[n-2]、c[1] = 0、c[2] = 1、
 d[n] = (2n-1)d[n-1] + d[n-2]、d[1] = 1、d[2] = 0

で定める時 lim[n→∞] c[n]/(2n-1)!!、lim[n→∞] d[n]/(2n-1)!! を求めよ。
789132人目の素数さん
2018/10/17(水) 18:50:29.46ID:PUvZuus0
>>788
c[n]の方は組合せ的意味(http://2chb.net/r/math/1534342085/494,510,623)を考えれば、
c[n] = Σ[r=0,n] (-1)^r binomial(2n-r,r) (2n-2r)! / (n-r)!2^(n-r) が分かって、
α(n,r) := n!(2n-r)!2^r/(2n)!(n-r)! が
0 < α(n,r+1) < α(n,r), α(n,r)→1 (n→∞) となるのを使えば
lim[n→∞] c[n]/(2n-1)!! = lim[n→∞] Σ[r=0,n] ((-1)^r/r!)α(n,r) = e^(-1)。
790132人目の素数さん
2018/10/17(水) 19:18:42.08ID:LxNRGIwD
やっと二重階乗がでてきたのか
791132人目の素数さん
2018/10/17(水) 21:40:01.85ID:RJVJEgsX
>>289
おお、なるほど。
素晴らしい。
それなら前スレででてきたベッセル関数もへったくれもなしに証明できますね。
今の所用意している解答はベッセル関数もへったくれもある解答です。
d[n]の方もそんな感じでできるかもしれないですね。
792132人目の素数さん
2018/10/17(水) 21:53:46.92ID:LxNRGIwD
ジョーカーを除いたトランプ52枚を外からは中が
確認できない52個の箱の中に表を見ないで一枚ずつ入れた
そして、52個の箱の中から適当に三つの箱を選んで三枚の
カードを取り出すと三枚ともダイヤであった
このあと残りの49個の箱の中からどの箱を選んでも
箱の中のダイヤの確率は10/49である
793132人目の素数さん
2018/10/18(木) 03:38:50.93ID:k/D5nzuI
a,b (1≦a≦b) を整数とする。
b階建てビルのエレベーターは1階からb階までを移動している。
a階でエレベータを待つとき、上からやってくる確率を求めよ。
794132人目の素数さん
2018/10/18(木) 04:25:18.54ID:ybZLuwXw
>>793
何が同様に確からしいのかわかんねー
795132人目の素数さん
2018/10/18(木) 12:33:59.38ID:EWu4uTz9
縦3マス、横4マスの12マスのうちランダムに選ばれた2マスにそれぞれ宝が眠っている。
AEIBFJ…の順で縦に宝を探していく方法をとるP君と、ABCDEFGH…の順で横に宝を探していく方法をとるQ君が、同時に地点Aから探索を開始した。
どっちの方が有利?

ABCD
EFGH
I JK L
796132人目の素数さん
2018/10/18(木) 13:16:58.60ID:7YqgJU0i
>>795
移動時間とかなんにも条件ないならイーブン。
797132人目の素数さん
2018/10/18(木) 13:36:41.89ID:7YqgJU0i
>>795
以外に自明じゃないけど結局イーブン
P : AEIBFJCGKDHL
Q : ABCDEFGHIKKL

部屋   : ABCDEFGHIKKL
先に入る:△QQQPPQQPPP△
798132人目の素数さん
2018/10/18(木) 13:40:36.12ID:S3KlGNXW
ABCDEFGHIJKLとBCDEFGHIJKLAの争いがえぐい
799132人目の素数さん
2018/10/18(木) 13:54:02.75ID:7YqgJU0i
ETFJKをP部屋と呼ぶ。Pはこの部屋にQより先にこの順に入室する。
BCDGHをQ部屋とよぶ。Qはこの部屋にPより先にこの順に入室する。
Aに宝があれば同着でイーブン。
Aに宝がなくLに宝があれば残りがP部屋か、Q部屋かによるのでイーブン。
2つともP部屋ならP勝ち、2つともQ部屋ならQ勝ちでその確率はイーブン。
のこり25通りは
 EIFJK
B△
C △
D  △
G   △
H    △
と5×5マスからひとつ選ぶ場合だけど△の組み合わせなら同着、
上半分ならQ勝ち、下半分ならP勝ちでイーブン。
以外に思ったより自明じゃないなぁ。
800132人目の素数さん
2018/10/18(木) 14:19:20.33ID:EWu4uTz9
>>795
追記。問題文にあるように、ABCDEFGH…とAEIBFJ…という探索方法をとっています。P君はQ君が先にBを調べていても4ターン目にちゃんと調べることになってますよ。
要するに、相手が調べ終わった部屋も重複して調べる場合が出てきます。
801132人目の素数さん
2018/10/18(木) 14:20:35.68ID:lUFq+UnC
>>797
いや完全に自明だろw
全ての箱等価なんだから
くじ引きと同じだぞ
802132人目の素数さん
2018/10/18(木) 14:23:30.73ID:EWu4uTz9
>>801
全く自明じゃないよ、1マスにしか宝がないなら自明だが2マスあれば自明じゃない。
結論はネタバレになるから言わないけど案外面白い結果になる。
803132人目の素数さん
2018/10/18(木) 14:29:52.71ID:lUFq+UnC
>>802
壮絶なバカだなあ

マスを箱と考える。
箱のセットをコピーして、A~Lのセットを2つ用意する
アタリとなっているの箱の文字はどちらも同じ。

P : AEIBFJCGKDHL
Q : ABCDEFGHIJKL

PQはどの順番でハコを開けていくか?が同じだけ。
ハコの中身がランダムで未知なのに開ける順番で差がつきうるとかお笑いだなw
804132人目の素数さん
2018/10/18(木) 14:30:20.02ID:BOAck/eY
勝利条件が書いてないのだが
805132人目の素数さん
2018/10/18(木) 14:30:35.44ID:lUFq+UnC
盛大に誤字ったw
どの順番でハコを開けていくか?が違うだけ が正しい
806132人目の素数さん
2018/10/18(木) 14:50:03.58ID:4ou2qq4A
>>803
>箱のセットをコピーして、A~Lのセットを2つ用意する

それ違う問題だろ。
本問の場合片方が先に見つけたお宝は他方の手には入らない

それを踏まえた上で

P:ABCDEFGHIJKL
Q:BCDEFGHIJKLA

これでもイーブンだと思う?
807132人目の素数さん
2018/10/18(木) 15:00:10.11ID:EWu4uTz9
>>804
あーごめん、完全に自分のミスです

先に宝を見つけた方が勝ちです。
いずれか1人が(あるいは同時に2人が)宝を見つけた時点でゲームは終了です。すいません。
808132人目の素数さん
2018/10/18(木) 15:02:08.47ID:lUFq+UnC
>>806
100%イーブンだろwwww
頭悪いんだなw

お前の言ってるのは
「クジ引きで後に引くのは不利、先に当たりひかれちゃうかもしれないから!」
これと完全に同レベルな
809132人目の素数さん
2018/10/18(木) 15:04:29.78ID:lUFq+UnC
>>806
マジで分からないのか?

お前の言ってるのは
「どれが当たりか全く分からない12個の箱を、開ける順番を変えるだけで
当たり引くまでの回数の期待値を変えられる」
ってことだぞ?

本気で言ってんならヤバいよw
810132人目の素数さん
2018/10/18(木) 15:06:30.41ID:4ou2qq4A
>>808

P:ABCDEFGHIJKL
Q:BCDEFGHIJKLA

この順に部屋を調べるとして、1個だけのお宝が
A~Lにある10の場合それぞれについて
P、Q のどちらが勝つかわかる?

Aにある場合→Pが先に調べるからの勝ち
Bにある場合→同様にPの勝ち
...

のように
811132人目の素数さん
2018/10/18(木) 15:08:01.09ID:4ou2qq4A
>>810
>Aにある場合→Pが先に調べるからPの勝ち
>Bにある場合→Qが先に調べるからQの勝ち

の間違いだった
812132人目の素数さん
2018/10/18(木) 15:12:01.94ID:EWu4uTz9
>>809
2マスに宝がそれぞれ置いてあるんですよ??もちろん1マスにしかないならイーブンですが、2マスに宝がある場合、この2つの宝は互いに独立して配置されるわけではないんですよ。
要するに、宝が1マスに重複して置かれることがないから「宝Aがあるマスに配置された瞬間、宝Bはそのマス以外に配置されることになる」わけで、その期待値で考える理屈は通用しませんよね。
813132人目の素数さん
2018/10/18(木) 15:15:24.25ID:4ou2qq4A
>>809
1つの当たりが10個の箱に入っているとして、

P:ABCDEFGHIJKL
Q:BCDEFGHIJKLA

このように片方が開ける順よりも1つ先の箱を開けることによって、
Qが当たりを引くまでの手数は

1/10の確率でPより9増える (当たりがAの場合)
9/10の確率でQより1減る

双方の当たりを引くまでの手数の期待値は変わらないが、
他方より1でも少なければ勝ちなのでQが勝つ確率は9/10となる
814132人目の素数さん
2018/10/18(木) 15:16:18.29ID:4ou2qq4A
>>813
>9/10の確率でQより1減る

Pより1減る、の間違いだな
なんかグダグダ
815132人目の素数さん
2018/10/18(木) 15:17:46.47ID:BOAck/eY
宝が一つの場合でも>>810>>811みたいなのを考えると単純な期待値の問題にはならないんじゃ?
816132人目の素数さん
2018/10/18(木) 15:19:27.15ID:EWu4uTz9
>>815
その場合は「相手が調べ終わっている箱を確かめる」回数が多い方が負けるでしょうね、、
817132人目の素数さん
2018/10/18(木) 15:36:38.92ID:7YqgJU0i
あれ?>>799で終わったと思ってるんだけど?
間違ってる?
818132人目の素数さん
2018/10/18(木) 15:55:19.98ID:7YqgJU0i
コレ、直感的には自明にイーブンに見えるけど、ちゃんと考えると少なくとも自明じゃないのが面白い。
けど結局イーブンだからなぁ。
縦横でも

P:AEIJFBCGKLHD
Q:ABCDHGFEIJKL

とかにしてイーブンじゃない設定の方が良かったかも。
819132人目の素数さん
2018/10/18(木) 16:15:00.24ID:7YqgJU0i
いや、嘘書いた。>>799の残り25通りイーブンじゃないやん。
BEが宝箱ならQ部屋のBにQが入室すらのが2ターン目、EにPが入室するのが6ターン目だからQの勝ち。
同様にして勝敗を埋めて行くと

EIFJK
B QQQQQ
C QQQQQ
D QQQQQ
G PPQQQ
H PPPPQ

となってQの勝ちですね。
直感に反してて面白い。
820132人目の素数さん
2018/10/18(木) 16:25:38.90ID:7YqgJU0i
あかん、まだ嘘書いてる。
残りは50事象だ。
821132人目の素数さん
2018/10/18(木) 16:31:58.81ID:7YqgJU0i
いや、合ってる。
やっぱり頭の中だけで考えるとダメだ。
ALは無視して残り10部屋で45通り。
P部屋五部屋のみから選ぶのが10通り。
Q部屋五部屋のみから選ぶのが10通り。
残りは25通り、Q勝ちの方が多い。
822132人目の素数さん
2018/10/18(木) 19:14:50.26ID:y4R+MJMW
なるほどねえ
確かにQの方が微妙に先に見つける場合が多いな

Pが先に見つけるのは以下の26通り
CE,DE,DI,EF,EG,EH,EI,EJ,EK,EL,FG,FH,FI,FJ,FK,FL,GI,GJ,HI,HJ,IJ,IK,IL,JK,JL,KL

Qが先に見つけるのは以下の27通り
BC,BD,BF,BG,BH,BI,BJ,BK,BL,CD,CF,CG,CH,CJ,CK,CL,DF,DG,DH,DJ,DK,DL,GH,GK,GL,HK,HL

同時に見つけるのは以下の13通り
AB,AC,AD,AE,AF,AG,AH,AI,AJ,AK,AL,BE,CI
823132人目の素数さん
2018/10/18(木) 19:46:16.03ID:AIa0HjDX
何を数え上げているのさっぱりわからんが、12C2=121なので121通りないとおかしい。
イーブンだぞ。
824132人目の素数さん
2018/10/18(木) 19:50:19.73ID:Z/pf1+wY
>>788,789,791
e[n] = Σ[r=0,n] binomial(2n-r,r) (2n-2r)! / (n-r)!2^(n-r) と置くと、c[n], d[n]と同じ漸化式
e[n] = (2n-1)e[n-1] + e[n-2] が成り立ち、e[1]=2, e[2]=7 であるから d[n] = (e[n]-7c[n])/2。
>>789 と同様にして lim[n→∞] e[n]/(2n-1)!! = lim[n→∞] Σ[r=0,n] (1/r!)α(n,r) = e であるから
lim[n→∞] d[n]/(2n-1)!! = (e-7e^(-1))/2。

c[n]などはいろいろな表し方がある:
c[n] = Σ[r=0,n] (-1)^(n-r) binomial(n+r,2r) (2r)! / r!2^r
   = Σ[r=0,n] (-1)^(n-r) binomial(n+r,2r) (2r-1)!! (ただし (-1)!!=1 とする。)
0以下に延長すると:
e[-5]=266, e[-4]=37, e[-3]= 7, e[-2]=2, e[-1]= 1, e[0]= 1, e[1]=2, e[2]=7, e[3]=37, e[4]=266,
c[-5]=-36, c[-4]=-5, c[-3]=-1, c[-2]=0, c[-1]=-1, c[0]= 1, c[1]=0, c[2]=1, c[3]= 5, c[4]= 36,
d[-5]=259, d[-4]=36, d[-3]= 7, d[-2]=1, d[-1]= 4, d[0]=-3, d[1]=1, d[2]=0, d[3]= 1, d[4]= 7.
825132人目の素数さん
2018/10/18(木) 19:58:07.26ID:y4R+MJMW
>>823
12C2 = 12! / (2! x 10!) = 12x11 / 2 = 66
826132人目の素数さん
2018/10/18(木) 20:01:25.73ID:AIa0HjDX
>>825
俺の頭が湧いてるのか?
12x11/2 = 11x11=121
827132人目の素数さん
2018/10/18(木) 20:02:07.31ID:AIa0HjDX
>>825
ごめん湧いてたwwwwwww
828132人目の素数さん
2018/10/18(木) 23:36:54.15ID:ZLom+Usi
わからない、教えて
抽選ボックスが2つ、どちらかから1つからボールを1つだけ引き当選の有無を確認する。
抽選ボックスAはボールが3コ、ボックスBは7コ。
一等は1本、2等は2本、計3本がどちらかのボックスに偏っているとする。

この時どちらのボックスを引くのが良いか?または同じか?
829132人目の素数さん
2018/10/18(木) 23:48:24.44ID:7YqgJU0i
>>828

> 一等は1本、2等は2本、計3本がどちらかのボックスに偏っているとする。

コレは
X : Aに一等1.二等2.Bは全部ハズレ
Y : Bに一等1,二等2,ハズレ4,Aは全部ハズレ
のいずれかであるという意味?
XとYが同様に確からしいとか、なんか条件ないと答えでないんじゃね?
同様に確からしいなら明らかに Aの方がお得だけど。
830132人目の素数さん
2018/10/19(金) 00:05:07.75ID:qhs5NzN0
>>829
同様に確かと言えるのは3/10が当たりということとどちらかに偏ることは確かだとしか聞いてない

A:1/2 ×3/10=3/20
B:1/2 ×3/7/10=5/7
でBの方がお得になるんだけど感覚として
Aは1/2 ×1/3=1/6で当たり引けるから混乱してる
831132人目の素数さん
2018/10/19(金) 00:11:17.55ID:vrUAL2J1
ランダムに分けるんだけど結果偏っていたという場合の考察

全ての分け方: 10C3通り
うちAに当たりが偏った分け方 : 1通り
うちBに当たりが偏った分け方 : 7C3通り
832132人目の素数さん
2018/10/19(金) 00:12:23.88ID:vrUAL2J1
>>830
>A:1/2 ×3/10=3/20

この10はどこから出てきたw
833132人目の素数さん
2018/10/19(金) 00:18:34.12ID:qhs5NzN0
>>832
10個からボール1つを選ぶけどAは3個しかない
834132人目の素数さん
2018/10/19(金) 00:33:44.91ID:0SW2jqO2
(a) A に偏っている場合
3つのボックスのどれかを開ければ1/3の確率で1等、2/3の確率で2等
1等、2等のいずれかが当たる確率は100%

(b) B に偏っている場合
7つのボックスのどれかを開ければ1/7の確率で1等、2/7の確率で2等
1 等、2等のいずれかが当たる確率は3/7≒43%

Aに偏っているかBに偏っているかが同様に確からしい
(それぞれ1/2の確率)ならA の箱を開ければ1/2の確率で当たりをひける。

じゃなくて「ランダムに分けたんだけどなんか偏っちゃった!」だと
そもそもAに偏ってる(=当たりが入っている)確率自体がとても低いのでAを選ぶのは危険
835132人目の素数さん
2018/10/19(金) 00:52:26.09ID:qhs5NzN0
>>834
そうかー
そのランダムなんだけどAってどれくらいの確率なの?
836132人目の素数さん
2018/10/19(金) 01:11:58.87ID:qhs5NzN0
1/10c3か?そりゃ低いや
大きい箱の方に引っ張られるのかね
837132人目の素数さん
2018/10/19(金) 01:24:07.41ID:5btDxqP5
ボックスAに一等が入っているなら
ボックスBに二等が二つ

ボックスBに一等が入っているなら
ボックスAに二等が二つ入っている

という意味だよ
838BLACKX ◆SvoRwjQrNc
2018/10/19(金) 01:29:47.49ID:yLZt/D6J
ごちゃごちゃする前に出題者です。
たとえ話でその後の回答ないので私の方から回答しに来ました。
一般的な確率でなくLOTOを計算しております。
10個のボールの中で前提が1等が1個だけで抽選をし、1等の箱が決まった時点でその箱の中で2等が決まるため同じ箱に偏るとしました。
なので834さんがお答えの通りかなり低いです。1等が3つのボールの箱に入らなければ2等はありませんから。
箱自体に当たりのある確率で30:70です。
839132人目の素数さん
2018/10/19(金) 01:35:33.67ID:OCs/EBNC
>>824
正解です。素晴らしい。
ちなみに用意の解答
―-
f(n,x) = (-1/x d/dx)^n (exp x/x)
とおけば
x^2 f(n,x) = (2n-1)f(n-1,x) + f(n-2,x)。
とくに p[n] = f(n,1)、q[n] = f(n,-1)とおけば
p[n] = (2n-1)p[n-1] + p[n-2]、q[n] = (2n-1)q[n-1] + q[n-2]。
これとp[1] = 0、p[2] = e、q[1] = -2/e、q[2] = -7/eにより
c[n] = p[n]/e、d[n] = (-7p[n]/e + 2e q[n])2。
一方で (-1/x d/dx)^n (exp x/x)をマクローリン展開して lim[n→∞] f(n,±1)/(2n)!! = ±1。
以上により
lim[n→∞] c[n]/(2n)!! = 1/e、lim[n→∞] d[n]/(2n)!! = (-7/e+e)/2。

前わかスレに出てた変形ベッセル関数による表示を利用しています。
(本来のベッセル関数だとx=-1を代入できないのでちょっと一工夫してますが。)
840132人目の素数さん
2018/10/19(金) 01:39:41.07ID:T5g/T+ww
それなら

Aに1等が入っている確率3/10
Aから選んで1等を当てる確率3/10x1/3=1/10、2等になる確率3/10x2/3=2/10

Bに1等が入っている確率7/10
Bから選んで1等を当てる確率7/10x1/7=1/10、2等になる確率7/10x2/7=2/10

となるからA、Bのどちらの箱を開けても損得はない

偏りがある。当たる確率は1/10。
流石LOTOどちらも満たしてるね。
841132人目の素数さん
2018/10/19(金) 01:42:14.19ID:OCs/EBNC
あ、>>839の分母の (2n)!! の所 (2n-1)!! です。
842132人目の素数さん
2018/10/19(金) 02:07:40.86ID:qhs5NzN0
>>838
>>840
回答ありがとうございます。納得しました
あー確率的に同じで偏りがあるから低くなるのか
843132人目の素数さん
2018/10/19(金) 02:13:58.97ID:gzQJ/Bd2
・a[1]=2
・a[n+1]=a[n]/(1+a[1]+a[2]+…+a[n])
・b[1]=2
・b[n+1]=b[n]/{a[n]+(b[1]+b[2]+…+b[n])/n}
である数列{a[n]}および{b[n]}について以下の問いに答えよ。

(1)極限 lim[n→∞] a[n] を求めよ。
(2)極限 lim[n→∞] b[n] を求めよ。
844132人目の素数さん
2018/10/19(金) 03:59:50.81ID:UmCMoNsS
(1)
エジプトのシエネという町では、年に一度、夏至の日の正午にだけ深い井戸の底まで太陽の光が差し込む。
シエネの北緯は何度か。

hint: 地球の自転軸は公転軸から 23.4°傾いている。

(2)
エジプト第2の都市アレキサンドリアはシエネのほぼ北にあり、その距離は 925 km である。
天文観測から、緯度の差が約 7.2°と分かった。
地球の半径(m)を概算せよ。
なお、経度の差は小さいので無視してよい。

(実際のアレキサンドリアの緯度 31.22゚N、緯度の差 7.82°)
(距離の単位は スタジア = 185 m が使われていた。)

(3)
司天台(浅草天文台)は伊能忠敬の住居(隠宅)のほぼ北にあり、その距離を測量したところ 2482 m だった。
天文観測から、2ヵ所の緯度の差は 約0.025°であることが分かった。
地球の半径(m)を概算せよ。
なお、経度の差は小さいので無視してよい。

(実際の緯度差は 0.02690°、距離は 3025 m、方位角 9.4゚W)
(距離の単位は 町、間が使われている。)
845132人目の素数さん
2018/10/19(金) 04:04:12.21ID:UmCMoNsS
>>844

伊能忠敬の住居(隠宅)は
 〒135-0048 江東区門前仲町1丁目18-3先
 緯度 35.67452゚N
 経度 139.79422゚E

司天台(浅草天文台)は
 〒111-0053 台東区浅草橋3丁目20-12
 緯度 35.70142゚N
 経度 139.78876゚E
にあった。

・おもしろ地図と測量
http://www5a.biglobe.ne.jp/kaempfer/ac-main.htm → 史跡所在リスト


(4) 地球を「GRS80楕円体」として、この2ヵ所の距離と方位角を計算せよ。

・GRS80楕円体
 長半径(赤道半径)a = 6378137(m)
 扁平率 f = 1/298.257222101

・測量計算(距離と方位角の計算)- 国土地理院
http://vldb.gsi.go.jp/sokuchi/surveycalc/surveycalc/bl2stf.html → 十進法度単位
846132人目の素数さん
2018/10/19(金) 07:22:50.64ID:UmCMoNsS
そうだったのか…
伊能氏が身を削るようにして日本各地の正確な緯度・経度を決めていったのは
地面が曲がっている影響を補正することで、天文予測の精度を画期的に向上するためだった。

日本地図はオマケだった。
847132人目の素数さん
2018/10/19(金) 07:46:11.79ID:UmCMoNsS
>>846

毎日新聞・夕刊
http://mainichi.jp/ch180515653i/没後200年・伊能忠敬を歩く
http://mainichi.jp/ch180408943i/セカンドステージ
http://mainichi.jp/ch180408943i/セカンドステージ/1
848132人目の素数さん
2018/10/19(金) 09:33:43.48ID:hAbKt7Ps
>>795
この問題でQの方が有利になるならば、横長い形をしたマス目のうち2マスに宝を埋めた場合縦に沿って探すより横に沿って探した方が勝ちやすいことが一般の場合にも言えるであろうことが容易に想像出来るわけだけど、その証明は出来るだろうか?
849132人目の素数さん
2018/10/19(金) 09:34:04.80ID:hAbKt7Ps
分かスレに提出した方がいいかもしれないな
850132人目の素数さん
2018/10/19(金) 14:19:39.14ID:rredQkJV
高校数学で解けるであろう問題を2つほど

次の定理を示せ

1. 任意の正の整数は連続しない(則ち,項番号が隣りあわない)フィボナッチ数の和として一意的に表される

2. L_(n+2)=L_(n+1)+L_n, L₁=1, L₂=3
を満たす数列(L_n)は任意の素数pに対してL_p≡1 modpを満たす

序でに1問目は「ゼッケンドルフの定理」,又2問目に出てくる数列は「フィボナッチ数列に付随するリュカ数列」(「ルカス数列」「ルーカス数列とも云う)なる名前が付いているらしい
851132人目の素数さん
2018/10/19(金) 14:54:26.57ID:UmCMoNsS
>>843

S = 1 + Σ(k=1,∞) a[n] = 3.91202535564143

(1)
 a[n] ~ 11.12728469988 / S^n → 0 (n→∞)

(2)
 b[n+1] ≒ n・b[n]/{b[1]+b[2]+…+b[n]} → 1,
852132人目の素数さん
2018/10/21(日) 21:14:25.02ID:l2E3XuiN
>>795
シミュレーションしてみた。
1万回からPの方が先に見つける頻度を出すのを1万回繰り返したときの確率は

> summary(re)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
0.3749 0.3906 0.3939 0.3939 0.3972 0.4132

となって0.5より小さいのでQの方が有利という結果になった


Rでのスクリプトはこれ

x=c(1,1,rep(0,10))
is.P1st <- function(){
Q=sample(x)
z=matrix(Q,ncol=4,byrow=T)
P=as.vector(z)
which.max(P) < which.max(Q)
}
re=replicate(1e4,mean(replicate(1e4,is.P1st())))
summary(re)
853132人目の素数さん
2018/10/21(日) 21:28:28.30ID:l2E3XuiN
>>852
シミュレーションにバグがある。
同時に見つける場合を考えてなかったわ
854132人目の素数さん
2018/10/21(日) 21:45:15.93ID:l2E3XuiN
>>853
シミュレーションしたら >822の通リになりました。

> x=c(1,1,rep(0,10))
> PQ <- function(){
+ Q=sample(x)
+ z=matrix(Q,ncol=4,byrow=T)
+ P=as.vector(z)
+ c( even=which.max(P) == which.max(Q),
+ p1st=which.max(P) < which.max(Q),
+ q1st=which.max(P) > which.max(Q))
+
+ }
> k=1e6
> re=replicate(k,PQ())
> mean(re['even',]) ; 13/(26+27+13)
[1] 0.197025
[1] 0.1969697
> mean(re['p1st',]) ; 26/(26+27+13)
[1] 0.393803
[1] 0.3939394
> mean(re['q1st',]) ; 27/(26+27+13)
[1] 0.409172
[1] 0.4090909
855132人目の素数さん
2018/10/22(月) 02:11:35.13ID:iMyh9xwO
>795
縦mマス、横nマスのm*nマスのうちランダムに選ばれたkマスにそれぞれ宝が眠っている。
AEIBFJ…の順で縦に宝を探していく方法をとるP君と、ABCDEFGH…の順で横に宝を探していく方法をとるQ君が、同時に地点Aから探索を開始した。
どっちの方が有利?
という風に一般化してみた。

>822のカウントをRでやってみた。
例えば

縦5マス、横10マス、宝3マスだと
P1st Q1st even
8832 9142 1626

(P1stはPが先に宝を発見する宝の配置の数)


Rのコードはここにおいた
Executeのクリックで実行(数値を変えて実行も可能)

http://tpcg.io/Ejjcs2
856132人目の素数さん
2018/10/22(月) 19:03:02.66ID:N2Ov4rc5
ある中学入試の問題だけど
方程式なしで小学生はどうやって解くのだろう?

 ある牧場では100頭の羊を放すと15日間で牧草がなくなり、120頭の羊を放すと10日間で牧草が食べつくされました。 
この牧場で80頭の羊を10日間放した後、さらに何頭xかの羊を加えたところ、加えてから4日間で牧草は食べつくされました。 後から加えた羊は何頭ですか。
ただし、牧草は1日に一定量a生え、また、どの羊も1日で同じ量uの牧草を食べるものとします。

方程式を立てていいなら

1500u=15a + b
1200u=10a + b

a=60u
b=600u

80*14u + 4xu = 14a + b =14*60u + 600u
x=(14*60+600-14*80)/4

で俺でも答えられる。
857132人目の素数さん
2018/10/22(月) 19:45:49.05ID:ScrwDgzM
>>856
線分図の左がはじめの草の量、
右がそれぞれ14回、9回分増えた草の量
(○の中の数字は1日に草の増える量)

(a) 100頭15日(のべ1500匹)├───┼─────┤⑭増える

(b) 120頭10日(のべ1200匹)├───┼───┤⑨増える

するとのべ300匹で⑤だけの草を食べることができる
草を①だけ食べるには60匹必要

(b)を使うと、のべ1200匹が食べた草の総量は1200÷60で⑳と求まる
よってはじめの草の量は⑪

(c) 80頭10日(のべ800匹)├───┼───┤⑨増える
このうち、10日経った時点で(800/60)=(40/3)食べられるので
残りは⑳-(40/3)=(20/3)
あと4日間で全体は(20/3)+④=(32/3)になるので
これを食べるには、4日間でのべ60×32/3=640頭必要
1日あたり160頭必要ということだから、160-80=80頭増やしたことになる
858132人目の素数さん
2018/10/22(月) 20:11:53.26ID:N2Ov4rc5
>>857
前日まで生えた分だけでなくその日にリアルタイムで生えているのも食べるから増えるのは15日と10日分では?
859132人目の素数さん
2018/10/22(月) 20:20:13.50ID:ScrwDgzM
>>858
確かに
⑭は⑮に、⑨は⑩に訂正すると
はじめの草の量は⑩になって、あとは大丈夫そうですね
860132人目の素数さん
2018/10/22(月) 20:55:25.42ID:N2Ov4rc5
>>859
(800/60)=(40/3)は80頭が10日で食べた量は40/3(13.33)日で生えた
草の量だが⑳-(40/3)=(20/3)の意味不明。
はじめあった草の量⑩も出てこないし。
861132人目の素数さん
2018/10/22(月) 21:02:44.62ID:ScrwDgzM
>>860
(c)の図(10日目が終わった時点)で
はじめの草の量⑩に、10日間で増える草の量⑩を加えて⑳
80頭の羊はそのうち(40/3)を食べてるので、
10日目が終わった時点で残りの草の量は(20/3)
という意味です
862132人目の素数さん
2018/10/22(月) 21:22:18.74ID:N2Ov4rc5
>>861
理解できました。

一匹の羊が1日に食べる量を1unitとして考えた方が易しくないかな。分数も出てこないし。
1日に60unit草が生える、最初の草量は600unit。
863132人目の素数さん
2018/10/22(月) 21:24:56.34ID:UlyuzeXD
(100×15-120×10)/5 = 60 だからこの牧場はストック0でも自然増加分で60頭の羊が賄える。
最初のストックは容量を120-60=60頭超過した時10日で食い尽くす量だから600頭日分。
容量超過が80-60=20頭の時10日で減らしたストックは200頭日分だから残りストックは400頭日分。
それを4日で食べ尽くしたので最後の4日の容量超過は100頭。
増えた羊は80頭。
864132人目の素数さん
2018/10/22(月) 22:12:55.60ID:E8LyAx4E
大量に入荷したアルヨ
       ε ⌒ヘ⌒ヽフ
       (   (  ・ω・)
      ε ⌒ヘ⌒ヽフ⌒ヽフ
     (   (  ・ω・) ω・)
   ε ⌒ヘ⌒ヽフ⌒ヘ⌒ヽフ⌒ヽフ
  (   (  ・ω・) (  ・ω・)ω・)
  ε ⌒ヘ⌒ヽフ⌒ヘ⌒ヽフヘ⌒ヽフ⌒ヽフ
 (   (  ・ω・) (  ・ω・) ・ω・)ω・)
  しー し─Jしー し─J し─J ─J
865132人目の素数さん
2018/10/23(火) 00:57:47.42ID:REh3NVF5
■最初からある草の量をbとおく

15a+b=1500u……①
10a+b=1200u……②

②からb=1200u-10aこれを①に代入して

15a+1200u-10a=1500u
5a=300u
a=60u
b=600u

80頭の羊はx頭の羊を加えられた後も牧草を
食べつづけるので 80x14u

x頭の羊は4日間牧草を食べるので 4xu

14日間で消費される牧草の量は 14a+b

80x14u+4xu=14a+b

4xu=14a+b-80x14u
   =14x60u+600u-80x14u
   =840u+600u-1120u
   =1440u-1120u
   =320u

∴x=320u/4u=80
866132人目の素数さん
2018/10/23(火) 07:48:20.91ID:L2HgjxkJ
>>865
方程式は問題とともに既出なのだから
レスを重ねるなら別解か誤答でないと芸にならんぞw
867132人目の素数さん
2018/10/23(火) 07:59:42.41ID:L2HgjxkJ
数字の1と2だけを使って整数を作り、小さい方から並べます。1,2,11,12,21,22・・・このとき、次の問に答えなさい。
(1)1212121212は小さい方から数えて何番目ですか。
868132人目の素数さん
2018/10/23(火) 11:34:27.92ID:QCR0wRAh
任意の自然数nに対して、2005^n が、互いに素な2つの整数の平方和で表せることを示せ。
869132人目の素数さん
2018/10/23(火) 12:02:39.33ID:3PnXS1dT
>>867
1364番め

digi = function(x){ # 1000 -> 4 , 999 -> 3
n=ceiling(log10(x))
ifelse(10^n==x,n+1,n)
}

n2a <- function(num){ # nmu to array 122 -> c(1,2,2)
N=10
r=num%%N
q=num%/%N
while(q>0){
r=append(q%%N,r)
q=q%/%N
}
return(r)
}

one2n <- function(x){ # 121 -> 13
a=n2a(x)
k=digi(x)
p=2^((k-1):0)
sum(a*p)
}

x=1212121212

> one2n(x)
[1] 1364
870132人目の素数さん
2018/10/23(火) 12:10:36.27ID:3PnXS1dT
>>867
(2)1000番目にくる数は何ですか?
871132人目の素数さん
2018/10/23(火) 12:32:10.52ID:L2HgjxkJ
>>870
このプログラミングに難渋してる
872132人目の素数さん
2018/10/23(火) 12:41:03.14ID:ow6G4yxf
Prelude Data.List> let xs = concat $ iterate (¥x->[1:n| n<-x] ++ [2:n|n<-x]) [[1],[2]]
Prelude Data.List> xs !! 999
[2,2,2,2,1,2,1,1,2]
873132人目の素数さん
2018/10/23(火) 12:58:41.42ID:foOj88Cn
>>868

2005 = (20^2 + 1)(2^2 + 1) = 41^2 + 18^2 = 39^2 + 22^2,

下の公式により 2005^n は2つの平方の和。

互いに素となるかどうか…

〔公式〕
(aa+bb)(㏄+dd) = (ad-bc)^2 + (ac+bd)^2 = (ad+bc)^2 + (ac-bd)^2,

http://www.quora.com/How-can-I-prove-that-a-2+b-2-c-2+d-2-ad-bc-2-+-ac+bd-2
874132人目の素数さん
2018/10/23(火) 13:00:38.96ID:3PnXS1dT
>>870
library(gtools)
perm=permutations(2,9,v=1:2,rep=T)
onetwo=function(x){
n=length(x)
sum(x*2^((n-1):0))
}

perm[which(apply(perm,1,onetwo)==1000),]

> perm[which(apply(perm,1,onetwo)==1000),]
[1] 2 2 2 2 1 2 1 1 2

と総当たりで出すには出せるが、全くエレガントでない :(
875132人目の素数さん
2018/10/23(火) 13:01:02.40ID:3PnXS1dT
>>872

ありがとうございました。
876132人目の素数さん
2018/10/23(火) 13:16:16.58ID:ow6G4yxf
>>868

N(a+bi) = a^2 + b^2 として ((20+i)(2+i))^n = u + vi とおけば

2005^n = (N(20 + i)N(2+i))^n = N(((20+i)(2+i))^n) = u^2 + v^2

ここで (u,v) のZ[i] における素因子 p + qi をとれば p - qi | (u,v) | u + vi でもある。
しかし Z[i] は UFD だから p+qi = (20+i)i^e、(2+i)i^e とおける。
このときいずれにせよ p - qi = (20-i)(-i)^e、(2-i)(-i)^e は u + vi の素因子でないので矛盾。
877132人目の素数さん
2018/10/23(火) 13:44:30.07ID:foOj88Cn
>>850
(1)
正整数nについての帰納法で。
・n≦3 のとき
 1 = F_2、2 = F_3、3 = F_4
* 「和」は1項だけの場合もある。

・n>3 のとき
 nを超えない最大のフィボナッチ数を F_m とする。 F_m ≦ n < F_{m+1}
もしも和が F_m を含まないなら、
 Σ(k=0,[(m-2)/2]) F_{m-1-2k} = Σ(k=0,[(m-2)/2]) ( F_{m-2k} - F_{m-2k-2} ) = F_m - 1 < F_m ≦ n,
となり矛盾する。 よって、和は F_m を含む。
 帰納法の仮定により、n - F_m は連続しないフィボナッチ数の和である。
 n - F_m < F_{m+1} - F_m = F_{m-1}
∴ n - F_m に対する和は F_{m-1} を含まないから F_m と連続しない。
∴ nについても命題が成立する。
878132人目の素数さん
2018/10/23(火) 14:17:45.16ID:vzNHBpki
>>867
その数列において、k桁の整数は2^k個含まれる
1212121212は10桁だが、1桁から9桁のすべての数の項数はΣ[j=1,9]2^j=1022
11********台は2^8=256個
1211******台は2^6=64個
121211****台は2^4=16個
12121211**台は2^2=4個
よって
1212121212は1022+256+64+16+4+2=1364項目

>>870
1022項目が222222222なので、これの22項前を考える
2222*****台が32項あるので、
222211111は第991(=1022-32+1)項となる
222211222が第998項なので、第1000項は222212112
879132人目の素数さん
2018/10/23(火) 15:06:47.65ID:SimIKxf4
>>867
> 1,2,11,12,21,22・・・
 10, 11, 100, 101, 110, 111,...

1→0, 2→1 と置き換え、左端に1を付け加えたものを2進数とみなすと
順序を含め2以上の整数と一対一に対応する。
1212121212 → 10101010101(2) = 1365 であるから、1212121212は1364番目。

>>870
1001 = 1111101001(2) であるから、1000番目にくる数は 222212112。
880132人目の素数さん
2018/10/23(火) 15:26:36.98ID:3PnXS1dT
>>879
お見事です。
2進法に似ているのは気づいたのですが
>左端に1を付け加えたもの
ってどういうとこから思いつくのでしょうか?
881132人目の素数さん
2018/10/23(火) 16:06:50.34ID:3PnXS1dT
>>879
お知恵を拝借して 1億個めと1兆個めを計算してみました。

> digit12(10^8) # 1億め
12222212122221111211111112
> digit12(10^12) # 1兆め
221211122121211212112121112111111111112

Rのコードはここ

http://tpcg.io/D2sseW
882132人目の素数さん
2018/10/23(火) 17:08:43.57ID:xS8rsyai
一億一と一兆一を二進数に直すコード……
883132人目の素数さん
2018/10/23(火) 19:08:57.29ID:3PnXS1dT
>>882
dec2n n = concat . (map show) . reverse . sub
where sub 0 = []
sub num = mod num n : sub (div num n)
main = do
let n=2
putStr "Input integer : "
str <- getLine
let num = read str
putStrLn $ dec2n n num

Haskellだと一京一も2進数にしてくれた。

Prelude> main
Input integer : 10000000000000001
100011100001101111001001101111110000010000000000000001

ゆえに一京めは

11122211112212222112112212222221111121111111111111112
884132人目の素数さん
2018/10/23(火) 19:34:04.67ID:t5/873r2
f 1 =[1]
f n = reverse $ f' (n-1) 2 0 1
f' 0 _ _ _ = []
f' n k j i | n `mod` k == j = 1: f' (n-j) (k*2) k (k*2)
      | otherwise = 2: f' (n-i) (k*2) k (k*2)

f (10^8)
[1,2,2,2,2,2,1,2,1,2,2,2,2,1,1,1,1,2,1,1,1,1,1,1,1,2]
885132人目の素数さん
2018/10/23(火) 19:35:27.73ID:3PnXS1dT
>>883
10の68乗を無量大数というらしい

無量大数+1を2進数表示できるかやってみた。

Prelude> :main
Input integer : 100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001
1110110101100011101000100011000111010100110001001111101100100111010011001010011110101010101010000110001111101110010010111101110101001000010101101100010111000100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001

さすが不定長整数を扱えるHaskell。
886132人目の素数さん
2018/10/23(火) 19:53:24.49ID:REh3NVF5
>>885
1000不可説不可説転でお願いします
887132人目の素数さん
2018/10/23(火) 19:56:16.38ID:Ar36TC8v
>>880
> >左端に1を付け加えたもの
> ってどういうとこから思いつくのでしょうか?

思いつくのは無意識の過程で分からないから、それまでに考えていたことをいうと
1と2の二つの文字 → 2進数に関連か? → 2進数に対応させよう
・1→0, 2→1 と置き換えるだけでは 0,00,000などが重なる → 区別するには? → (区別のためのマーカーがあればいい)
・問題の数字列は1桁では2つ、2桁では4つ、n桁では2^n個 → 2進数では? → (左端の1を除いてn桁で2^n個)
⇒左端に1を付け加えればいいかも? → あとは検証
()内はそのとき無意識には考えていたかもしれないけど、意識したのは検証時だったこと。
その前に「左端に1を…」を思いついた。でも無意識でも必要なことだったと思う。
888132人目の素数さん
2018/10/23(火) 20:35:36.61ID:3PnXS1dT
>>886

Wikipediaによると10の372183838819776444413065976878496481295乗とのこと

Prelude> dec2n n = concat . (map show) . reverse . sub where sub 0 = [] ; sub num = mod num n : sub (div num n)
Prelude> putStrLn $ dec2n 2 (100*10^372183838819776444413065976878496481295)

只今、計算中。フリーズするだろうな。

>>887

解説ありがとうございました。その才能は羨ましい限りです。
889132人目の素数さん
2018/10/23(火) 20:45:06.91ID:3PnXS1dT
>>888
残念ながら予想どおり

GNU MP: Cannot allocate memory (size=4204265496)

のエラーメッセージがでて終了しました。
890132人目の素数さん
2018/10/23(火) 21:38:28.22ID:L2HgjxkJ
これも中学入試の問題
x/6=(510+x)/21で解けるけど
方程式なしだとどうする?

ある列車が510mの鉄橋を渡るのに21秒かかりました。また、線路のすぐそばで見ていたA子さんの前を列車が通るのに6秒かかりました。 この列車の長さを求めなさい。ただし、列車は鉄橋を渡るときも、A子さんの前を通るときも同じ一定の速度で走ったとものとします。
891132人目の素数さん
2018/10/23(火) 21:48:37.47ID:a43+RGEZ
A子さんの代わりに鉄橋の端っこだと考えれば簡単。
892132人目の素数さん
2018/10/23(火) 22:47:39.63ID:L2HgjxkJ
これも中学入試

A君、B君、C君の3人である作業をすると、終わるまで10日かかります。A君、B君の2人で同じ作業をすると、終わるまで15日かかります。このとき次の問に答えなさい。
(1)C君1人で同じ作業をすると、終わるまで何日かかりますか。
(2)B君、C君の2人で同じ作業を5日間して、残りをA君が1人ですると、さらに17日かかりました。同じ作業をB君1人ですると 何日かかりますか。

方程式を使ってよければ

全作業量をu(適当な単位で30単位とすると計算が楽)として
(a+b)+c)=u/10
(a+b)=u/15
からu/c=30日

5(b+c)+17a=u
5(b+u/30)+17(u/15-b)=uから
u/b=40日
と出せる。

学習塾での特殊訓練も方程式もなしで解く小学生は凄いなと思う。
893132人目の素数さん
2018/10/23(火) 22:50:00.21ID:REh3NVF5
『列車が鉄橋を渡る』とは何か?

鉄橋の始点をa、終点をbとすると
列車の先頭がaを通過してから列車の最後部がbを
通過するまでである

区間[a,b]に列車の長さxを足したものを
通過時間で割ると (510+x)/21……①

xが点Aを通過する時間でxを割ると x/6……②

列車は①と②を同じ速度で走るので

(510+x)/21=x/6

6(510+x)=21x

3060+6x-21x=0

15x=3060

∴x=204
894132人目の素数さん
2018/10/23(火) 22:56:10.69ID:L2HgjxkJ
>>893
方程式は問題とともに既出なのだから
レスを重ねるなら別解か誤答でないと芸にならんぞw
895132人目の素数さん
2018/10/23(火) 22:57:38.97ID:vzNHBpki
>>890
列車が鉄橋を渡り終わるのは、
鉄橋と自分の長さを合わせた距離を走ったとき
自分の長さは6秒で走れるので、鉄橋の長さ510mは21-6=15秒で走ることができる
よって列車の速さは510/15=34(m/s)
ゆえに列車の長さは34×6=204(m)
896132人目の素数さん
2018/10/23(火) 23:12:53.97ID:REh3NVF5
列車の長さxは6秒、鉄橋の長さ+xは21秒で通過する

つまり、鉄橋の長さは15秒で通過する

15/6=2.5なので鉄橋の長さは列車の長さの2.5倍

すなわち、鉄橋の長さ510mの2.5分の1が列車の長さ

∴x=510/2.5=204
897132人目の素数さん
2018/10/23(火) 23:16:21.68ID:xS8rsyai
どっちもいいねぇ
898132人目の素数さん
2018/10/24(水) 14:53:25.67ID:V7W4cdgn
これも中学の入試問題

図1のように一辺4cmの正方形にちょうど入る大きさの円Oがある。
図2のように円Oの周上に点Aがあり, OAの中点をMとする。点Aを中心として点Mを通る円をかき, 円Aとする。円Oの周上に点B, Pが, 円Aの周上に点Qがあり, 次の条件をみたしている。
・∠AOB=45°
・BQと円Aは接している
・OPとBQは平行
このとき, 直線AP, BP, 円Oの短い方の弧ABで囲まれた面積として考えられるものをすべて答えなさい。円周率は3.14とする。

図1 面白い問題おしえて~な 27問目 	YouTube動画>1本 ->画像>46枚
図2 面白い問題おしえて~な 27問目 	YouTube動画>1本 ->画像>46枚
899132人目の素数さん
2018/10/24(水) 19:23:48.06ID:tlRvSxoq
>>898
わからんから図だけかいてみたぞ
面白い問題おしえて~な 27問目 	YouTube動画>1本 ->画像>46枚
900132人目の素数さん
2018/10/25(木) 03:03:45.59ID:TU00TWLl
svg で作成
https://svgur.com/s/8yp
901132人目の素数さん
2018/10/25(木) 03:19:43.20ID:TU00TWLl
>>898
>・∠AOB=45°
てか、あれ?こんな条件あったのか?見落としてた……orz
902132人目の素数さん
2018/10/25(木) 03:27:21.03ID:YZ4qGSfK
>>898
これ難しすぎでは?
903132人目の素数さん
2018/10/25(木) 04:32:45.13ID:eJBnnSf5
再挑戦
https://svgur.com/s/8zn
904132人目の素数さん
2018/10/25(木) 05:02:35.92ID:5Y7K/FwR
Qの位置とPの位置の組合せで
全部で4パターンあるのかな
905132人目の素数さん
2018/10/25(木) 20:06:54.43ID:yIeks/2s
>>848
横の方が有利と一般化できないみたい。

https://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1540218853/79
906132人目の素数さん
2018/10/26(金) 12:49:23.79ID:3qSlBHtb
>>898
これ大人気なく三角比使えば綺麗に解けるね。
どこの問題ですか?
これ中学入試ってすごいなぁ。
907132人目の素数さん
2018/10/26(金) 20:20:00.32ID:MkOm1coU
>>795
Ωの部分集合を事象と言う
Ω自身は全事象と言う

最初に探す方向を i
行または列が変わる時を j として
P君とQ君のうちどちらが先に宝を見つけるのかという
事象Aと事象Bを考える.

A={(i,j)| i または j が宝}
B={(i,j)| i または j が宝}

縦方向の探査をn、横方向の探査をn+1とすると
調査する全範囲はn(n+1)

Ω={n(n+1)|(n≧1)}

■縦方向に探査をするP君の確率空間は

Ω={(i,j)|1≦i≦n,1≦j≦n(n+1)}から

#A=n^2(n+1)-{n(n+1)-1}(n-1)
  =n^2(n+1)-{n(n^2-1)-(n-1)}
  =n^3+n^2-n^3+n+n-1
  =n^2+2n-1

#Aは事象Aに含まれる要素の個数

■横方向に探査をするQ君の確率空間は

Ω={(i,j)|1≦i≦n+1,1≦j≦n(n+1)}から

#B=n(n+1)^2-n{n(n+1)-1}
  =n(n^2+2n+1)-n(n^2+n-1)
  =n^3+2n^2+n-n^3-n^2+n
  =n^2+2n

#Bは事象Bに含まれる要素の個数

∴P(A)={(n+1)^2-2}/{n^2(n+1)}

∴P(B)={(n+1)^2-1}/{n(n+1)^2}
908132人目の素数さん
2018/10/26(金) 20:32:41.71ID:w2SAJyTA
>>907
読んだ人の時間を無駄遣いさせるような明らかな誤答は慎めよ。
909132人目の素数さん
2018/10/26(金) 20:47:58.51ID:Jik/lAlw
>>907

読んだ人の時間を無駄遣いさせるような明らかな誤答は慎めよ。

n=2

> ((n+1)^2-2)/(n^2*(n+1)) + ((n+1)^2-1)/(n*(n+1)^2)
[1] 1.027778

確率が1を超えてるじゃん。
910132人目の素数さん
2018/10/26(金) 20:51:09.50ID:MBLKLvLH
(1)|α|≠r>0を満たす複素数の定数αと実定数rをとる。
|z-α|=rを満たす全てのzについて1/(z')を複素数平面上にとったとき、その図形を求めよ。ただしx'とはxの複素共役である。
(2)xy平面内部に直線x=-1, x=1をとる。
また、点(1/2, 0)または(-1/2, 0)を中心とし、原点を通る円のうちy≧0の部分をそれぞれC_a, C_bと定める。
また単位円のうちy≧0の部分をC_0とする。
任意の自然数kについて、
C_(k-1)とC_aとC_bに同時に接する円のうち中心がx=0かつy>0の領域にあるものをC_kとする。
自然数nについてC_nを求めよ。
911132人目の素数さん
2018/10/26(金) 20:59:27.47ID:MkOm1coU
>>909
事象Aと事象Bで別々に確率空間が設定されているのに
何で足す必要がある?
912イナ ◆/7jUdUKiSM
2018/10/26(金) 22:07:37.20ID:QL5Rb1rc
>>898
円Oの半径は、
oa=ob=oc=od=2√2
円Oの円周は、
2×3.14×2√2=(12.56)√2
AB=(45/360)×(12.56)√2
=(1.57)√2
OAB=OA×OB×(1/2)
=2√2×(1.57)√2×(1/2)
=2×1.57
=3.14
Pは4点考えられるが、直線ABに対するPの位置は2つと見て、面積は、
3.14×(1/2)=1.57(c㎡)
または、
3.14×(3/2)=4.71(c㎡)
913イナ ◆/7jUdUKiSM
2018/10/26(金) 22:11:43.71ID:QL5Rb1rc
>>912修正。
円Oの半径は、
oa=ob=oc=od=2√2
円Oの円周は、
2×3.14×2√2=(12.56)√2
AB=(45/360)×(12.56)√2
=(1.57)√2
OAB=OA×AB×(1/2)
=2√2×(1.57)√2×(1/2)
=2×1.57
=3.14
Pは4点考えられるが、直線ABに対するPの位置は2つと見て、面積は、
3.14×(1/2)=1.57(c㎡)
または
3.14×(3/2)=4.71(c㎡)
914132人目の素数さん
2018/10/26(金) 22:38:03.51ID:Jik/lAlw
>>911
P君とQ君のうちどちらが先に宝を見つけるか、を足した確率がなんで1を超えるんだよ?
915132人目の素数さん
2018/10/26(金) 22:45:06.22ID:Jik/lAlw
>>911

> n=1
> ((n+1)^2-2)/(n^2*(n+1))
[1] 1
916132人目の素数さん
2018/10/26(金) 23:11:45.66ID:CMAX0Lj4
>>912
算数だから√は使わんだろ
917イナ ◆/7jUdUKiSM
2018/10/26(金) 23:23:11.51ID:QL5Rb1rc
>>913訂正。
円Oの半径は、2つ掛けあわせて2になる数を○2とすると、
oa=ob=oc=od=2○2
円Oの円周は、
2×3.14×2○2=(12.56)○2
AB=(45/360)×(12.56)○2
=(1.57)○2
OAB=OA×AB×(1/2)
=2√2×(1.57)○2×(1/2)
=2×1.57
=3.14
Pは4点考えられるが、直線ABに対するPの位置は2つと見て、面積は、
3.14×(1/2)=1.57(c㎡)
または
3.14×(3/2)=4.71(c㎡)
918132人目の素数さん
2018/10/26(金) 23:26:26.35ID:CMAX0Lj4
>>917
書き方ではなくて概念の話。中学受験なら平方根の概念を用いずに解けるはず。
919132人目の素数さん
2018/10/26(金) 23:57:49.62ID:PF+RRIt/
書き方の問題じゃない。
そもそも間違ってる。
扇型の面積 r^2π/8 の1/2倍とか3/2倍になるはずないやん。
920132人目の素数さん
2018/10/27(土) 00:13:26.71ID:iX+eti2M
>>911
ひどいのがいるな。
921132人目の素数さん
2018/10/27(土) 00:40:04.17ID:YV0lmJRP
とりあえず>>898の大人げない解答。

∠AOB = 2θ、OA = r、AM = s、∠ABQ = α とおく。
座標をA(-rsinθ,-rcosθ)、B(rsinθ,-rcosθ)とおく。
Pの座標は(±rcosα,±rsinα)の4通りのいずれか。
このときsinα = s/(2rsinθ)であるから
△PAB
= 1/2 2rsinθ (rcosθ± rsinα)
= 1/2 2rsinθ (rcosθ± rs/(2rsinθ))
= 1/2 (r^2sinθcosθ ± rs)
弦ABと弧ABで囲まれる部分
=1/2 r^2 2θ - 1/2 r^2 sinθcosθ。
∴求める面積
=1/2(r^2 2θ ± rs)

で中学受験に通用するように焼き直せば一応解答は作れる。
922132人目の素数さん
2018/10/27(土) 01:05:57.65ID:K78DamPu
>>921
焼き直し例

Oを通りABに平行な直線におろしたPの足をHとおく。
求める面積 - 扇型OAB = △PAB - △OAB = ±1/2 AB・PH。
ここで△OPH∽△BAQによりOP:PH = BA:AQ。
∴1/2 AB・PH = 1/2 OP・AQ。
∴ 求める面積 = 扇型OAB ± 1/2 OP・AQ。
923132人目の素数さん
2018/10/27(土) 01:20:23.86ID:H9yl6Rq6
>>921,922
なるほど、見事
ABを底辺と見たときの高さの差に気づくことができれば、
点Hを考えるのは自然ですね
924イナ ◆/7jUdUKiSM
2018/10/27(土) 02:01:20.68ID:yv2+6s9p
>>917もっと近い値がみつかった。(問題>>898)
ひとまず2個かけあわせて2になる数を√2と書くものとする。
円Oの半径は、
oa=ob=oc=od=2√2(㎝)
円Oの円周は、
2×3.14×2√2=(12.56)√2(㎝)
弧A⌒B=(45/360)×(12.56)√2
=(1.57)√2(㎝)
△OAB=OA×弧A⌒B×(1/2)
=2√2×(1.57)√2×(1/2)
=2×1.57
=3.14(c㎡)
Pは4点考えられるが、直線ABに対するPの位置は2つと見て、扇形ABPの面積は大きいほうが、
3.14+2√2≒3.14+2×1.41421356
=5.96842712(c㎡)
扇形ABPの小さいほうが、
3.14×2-2√2×2√2÷2-(3.14-2√2)
=3.14+2√2-4
≒1.96842712(c㎡)
925132人目の素数さん
2018/10/27(土) 02:01:50.24ID:n7pGg+WO
なるほど簡単な幾何の知識で解ける。
これ中学入試で小学生がやるのか凄いな
子供に教えるとすると
相似の部分を見つけていくという解法かな
926イナ ◆/7jUdUKiSM
2018/10/27(土) 02:14:16.07ID:yv2+6s9p
>>925俺も相似だと思う。前>>924
927132人目の素数さん
2018/10/27(土) 02:15:25.98ID:mmS65Xwb
>>911
排反事象の確率の和がどうして1を超えるんだよ。
読んだ人の時間を無駄遣いさせるような明らかな誤答は慎めよ。
928132人目の素数さん
2018/10/27(土) 02:19:45.06ID:OAQWCVH9
>>927
P君とQ君のどちらかが先に
一つでも宝を見つけるとそこでゲーム終了となる

P君の当たりの確率が70%の時に
Q君の当たりの確率が65%あったとしても
何も問題がない

足して135%にはなりません(´・ω・`)
929132人目の素数さん
2018/10/27(土) 02:25:39.05ID:mmS65Xwb
>>928
>>911

> n=1
> ((n+1)^2-2)/(n^2*(n+1))
[1] 1
930132人目の素数さん
2018/10/27(土) 02:29:17.84ID:mmS65Xwb
Pが先
Qが先
PQが同じステップで発見
は 排反事象だから
合計で1にならないのはおかしい。
931132人目の素数さん
2018/10/27(土) 03:26:06.83ID:n7pGg+WO
>>928
その確率求めても面白くないから、
PがQより先に宝を見つける確率や
QがPより先に宝を見つける確率を求めてはどうだろう
932132人目の素数さん
2018/10/27(土) 03:46:17.30ID:OAQWCVH9
>>907
スタート地点のポイントAに宝があると
ゲーム開始とともに同着でゲーム終了になるので除外する
宝がいくつあったとしても、P君とQ君のどちらかが先に
一つでも宝を見つけるとそこでゲーム終了となる

縦方向の探査をn、横方向の探査をn+1として
宝の個数をkと置くと、調査する全範囲は
{n(n+1)-1}-(k-1)=n(n+1)-kと考えられる

Ω={n(n+1)-k)|n≧2,n(n+1)-1>k≧1}

■縦方向に探査をするP君の確率空間は

Ω={(i,j)|1≦i≦n,1≦j≦n(n+1)-k}から

#A=n{n(n+1)-k}-{n(n+1)-k-1}(n-1)
  =n(n^2+n-k)-{n(n^2-1)-k(n-1)-(n-1)}
  =n^3+n^2-kn-n^3+n+kn-k+n-1
  =n^2+2n-k-1
  
#Aは事象Aに含まれる要素の個数

■横方向に探査をするQ君の確率空間は

Ω={(i,j)|1≦i≦n+1,1≦j≦n(n+1)-k}から

#B=(n+1){n(n+1)-k}-n{n(n+1)-k-1}
  ={n(n+1)^2-k(n+1)}-{n^2(n+1)-kn-n}
  ={n^3+2n^2+n-kn-k}-{n^3+n^2-kn-n}
  =n^2+2n-k=n(n+2)-k

#Bは事象Bに含まれる要素の個数

∴P(A)={n(n+2)-k-1}/{n^2(n+1)-kn}

∴P(B)={n(n+2)-k}/{n(n+1)^2-k(n+1)}
933132人目の素数さん
2018/10/27(土) 03:46:26.11ID:lkaPkY9k
>>898 はどこの中学で出たんだろ?
934132人目の素数さん
2018/10/27(土) 03:53:55.17ID:hUhmc5+K
>>932
とりあえずわかスレに宝箱2個のケースの答え出てるから検算してごらんよ。
http://2chb.net/r/math/1540218853/133
935132人目の素数さん
2018/10/27(土) 03:58:58.00ID:OAQWCVH9
>>934
計算式がないものを答えというのはよくない
936132人目の素数さん
2018/10/27(土) 04:01:44.20ID:GLQSVvYM
>>935
ともかく君の式あってないでしょ?
937132人目の素数さん
2018/10/27(土) 04:08:10.81ID:OAQWCVH9
今wolframで検算してるけど実に美しい結果が出る

シミュレーションに依存して自分で立式しないのは怠惰の極み
938132人目の素数さん
2018/10/27(土) 04:15:36.15ID:OAQWCVH9
>>930
排反事象になるわけないじゃん
P君の当たりの確率が70%の時に
Q君の当たりの確率が30%に自動的に調整されるなんて
論理的におかしい
P君とQ君は同時に探査を開始するというだけで
それぞれ個別の当たりの確率を保持している
939132人目の素数さん
2018/10/27(土) 04:17:42.05ID:n7pGg+WO
これもしかしてさっきの弦ABの人かな
一貫して全く別のわけのわからない計算してるから無視するよりないな
940132人目の素数さん
2018/10/27(土) 04:19:16.80ID:n7pGg+WO
>>938
当たりの確率ってなあに?
12部屋を順次12回探索するんだから確率1でいずれ当たりを引くんだけど。
あなた以外の人はどちらが早く当てるかを考えてる。
941132人目の素数さん
2018/10/27(土) 04:41:08.01ID:OAQWCVH9
>>940
シミュレーション結果を持って答えだと断定しているけど
計算式があるものとないものを比較して真理値の
判定はできません

P君が1/2でQ君が1/3という結果が出たなら
P君がより早く宝に到達する
942132人目の素数さん
2018/10/27(土) 05:29:35.11ID:2TBr1xa2
奇数芸人のほうがまだ面白い
943132人目の素数さん
2018/10/27(土) 05:30:54.00ID:n7pGg+WO
>>941
一直線に並んだ12の部屋のどれか1つに宝物があります
あなたは部屋1、2、3、...、11、12の順に探します
私は部屋2、3、4、...、12、1の順に探します
スタートは同時で、部屋から部屋への移動、
部屋の探査に必要な時間は全て同じです。

私は11/12という高確率であなたより先に宝物を見つけます
何故ならあなたが勝つのは宝箱が部屋1にあるときだけで、
これは1/12の確率だからです。

P、Q独立に「確率」を計算しているあなたにはこの理屈が理解できませんし、
この11/12という確率が導けないでしょう。
944132人目の素数さん
2018/10/27(土) 07:37:43.27ID:mmS65Xwb
>>941
>822で随分前に 決着がついている。
列挙して数え上げるには計算式は不要。

読んだ人の時間を無駄遣いさせるような明らかな誤答は慎めよ。
945132人目の素数さん
2018/10/27(土) 07:40:31.99ID:mmS65Xwb
>>941
>P君が1/2でQ君が1/3という結果が出たなら
>P君がより早く宝に到達する
1の目が3面のサイコロと1の目が2面のサイコロをふったら先に1の目がでるのが前者とは限らんよ。

読んだ人の時間を無駄遣いさせるような明らかな誤答は慎めよ。
946132人目の素数さん
2018/10/27(土) 08:16:21.54ID:mmS65Xwb
>>936
他のスレでも意味のない数式書いて読む人の時間を浪費させている。
https://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1512229947/909-
947132人目の素数さん
2018/10/27(土) 08:59:03.67ID:0lSGEQBN
>>941

列挙作業をコンピュータにさせているだけだから言語が違っても(バグがなければ)結果は一致する。



http://2chb.net/r/math/1540218853/141-142

乱数発生させての頻度から確率を推測しているわけではない。これが近似すれば列挙作業の検算にはなる。

読んだ人の時間を無駄遣いさせるような明らかな誤答は慎めよ。
948132人目の素数さん
2018/10/27(土) 10:30:39.20ID:jxMEHoZP
elog[e]πとπlog[π]eの大小関係を示せ。
eを自然対数の底, πは円周率で, それぞれに
2.7<e<2.8, 3.1<π<3.2を与える。

綺麗な解法があります。
949132人目の素数さん
2018/10/27(土) 10:41:28.15ID:XkgBNK5i
(log x)^2/x は 1≦x≦e^2 で単調増加。
950132人目の素数さん
2018/10/27(土) 10:43:41.35ID:0lSGEQBN
六面体のサイコロでP君のサイコロは3面が1、Q君のサイコロは2面が1とする。
サイコロを降ってどちらか一方が1であればそちらが勝者。
どちらも1であるときは引き分け
どちらも1でないならば少なくともどちらかが1がでるまでサイコロをふる。
P君、Q君の勝つ確率を求めよ。
951132人目の素数さん
2018/10/27(土) 10:51:00.39ID:gTtKGo5e
>>950
一回ごとに
P勝ち:3×(6-2) = 12通り、
Q勝ち:(6-3)×2 = 6通り、
引き分け:3×2 = 6通り。
∴ P(P勝ち) = 12/(12+6+6)、P(P勝ち) = 6/(12+6+6)、P(P勝ち) = 6/(12+6+6)。
952132人目の素数さん
2018/10/27(土) 10:58:22.36ID:icIwdUt7
物理数学で面白いもんだいないの?
953132人目の素数さん
2018/10/27(土) 11:14:16.36ID:0lSGEQBN
>>951
こんなことしなくても解けるんだね。

俺はこんな面倒なことして解いた。

方程式なしで解けるロジックを思いつくのはすごいなぁ

p=1/2
q=1/3
q: win
(1-p)*q + (1-p)^2*(1-q)*q+(1-p)^3*(1-q)^2*q+(1-p)^4*(1-q)^3*q+....
=(1-p)*q *( 1 + (1-p)*(1-q) + ((1-p)*(1-q))^2 + ((1-p)*(1-q))^3+...
let r=(1-p)*(1-q)=1/2 * 2/3 =1/3
=(1-p)*q *(1 + r + r^2 + r^3 + ...) = (1-1/2)*1/3 * 3/2 = 1/4 = 0.25
p:win
(1-1/3) * 1/2 * 3/2 = 0.5
draw 1-1/4-1/2= 0.25
954132人目の素数さん
2018/10/27(土) 11:15:36.21ID:0lSGEQBN
引き分けなしの場合:

六面体のサイコロでP君のサイコロは3面が1、Q君のサイコロは2面が1とする。

サイコロを降ってどちらか一方が1であればそちらが勝者。

どちらも1であるときはもしくはどちらも1でないならば どちらか一方だけが1が出て勝者が決まるまで繰り返す。

P君、Q君の勝つ確率を求めよ。
955132人目の素数さん
2018/10/27(土) 11:18:10.11ID:wVcil2U4
即興でつくった。

船内の加速度で1Gの加速度で船内の時間で1年加速し、船内の時間で1年減速したとき、進んだ距離は?船外の時間で所要時間は?

答え持ち合わせず。
956132人目の素数さん
2018/10/27(土) 12:22:19.24ID:0lSGEQBN
>>954
Σ[1,∞](1/4)^i = 1/4 *(1-1/4)= 1/3
Pr[P:win]=1/2+1/3*1/2=2/3
Pr[Q:win]1/4+1/3*1/4=1/3
で出せるけど、等比数列使わないとどうやるんだろ?
957132人目の素数さん
2018/10/27(土) 12:25:34.33ID:rzBY84ap
>>948

1<x<4 のとき
log(ex) = 1 + log(x)
 = 1 - 2log(1/√x)
 > 1 - 2(1/√x -1)      (log(y) < y-1)
 = 3 - 2/√x
 = √x + (2-√x)(√x -1)/√x
 > √x,             (1<√x<2)
∴ {log(ex)}^2 /x > 1,

x = π/e とおく。
958132人目の素数さん
2018/10/27(土) 12:26:02.71ID:0lSGEQBN
>>941
別スレでは等確率とデタラメ書いてたよなぁ。

http://2chb.net/r/math/1540218853/87


読んだ人の時間を無駄遣いさせるような明らかな誤答は慎めよ。
959132人目の素数さん
2018/10/27(土) 12:45:29.18ID:rzBY84ap
>>956

 P君が勝つ確率をp,Q君が勝つ確率をq とする。 p+q = 1,

 p = (1回で勝つ確率) + (2回目以後に勝つ確率)
  = (1回で勝つ確率) + (引分けの確率)・p
  = 1/3 + (1/2)p,

 q = (1回で勝つ確率) + (2回目以後に勝つ確率)
  = (1回で勝つ確率) + (引分けの確率)・q
  = 1/6 + (1/2)q,

∴ p=2/3, q=1/3.
960132人目の素数さん
2018/10/27(土) 12:54:11.96ID:upNvrDEa
>>959
ありがとうございました。
すると>956は中学入試の問題にできるんだなぁ。
961132人目の素数さん
2018/10/27(土) 12:57:39.78ID:n7pGg+WO
一回振ってpが1を出す確率が1/2なのにその一回でpが勝つ確率も1/2っておかしいだろ

>>951
>引き分け:3×2 = 6通り。
ここが間違い
双方が1を出す引き分けだけではなく、
どちらも1ではない引き分けも数えなくてはいけない
962132人目の素数さん
2018/10/27(土) 13:02:09.59ID:upNvrDEa
>>961
最初の問題での設定は
どちらも1でないならば少なくともどちらかが1がでるまでサイコロをふる
という設定。
963132人目の素数さん
2018/10/27(土) 13:23:25.24ID:HxTDXY2q
>>961
最初の一回でPが勝つ確率は1/3。
964132人目の素数さん
2018/10/27(土) 13:45:06.98ID:wVcil2U4
P勝利をP、Q勝利をQ、引き分けをEとして

|P            |Q     |E     |←1回目で決着のうちP、Q、Eの比率が2:1:1 (2/3)
|P      |Q  |E  |            ←2回目で決着のうちP、Q、Eの比率が2:1:1 (2/9)
|P   |Q |E |                 ←3回目で決着のうちP、Q、Eの比率が2:1:1 (2/27)
……

結局全体での比率も2:1:1。
965132人目の素数さん
2018/10/27(土) 13:46:12.70ID:n7pGg+WO
>>963
>>951が1/2と間違えてるから指摘しているだけです
966132人目の素数さん
2018/10/27(土) 13:49:50.78ID:0ndh6N9Q
>>965
じゃ正解をおねがいします。
967132人目の素数さん
2018/10/27(土) 17:34:30.00ID:OAQWCVH9
>>944
列挙して数え上げるには計算式は不要ですと?

ある事象AとBが起きるときの要素の個数を
洗い出しているだけだから根本的にアプローチが違うのです

査読能力のなさを露呈するのはやめなさい(´・ω・`)
968132人目の素数さん
2018/10/27(土) 17:37:16.87ID:OAQWCVH9
>>945
別に否定はしませんが

P君が1/2でQ君が5/8という場合では
Q君がより早く宝に到達する可能性が高いことを
示しているだけです
969132人目の素数さん
2018/10/27(土) 17:55:55.17ID:OAQWCVH9
■早まった一般化(Hasty generalization)

形式的な誤謬または詭弁の一つ
以下のような論証形式の推論をいう
類推の危険とも

例)
『読んだ人の時間を無駄遣いさせるような明らかな誤答は慎めよ』

■解説
この文章は論理的に妥当ではない
少ない例から『読んだ人の時間を無駄遣いさせる』という
一般的な結論を導こうとしており、これが早まった一般化となる
つまり、自分が時間を無駄遣いさせられるという
一部の個別の事実から全体を判断していて、
それ以外の他スレ住人の中に、時間の無駄と思わない人がいる可能性が
全く考慮に入れられていないため、誤りになる
970132人目の素数さん
2018/10/27(土) 18:00:00.36ID:upNvrDEa
>>967
効率化に必要なだけで必須じゃなうだろ。
組合せを全部列挙するのは計算式なくてもできる。
971132人目の素数さん
2018/10/27(土) 18:13:40.35ID:JDW7fmwV
表面積1の立体の中で最も良い形の箱を求めよ

ただし、最も良い形の定義は
立体の体積をV,立体を平面に置いたときの接地面の面積をS,定数α>0として、

V+αSが最大となるものである
972132人目の素数さん
2018/10/27(土) 18:17:12.53ID:OAQWCVH9
>>958
デタラメではない
前提条件次第で関数は変化する
宝の個数kを設定するかどうか、ポイントAをどう扱うかによって
複数の種類の関数を作ることができる
973132人目の素数さん
2018/10/27(土) 18:21:47.28ID:0lSGEQBN
>>968
これだね。


当たりの確率ってなあに?

12部屋を順次12回探索するんだから確率1でいずれ当たりを引くんだけど。

あなた以外の人はどちらが早く当てるかを考えてる。
974132人目の素数さん
2018/10/27(土) 18:23:42.83ID:0lSGEQBN
>>972

>複数の種類の関数を作ることができる

そりゃ、どちらも正しくないんだから、いくらでも捏造できるだろ。
975132人目の素数さん
2018/10/27(土) 22:23:12.07ID:xN+LO4jv
>>966
正解はすでに多くの人が書いているように1/3

一回の試行でpが勝つ確率は
pが1を出しかつ q が1以外を出す確率 3/6 * 4/6 =1/3

一回の試行でqが勝つ確率は
qが1を出しかつ pが1以外を出す確率 2/6 * 3/6 =1/6

一回の試行で引き分け試合続行になる確率は
pq ともに1を出す確率 3/6 * 2/6 =1/6 と
pq ともに1以外を出す確率 3/6 * 4/6 =1/3 の和で 1/2
976132人目の素数さん
2018/10/27(土) 23:29:04.09ID:0/HwMd6z
>>975

>>>950
> 六面体のサイコロでP君のサイコロは3面が1、Q君のサイコロは2面が1とする。
> サイコロを降ってどちらか一方が1であればそちらが勝者。
> どちらも1であるときは引き分け
> どちらも1でないならば少なくともどちらかが1がでるまでサイコロをふる。
> P君、Q君の勝つ確率を求めよ。

一回ごとに

Pの勝つ確率は1/3
Qの勝つ確率は1/6
引き分けの確率は1/6
振り直しの確率は1/3

で結局Pの勝つ確率は?
977132人目の素数さん
2018/10/27(土) 23:51:21.67ID:j5ROwDaN
整数x,yについて 615+x^2=2^y を解け。
978132人目の素数さん
2018/10/27(土) 23:56:43.86ID:uNVYRk6v
>>976

>>950
>六面体のサイコロでP君のサイコロは3面が1、Q君のサイコロは2面が1とする。
>サイコロを降ってどちらか一方が1であればそちらが勝者。
>どちらも1であるときは引き分け
>どちらも1でないならば少なくともどちらかが1がでるまでサイコロをふる。
>P君、Q君の勝つ確率を求めよ。

1回目 P勝 1/3 Q勝ち 1/6 引き分け 1/6   (流れ 1/3)
2回目 P勝 1/9 Q勝ち 1/18 引き分け 1/18  (流れ 1/9)
3回目 P勝 1/27 Q勝ち 1/54 引き分け 1/54 (流れ 1/27)
……

結局 P の勝つ確率は?
979132人目の素数さん
2018/10/28(日) 00:35:14.99ID:wdFrILpF
>>977
yが奇数とするとx^2 - 2z^2 = -615が整数解をもつが 2 は mod 5 で平方剰余でないので矛盾。
よって y は偶数であり z = √(2^y) は整数で x^2 - z^2 = -615を満たす。
(z+x)(z-x) = 615により
(x,z) = (±307、±308)、(±101、±104)、(±59、±64)、(±13、±28)
が必要。
よって解は
(x,y) = (±59、12)。
980132人目の素数さん
2018/10/28(日) 00:48:48.16ID:5no3IAco
>>976
>引き分けの確率は1/6
>振り直しの確率は1/3

ああ、ごめんなさい。、誤解してました。
目が1:1のときは振り直さず引き分けになるんですね。

Pが勝つ確率は 1/3 * Σ{n=0..∞} 1/6 = 1/3 * 6/5 = 2/5
Qが勝つ確率は 1/6 * Σ{n=0..∞} 1/6 = 1/6 * 6/5 = 1/5
引き分けの確率は 1/3 * Σ{n=0..∞} 1/6 = 1/3 * 6/5 = 2/5
981132人目の素数さん
2018/10/28(日) 00:52:05.62ID:5no3IAco
間違えた

振り直しの確率は1/6じゃなく1/3だから
Pが勝つ確率は 1/3 * Σ{n=0..∞} 1/3 = 1/3 * 3/2 = 1/2
Qが勝つ確率は 1/6 * Σ{n=0..∞} 1/3 = 1/6 * 3/2 = 1/4
引き分けの確率は 1/6 * Σ{n=0..∞} 1/3 = 1/3 * 3/2 = 1/2

が正しい答え
982132人目の素数さん
2018/10/28(日) 11:52:21.40ID:x624ZJMX
A高校、B高校で試験をしたところ、男子の平均点も女子の平均点もA高校の方が上だったのに
男子女子合わせての平均点はB高校の方が上だったという。
本当にこのようなことがありえるのだろうか?
983132人目の素数さん
2018/10/28(日) 12:02:48.17ID:GWXw/AMj
>>982

シンプソンのパラドックス

ある仮想疾患の治癒率

      軽症   重症
国立大学  10/10  10/90
底辺私立  70/90  0/10

自然経過  40/50  5/50

国立大学の方が軽症・重症とも成績がよいが
総数比較では底辺私立の方が成績がよい。

この疾患は自然治癒率が45%とされています。
この疾患の底辺私立での治癒率は70%です。
これに対して国立大学での治癒率はわずか20%です。

という記述も嘘ではないね
984132人目の素数さん
2018/10/28(日) 12:59:47.77ID:F02xc/t9
>>982

A高校、B高校で試験をしたところ、男子の平均点も女子の平均点もA高校の方が上だったのに
男子女子合わせての平均点はB高校の方が上だったという。

A高校 男子10人平均90点 女子90人平均70点 総合平均(10*90+90*70)/100=72
B高校 男子90人平均80点 女子10人平均60点 総合平均(10*90+90*70)/100=78
985132人目の素数さん
2018/10/28(日) 19:07:52.08ID:x624ZJMX
>>983,984
シンプソンだったか! 名前が思い出せなかったんですよ。
男子女子、重症軽症の比率が(極端に)違うのがポイントのようですね。
986132人目の素数さん
2018/10/28(日) 21:20:58.71ID:t1NU8Nja
次スレは立てないのかね?
987 【豚】
2018/10/29(月) 00:15:51.93ID:Es1mqcC9
>>926
>>924はあってんの?
988132人目の素数さん
2018/10/29(月) 00:26:30.49ID:59VF2v6C
>>986

次スレ (28問目)
http://2chb.net/r/math/1540739963/
989132人目の素数さん
2018/10/29(月) 01:24:42.27ID:faNbwzFX
>>987
A高校 男子10人平均90点 女子90人平均70点 総合平均(10*90+90*70)/100=72
B高校 男子90人平均80点 女子10人平均60点 総合平均(90*80+10*60)/100=78

の誤記
990イナ ◆/7jUdUKiSM
2018/10/29(月) 03:33:57.58ID:Es1mqcC9
>>987
扇形OAB=3.14c㎡
△OAB=√7≒2.64c㎡
三日月形AB≒3.14-2.64
=0.5c㎡
ABを延長、半直線AB上にPから垂線PCを下ろす。
PC^2=(2√2+√6)^2+(√2)^2-4^2
=14+8√3+2-16
=8√3
扇形OABの高さPC=√(8√3)
扇形PAB=(1/2)AB・PC-三日月形AB
=(1/2)・2・√(8√3)-0.5
=√(8√3)-0.5
=3.2224193
≒3.22c㎡
991イナ ◆/7jUdUKiSM
2018/10/29(月) 03:37:48.10ID:Es1mqcC9
>>990訂正。
扇形OAB=3.14c㎡
△OAB=√7≒2.64c㎡
三日月形AB≒3.14-2.64
=0.5c㎡
ABを延長、半直線AB上にPから垂線PCを下ろす。
PC^2=(2√2+√6)^2+(√2)^2-4^2
=14+8√3+2-16
=8√3
扇形OABの高さPC=√(8√3)
扇形PAB=(1/2)AB・PC+三日月形AB
=(1/2)・2・√(8√3)+0.5
=√(8√3)+0.5
=4.2224193
≒4.22c㎡
992603,977
2018/10/29(月) 05:22:06.71ID:Gent6ynX
>>604
正解

>>979
正解
ダウンロード&関連動画>>

993132人目の素数さん
2018/10/29(月) 06:14:16.27ID:05AYJRp0
>>991
相変わらずの芸風だなぁ。
だいたい中学受験の問題で答えが
>√(8√3)+0.5
になるわけないのに。
994イナ ◆/7jUdUKiSM
2018/10/29(月) 11:20:48.97ID:Es1mqcC9
AB=2㎝なわけないか。
>>991訂正。
扇形OAB=3.14c㎡
△OAB= c㎡
三日月形AB= c㎡
ABを延長、半直線AB上にPから垂線PCを下ろす。
PC^2=(2√2+ )^2+(√2)^2-4^2
=
扇形OABの高さPC=
扇形PAB=(1/2)AB・PC-三日月形AB
=(1/2)・2・√ -
=√ -
= c㎡
仕切りなおしやの。
995イナ ◆/7jUdUKiSM
2018/10/29(月) 13:27:59.94ID:Es1mqcC9
>>994仕切りなおし。
扇形OAB=3.14c㎡
AB^2=(2√2-2)^2+2^2
=8-8√2+4+4
=16-8√2
AB=√(16-8√2)
=2√(4-2√2)
△OAB=(1/2)・2√(4-2√2)・√{(2√2)^2-(4-2√2)}
=√(4-2√2)・√(4+2√2)
=√(16-8)
=2√2
三日月形AB=3.14-2√2
ABを延長、半直線AB上にPから垂線PCを下ろす。
ABの中点をNとすると、
ON=2△OAB/AB
=2・2√2/2√(4-2√2)
=√(4+2√2)
PC=ON+PH
=√(4+2√2)+PH
扇形PABの高さPC=ON+PH
扇形PAB=(1/2)AB・PC-三日月形AB
=√(4-2√2)・{√(4+2√2)+PH}
=√8+PH√(4-2√2)
=√8+√(8-OH^2)(4-2√2)
= c㎡

Pの高さが4つか2つ。
996132人目の素数さん
2018/10/29(月) 21:02:54.90ID:t6V71XZu
>>973
P(A)をP(B)で割ることによって
P君が先の回数とQ君が先の回数が導ける

P(A)/P(B)=(P君が先の回数)/(Q君が先の回数)

          {n(n+2)-k-1}/{n^2(n+1)-kn}
P(A)/P(B)=――――――――――――――――――――
          {n(n+2)-k}/{n(n+1)^2-k(n+1)}


       =(n+1)(n^2+2n-1-k)/{n^2(n+2)-nk}
          
        ∵[n≧2,n(n+1)-1>k≧1]

∵の範囲でnとkの数値をいろいろと変えることにより
様々な勝率が導ける

計算知能にそのまま入力するだけで約分を
自動計算してくれるので試してごろうじろう

■Wolfram入力例

(n+1)(n^2+2n-1-k)/{n^2(n+2)-nk},k=2,n=3
997132人目の素数さん
2018/10/29(月) 23:09:22.39ID:t6V71XZu
>>907
P(A)をP(B)で割ることによって
P君が先の回数とQ君が先の回数が導けるが

P(A)/P(B)=(P君が先の回数)/(Q君が先の回数)

P(A)/P(B)={(n+1)^2-2}/{n^2(n+1)}/{{(n+1)^2-1}/{n(n+1)^2}}

       =(n+1)(n^2+2n-1)/{n^2(n+2)} ∵[n≧1]

宝の個数kを設定しないと精度が低い
998132人目の素数さん
2018/10/30(火) 00:00:29.56ID:1kUFo2x+
>>997
この場合、宝の個数は1で固定で全マス探査となる
動かせる数値はnだけ
999132人目の素数さん
2018/10/30(火) 00:25:24.62ID:Cvs2wi6V
k動かして正解と同じになるか調べた。
Prelude Data.Ratio> let f n k = (n+1)*(n^2 + 2*n -1-k)%(n^2*(n+2)-n*k)
Prelude Data.Ratio> let g x = let n = (fromInteger x) in (+(0%1)) $ if (odd x) then (1/24*(6*n^3 + 20*n^2 - n - 27)*(n - 1))/(1/24*(6*n^2 + 10*n - 3)*(n + 1)*(n - 1)) else (1/4*n^4 + 7/12*n^3 - 7/8*n^2 - 13/12*n + 1)/(1/24*(6*n^2 - 2*n - 5)*(n + 2)*n)
Prelude Data.Ratio> let h n = head [f n k| k<-[1..], f n k <= g n]
Prelude Data.Ratio> mapM_ print [(g n, h n) | n<-[3..10]]
(26 % 27,8 % 9)
(84 % 83,1 % 1)
(203 % 197,36 % 35)
(413 % 398,28 % 27)
(751 % 722,80 % 77)
(1259 % 1210,27 % 26)
(993 % 955,28 % 27)
(2986 % 2875,88 % 85)
n:3~10で一致するkは一つもみつからん。
時間と労力の無駄。
1000132人目の素数さん
2018/10/30(火) 00:44:40.93ID:Cvs2wi6V
しらかばぁあおぞぉら、みぃなぁみいかぁぜ~
-curl
lud20250126060757ca
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